Nguyên hàm, tích phân chống casio phân thức và đổi biến

Truy cập website để tham gia Khóa HọcTốn và các bài thi Test năng lực.

Dạng 1: ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ - MẪU CÓ DẠNG TÍCH
Phương pháp hệ số bất định: Khi mẫu có thể phân tích thành nhân tử.
Câu 1: Cho

1
A
B
C



( x  2)( x  5)( x  4) ( x  2) ( x  5) ( x  4)

Khi đó tổng S  A  B  C bằng:
A. 

1
18

B. 0

1
14
Giải:

C.

D. 

1
63

A
B
C
1



( x  2)( x  5)( x  4) ( x  2) ( x  5) ( x  4)
 A( x  5)( x  4)  B( x  2)( x  4)  C ( x  2)( x  5)  1
) x  2  14 A  1  A  

1
14

1
63
1
) x  4  18C  1  C 
18
 A B C  0
) x  5  63B  1  B 

ĐÁP ÁN B.
Bình luận: Bài tốn này chúng ta sẽ tách phân số ở mẫu số có tích thành các phân số đơn giản hơn. Để
làm đươc điều này ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số .
Câu 2: Cho
A. 

1
A
B
C
. Khi đó S  2A  B  C bằng:
 

x( x  3)( x  3) x x  3 x  3

1
18

B. 0

1
18
Giải:

C.

D. 

1
A
B
C
 

x( x  3)( x  3) x x  3 x  3

 1  A( x  3)( x  3)  Bx( x  3)  Cx( x  3)

) x  0  9 A  1  A  
) x  3  18 B  1  B 

1
18

) x  3  18C  1  C 
 2A  B  C 

2
9

1
9

1
18

Thầy Mẫn Ngọc Quang

0989 850 625
Page 1

2
9


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

ĐÁP ÁN D
2
A
B
C
 

.
2
x  3x  2 x x x  1 x  2

Câu 3: Cho các hằng số A, B, C  R thỏa mãn:

3

Khi đó P  ABC
. . bằng:
A. 2

B.

1
2

D. 2

C. 1
Giải:

A( x  1)( x  2)  Bx( x  2)  Cx( x  1)  2
) x  0  A  1
) x  1  B  2
) x  2  C  1

 ABC  2
ĐÁP ÁN D
Câu 4. Cho
A. 

2x  3
1
1
. Khi đó tổng S  A  B  C bằng:
A
 B.
2
2x  1
xC
2x  x  1

1
3

B.

1
3

2

3
Giải:

D. 

C.

2
3

2x  3
 4
2x  3
1
5 1 
=
=  .
 .

2
2 x  x  1 (2 x  1)( x  1)  3 2 x  1 3 x  1 

A

4
5
2
, B  , C  1  S  A  B  C 
3
3

3

ĐÁP ÁN D

Daïng 2: NHAÛY LAÀU
Câu 6: Nguyên hàm của hàm I  

1  x5

dx có dạng  a ln x5  b ln 1  x5   C


x 1 x



5



Khi đó S  10a  b bằng
A. 1

B. 2

C. 0

D.3

Giải:

1  x  x dx  1 1  x  d  x   1  1  2 d x

  
5  x 1  x 
5  x 1 x 
x 1  x 
5

I

4

5

5

5

5

5

5

5

5

5

1
 ln x5  2ln 1  x5   C

5

1
, b  2  10a  b  0
5
Thầy Mẫn Ngọc Quang
Suy ra : a 

0989 850 625
Page 2


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

ĐÁP ÁN C
5  3x
a
x b
dx 
 ln
C
2
 x  5x  6 x  2 x  1 x  1 x  2

Câu 7: Cho I  

2

Khi đó P  2a  b bằng:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải:
Ta có:

 x  5x  6    x  2x  1 dx 

 x  5x  6  x  2x  1
2

I

2

2

0
dx
dx
dx
dx

 2


2
1
x  2x  1
x  5x  6
 x  2  x  3
 x  1
2

2

2
 1
1 
1
x3
I    x  1 dx   

 ln
C
 dx 
x 1
x2
x3 x2

Suy ra: a  1, b  3  P  2a  b  1
ĐÁP ÁN B
Câu 8. Cho I  

1
a
dx  2  b ln x  c ln 1  x 2 
2
x
x 1  x 
3

Khi đó S  a  b  c bằng:
A. -2

B. -1

C. 0

D.

