Các dạng toán về góc trong hình học không gian

Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 1


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc
MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN ........................................................................ 3
DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ..................................................................... 3
DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG............................................................... 9
DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ...................................... 15

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 2


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN
DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD), SA  AB  a, AD  3a . Gọi M là trung điểm BC. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng
(ABCD) và (SDM)
A.

5
7

B.

6
7

3
7
Hướng dẫn giải

C.

D.

Kẻ SH  MD, H  MD ,

1
7

S

mà SA  MD   SAH  MD  AH  MD
Do đó

SMD , ABCD  SH,AH  SHA  

Ta lại có: SAMD

1
3a 2
a 13
 .3a.a 
, MD  CD2  CM2 
2
2
2

2S
6a 13
7a 13
 AH  AMD 
 SH 
DM
13
13

 cos  

A

B
H

D

C

M

AH 6
6
 . Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (ABCD) bằng
SH 7
7

Vậy chọn đáp án B.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB  2a và góc BAD  1200 . Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và
SI 

a
. Tính góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD)
2

A. 300

B. 450

C. 600
Hướng dẫn giải

D. 900

Ta có BAD  1200  BAI  600

S


BI
sin 600 

 BI  a 3

AB  
Suy ra: 

AI  a
cos600  AI


AB


Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

K
H

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có:
AB   SHI   AB  SH



A

D
I

B

C



Do đó:   SH,IH  SHI
Xét tam giác vuông AIB có:

tan SHI 

1
IH

2



1
IA

2



1

IB

2

 IH 

3
a
2

SI
1

 SHI  300 hay   300 .
HI
3

Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 3


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Câu 3*. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , SA  SB và

ACB  300 , SA  SB . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng

3a
. Tính cosin góc
4

giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
A.

5
33

B.

3
13

65
13
Hướng dẫn giải

C.

D.

Gọi D là trung điểm của BC, suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

2 5
11

S

Gọi I, E là trung điểm của BD và AB, H là giao của AI và DE. Khi

N

đó dễ thấy H là trọng tâm tam giác ABD.
Ta có AI  BC, DE  AB

K

Vì SA  SB  SE  AB , suy ra AB   SDE   AB  SH

M
A

Khi đó ta có SH   ABC 
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên SA, khi đó IK là đoạn
vuông góc chung của SA và BC.
Do đó IK  d  SA; BC  
Đặt SH  h, AI 

30°

E

C

D

H

I
B

a
4

a 3
a 3
a2
, AH 
 SA 
 h2
2
3
3

Lại có AI.SH  IK.SA  2SSAI 

a 3
3a a 2
h
 h2  h  a
2
4 3

Gọi M là hình chiếu của A lên SI, khi đó AM   SBC  . Gọi N là hình chiếu của M lên SC, khi đó





SC   AMN    SAC  ,  SBC   ANM  
Ta có: HI 

a 3
a 39
AI.SH 3a
; SI 
 AM 

6
6
SI
13

Mặt khác IM  AI 2  AM2 
Ta lại có SMN SCI 
 tan  

a 39
5a
a 30
 SI  SM  SI  IM 
; SC 
26
3
39

MN SM
SM.CI 3a 130


 MN 

CI
SC
SC
52

AM 2 10
65
hay cos  
.

MN
5
13

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là  với cos  

65
.
13

Vậy chọn đáp án C.
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB  2a, AC  a, AA' 

a 10
, BAC  1200 . Hình chiếu
2

vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính số đo góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (ACC’A’)
A. 750

B. 300

C. 450

D. 150

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 4


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C'H   ABC  . Trong ABC ta có:
BC2  AC2  AB2  2AC.AB.cos1200  7a 2
 BC  a 7  CH 

B'

C'

a 7
2

 C'H  C'C2  CH2 

A'

a 3
2

Hạ HK  AC . Vì C'H   ABC   đường xiên C'K  AC





  ABC  ,  ACC'A'   C'KH

C

(1)

K

( C'HK vuông tại H nên C'KH  900 )
Trong HAC ta có HK 
Từ (1) và (2) suy ra

B

H
A

2SHAC S ABC a 3
C'H
 tan C'KH 
 1  C'KH  450


HK
AC
AC
2

(2)

 ABC ,  ACC'A'   450 .

