Bài tập nâng cao toán 9 (có hướng dẫn)

WEB: 123doc.org

Bài tập nâng cao Toán 9
I CĂN THứC. ĐA THứC BậC HAI

Câu 1. Cho x, y > 0 thỏa mãn 3x 2 5xy 2y 2 0 . Tính
Câu 2. Giá trị của E x 2 2xy 2y 2 2y 10 với
giá trị của x, y để E có nghĩa) là:
Câu 3. Giá trị của a 2 b 2 nếu a,b và
Câu 4. Nếu

3x 2y
.
7x 5y

x 2 y3 y 2 x 3 (với các

6
a 2 b 3
3 2 2 3

x 2 6x 13 x 2 6x 10 1 thì

x 2 6x 13 x 2 6x 10

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của P x 4 y 3 với x y 15
3x 4 16
Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của F
với x > 0
x3

Câu 7. Tìm GTLN của: A = x 2 9 x 2 . (Amax=2 2 )
Câu 8. Chứng minh rằng nếu có các số x, y thỏa mãn đẳng thức
x y xy (x y)2 thì

1
1
x 1;
y 1
3
3

Câu 9. Chứng minh rằng nếu có các số x, y thỏa mãn đẳng thức
x 2 3(xy y y 2 ) thì 0 y 4

Câu 10. Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 5 và ab + bc + ca =
7
7
7
8 thì 1 a , 1 b , 1 c
3
3
3
Câu 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 4 4x3 8x 20
x 2 xy y 2
Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2
x xy y 2

a2 b2 a b
Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 2 3
a b a

b

1

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x x 2
Câu 15. Tìm các số m, n để biểu thức A =

1
với x > 0
x

2x 2 mx n
nhận giá trị nhỏ nhất bằng 1,
x2 1

giá trị lớn nhất bằng 6.
2


1
Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = xy với x + y = 1
xy


Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của C =

x
5
với 0 < x < 1
1 x x

Câu 18. Cho phương trình x 4 2x 2 2ax (a 1)2 0 .
Tìm giá trị của a để nghệm của phương trình đó:
a) Đạt giá trị nhỏ nhất;

b) Đạt giá trị lớn nhất

Câu 19. Cho phương trình x 2 ax (a 5) 0 với a 1 . Tìm giá trị lớn nhất mà
nghiệm của phương trình đó có thể đạt được.
Câu 20. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
x 4 mx3 x 2 mx 1 0 .

Câu 21. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
2x 4 3 x m .

Câu 22. Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình sau chỉ có 1 phần tử:
a)

4 x2 4 x2 m ;

b)

6 x x 2 m.

Hướng dẫn: a) Nếu a là nghiệm thì -a cũng là nghiệm, do đó a = 0, m = 4.
b) Nếu là nghiệm thì 6 a a 2 m . (Cần chọn N sao cho 6 N a 2 và

N 2 6 a , được N 4 a , để chứng minh N cũng là nghiệm). Trình bày tiếp:
6 (4 a) 2 (4 a) m , nên 4 a cũng là nghiệm, do đó a 4 a , m = 4.
Câu 23. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x4 40x2 + 6m = 0 có bốn nghiệm,
và khi biểu diễn các nghiệm đó từ nhỏ đến lớn trên trục số bởi các điểm A, B, C, D thì
AB = BC = CD.
Gợi ý: Đặt y = x2, phương trình có các nghiệm 3n, n, n, 3n , từ y1 = n2, y2 = 9n2, từ
n2 + 9n2 = 40 và n2.9n2 = 6m, n = 2, m = 24, các nghiệm x = 6, 2, 2, 6.