1
2

Giải:

1  x   x
I
x 1  x 
2

3

2

2

1
1
dx    3 
x
x 1  x2














2
 1 1
1 d 1 x
1
1
   3   dx  
  2  ln x  ln 1  x 2

2
x
2 1 x
2
2x
x

a




1
1  x2  x2 
 dx   
   1  1  x
3
2

x
   x3 x 1  x2
x 1 x









 dx




1
1
, b  1, c   S  1
2
2

ĐÁP ÁN B
Câu 9. Cho I  

x2  1
1
dx  a ln x  1   b ln x  c . Khi đó P  2  a  b  c bằng:
2
x
x  x  1

A. 2

B. -2

C. 1

D. 0

Giải:

Thầy Mẫn Ngọc Quang

0989 850 625
Page 3


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

 1

x2   x  1  x
x2  1
1
1
dx

dx   
 2
dx

2
2
 x1 x
x  x  1 
x  x  1
x  x  1


I

 1
 2
1 1
1 
1 1
1
 
 2  
 2  dx  2ln x  1   ln x
   
x
x
x 1 x
 x  1 x  x x  1 
 a  2, b  1, c  0  P  0

ĐÁP ÁN D.
1

2

Câu 10: Tính tích phân I  1
A.

2
3

B. 

x  x  1

dt  ln a  b . Khi đó S  a  2b bằng:

2

2
3

D. 1

C. 1
Giải:

I

1

2

x  x  1

1

2

2

dx  

1

1
x

Suy ra I    
1
a

2

x 1 x
x  x  1

2

dx  

2

1

2
1
1
dx  
dx
2
1

x  x  1
 x  1

2
2
1 2
1 
x 2
4 1
  x  1
 ln 
 dx  1  x  1 dx  x  1  ln
1
x 1
x1 1
3 6

4
1
,b    S  1
3
6

ĐÁP ÁN C
Câu 11: Nguyên hàm của f  x  
F  x 



1

có dạng
x  x5
3



a
1
 ln x2  bx  1  ln x2  c  C Khi đó P   a  b  2c  b4 bằng
2
2
x
.

A. 1

B.

1
2

C.

1
2

D. 0

Giải:

2
2
1  x2   x2 1

1
1
1 1  x   x
1 1
x
 3
 3
 3 
Ta có: f  x   3 5  3
2
2
2
x x
x x 1  x 
x
x x 1  x2
x 1  x 
x 1  x 

Vậy

dx

 f ( x)dx   x  
3

1
dx
xdx
1

 2  ln x  ln( x 2  1)  C
2
2
x
1 x
2x

1
 a   , b  0, c  1  P  0
2

ĐÁP ÁN D
1

Câu 12: Cho I 

xdx

 x  1  a  b ln c . Biết b + c = 1
0

Thầy Mẫn Ngọc Quang

0989 850 625
Page 4

Truy cập website để tham gia Khóa HọcTốn và các bài thi Test năng lực.

Với b, c  3 . Khi đó S 
A. 0

a2
c
 b 2016  bằng:
4
2

1
4
Giải:

B. -1

C.

D.

1
2

D.

1
2

1

( x  1)  1
1 
dx    1 
 dx   x  ln( x  1) 0  1  ln 2
x1
x 1
0
0
1

1

I

 a  1; b  1; c  2  S 

a2
c 1
 b2016  
4
2 4

ĐÁP ÁN C
1
2

b

x 4 dx
1
 a  ln b . Khi đó S  24a   12 bằng:
2
3
2
0 x 1

Câu 13: Cho I  
A. 0

B. -1

C. 1
Giải:

1
2

1

1

2 4
2
x4
x 11
1 

I  2

dx   2
dx    x 2  1  2  dx
x 1
x 1
x 1 
0
0
0
1

 x3
 2 13 1
13
b
   x  ln x 2  1  
 ln 3  a  , b  3  S  24a   12  0
24
3
3
 0 24 2

ĐÁP ÁN A

Dạng 3: MẪU SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC BÌNH PHƯƠNG
Câu 14: Cho y 

3x 2  3x  5
A
B
C




. Khi đó S  A  B  C bằng:
3
2
x1 x 2
x  3x  2  x  1

A. 1

B.

2
3

5
8
Giải:

C.

Thầy Mẫn Ngọc Quang

D. 

