Ly thuyet toan lop 12

A.
I.

HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số y = f ( x )
+) f ' ( x ) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
+) f ' ( x ) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
+) Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm.
+) Lập bảng xét dấu f ' ( x ) .
+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Bài toán 2: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đơn điệu trên khoảng (a,b)
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a, b ) thì f ' ( x ) ≥ 0∀x ∈ ( a, b ) .
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a, b ) thì f ' ( x ) ≤ 0∀x ∈ ( a, b )
ax + b
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
cx + d
+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y ' > 0∀x ∈ D

*) Riêng hàm số: y =

+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y ' > 0∀x ∈ D
 y ' > 0∀x ∈ ( a, b )

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) thì 
d
x ≠ −

c

 y ' < 0∀x ∈ ( a, b )

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì 
d
x ≠ −
c

*) Tìm m để hàm số bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên R
+) Tính y ' = 3ax 2 + 2bx + c là tam thức bậc 2 có biệt thức ∆ .
a > 0
+) Để hàm số đồng biến trên R ⇔ 
∆ ≤ 0
a > a
+) Để hàm số nghịch biến trên R ⇔ 
∆ ≤ 0
3
2
Chú ý: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d
a >0
+) Khi
để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 = k .
a<0
+) Khi
để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
sao cho x1 − x 2 = k .

II.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) nếu f ' ( x 0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x 0 và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0
thì x 0 là điểm cực đại của hàm sô.
+) nếu f ' ( x 0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x 0 và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0
thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm sô.
*) Quy tắc 1:
+) tính y '
+) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó y ' = 0 hoặc y ' không xác định)
+) lập bảng xét dấu y ' . dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Dấu hiệu 2:
cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp 2 tại x 0 .
f ' ( x 0 ) = 0
+) x 0 là điểm cđ ⇔ 
f " ( x 0 ) < 0
*) Quy tắc 2:
+) tính f ' ( x ) , f " ( x ) .

f ' ( x 0 ) = 0
+) x 0 là điểm cđ ⇔ 
f " ( x 0 ) > 0

+) giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm.
+) thay nghiệm vừa tìm vào f " ( x ) và kiểm tra. từ đó suy kết luận.
Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm số: y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đạo hàm y ' = 3ax 2 + 2bx + c
1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0
3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B.
+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y = ( mx + n ) y '+ ( Ax + B ) . Phần dư trong phép chia này là y = Ax + B
chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu.
Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

3
2
Cho hàm số: y = ax 4 + bx 2 + c có đạo hàm y ' = 4ax + 2bx = 2x ( 2ax + b )

1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi ab ≥ 0 .
a > 0
+) Nếu 
hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại.
b ≥ 0
a < 0
+) nếu 
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.
b ≤ 0
2. hàm số có 3 cực trị khi ab < 0 (a và b trái dấu).


a > 0
+) nếu 
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
b < 0
a < 0

+) Nếu 
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
b > 0

3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A ∈ Oy , A ( 0;c ) , B ( x B , y B ) , C ( x C , y C ) , H ( 0; y B ) .
+) Tam giác ABC luôn cân tại A
+) B, C đối xứng nhau qua Oy và x B = − x C , y B = y C = y H
uuur uuur
+) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC = 0
+) Tam giác ABC đều: AB = BC
1
1
+) Tam giác ABC có diện tích S: S = AH.BC = x B − x C . y A − y B
2
2
4
2
4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số y = x − 2bx + c
+) Hàm số có 3 cực trị khi b > 0
+) A, B, C là các điểm cực trị
A ( 0;c ) , B

(

) (

b, c − b 2 , C − b;c − b 2

)

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b = 1
+) Tam giác ABC đều khi b = 3 3
µ = 1200 khi b =
+) Tam giác ABC có A

1
3

3

+) Tam giác ABC có diện tích S0 khi S0 = b 2 b
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 0 khi 2R 0 =
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r0 khi r0 =
III.

b3 + 1
b

b2
b3 + 1 + 1

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D.
 M ≥ f ( x ) ∀x ∈ D
f ( x)
+) M là GTLN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: M = max
D
∃

x
∈
D
:
f
x
=
M
( 0)
 0
 m ≤ f ( x ) ∀x ∈ D
f ( x)
+) m là GTNN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: m = min
D
∃x 0 ∈ D : f ( x 0 ) = m
+) Nhận xét: Nếu M, N là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình
f ( x ) − m = 0 & f ( x ) − M = 0 có nghiệm trên D.
2. Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:
*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)
- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên D.