2

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
II - HàM Số. PHƯƠNG TRìNH Hệ PHƯƠNG TRìNH
Hàm số bậc nhất - Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn

Cho 2 phương trình

ax by c
a' x b' y c'

* Song song (vô nghiệm):

a b c

a' b' c'

* Cắt nhau (nghiệm duy nhất):

a b c

a' b' c'

* Trùng nhau (vô số nghiệm):

a b c

a' b' c'

* Vuông góc với nhau:

a.a ' b.b '

(d)
(d')

(Nếu là đường thẳng dạng y ax b thì là a.a ' 1 )

Câu 1. Cho hàm số y f (x) ax b . Biết f (1) f (2) , f (5) f (6) và f (2016) 2017 .
Tính f (2017) .
Câu 2. Cho M(-2;0) và (d): y 2x

3x
. Qua M có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng
x

không cắt (d)?
Câu 3. Cho (d): y 2x 3 . Đường thẳng (d) đối xứng (d) qua (d): y x là
Câu 4. Cho (O;1) trên Oxy và (d): 3x 4y m 2 m 3

a) Tìm m để (d) tiếp xúc (O)
b) Khoảng cách từ O đến (d) nhỏ nhất là?
Câu 5. Cho (d): 3x 4y 21 . Các điểm có tọa độ nguyên và nằm trong góc phần tư thứ
ba là?
Câu 6. Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a 3b 6 và 3a 4c 1
(m 1)x y 3m 4
Câu 7. Cho hệ
. Tìm m để hệ có nghiệm dương duy nhất.
x (m 1)y m
(2m 1)x y 2m 2
Câu 8. Cho hệ 2
(m ;m 1) . Tìm m để x, y ?
2
m
x

y

m

3m


3

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
Câu 9. Giá trị nhỏ nhất P (6x 5y 16) 2 x 2 y 2 2xy 2x 2y 2 ?

Câu 10. Đường thẳng (2m 3) x (m 5) y 4m 1 0 luôn đi qua điểm cố định nào?

Mẹo: Xác định điểm cố định đường thẳng luôn đi qua với mọi m: cho m = 0, m = 1,
sau đó giải hệ phương trình bằng máy tính, nghiệm tìm được chính là điểm cố định.

Câu 11. Đường thẳng ax by 6 (a, b > 0) tạo với các trục tọa độ một tam giác có
diện tích bằng 9. Giá trị ab là:
Câu 12. Cho đường thẳng (m 2) x my 1 . Giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa
độ O đến đường thẳng trên là lớn nhất là:
Câu 13. Điểm có tung độ và hoành độ là các số nguyên nằm trên đường thẳng
8 x 9 y 79 và nằm trong góc phần tư thứ III của trục tọa độ Oxy là:
Câu 14. Đường thẳng đối xứng với đường thẳng y = 2x + 4 qua đường thẳng y = x là:
Công thức: Đối xứng với điểm (x; y) qua (d): y = x là điểm (y; x)
Câu 15. Giá trị của x để 3 điểm A(x;14), B(-5;20), C(7;-16) thẳng hàng là:
Câu 16. Biết các điểm A(m;3) và B(1;m) nằm trên một đường thẳng có hệ số góc m (m
> 0). Giá trị của m là:
Câu 9. Cho hai điểm A(3; 17) và B(33; 193). Số điểm thuộc đoạn thẳng AB có hoành
độ và tung độ là các số nguyên là:
Câu 10. Cho A(0; -1) và B(-4; 3). Phương trình đường trung trực d của AB là:
Gợi ý: Đường trung trực là đường vuông góc tại trung điểm.
Câu 11. Cho đường tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính 1 và đường thẳng d có phương
trình 3x 4y = m2 m + 3. Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với (O) là:
Câu 12. Trên mặt phẳng tọa độ, cho đa giác OABCDE có tọa độ các đỉnh A(0 ; 3), B(3
; 3), C(3 ; 1), D(5 ; 1), E(5 ; 0). Tìm hệ số a để đường thẳng y = ax chia đa giác thành
hai phần có diện tích bằng nhau.
Hướng dẫn: F(3 ; 3a), diện tích hình thang OABF bằng nửa diện tích OABCDE, a = 7/9
Câu 13. Tìm các số dương m, n sao cho hệ số góc của đường thẳng y = mx gấp bốn hệ
số góc của đường thẳng y = nx, đường thẳng y = nx chia góc tạo bởi đường thẳng
y mx với trục hoành thành 2 góc bằng nhau.
Hướng dẫn: Kẻ đường thẳng vuông góc với Ox qua (1;0) cắt 2 đường thẳng tại A,B.