Vậy chọn đáp án C.
Câu 5. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A'A  A' B  A'C  a

7
.
12

Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC)
A. 750

B. 300

C. 450
Hướng dẫn giải

D. 600

Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC)

B'

C'

Vì A'A  A' B  A'C nên HA  HB  HC , suy ra H là tâm
của tam giác đều ABC.

A'

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB.
A' J  AA'2  AJ 2 

7a 2 a 2
a


12
4
3

1
1 a 3 a 3
HJ  CJ  .

3

3 2
6
a
2
2
 A'H  A' J  HJ 
2

A'J  AB
Vì 
  A' JC   AB  A' JC chính là góc giữa hai
CJ  AB

I
B

C
H

J
A

a
A'H
mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Khi đó tan A' JC 
 2  3  A' JC  600
JH
a 3
6

Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB = BC  4. Gọi H là
trung điểm của AB, SH  (ABC). Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Cosin góc giữa 2 mặt
phẳng SAC và  ABC là:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 5


Chuyên đề: Hình học không gian
5
5

A.

B.

Chủ đề 8: Góc

5
4

10
5

C.

D.

1

7

Hướng dẫn giải









Kẻ HP  AC   SAC  ;  ABC   SPH  cos  SAC  ;  ABC   cosSPH 
Ta có ngay

HP
SP

 SBC ;  ABC  SBH  SBH  600

 tan 600 

SH
 3  SH  HB 3  2 3
HB

APH vuông cân P  HP 

AH
2



2
2

 2

 SP2  SH2  HP2  12  2  14  SP  14





 cos  SAC  ;  ABC  

HP
2
1


.
SP
14
7

Vậy chọn đáp án D
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SO  ABCD , AC = a và thể
tích khối chóp là
A.

a3 3
. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAB và  ABC là:
2

6
7

B.

3
7

C.

1
7

D.

2
7

Hướng dẫn giải





Kẻ OP  AB   SAB  ;  ABC   SPO





 cos  SAB  ;  ABC   cosSPO 

OP
SP
Cạnh AB  BC  a và AC  a  AB  BC  CA  a  ABC

đều  sin 600 

OP
3
3
3 a a 3

 OP 
OA 
. 
OA
2
2
2 2
4

1
1
1

1
a2 3 a3 3
Ta có : VS.ABCD  SO.SABCD  SO.2SABC  SO.2. .a.a.sin 600  SO.

3
3
3
2
6
2

 SO  3a  SP2  SO2  OP2  9a 2 

3a 2 147a 2

16
16

a 3
7a 3
OP
1
 SP 
 cos  SAB  ;  ABC  
 4  .
4
SP 7a 3 7
4





Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và SA  (ABCD). Để góc giữa SBC và SCD bằng
600 thì độ dài của SA
A. a

B. a 2

C. a 3

D. 2a

Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 6


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

 BD  AC
Ta có 
 BD   SAC   BD  SC
 BD  SA
SC  BI
Kẻ BI  SC ta có 

 SC   BID 
SC  BD

 SBC ,  SCD   BI,ID  600
Trường hợp 1: BID  600  BIO  300
Ta có tan BIO 

BO
a 6
a 2
(vô lý)
 OI 
 OC 
IO
2
2

Trường hợp 2: BID  1200  BIO  600
Ta có tan BIO 

BO
a 6
 OI 
IO
6

Ta có sin ICO 

OI
3

1

 tan ICO 
 SA  AC.tan ICO  a
OC
3
2

Vậy chọn đáp án A.
Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA= a , SB= 3 và SAB
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Cosin của góc giữa 2
đường thẳng SM và DN là:
A. 

2
5

B.

2

C. 

5

1
5

D.