- Lập BBT cho hàm số trên D.
- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
*) Quy tắc riêng: (Dùng cho [ a; b ] ) . Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ a; b ] .
- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên [ a, b ] .
- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2 ∈ [ a, b ] .
- Tính 4 giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( x1 ) , f ( x 2 ) . So sánh chúng và kết luận.
3. Chú ý:

1. GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn.
2. Hàm số liên tục trên đoạn [ a, b ] thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.
3. Nếu hàm sồ f ( x ) đồng biến trên [ a, b ] thì max f ( x ) = f ( b ) , min f ( x ) = f ( a )
4. Nếu hàm sồ f ( x ) nghịch biến trên [ a, b ] thì max f ( x ) = f ( a ) , min f ( x ) = f ( b )
5. Cho phương trình f ( x ) = m với y = f ( x ) là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm
f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x )
khi min
D
D
IV.

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y = +∞ hoặc lim+ y = −∞ hoặc lim− y = +∞ hoặc lim− y = −∞
x →a
x →a
x →a

x →a +

+) Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y = b hoặc lim y = b
x →−∞

x →+∞

2. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

+) Hàm phân thức mà bậc của tử ≤ bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm căn thức dạng: y =

−

,y =

− bt, y = bt −

+) Hàm y = a , ( 0 < a ≠ 1) có TCN y = 0
x

+) Hàm số y = log a x, ( 0 < a ≠ 1) có TCĐ x = 0
3. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.
+) TCN: Tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y
x →+∞

x →−∞

4. Chú ý:
+) Nếu x → +∞ ⇒ x > 0 ⇒ x 2 = x = x
+) Nếu x → −∞ ⇒ x < 0 ⇒ x 2 = x = − x

có TCN. (Dùng liên hợp)


V.

BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Định hình hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y ' = 0 có hai
nghiệm phân
biệt hay
∆ y/ > 0

a>0

a<0

y ' = 0 có hai
nghiệm kép
hay ∆ y/ = 0

y ' = 0 vô
nghiệm hay
∆ y/ > 0

1. Định hình hàm số bậc 3: y = ax 4 + bx 2 + c
x = 0
3
2
+) Đạo hàm: y ' = 4ax + 2bx = 2x ( 2ax + b ) , y ' = 0 ⇔ 
2
 2ax + b = 0
+) Để hàm số có 3 cực trị: ab < 0
a > 0
- Nếu 

hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu
b < 0
a < 0
- Nếu 
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
b > 0
+) Để hàm số có 1 cực trị ab ≥ 0


a > 0
- Nếu 
hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại
b ≥ 0
a < 0
- Nếu 
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu
b ≤ 0
y ' = 0 có 3
nghiệm phân
biệt hay ab < 0

a>0

a<0

y ' = 0 có đúng 1
nghiệm hay
ab ≥ 0

ax + b

cx + d
 d
+) Tập xác định: D = R \ − 
 c
3. Định hình hàm số y =

+) Đạo hàm: y =

ad − bc

( cx + d )

2

- Nếu ad − bc > 0 hàm

số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc

phần tư 2 và 4.
- Nếu ad − bc < 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc
phần tư 1 và 3.
d
a
và TCN: y =
c
c
 d a
+) Đồ thị có tâm đối xứng: I  − ; ÷
 c c
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = −

ad − bc > 0

ad − bc < 0


VI.