AC = n, BC = m = 4n. Tính OB, BC = 2 2 , m = 2 2 , n = 2 2 .
4

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
Câu 14. Cho 2 điểm A(3 ; 17) và B(33 ; 193). Tính số điểm thuộc đoạn thẳng AB có
hoành độ và tung độ là các số nguyên.
x my m 1
Câu 15. Cho hệ:
. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất thì giá trị
mx y 3m 1
của m để xy nhỏ nhất là:

Mẹo: nếu dạng khoanh thì thử từng kết quả, nếu dạng điền thì giải từng nghiệm theo m,
sau đó nhân vào, dùng tính giá trị nhỏ nhất. Kết quả: m = 0
4 x 4 y 2 z 1
Câu 16. Cho các số x, y, z không âm thỏa mãn
8 x 4 y z 8

a) Biểu thị x và y theo z.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức A = x + y z.
Hướng dẫn: z = 3 4x, suy ra 4x + 4y = 5, từ đó: 7 4 A 5 4 .
Câu 17. Cho M(x ; y) cách đều 2 trục tọa độ và (d): y = x + 2. Tìm x.
Gợi ý: Không xác định được duy nhất. Vì cách đều 3 cạnh của 1 tam giác có 4 điểm.
Câu 18. Chứng minh đường thẳng cắt trục Ox tại hoành độ a, Oy tại tung độ b có
x y
phương trình là: 1
a b

Câu 19. Xác định đường thẳng qua A(4;3), cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên
dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên tố.
Gợi ý: dựa vào câu 18. Có 2 đường thẳng: y 3x 15 và y x 7

Hàm số bậc hai - Phương trình bậc 2 một ẩn

Câu 1. Cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình 3x 2 6 x y 2 0 sao cho y đạt giá trị
lớn nhất là:
1 2
x và (d): mx y 2 . Với điều kiện m để độ dài AB nhỏ nhất thì
2
độ dài nhỏ nhất của AB là:

Câu 2. Cho (P): y

Hướng dẫn: Phương trình hoành độ: x 2 2mx 4 0 , ( x1 x2 ) 2 S 2 4 P 4m 2 16 ,

y1 y2

2

2

2

2 mx1 (2 mx2 ) m( x1 x2 ) , từ đó AB 4

Câu 3. Xác định giá trị của m để hai phương trình 2016 x 2 mx 2 0 và
2016 x 2 2 x m 0 có nghiệm chung.
5

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
Hướng dẫn: Gọi x0 là nghiệm chung, trừ vế với vế 2 phương trình, x 1 hoặc m 2
Câu 4. Tìm các giá trị của m để 2 phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
a) x 2 (m 2) x 3 0 và 2 x 2 mx (m 2) 0 ;
b) 2 x 2 (3m 5) x 9 0 và 6 x 2 (7 m 15) x 19 0
Phương pháp: Giải hệ 2 phương trình trên với ẩn x chung, trừ 2 phương trình, tính x
theo m(có khi phải xét các giá trị của m), thay vào 1 trong 2 phương trình, tìm m.
Câu 5. Tìm các giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2 x 2 13x 2m 0 gấp
đôi một nghiệm của phương trình x 2 4 x m 0 .
Hướng dẫn: Gọi x(2) a thì x(1) 2a , thay vào 2 phương trình, khử m, tìm a 0 3
Câu 6. Cho các phương trình: ax 2 bx c 0 và cx 2 bx a 0 . Biết phương trình
(1) luôn có nghiệm dương m, chứng minh phương trình (2) luôn có nghiệm n sao cho
m n 2.
Câu 7. Cho a, b > 0 thỏa mãn 3a 2 2b 2 5ab . Tính a:b.
Hướng dẫn: chia cả 2 vế cho b 2 .
Câu 8. Tìm số nguyên tố p, biết rằng phương trình x 2 px 12 p 0 có 2 nghiệm đều
là những số nguyên, số nguyên tố p đó là: ( p 2 )
Câu 9. Tìm các số a, b sao cho phương trình x 2 ax 6 0 và x 2 bx 12 0 có ít
nhất một nghiệm chung và a b nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Gọi m là nghiệm chung thì m 2 am 6 0 và m 2 bx 12 0 , suy ra
2
2m 2 (a b)m 18 0 (*), với: a b 144 0 , a b 12 . a b a b , xảy
ra đẳng thức khi a b 12 và ab > 0, thay a b vào (*), tìm m, tìm a, b 5; 7
Câu 10. Tìm các số nguyên n sao cho: x 2 (n 4) x 2n 0 có các nghiệm nguyên.
Mẹo: nếu đề dạng khoanh thì thử các giá trị, nếu đề là dạng điền thì n là các số làm cho
chính phương, và thường chỉ có trên dưới 4 giá trị (nhớ cả nghiệm âm), tìm n 0; 3