1
5

Hướng dẫn giải
Kẻ ME song song với DN với E  AD suy ra AE 

a
2

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên  SM;ME   
Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH   ABCD 
Suy ra SH  AD  AD   SAB   AD  SA
Do đó SE2  SA2  AE2 

5a 2
a 5
a 5
và ME 
 SE 
4
2
2

Tam giác SME cân tại E, có cos   cosSME 

5
.
5

Vậy chọn đáp án D.

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AB =2a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD
và SBC là:
A.

2
2

B.

2
3

C.

2
4

D.

2
5

Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của AD và BC

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 7

Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

 BD  AD
Ta có 
 BD   SAD   BD  SI
 BD  SA
SI  BD
Kẻ DE  SI ta có 
 SI   BDE 
SI  DE





  SAD  ,  SBC    DE,BE 
Ta có sin AIS 

SA
3
DE

mà sin AIS 
SI
DI
7

 DE  DI.sin AIS 
 tan DEB 

a 3
7

BD
2
.
 7  cos DEB 
ED
4

Vậy chọn đáp án C
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD .có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB = 2a, AD =
DC = a, SA = a và SA  (ABCD). Tan của góc giữa 2 mặt phẳng SBC và  ABCD là:
A.

1

B.

3

3

C.

2

D.

1
2

Hướng dẫn giải
Ta có

 SBC ,  ABCD  ACS

Ta có AC  AD2  DC2  a 2

 tan ACS 

SA
1

.
AC
2

Vậy chọn đáp án D
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC), SA = a 3 . Cosin
của góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SBC là:
A.

2

B.

5

2

C.

5

1
5

D.

1
5

Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm AB
CM  AB
Ta có 
 CM   SAB   CM  SB
CM  SA
SB  MN
Kẻ MN  SB ta có 
 SB   CMN 
SB  CM





  SAB  ,  SBC    MN,NC   MNC
Ta có tan SBA 

SA
 3  SBA  600
AB

Ta có sin SBA 

MN
a 3
1
 MN 
 cosMNC 
. Vậy chọn đáp án D.
MB
4
5

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 8


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các mặt (ABC) và (ABD) là các tam giác đều cạnh a, các mặt (ACD) và
(BCD) vuông góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và BC
A. 300

B. 600

D. 450

C. 90
Hướng dẫn giải

Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của các cạnh CD,
AB, BD

A

AB  BN
Ta có: 
 AB   BCN   AB  MN
AB  CN
Do ACD cân tại A  AM  CD
 AM   BCD  AM  BM

 MN 

N

 AMB vuông tại M

AB a


2
2

B

D

E

3a 3 a 2 a 2


4
4
2

 DM  ND2  NM2 

M

MNE là tam giác đều  MEN  600

C

NE / /AD
Do 
  AD, BC    NE,EM   600 .
EM / /BC
Vậy chọn đáp án B

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA  a , SB  a 3 và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
A.

7 5
5

B.

2 5
5

5
5
Hướng dẫn giải

C.

3 5
5

D.

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH   ABCD 
Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN
S

Ta có: SA2  SB2  a2  3a 2  AB2  SAB vuông tại S

 SM 

AB
a
 a . Kẻ ME∥DN  E  AD   AE 
2
2

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có:
SM,ME  
A

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: SA  AE
Suy ra SE  SA2  AE2 

a 5
a 5
, ME  AM2  AE2 
2
2

a
5
SME cân tại E nên SME   và cos   2 
5
a 5
2

E

D

H
M
O
B

N

C

Vậy chọn đáp án B.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 9


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Câu 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB  a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của

cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’
A.

3
4

B.

1
4

C.

1
2

3
2

D.

Hướng dẫn giải
Gọi

H

là

trung

điểm

AH 

1
1 2

BC 
a  3a 2  a
2
2

của

BC

 A'H   ABC 

và

B'

C'
A'

Do đó:

2a

A'H  A'A  AH  3a  A'H  a 3
2

2

2

2

1
a3
Vậy VA'.ABC  A'H.S  ABC 
(đvtt)
3
3

Trong tam giác vuông A’B’H có HB'  A' B'2  A'H2  2a nên B
a

tam giác B’BH là cân tại B’. Đặt  là góc giữa hai đường thẳng
AA’ và B’C’ thì   B' BH
Vậy cos  

C

H
a 3

A

a
1
 .
2.2a 4

Vậy chọn đáp án B.
Câu 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a , BAC  1200 và AB’
vuông góc với đáy (A’B’C’). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC’ và A’B’, mặt phẳng

(AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300 . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và
C’N
A.