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Phương pháp:
Cho 2 hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f ( x ) = g ( x )
+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’).
BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F ( x, m ) = 0 (phương trình ẩn x tham số m)
+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m = f ( x )
+) Lập BBT cho hàm số y = f ( x ) .
+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F ( x, m ) = 0
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử x = x 0 là 1 nghiệm của phương trình.
x = x0
+) Phân tích: F ( x, m ) = 0 ⇔ ( x − x 0 ) .g ( x ) = 0 ⇔ 
(là g ( x ) = 0
g ( x ) = 0

là phương trình bậc 2 ẩn

x tham số m ).
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g ( x ) = 0 .
Phương pháp 3: Cực trị
*) Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.
*) Quy tắc:
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F ( x, m ) = 0 (1). Xét hàm số y = F ( x, m )


+) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m ) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm.
(2TH)
- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R ⇔ hàm
số không có cực trị ⇔ y ' = 0 hoặc vô nghiệm
hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ y ' ≤ 0
- Hoặc hàm số có CĐ, CT và y cd .yct > 0
(hình vẽ)

+) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và
y cd .yct < 0

+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân
biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và
y cd .yct = 0

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:
1. Định lí vi ét:
b
c
*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 , x 2 thì ta có: x1 + x 2 = − , x1x 2 =
a
a
3
2
*) Cho bậc 3: Cho phương trình ax + bx + cx + d = 0 có 3 nghiệm x1 , x 2 , x 3 thì ta có:
b
c
d
x1 + x 2 + x 3 = − , x1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = , x 1 x 2 x 3 = −
a
a
a
2.Tính chất của cấp số cộng:
+) Cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a + c = 2b
3. Phương pháp giải toán:
b
+) Điều kiện cần: x0 = −
là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m.
3a
+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra.


BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC
Phương pháp
Cho hàm số y =

ax + b
( C ) và đường thẳng d : y = px + q . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và
cx + d

(d):
ax + b
= px + q ⇔ F ( x, m ) = 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).
cx + d
*) Các câu hỏi thường gặp:
d
1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt khác − .
c
2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt
x1 , x 2 và thỏa mãn : −

d
< x1 < x 2 .
c

3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt
d
x1 , x 2 và thỏa mãn x1 < x 2 < − .
c
4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 và
d
< x2 .
c
5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:
+) Đoạn thẳng AB = k

+) Tam giác ABC vuông.
+) Tam giác ABC có diện tích S0
thỏa mãn x1 < −

* Quy tắc:
+) Tìm điều kiện tồn tại A, B ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
+) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)
+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m.
*) Chú ý: Công thức khoảng cách:
+) A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) : AB =

( xB − xA )

2

(

+ y B − yA

)

2

Ax 0 + By0 + C
M ( x 0 ; y0 )
⇒ d ( M, ∆ ) =
+) 
A 2 + B2
 ∆ : Ax 0 + By 0 + C = 0
BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax 4 + bx 2 + c = 0
1. Nhẩm nghiệm:
- Nhẩm nghiệm: Giả sử x = x 0 là một nghiệm của phương trình.

(1)


x = ±x0
2
2
- Khi đó ta phân tích: f ( x, m ) = ( x − x 0 ) g ( x ) = 0 ⇔ 
g ( x ) = 0

- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 g ( x ) = 0
2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
2
- Đặt t = x , ( t ≥ 0 ) . Phương trình: at 2 + bt + c = 0 (2).
 t1 < 0 = t 2
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn: 
 t1 = t 2 = 0
 t1 < 0 < t 2
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn: 
 0 < t1 = t 2
- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn: 0 = t1 < t 2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm
4
2
3. Bài toán: Tìm m để (C): y = ax + bx + c ( 1)

cấp số cộng.
2
- Đặt t = x , ( t ≥ 0 ) . Phương trình:

t1 , t 2

thỏa mãn:

0 < t1 < t 2

cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành

at 2 + bt + c = 0 (2).

- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t1 , t 2 ( t1 < t 2 ) thỏa mãn t 2 = 9t1 .

- Kết hợp
VII.

t 2 = 9t1

vơi định lý vi – ét tìm được m.