Câu 11. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x 2 6 x 1 0 . Kí hiệu sn x1n x2n
với n là số nguyên dương.
a) Tính s1 , s2 , s3 .
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa sn , sn1 , sn 2 .
6

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
c) Chứng minh rằng sn là số nguyên với mọi số n nguyên dương.
d) Tìm số dư khi chia s50 cho 5.
Hướng dẫn: b) sn 2 x1n 2 x2n 2 ( x1n1 x2n1 )( x1 x2 ) x1 x2 ( x1n x2n ) 6 sn1 sn
d) Hãy chứng minh sn sn6 (mod5) s50 s2 4(mod5)

III - ĐịNH Lý TA-LéT. TAM GIáC Đồng DạNG

120 . Độ dài phân giác AD?
Câu 1. Cho tam giác ABC có AB 3 cm, AC 6 cm, A
1
Câu 2. Cho tam giác ABC có AB AC . Một đường thẳng cắt AB tại D, BC ở K và tia
3
KE 1
.
đối tia CA ở E sao cho BD = CE. Chứng minh
KD 3

Câu 3. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, phân giác AD. Điểm O chia trong AD
theo tỉ số 2:1. Gọi K là giao BO và AC. Tỉ số AK:KC bằng?

Câu 4. Cho tam giác ABC có AB 8 , AC 12 , BC 10 . Tâm I đường tròn nội tiếp
tam giác và trọng tâm G tam giác. Độ dài IG là?
Gợi ý: IG // BC. Gọi trung tuyến AM và phân giác AD, tính CM và CD DM.
AMC
cắt AB,
Câu 5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Các tia phân giác AMB,
2am
AC tại D, E. Biết BC = a, AM = m. Chứng minh DE
.
a 2m

Câu 6. Cho tam giác ABC có trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh diện tích tam giác
3
có độ dài 3 cạnh bằng AD, BE, CF bằng diện tích tam giác ABC.
4
Câu 7. Cho 2 tam giác có tỉ số đồng dạng là 1 số tự nhiên. Một cạnh của tam giác nhỏ
bằng 3cm. Diện tích tam giác nhỏ cũng là 1 số tự nhiên. Hiệu diện tích 2 tam giác là
18cm2. Tính diện tích 2 tam giác đó.
Gợi ý: Hai tam giác đó là: (3; 4; 5) và (6; 8; 10)
60 , C
20 , BC = 4cm. Gọi D là trung điểm của AC.
Câu 8. Tam giác ABC có B
Trên CB lấy E sao cho CE = CD. Tính tổng diện tích các tam giác ECD và ABD.

Gợi ý: Vẽ tam giác đều KBC cùng phía với tam giác ABC, kết quả là

1
SKBC 3
4

Câu 9. Tam giác ABC cân tại A, trực tâm H chia đường cao AE theo tỉ số 7:1. Giao
điểm I các đường phân giác chia AE theo tỉ số nào? (IE/IA=1/3)
Bài tập nâng cao Toán
7