7
19

B. 2

5
39

3
29
Hướng dẫn giải
C. 2

D. 2

Ta có: BC2  AB2  AC2  2AB.ACcosA  3a 2  BC  a 3

K

Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra A'C'   AB'K 
B'

Do đó:



7
29

A'

N

C'



AKB'   A' B'C'  ,  AA'C'   300 Trong tam giác A’KB’ có
E

a 3
KA' B'  60 , A' B'  a nên B'K  A' B'sin 60 
2
0

Suy ra AB'  B'K.tan 300 

0

M

a
2

Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra ME∥C'N nên

A
B

C

 C'N,AM   EM,AM

Vì AB'  C'N  AE  EM   C'N,AM   AME

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 10


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc





2 C' B'2  C'A'2  A' B'2
1
a
a 7
2
2
AE  AB'  ; EM  C'N 
 EM 

2
4
4
2

AM2  AE2  EM2 

Vậy cos AME 

29a 2
a 29
 AM 
16
4

ME
7
2
.
MA
29

Vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 2 , AC =2a. Mặt bên SAC
là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA hợp với mặt đáy
một góc  thỏa mãn cos
A. 300

21
. Góc giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

6

B. 450

C. 600

D. 900

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AC khi đó SH  AC
Mặt khác  SAC    ABC   SH   ABC 
Mặt khác BC  AC2  AB2  a 2  AB nên tam giác ABC vuông cân tại
B do đó BH  AC .
Lại có SH  AC  AC   SBH do đó SB  AC .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ ' có cạnh đáy bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC’) bằng

a 3
. Góc giữa hai đường thẳng chéo
2

nhau B’G và BC gần bằng
A. 61,280

B. 64,280

C. 68,240

D. 52,280

Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AC ta có: BM  AC
Dựng CE  CC'  CE   C'MB



 



Do đó d C;  BC'M   d C;  BC'G   GE 
Khi đó

1
CE

2



1
CM

2



1
CC'2

Lại có BM  a 3  BG 
Tương tự ta có C'G 
Do vậy cos C' B'G 

a 3
2

 CC'  a 3

2a 3
a 39
 B'G  BG2  BB'2 
3
3

a 39
3

C' B'2  GB'2  GC'2
3

 C' B'G  61,290
2C' B'.GB'
39

Mặt khác B'C'/ /BC   BC; B'G    B'C'; B'G   C' B'G  61,290 .
Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 11


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Câu 7. Cho hình chóp S ABCD . có SA, SB, SC, đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = a .
Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB
A. 300

B. 600

C. 900

D.1200

Hướng dẫn giải
Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM
Và cắt đường thẳng SA tại N
Do đó  SM; BC    BN; BC   NBC
Ta có SM||BN và M là trung điểm của AB
Nên SN  SA  SC  a  NC  a 2

NV  2SM  a 2
Mà BC  SB2  SC2  a 2  NBC là tam giác đều





Vậy NBC  600  SM, BC  600 .
Vậy chọn đáp án B
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC, với I là trung
điểm của AB
A. 100

B. 300

C. 1500

D. 1700

Hướng dẫn giải
Ta có I là trung điểm của AB nên  CI;CA   ICA
Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI 
Suy ra sin ICA 

AB AC
AI 1



2
2
AC 2

IA 1
  ICA  300   CI;CA   300 .
CA 2

Vậy chọn đáp án B
Câu 9. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB, SAD, SAC là
các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA= 3 ,

AB   a,AD  3a.
A.

1
2

B.

3
2

C.

4
130

D.