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm M ( x 0 ; y 0 ) ∈ ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm f ' ( x ) . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' ( x 0 )
- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = f ' ( x ) ( x − x 0 ) + y 0
Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M ( x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Khi đó x 0 thỏa mãn: f ' ( x 0 ) = k (*) .
- Giải (*) tìm x 0 . Suy ra y 0 = f ( x 0 ) .
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x 0 ) + y 0
Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm A ( a; b ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua
A.
- Gọi ( ∆ ) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó ( ∆ ) : y = k ( x − a ) + b (*)


f ( x ) = k ( x − a ) + b ( 1)
- Để ( ∆ ) là tiếp tuyến của (C) ⇔ 
có nghiệm.
( 2)
f ' ( x ) = k
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương
trình tiếp tuyến cần tìm.
* Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc (C) là: k = f ' ( x 0 )
2. Cho đường thẳng ( d ) : y = k d x + b
+) ( ∆ ) / / ( d ) ⇒ k ∆ = k d
+) ( ∆, d ) = α ⇒ tan α =

+) ( ∆ ) ⊥ ( d ) ⇒ k ∆ .k d = −1 ⇔ k ∆ = −
k∆ − kd
1 + k ∆ .k d

1
kd

+) ( ∆, Ox ) = α ⇒ k ∆ = ± tan α

3. Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.
3
2
4. Cho hàm số bậc 3: y = ax + bx + cx + d, ( a ≠ 0 )
+) Khi a > 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi a < 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.
B.
I.

MŨ VÀ LÔGARIT

LŨY THỪA

1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α
α = n ∈ N*
α=0

Cơ số a
a∈R
a≠0

α = −n ( n ∈ N* )

Luỹ thừa a α
a α = a n = a.a......a (n thừa số a)
aα = a0 = 1
1

a α = a −n = n
a

a≠0

m
(m ∈ Z, n ∈ N* )
a>0
n
α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N* )
a>0
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

m

α=

α

β

a .a = a
•

α+β

aα
;
= a α−β

aβ

α
β
a > 1 : a > a ⇔ α > β;

a α = a n = n a m ( n a = b ⇔ b n = a)
a α = lim a rn

α

α β

; (a ) = a

α .β

α

α

; (ab) = a .b

α

aα
a
;  ÷ = α
b
b

α
β
0 < a < 1 : a >a ⇔ α<β

• Với 0 < a < b ta có:
a m < bm ⇔ m > 0 ;
a m > bm ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a .


Vi a, b 0, m, n N*, p, q Z ta cú:
n

ab = n a. n b ; n

Neỏu

a na
=
(b > 0) ;
b nb

n

a p = ( n a ) (a > 0) ;

p q
=
thỡ n a p = m a q (a > 0) ; c bit
n m

Nu n l s nguyờn dng l v a < b thỡ

n

p

n

m n

a = mn a

a = mn a m

a
Nu n l s nguyờn dng chn v 0 < a < b thỡ n a < n b .
Chỳ ý:
+ Khi n l, mi s thc a ch cú mt cn bc n. Kớ hiu n a .
+ Khi n chn, mi s thc dng a cú ỳng hai cn bc n l hai s i nhau.
II.

HM S LY THA

1) Hm s lu tha y = x ( l hng s)
S m

Hm s y = x

Tp xỏc nh D

= n (n nguyờn dng)

y=x

n

D=R

= n (n nguyờn õm hoc n = 0)

y=x

n

D = R \ {0}

y=x



D = (0; +)

l s thc khụng nguyờn

1
n

Chỳ ý: Hm s y = x khụng ng nht vi hm s y = n x (n N*) .
2) o hm

( x ) = x 1 (x > 0) ;




n
Chỳ ý: . ( x ) =

( n u ) =
III.

1
n

n x n 1

( u ) = u 1.u

vụựi x > 0 neỏu n chaỹn
vụựi x 0 neỏu n leỷ ữ



u

n u n 1
n

LễGARIT

1. nh ngha

Vi a > 0, a 1, b > 0 ta cú: log a b = a = b

a > 0, a 1
Chỳ ý: log a b cú ngha khi
b > 0
lg b = log b = log10 b
Logarit thp phõn:
n

Logarit t nhiờn (logarit Nepe):
2. Tớnh cht
log a 1 = 0 ;

log a a = 1 ;

Cho a > 0, a 1, b, c > 0. Khi ú:

ln b = log e b (vi e = lim 1 + 1 ữ 2, 718281 )
n
log a a b = b ;

a loga b = b (b > 0)

+ Nếu a > 1 thì log a b > log a c ⇔ b > c
+ Nếu 0 < a < 1 thì log a b > log a c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:
b
α
• log a (bc) = log a b + log a c • log a  ÷ = log a b − log a c • log a b = α log a b
c
4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:
log a c
• log b c =
hay log a b.log b c = log a c
log a b
• log a b =
IV.