WEB: 123doc.org
Câu 10. Một người đứng cách 1 ngôi nhà 200m, đặt 1 que dài 5cm, cách mắt 40cm
theo phương thẳng đứng thì vừa vặn che lấp chiều cao của ngôi nhà. Vậy chiều cao của
ngôi nhà là?
Câu 11. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Kẻ HM AB, HN AC . Tính tỉ số
SAMHN
?
SABC
Câu 12. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, O là trung điểm của AM. Tia
BO cắt AC tại D, tia CO cắt AB tại E. Biết diện tích tam giác ADE bằng 9cm2. Diện
tích tam giác ABC là?
Câu 13. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm O thuộc AM, CO, BO cắt
AB,AC lần lượt tại M,N. Chứng minh SBOM SCON .
Câu 14. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 28cm, CD = 70cm, AD = 35cm. Vẽ
một đường thẳng song song với 2 đáy cắt AD,BC tại M,N. Biết AM = 25cm. Độ dài
MN là:
Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. D,E thuộc BC sao cho BD = DE = EC. Biết
AD = 10cm, AE = 15cm. Độ dài đoạn BC là:
Gợi ý: Kẻ DM AB, EK AC, AB 3EK, AC 3DM , AM 2EK,AK 2DM , dùng
Pythagores trong tam giác ADM và AEK. Đáp số: 3 65
Câu 16. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hình vuông EFGH nội tiếp tam giác có
E AB, F AC, H,G BC . Biết BH = 2cm, GC = 8cm. Độ dài cạnh hình vuông là:
Gợi ý: Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra EH.GF HB.GC = 16. Đáp số: 4
Câu 17. Hình thang vuông ABCD có AB//CD, AB = 7, BC = 10, CD = 13. M là trung

điểm của BC, MN BC (N AD) . Tính MN.
D
90 , AB = 4, DC = 9, BC =13. Khoảng
Câu 18. Hình thang vuông ABCD có A
cách từ trung điểm M của AD đến BC là:

Câu 19. Hình thang ABCD có AB = 8, CD = 12. Điểm M thuộc AB sao cho DM chia
hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Độ dài đoạn BM là:
Gợi ý: (M thuộc tia BA) Gọi K là giao DM với BC. Tính diện tích KDC, ABCD theo
h1 , h 2 , tính tỉ lệ h1 : h 2 . Đáp số: 2,4
Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh 2cm. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, DC.
I,H thứ tự là giao của AF với BE,BD. Diện tích tứ giác EIHD là:
Gợi ý:

AH AB
EM AE 1
7

2;

, K AF BC . Đáp số:
HF DF
BM BK 4
15

8

Bài tập nâng cao Toán

WEB: 123doc.org
Câu 21. Cho tam giác ABC có đường cao AH = 16, HB:HC = 1:8. M thuộc BC, N
thuộc AC, MN//AH và MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Độ dài MN là:
Gợi ý: Đặt MN x, NC y , tính các diện tích theo x,y. Đáp số: 12
Câu 22. Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có E thuộc AB, D thuộc BC, F
thuộc AC. Biết diện tích tam giác EBD và FDC lần lượt là 3cm2 và 12cm2. Diện tích
hình bình hành đó là:
Gợi ý: Xét BED ~DFC , suy ra tỉ số các cạnh tương ứng. Đáp số: 12cm2
*Chú ý: Tổng quát, nếu SEBD = m, SFDC = n, thì SAEDF = 2 mn .
Câu 23. Cho tam giác có góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Hình vuông
EFGH nội tiếp tam giác có E AB, F AC, H,G BC . Tính độ dài cạnh hình vuông.
*Chú ý: Độ dài bằng

ah
.
ah

Câu 24. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho
AM:AB = 2:5; AN:AC = 3:4. Biết rằng diện tích tam giác AMN bằng 18cm2. Diện tích
tam giác ABC là:
1
, từ đó: SAMN 2.3 3 . Đáp số: 60cm2
Gợi ý: S ABC .AB.AC.sin A
2
SABC 5.4 10

Câu 25. Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 54 cm2. Hai cạnh góc vuông hơn
kém nhau 3cm. Khi đó độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền
là:

Câu 26. Hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M,N thứ tự
là trung điểm của BD và AC. Biết rằng OB = 2MO, đáy lớn CD = 16cm. Đáy nhỏ AB
là:
Gợi ý: Dùng định lý Ta-lét trong hai tam giác ODC và OAB. Đáp số: 8 cm
2C
, AB = 5, AC = 8. Tính BC.
Câu 27. Cho tam giác ABC có B

Đáp số:

39
5

Câu 28. Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD. Đường trung trực của AD cắt
BC tại K, KD = 2, DC = 4. Tính KD.
Gợi ý: KAB KCA

KB AB DB
KD = 4.