8
130

Hướng dẫn giải
Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A.
Nên SA  AB,SA  AD  SA   ABCD 
Gọi O  AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM||SC

Hay SC|| MBD  nên  SC; BD    OM; BD   MOB
Có BM  AM2  AB2 

SA2
a 7
SC a 13
 AB2 
,MO 

4
2
2
2

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 12


Chuyên đề: Hình học không gian
BO 

Chủ đề 8: Góc

BD a 10
. Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB.

2
2

Ta được BM2  OM2  OB2  2OM.OB.cosMOB

 cosMOB 

OM2  OB2  BM2
8

.
2OM.OB
130

Vậy chọn đáp án D
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD = DC = a, AB = 2a,
SA 

A.

2a 3
3

1

B.

42

2

C.

42

3

4

D.

42

42

Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM  AD  DC  a
Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A.
Do đó DM song song với BC. Suy ra  SD; BC    SD; DM   SDM
Lại có SM  SA2  AM2 

a 21
3

Và DM  a 2 ,SD  SA2  AD2 

a 21
3

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được

cosSDM 

SD2  DM2  SM2
3

.
2SD.SM
42

Vậy chọn đáp án C
Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là
trung điểm của AD.
A.

3
2

B.

3
4

C.

3
6

D.

1
2

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BD. Ta có IH||AB  AB|| HIC 
Nên  AB;CI    IH;IC   HIC . Mà IH 

a
a 3
,CH  CI 
2
2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được
2

a
2
2
2
2
HI  CI  HC
3
3
cosHIC 
  

 cos AB; CI 
.
2HI.CI
6
6

a a 3
2. .
2 2





Vậy chọn đáp án C

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 13


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Câu 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’ C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a . Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt
đáy là 600 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng  A’B’C  , H trùng với trung điểm của
cạnh B’C’. Góc giữa BC và AC là  . Giá trị của tan là:
A. 3

B. -3

C.

1
3

D.

1
3

Hướng dẫn giải
Ta có A'H là hình chiếu của AA' lên mặt phẳng đáy





Do đó AA';  ABC    AA'; A'H   AA'H  600
Lại có A'H 
Và AA' 

a
a a 3
a 6
 AH  tan 600. 
 B'H nên AB' 
2
2
2
2

A'H
cos600

 a  AC'  a

Mặt khác  BC; AC'    AC'; B'C'   AC' B'  
Do đó cos  
Suy ra tan  

AC'2  B'C'2  AB'2 1

2.AC'.B'C'
4

1
cos2 

1  3.

Vậy chọn đáp án A
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AD, với AB = 3a, AD = 2a,
DC = a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng  ABCD là H thuộc AB với AH = 2HB . Biết
SH = 2a , cosin của góc giữa SB và AC là:
A.

2
2

B.

2
6

C.

1
5

D.

1
5

Hướng dẫn giải
Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC và cắt CH tại K
Ta có  SB; AC    SB; BK   SBK  
Xét hai tam giác đồng dạng ACH và BKH có

CH AH

2
HK BH

SB  SH2  HB2  a 5

CH a 5

 BK  
Nên HK 
a 21
2
2
SK  SH2  HK 2 

2


Do đó cosSBK  cos  

SB2  BK 2  SK 2 1
 .
2.SB.BK
5

Vậy chọn đáp án C
Câu 14. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA
= a; AB = a; BC = a 2 . Gọi I là trung điểm của BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là:
A.

2
3

B. 

2
3

C.

2
3

D.

2
8

Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 14


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Gọi H là trung điểm của SB  IH song song với SC.
Do đó SC|| AHI    AI;SC    AI;HI   AIH
Ta có AI  AB2  BI 2 

SC
SA2  AC2
a 6
và IH 

a
2
2
2

AB2  AS2 BS2 a 2
.



2
4
2

AH 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI, có

cos AIH 

AI 2  HI 2  AH2
6
2


.
2AI.AH
3
3

Vậy chọn đáp án A
DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC  a , AA'  a 2 và
cos BA'C 

5
. Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A A’C’C)
6

A. 300

B. 450

C. 600
Hướng dẫn giải

D. 900

Đặt AB  x thì A' B2  A'C2  x2  2a 2

B

Áp dụng định lí hàm số cosin trong A' BC , ta có:
cos BA'C 

2

2

2



2

H

A

A' B  A'C  BC
2x  4a  a
5

 xa
2A' B.A'C
6
2 x2  2a 2
2

C

2



Kẻ BH  AC , khi đó BH   AA'C'C 
Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C) là góc BA'H .