1
log b a

• log a α c =

1
log a c (α ≠ 0)
α

HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

1) Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1).

• Tập xác định:
D = R.
• Tập giá trị:
T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
y

y=ax

1

a>1

y

y=ax
1
x

0
2) Hàm số logarit y = log a x (a > 0, a ≠ 1)
• Tập xác định:
D = (0; +∞).
• Tập giá trị:
T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

• Đồ thị:

x


y

y

y=logax

x

1

O

y=logax

x

1

O
a>1

03) Giới hạn đặc biệt
x

•

1
 1
lim(1 + x) x = lim 1 + ÷ = e
x →0
x →±∞ 
x

• lim
x →0

ln(1 + x)
=1
x

ex − 1
=1
x →0
x

• lim

4) Đạo hàm
•

•

( a x ) ′ = a x ln a ;

( a u ) ′ = a u ln a.u′

( ex ) ′ = ex ;

( eu ) ′ = eu .u′

( loga x ) ′ =

1
;
x ln a

( loga u ) ′ =
( ln u ) ′ = u′

( ln x ) ′ = 1 (x > 0);
x

V.

u′
u ln a

u

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Với a > 0, a ≠ 1:

1. Phương trình mũ cơ bản:

b > 0
ax = b ⇔ 
 x = log a b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a f ( x ) = a g( x ) ⇔ f (x) = g(x)

Với a > 0, a ≠ 1:

a) Đưa về cùng cơ số:

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:

a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N) = 0

a f ( x ) = b g(x ) ⇔ f (x) = ( log a b ) .g(x)

b) Logarit hoá:
c) Đặt ẩn phụ:
f (x)

 t = a f (x ) , t > 0
)=0 ⇔ 
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
 P(t) = 0

• Dạng 1:

P(a

• Dạng 2:

αa 2f (x ) + β(ab)f ( x ) + γb 2f ( x ) = 0
f (x )

Chia 2 vế cho b

2f ( x )

a
, rồi đặt ẩn phụ t =  ÷
b

f (x)
f (x )
• Dạng 3: a f ( x) + b f ( x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a ⇒ b =

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

1
t


Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
• Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
f (x) đồng biến và g(x) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).


f (x) đơn điệu và g(x) = c hằng số
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
A = 0
2
2
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 
• Phương trình A + B = 0 ⇔ 
B = 0
B = 0
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:

f(x) = g(x)
(1)
f (x) ≥ M
Nếu ta chứng minh được: 
g(x) ≤ M

VI.

thì

f (x) = M
(1) ⇔ 
g(x) = M

PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

1. Phương trình logarit cơ bản
Với a > 0, a ≠ 1:

log a x = b ⇔ x = a b

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a ≠ 1:

f (x) = g(x)
log a f (x) = log a g(x) ⇔ 
f (x) > 0 (hoặc g(x) > 0)

b) Mũ hố
Với a > 0, a ≠ 1:

log a f (x) = b ⇔ a loga f ( x) = a b

c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1:
a logb c = clogb a
VII.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.

a f ( x) > a g( x )

 a > 1

f (x) > g(x)
⇔
 0 < a < 1

 f (x) < g(x)

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.


– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
a M > a N ⇔ (a − 1)(M − N) > 0
VIII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
 a > 1

f (x) > g(x) > 0
log a f (x) > log a g(x) ⇔ 
 0 < a < 1

 0 < f (x) < g(x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:

– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
log a A
> 0 ⇔ (A − 1)(B − 1) > 0
log a B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ;
log a B
IX.

HỆ MŨ-LÔGARIT

Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:
• Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ.
X.

CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1) Bài toán lãi suất
a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn
lãi T sau n tháng?
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
…………………
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n
Vậy T = a(1 + r)n

(*)

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:


T
T
T
1) n =
a ; 2) r = n − 1 ; a =
(1 + r) n
a
ln(1 + r)
ln

b) Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng tháng là m%. Hỏi
sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?
Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m).
Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:
a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] =

a
a
[(1+m) 2 -1] =
[(1+m) 2 -1]
[(1+m)-1]
m

Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là:
T2=

a
a
a
[(1+m) 2 -1] +
[(1+m) 2 -1] .m =
[(1+m) 2 -1] (1+m)
m
m
m

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn:
a
Tn .m
n
=> a =
Tn = [(1+m) -1] (1+m)
n

(1 + m) 
m
(1 + m) −1
2) Bài toán tăng dân số
3) Bài toán chất phóng xạ
4) Các bài toán khác liên quan

=> n =

Ln(

Tn .m
+1 + m)
a
−1
Ln(1 + m)


I.

C.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F'(x) = f (x) , ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

∫ f (x)dx = F(x) + C , C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
• ∫ f '(x)dx = f (x) + C

∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx
• ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k ≠ 0)
•

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)

∫ k.dx = k.x + C

3)

∫x

5)

∫ (ax + b)

7)

∫ sin x.dx = − cos x + C

9)

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

11)

∫ cos

13)

1
2

dx = −

1

n

1
+C
x

dx = −

1
+C;
a(n − 1)(ax + b) n −1
1

1
2

dx = ∫ (1 + tan 2 x)dx = tan x + C

x
1
1
∫ cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C

15)

∫ e dx = e

17)

1 (ax + b)
(ax + b)
∫ e dx = a e + C

19)

x
∫ a dx =

21)

x

x

+C

ax
+C
ln a
1
1 x −1
∫ x 2 − 1 dx = 2 ln x + 1 + C

23)

∫x

25)

∫

2

1
1
x −a
dx =
ln
+C
2
−a
2a x + a
1

a −x
2

2

dx = arcsin

x
+C
a

x n +1
+C
n +1

2)

n
∫ x dx =

4)

∫ x dx = ln x + C

6)

1

1

1

∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C

8)

∫ cos x.dx = sin x + C

10)

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

1

1

12)

∫ sin

dx = ∫ (1 + cot 2 x)dx = − cot x + C
x
1
1
dx = − cot(ax + b) + C
14) ∫
2
sin (ax + b)
a

16)

∫e

18)
20)
22)
24)
26)

2

−x

dx = −e− x + C

1 (ax + b) n +1
n
(ax
+
b)
.dx
=
.
+ C (n ≠ 1)
∫
a
n +1
1
∫ x 2 + 1 dx = arctan x + C
1
x
∫ x 2 + a 2 dx = arctan a + C
1
∫ 1 − x 2 dx = arcsin x + C
1
2
∫ x 2 ± 1 dx = ln x + x ± 1 + C


27)

∫

1
x2 ± a2

dx = ln x + x 2 ± a 2 + C

∫

28)

a 2 − x 2 dx =

x 2
a2
x
a − x 2 + arcsin + C
2
2
a

x
a2
2
2
x
±
a
±
ln x + x 2 ± a 2 + C
∫
2

2
II.
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN
+ Phương pháp
+ Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản
+ Cách giải:
29)

x 2 ± a 2 dx =

'
+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số ∫ f [ u(x) ] .u (x)dx = F[u(x)] + C

( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ).
Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn
bộ biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu
thức và đạo hàm với nó ví dụ như:
1
t anx ¬ 
→
;s inx ¬ 
→ cos x;....
cos 2 x
- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

∫

f (u(x)).u , (x).dx

+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức
III.

a 2 − x 2 . Đặt x = |a|sint (-

Π
Π
≤t≤ )
2
2

2
2
a 2 + x 2 hoặc a + x . Đặt x = |a|tgt ( −

x 2 − a 2 . Đặt x =

Π
Π
2
2

|a|
Π 
( t ∈ [ 0; Π ] \   )
cos t

2

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức

∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx

(*)

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng ∫ f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ
Cách giải : - Dùng công thức (*)
- Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm)
Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:


∫ P(x) cosx dx

∫ P(x)e dx
x

u
dv

IV.