KD AC DC

9

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
Câu 29. Hình thang ABCD có các đáy AB = b, CD = a (a > b). Đoạn thẳng MN có M

thuộc AD, N thuộc BC, song song với AB, CD và chia hình thang thành 2 phần có diện
a2 b2
2
tích bằng nhau. Chứng minh rằng MN
.
2
IV. hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao Ah. Gọi D là điểm đối xứng với A
qua B, E là điểm thuộc tia đối tia HA sao cho HE = 2HA. Tính góc DEC bằng: ( 90 )
Câu 2. Tam giác ABC có trung tuyến BD = 6cm, trung tuyến CE = 4,5cm và BD vuông
góc với CE tại O. Diện tích tam giác BOE là:
Câu 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, hai đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau. Biết AB = 18, CD = 32. Tính AC.
Gợi ý: Tam giác BAD đồng dạng ADC
Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng
12cm. Tính BC.
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi tam giác ABH là
30cm, chu vi tam giác ACH là 40cm. Chu tam giác ABC là.
60 , AB = 6, AC = 10, AD là phân giác. Tính AD.
Câu 6. Cho tam giác ABC có A

* Chú ý: Công thức tính độ dài đường phân giác:
d


2
A
bc cos
bc

2

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là giao các đường phâ giác, M là trung
điểm của BC. Biết rằng góc BIM bằng 90 . Chứng minh AB:AC:BC = 3:4:5
Câu 7. Một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao
ứng với cạnh huyền là 7cm. Diện tích tam giác vuông đó bằng: (144 cm2)
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Kẻ
DK AC. Biết BC = 25cm, DK = 6 cm. Tính AB.
Kết quả: AB = 10 cm hoặc 15 cm.
Câu 9. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, trung tuyến BD, CE vuông góc với
nhau. Tính BC. (2 5 cm)
Câu 10. Tam giác BC vuông tại A, trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên BM,
H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh AH = 3HD.
10

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
Câu 11. Chứng minh một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi 3 đường cao của
1
1
1
chúng thỏa mãn 2 2 2 . Dựa vào đó, chứng minh tam giác có 3 đường cao là 12,
h1 h2 h3
15, 20 là tam giác vuông.
Câu 12. Cho hình vuông ABCD cạnh 1cm, tam giác AEF nội tiếp hình vuông có cạnh
là: ( 6 2 cm)
Câu 13. Tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Phân giác góc A cắt BD tại I. Biết
IB = 10 5 cm, ID = 5 5 cm. Tính các độ dài AB, BC.

Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm, hình vuông ADEF nội tiếp tam
giác có cạnh 2cm. Tính các độ dài AB, AC.
Câu 15. Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm các đường phân giác. Biết IA =
2 5 cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB.
Câu 16. Tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Tính độ dài AD, biết AH
= 14cm, BH = HC = 30cm.
với 90 . Kết quả: 32cm hoặc 11cm.
Chú ý: Xét trường hợp A

Câu 17. Tam giác ABC có BC = 40cm, đường phân giác AD dài 45cm, đường cao AH
dài 36cm. Tính các độ dài BD, DC.
Gợi ý: Vẽ đường phân giác ngoài.
Câu 18. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, trực tâm H. Biết HA = 7, HB =
HC = 17 . Tính AD (=8)

5,

Câu 19. Cho hình thang ABCD có đường cao là 4, đường chéo BD bằng 5, hai đường
50
chéo vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang. ( S )
3
Câu 20. Cho hình thang ABCD vuông tại A, AB = 4, CD = 10, AD = 3. Gọi O là giao
điểm của AC và BD. Tính OA.
Câu 21. Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 120 độ. Tia Ax tạo với tia AB góc Bax
bằng 15 độ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh
1
1
1

3AB 2 AM 2 AN 2

Câu 22. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK. Chứng minh rằng
1
1
1


2
2
BK
3BC
AH 2

11

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
V - Đường tròn. Góc với đường tròn

Câu 1. Cho (O;R) có các đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung
điểm của CD. Tia CI cắt đường tròn ở E, EA cắt CD ở K. Độ dài đoạn DK là: (2/3R).
Câu 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF cắt (O) thứ tự tại
AM BN CK
M,N,K. Chứng minh


4.