C'

B'

Trong tam giác vuông A’BH có

A'

a 3
BH
1

sin BA'H 
 2   BA'H  300
A' B a 3 2
Vậy chọn đáp án A.

Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết
AB  3cm, BC'  3 2cm . Tính góc hợp bởi đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’)

A. 900

B. 600

C. 450
Hướng dẫn giải

Tính góc hợp bởi đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’)

D. 300
B

A

Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra HC’ là hình chiếu của BC’

H

C

lên mặt phẳng (ACC’A’)





Do đó BC',  ACC'A'    BC';HC' 
3 2
Ta có tam giác BHC’ vuông tại H, cạnh BH 
cm
2

A'

B'

C'

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 15


Chuyên đề: Hình học không gian
Ta có sin HC' B 

Chủ đề 8: Góc





BH 1
  HC' B  300 . Vậy BC', ACC'A'   30 0
BC' 2

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng 600 .
Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A  600 . Chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy
ABCD. Cho BB'  a .Tính góc giữa cạnh bên và đáy
A. 300

B. 450

C. 600
Hướng dẫn giải

D. 900

Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.

D'

C'

Gọi O  AC  BD . Theo giả thiết ta có B'O   ABCD 
A'


 B' B   ABCD   B



 B'O   ABCD  , O   ABCD 

B'

 Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB





 B' B,  ABCD    B' B,BO   B' BO Tam

giác

ABD

D

có

C
O

a
AB  AD  a , BAD  60  ABD là tam giác đều  OB 
2

A

0

H
K

B

a
OB 2 1
Trong tam giác vuông B’OB: cos B'OB 
   B'OB  600 .
BB' a 2

Vậy chọn đáp án C.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng

8a 2 6
. Côsin của góc tạo bởi
3

đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng:
A.

19
5

B.

6

5

C.

6
25

D.

19
25

Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SBC)









S

SH
 SD;  SBC   HSD  cos SD;  SBC   cosHSD 
SD
1
1

8a 2 6
4a 6
SABC  SA.AB  SA.4a 
 SA 
2
2
3
3

1
VD.SBC  DH.SSBC và
3
VD.SBC  VS.BCD

A

1
1 4a 6 1
32a 3 6
 .SA.S BCD  .
. .4a.4a 
3
3 3 2
9
3

3

1
32a 6

32a 6
 DH.SSBC 
 DH 
3
9
3SSBC

D
4a

H
B

C

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 16


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

 BC  AB
1
1
Từ 
 BC   SAB   BC  SB  SSBC  BC.SB  .4a.SB  2a.SB
2

2
 BC  SA
2

 4a 6 
80a 2
80
80
2
SB  SA  AB  
 SB  a
 S SBC  2a 2
  16a 
 3 
3
3
3


2

2

2

Thế vào (1)  DH 

32a 3 6



80
3

3.2a 2

4a 10
5

2

 4a 6 
80a 2
80
2
SD  SA  AD  
 SD  a
  16a 
 3 
3
3


2

2

2

2

80a 2  4a 10 
304a 2
 SH  SD  HD 

 
 5 
3
15


2

2

2

304
304
SH
15  19 .
 SA  a
 cos SD;  SBC  

15
SD
5
80
a
3





a

Chọn A
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, CD  2a, AD = AB =
a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB. Khoảng cách từ điểm H
a 2
. Tan của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (SCD) bằng:
3

đến mặt phẳng (SCD) bằng
A.

2
4

B.

2

C.