P(x)
e x dx

P(x)
cos xdx

∫ P(x)sinx dx ∫ P(x) lnx dx

P(x)
sin xdx

lnx
P(x)

TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ∫ f (x)dx .
a

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ... = F(b) − F(a)
• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình
b

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = ∫ f (x)dx
a

2. Tính chất của tích phân
0

• ∫ f (x)dx = 0

a

a

b

• ∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx

0

•

b

b

b

a

a

b

∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx

b

b

• ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k: const)
a

a

b

c

b

a

a

c

• ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

a

b

• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ∫ f (x)dx ≥ 0
a

b

b

a

a

• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ∫ f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số

b

u (b)

a

u(a )

∫ f [ u(x)] .u '(x)dx = ∫

f (u)du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K,
a, b ∈ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần


b

b

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì: ∫ udv = uv a − ∫ vdu
b

a

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

∫ vdu
a

V.

b

dễ tính hơn ∫ udv .
a

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH

1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

là:

S = ∫ f (x)dx

(1)

a

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

là:

S = ∫ f (x) − g(x)dx

(2)

a

Chú ý:
b

b

a

a

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx

• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích
phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:

b

∫
a

c

d

b

a

c

d

f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx =

c

d

b

a

c

d

∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a

VI.
và b.

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

Thể tích của B là:

V = ∫ S(x)dx
a


• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
b

2

sinh ra khi quay quanh trục Ox: V = π∫ f (x)dx
a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung
quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d

là:

V = π∫ g 2 (y)dy
c


D.

SỐ PHỨC

1. Khái niệm số phức
• Tập hợp số phức: C
• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi
(a, b ∈ R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo
⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
a = a '
a + bi = a’ + b’i ⇔ 
(a, b, a ', b ' ∈ R)
• Hai số phức bằng nhau:

b = b '

r
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u = (a; b)
trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:
• ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i

• ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’) i

• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
r
r
r r
r r
• u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u + u ' biểu diễn z + z’ và u − u ' biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
• ( a + bi ) ( a '+ b 'i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i
• k(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R)
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi
 z1  z1
• z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z ';  ÷ = ;
 z 2  z2
• z là số thực ⇔ z = z ;
z là số ảo ⇔ z = − z

z.z = a 2 + b 2

6. Môđun của số phức : z = a + bi

uuuur
• z = a 2 + b 2 = zz = OM
• z ≥ 0, ∀z ∈ C ,
• z.z ' = z . z '
7. Chia hai số phức:
1
−1
• z = 2 z (z ≠ 0)
z
8. Căn bậc hai của số phức:

z =0⇔z=0
•

z
z
=
z' z'
•

• z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z'

z'
z '.z z '.z
= z ' z −1 = 2 =
z
z.z
z

•

z'
= w ⇔ z ' = wz
z


 x 2 − y2 = a
2
z
=
x
+
yi
•
là căn bậc hai của số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔ 
 2xy = b
• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
• w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
• Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a
• Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a.i
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ≠ 0 ).
∆ = B2 − 4AC
−B ± δ
• ∆ ≠ 0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 =
, ( δ là 1 căn bậc hai của ∆)
2A
B
• ∆ = 0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1 = z 2 = −
2A
Chú ý: Nếu z0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*).

E.
I.

ĐA DIỆN, NÓN, TRỤ CẦU

ĐA DIỆN

1) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều
kiện:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một
cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ
tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).
2) Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H).
3) Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và
miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H).
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
4) Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là
một phép biến hình trong không gian.
b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm tùy ý.
c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành
đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.
e) Một số phép dời hình trong không gian :

r
uuuuur r
- Phép dời hình tịnh tiến theo vector v , là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho MM ' = v .
- Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm
M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối
xứng của (H).
- Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm
M’ sao cho O là trung điểm của MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).
- Phép đối xứng qua đường thẳng d, là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M
không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn
được gọi là phép đối xứng qua trục d.