AD BE CF
Câu 3. Biết khoảng cách từ đỉnh A của tam giác ABC đến trực tâm tam giác bằng bán
60 .
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh A
54 , C
18 nội tiếp đường tròn (O;R). Giá trị của
Câu 4. Cho tam giác ABC có B
biểu thức AC AB bằng:

A.

2R
3

B. R

C.

R 3
2

D.

R 3
4

Câu 5. Cho (O;2), các bán kính OA,OB vuông góc với nhau. M là điểm chính giữa
cung AB, AM cắt OB tại C, MH AO (H AO) . Diện tích hình thang OHMC là:
BAC
22,5 nên BC = AB = OB 2 = 2 2 , OC = 2 + 2 2 , tam giác

Gợi ý: C

OHM vuông cân, OH = HM =

2 . Đáp số: 3 +

2

Câu 6. Một hình thang cân nội tiếp đường tròn (O), cạnh bên được nhìn từ O dưới góc
120 . Biết đường cao hình thang là h, vậy diện tích hình thang là:
h2 3
Gợi ý: Kẻ đường cao AH = h, tam giác vuông AHC, tính HC. Đáp số: S
3

Câu 7. Cho hình thang cân nội tiếp (O;10). Biết khoảng cách giữa hai tiếp điểm trên
cạnh bên là 16cm. Các cạnh của hình thang đó có độ dài là:
Gợi ý: Tính BE:EC = 1:4, BE.EC = OE 2 = 100 (F,E tiếp điểm). Kết quả: 10, 25, 25, 40
Câu 8. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), cạnh bên bằng b, đường
b2
cao AH bằng h. Bán kính của đường tròn O là:
2h
Câu 9. Cho (O) đường kính AB = 13, dây CD = 12 vuông góc với B tại H. Kẻ HM, HN
lần lượt vuông góc với AC, BC (M thuộc AC, N thuộc BC). Diện tích CMHN là:
A.

108 2
cm
13

B. 16

8
cm 2
13

C. 39cm2

12

D. 52cm2

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
Bài toán tổng quát: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, HM vuông góc với
SAMHN
h2
2 2 .
AB, HN vuông góc với AC thì
SABC
a

Câu 10. Cho một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10 cm, diện tích bằng 24 cm2.
Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Gợi ý: Tam giác đó là: (6; 8; 10). Đáp số: 2 cm
Bài toán tổng quát: Tam giác vuông có diện tích bằng chu vi, độ dài 3 cạnh chỉ có thể
là: (6; 8; 10) hoặc (5; 12; 13).
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (O;r), (O1;r1 ), (O 2 ;r2 ) là
các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh;

a) AH = r r1 r2
b) r 2 r12 r22
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 9, AC = 12. Gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp, G là trọng tâm của tam giác. Độ dài IG là: (1)
*Bài toán tổng quát: Tam giác ABC có I là giao các đường phân giác, G là trọng tâm
2
AB AC
tam giác và BC
thì IG//BC và IG DM .
2
3
*Chú ý: AD là phân giác, AM là trung tuyến
Nếu tam giác ABC vuông theo tỉ lệ 3:4:5 thì IG//AC (đoạn tỉ lệ với 4)
Câu 13. Cho (O;3) ngoài (O;2), OO = 10. Điểm M nằm bên ngoài đường tròn sao cho
các tiếp tuyến kẻ từ M đến 2 đường tròn bằng nhau. Tính HO (MH OO). (=5,25)
Câu 14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC, AB = 6, AC =
8, BC = 10, đường cao AH, vẽ (K) đường kính AH, cắt AB,AC tại E,F, kẻ KI EF
(I BC). Tính KI.
Gợi ý: Hãy chứng minh OA EF, OA//KI, IH = KI, KA = 2,5.
Bài toán tính theo công thức
- Chu vi hình tròn:

C 2 R d

- Diện tích hình tròn:

S R2

13

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
- Độ dài cung tròn:

l

rn
180

r 2n

l.R
2

- Diện tích cung tròn:

S

- Diện tích hình vành khăn:

S (R2 r 2 )

- Diện tích hình viên phân:

S S
S AOB
AB

- Diện tích hình khuyên tai:

S (R2 r 2 )

360



Câu 15. Cho tam giác ABC cân tai A nội tiếp đường tròn (O), AH = BC = a. Bán kính
b2
(O) là: (Gợi ý: tam giác ABC cân tại A, R
. Đáp số: 5/8.a)
2h
Câu 16. Hình thoi ABCD cạnh 1, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi R1, R2 là bán kính
1
1
(ABC), (ABD). Tính 2 2 ?
R1 R 2
Công thức: Độ dài tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau:
CD 2 Rr

Câu 17. Cho (A) tiếp xúc ngoài (B), (C;R) tiếp xúc trong với cả hai đường tròn này, biết
chu vi tam giác ABC là 6. Độ dài bán kính R là: (3)
Câu 16. Cho (O1), (O2), (O3) có cùng bán kính R tiếp xúc ngoài với nhau đôi một.
a) Gọi A, B, C là giao các đường tiếp tuyến chung ngoài, diện tích tam giác ABC
là: ( S R 3( 3 1)2 )
b) Gọi A, B, C là các giao điểm các đường tròn trên, diện tích tam giác ABC là: (
R2 3
S
)

4
Câu 18. Cho (O;R) và (O;r) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ hai tia vuông góc qua A cắt (O),
(O) tại B, C. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC là:
O'AC
45 , kết quả: S = Rr.
Gợi ý: S lớn nhất khi OAB

Câu 19. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). AD, AE là phân giác trong, ngoài của góc A.
Biết AD = AE, AB = 1,4cm, AC = 4,8cm. Bán kính (O) là: (2,5 cm)
14

Bài tập nâng cao Toán


WEB: 123doc.org
D
90 . Vẽ AH,CD BD. HA = 2cm, HB = 1cm, HD
Câu 20. Tứ giác ABCD có B
= 3cm. Độ dài CK là:

Gợi ý: Xét các tam giác vuông đồng dạng, kết quả: 1,5cm.
Câu 21. Cho đa giác đều A1A 2 ...A 2n (có 2n cạnh). Biết A n A 2n a . Tổng bình phương
các khoảng cách từ 1 đỉnh bất kì đến các đỉnh còn lại là: (kết quả: na 2 ).
:A
1: 7 . AB là cạnh của 1 đa
Câu 22. Cho tam giác MAB cân tại M nội tiếp (O), M
giác đều nội tiếp (O). Số cạnh của đa giác đều là:
360
Công thức: đa giác đều nội tiếp, số cạnh n
, kết quả: 15.

góc ở tâm

Câu 23. Cho (O;R), dây AB căng cung 120 . Dựng tam giác ABC vuông cân tại C về
2 . R bằng: (kết quả: 6)
phía cung nhỏ AB cắt (O) tại M, N. Biết MN
Câu 24. Nghịch đảo bán kính của một hình tròn bằng chu vi của nó. Diện tích hình tròn
bằng: (kết quả: 1/2).
Câu 25. Cho (O;R) tiếp xúc ngoài (O;r). Một tiếp tuyến chung ngoài cắt OO tại C (A,
B các tiếp điểm). Cho AB = BC = 6cm. Tổng diện tích 2 hình tròn là:
Câu 26. Một hình vành khăn có diện tích 25 cm2 . Độ dài dây cung của đường tròn lớn
tiếp xúc với đường tròn nhỏ là:
Câu 27. Một hình vành khăn có diện tích bằng

3
diện tích hình tròn lớn. Tỉ số 2 bán
4

kính của 2 đường tròn là:
Câu 28. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I. Biết AB = 20cm,
AC = 28cm, BC = 24cm. Tính IA, IC.
Gợi ý: Đặt IA = x, IC = y, IAB ICA , x = 35, y = 49

15

Bài tập nâng cao Toán