2
2

D. 2 2

Hướng dẫn giải
Gọi P là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SCD)









 BC;  SCD   BCP  tan BC;  SCD   tan BCP 



 

BP
PC



AB / /CD  AB / /  SCD   d H;  SCD   d B;  SCD   BP  BP 

a 2
3

Ta có BC2  AD2   CD  AB  a 2   2a  a   2a 2
2

2

2

a 2 
16a 2
 PC  BC  BP  2a  
 
 3 
9


2

2

2

2

a 2
4a
BP
2
 PC 
 tan BC;  SCD  
 3 
.
4a

3
PC
4
3





Vậy chọn đáp án B

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 17


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB  2a ; AD = 2a 3 và SA 
ABCD . Gọi M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 450. Cosin góc tạo bởi đường thẳng
SM và mặt phẳng  ABCD là:
A.

3
13

B.

13
29

C.

377
29

D.

277
29

Hướng dẫn giải









Từ SA   ABCD   SM;  ABCD   SMA  cos SM;  ABCD   cosSMA 



AM
SM



Từ SA   ABCD   SC;  ABCD   SCA  SCA  450  SAC vuông cân tại A

 SA  AC  AB2  BC2  4a 2  12a 2  4a

 SM2  SA2  AM2  16a2  13a2  29a2  SM  a 29





 cos SM;  ABCD  

AM a 13
377


. Vậy chọn đáp án C
SM a 29
29

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a; SA  (ABC. Biết
mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600 .Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC
là:
A.

10
15

B.

10
10

C.

10
20

D.

10
5

Hướng dẫn giải









Từ SA   ABC   SC;  ABC   SCA  cos SC;  ABC   cosSCA 

AC
SC

ABC vuông cân B  AC  AB 2  a 2

+Ta có ngay
SA

 SB;  ABC  SBA  SBA  600  tan 600  AB

3  SA  a 3

 SC2  SA2  AC2  3a2  2a2  5a2  SC  a 5





 cos SC;  ABC  

AC a 2 a 10


.
SC a 5
5

Vậy chọn đáp án D
Câu 8. Cho hình hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a 3 , BC =
a. Biết A’C = 3a. Cosin góc tạo bởi đường thẳng A’ B và mặt đáy  ABC là:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 18

Chuyên đề: Hình học không gian
10
4

A.

B.

Chủ đề 8: Góc

10
6

C.

6
4

D.

15
5

Hướng dẫn giải
Lăng trụ đứng A' B'C.ABC  A'A   ABC 









 A' B;  ABC   A' BA  cos A' B;  ABC   cos A' BA 

AB
A' B

ABC vuông tại B  AC2  AB2  BC2  3a 2  a 2  4a 2  AC  2a

 A'A2  A'C2  AC2  9a2  4a2  5a2

 A' B2  A'A2  AB2  5a2  3a2  8a2  A' B  2a 2





 cos A' B;  ABC   cos A' BA 

AB
a 3
6


. Vậy chọn đáp án C
A' B 2a 2

4

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC= a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Cosin của góc giữa SC và
mặt phẳng SHD là

3
5

A.

B.

5
3

C.

2
5

D.

5
2

Hướng dẫn giải
Ta có SB2  BC2  SC2  2a2  SB  BC mà BC  AB
 BC   SAB  BC  SH mà SH  AB  SH   ABCD





Kẻ CE  HD  CE   SHD   SC,  SHD    SC,SE   CSE
Ta có

1
1
2a 5
CE.HD  S ABCD  CE 
2
2
5

 SE  SC2  CE2 

a 30
SE
3
 cosCSE 

.
5
SC
5

Vậy chọn đáp án A
Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC = 4a, góc BAC  1200 . Gọi
M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AB, SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng

vuông góc với đáy. Biết SA = a 2 . Góc giữa SN và mặt phẳng  ABC là:
A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Hướng dẫn giải





Ta có SN;  ABC    SN; NH   SNH
Ta có MAC  600  AM  2a,MC  2a 3
1
 AH  AM  a  SH  SA2  AH2  a
2

Ta có NH 

1
BM  a 3
2

 tan SNH 





SH
1

 SNH  300  SN,  ABC   300
NH
3

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 19


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Vậy chọn đáp án A
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S
lên  ABCD là trọng tâm G của ABD. Biết SG = 2a , cosin của góc giữa SD và  ABCD là:

5
21

A.

B. 

5
21

C.

5
41

5
41

D. 

Hướng dẫn giải





Ta có SD;  ABCD    SD,GD   SDG
Ta có DG 

2
2
a 5
DM 
AM2  AD2 
3
3
3

 tan SDG 

 cosSDG 

SG 6 5

GD
5





5
5
 cos SD,  ABCD  
41
41

Vậy chọn đáp án C
Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD  a 3 . Điểm H
1
nằm trên cạnh AB thỏa mãn AH  HB . Hai mặt phẳng SHC và SHD cùng vuông góc với mặt
3

phẳng đáy. Biết SA = a 5 . Cosin của góc giữa SD và SBC là:
A.

5

12

B.

5
13

C.

4
13

D.

1
3

Hướng dẫn giải

Kẻ HK  SB  HK   SBC  . Gọi E  DH  BC , kẻ DF / /HK  F  EK 





 DF   SBC   SD,  SBC    SD,SF   DSF
Ta có SH  SA2  AH2  2a . Xét SHB có
Ta có

1

HK

2



1
SH

2



1
HB

2



13
36a

2

 HK 

6a
13

EH HB 3
HK EH 3
8a

 

  DF 
. Ta có SD  SH2  DH2  2a 2
ED CD 4
DF ED 4
13

 SF  SD2  DF2 

2a 10
13

 cos DSF 

SF
5

SD
13

Vậy chọn đáp án B.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 20

Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Câu 13. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với đáy một góc 600 ,gọi M là trung điểm của BC.
Cosin góc tạo với SM và mặt đáy là:
A. cos  

6
3

B. cos  

1

C. cos  

10

3
3

D. cos  

3
10

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB
Mặt khác  SAB   ABC  suy ra SH   ABC 
Khi đó CH 

a 3
3a
 SH  CHtan 600 
2
2

Do M là trung điểm của BC nên HM 

cosSMH 

HM
HM2  SH2



1
10

BC a

2
2

.

Vậy chọn đáp án B

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 21


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Để sử dụng file word, quý thầy cô vui lòng đóng góp chút kinh phí để tạo động lực cho
tác giả ra đời những chuyên đề khác hay hơn
STT
1

TÊN TÀI LIỆU

GIÁ

KĨ THUẬT GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC_123

MÃ SỐ

60K

SO PHUC_123

50K

HHKG_KDD

110
K

HHKG_TTKC

70K

HHKG_TTLT

110
K

HHKG_NTC

130
K

HHKG_KC

50K

HHKG_GOC

Tặng 6 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 1-6}
2

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017

(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

3

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

4

CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}

5

CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}

6

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

7

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017

(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

8

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC 80k
KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}

HHKG_CT

Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}
Hướng dẫn thanh toán
Quý thầy cô thanh toán cho mình qua ngân hàng. Sau khi chuyển khoản, mình sẽ lập tức gửi tài
liệu cho quý thầy cô.
Nếu trong ngày mà thầy cô chưa nhận được thì vui lòng gọi điện trực tiếp cho mình.
Thầy cư. SĐT: 01234332133

NGÂN HÀNG

TÊN TÀI KHOẢN

TRẦN ĐÌNH CƯ

TRẦN ĐÌNH CƯ

TRẦN ĐÌNH CƯ

SỐ TÀI KHOẢN

4010205025243

0161000381524

55110000232924

CHI NHÁNH

THỪA THIÊN HUẾ

THỪA THIÊN HUẾ

THỪA THIÊN HUẾ

Nội dung: Họ và tên_email_ma tai liệu
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 22


Chuyên đề: Hình học không gian

Chủ đề 8: Góc

Ví dụ: Nguyễn Thị _HHKG_TTKC
Lưu ý:
Thầy cô đọc kỹ file PDF trước khi mua, tài liệu mua chỉ dùng với mục đích cá nhân, không được
bán lại hoặc chia sẻ cho người khác.
CHÚC QUÝ THẦY CÔ DẠY TỐT VÀ THÀNH CÔNG TRONG SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 23