0989 850 625
Page 5

5

8


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

3x2  3x  5
A
B
C



3
2
x 1 x  2
x  3 x  2  x  1
 A( x  2)  B( x  1)( x  2)  C( x  1)2  3 x 2  3 x  5
11
3
11
)x  2  C 
9
)x  1  A 

Tính tổng các hệ số không có x , rồi đồng nhất 2 vế ta có
) A  B  2C  5  B 


A

 x  1

2



16
9

B
C
11
16
11




2
x  1 x  2 3  x  1
9( x  1) 9( x  2)

2
3

 A  BC 

ĐÁP ÁN B
Câu 14. Nguyên hàm của y 

3x 2  3x  5
a
có dạng f x 
 b ln x  1  c ln x  d  C
3
x  3x  2
x 1

 

Biết a, c  0 . Chọn nhận định đúng
A.

a
b  0
3

B. a  b  c  d  3

C. ab  cd

D. b  c  3

Giải:


 11
3x 2  3x  5
16
11 

11
16
11

dx  
dx



 ln x  1  ln x  2  C
2
3

 3  x  1 9( x  1) 9( x  2) 
x  3x  2
3( x  1) 9
9



11
16
11
,b  , c  , d  2
3
9
9
ĐÁP ÁN D
a  

Câu 15. Cho

3x  1
A
B
C



2
2
x

2
2
x

5
4 x  28 x  65x  50
 2x  5
3

Khi đó S  2A  B  C bằng
A. 10

B. 13

C. -13

D. -10

Giải:
Ta phân tích:
3x  1

 x  2  2x  5

2



A
B
C


x  2 2 x  5  2 x  5 2

 3x  1  A  2x  5   B  x  2  2x  5   C  x  2 
2

Thầy Mẫn Ngọc Quang

0989 850 625
Page 6


Truy cập website để tham gia Khóa HọcTốn và các bài thi Test năng lực.

 A  5

5

Cho x = 2;  ; 0 ta được:  B  10  S  13
2
C  13


ĐÁP ÁN C
Câu 16: Cho A, B, C thỏa mãn

1

 x  1 x  2 

2



A

 x  2

2



B
C

x1 x 2

Tính S = A + B +2C
A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

Gợi ý:
Đồng nhất ta được A  B  1,C  1

Dạng 4: BẬC TỬ SỐ LỚN HƠN MẪU
Chúng ta thường thực hiện phép chia cho đa thức rồi tiếp tục tiến hành với phần dư.
2

x2  x  1
 a  ln b .
x 1
1

Câu 17: Cho 

Chọn mệnh đề đúng

2
B. 2a  b  b 2  0
3

A. a  2b

C. a  b

D. a  b

Giải:
2

2
2
2
 x2

1
3
3
x2  x  1
1 
1

dx

x

dx

xdx

dx


1 x  1
1  x  1  1
1 x  1  2  ln x  1   2  ln 3  2  ln 2  2  ln 2
1
2

3
3
,b   a  b
2
2
ĐÁP ÁN C
a 

4x 2  4x  3
Câu 18. Tìm hàm số f (x )  x  ax  ln bx  1  c biết f ' x 
và f 0  1 . Khi đó
2x  1









2

3

S  2a  b c bằng
A. 0

Ta có f ( x)  

B. 1

2
3
Giải:

C.

D. 4


2 
4 x2  4 x  3
2
dx =   2 x  1 
dx  x  x  ln 2 x  1  c
2x  1
2x  1 


Thầy Mẫn Ngọc Quang

0989 850 625

Page 7


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Mà f(0) = 1  c  1  f ( x)  x2  x  ln 2x  1  1
 a  1, b  2, c  1  S   2a  b  c  0
3

ĐÁP ÁN A
x 3  3x 2  x  3

1

Câu 19. Cho I  0



x2  2x  3

A. 2



2

dx  a  ln b  1 . Khi đó  2a  b  bằng:

B. 3

C.

1
3

D.

2
3

Giải:.
Ta có x3  3x2  x  3   x  1  x2  2x  3  . Đặt t  x2  2 x  3  dt   x  1 dx.
1
2

Đổi cận x  0  t  3, x  1  t  6
6

1 6 1 6 
1
6
1 6t6
1
Khi đó I   2 dt = 3   2  dt   ln t     ln 2  1
3
2 t t 
2
t 3 2
2
t

a

1
, b  2   2a  b   3
2

ĐÁP ÁN B
1

Câu 20: I  
0

A.

 x  1 dx = a + lnb . Khi đó S
2

x 1
2

1
3

B.



a
bằng

b

1
3
Giải:

2
3

C. 

D.

1
2


x2  1  2 x
2x 
2x
dx    1  2
dx   dx   2 dx
2
x 1
x 1
0
0
0
0 x 1
1

1

I4  
1

1

  dx  
0

0





d x2  1
x 1
2

 a  1, b  2 

1

1

 x  ln  x  1 01  1  ln 2
2

a 1

b 2

ĐÁP ÁN D
x3  3
c
dx  a   b  5  ln b  c ln . Khi đó P  a.b.c bằng
2
2
0 x  2x  3
1

Câu 21: Cho I  
A. 32

B. 30

B. 26

D. 26

Giải:
1
1
1
6  x  1  x  3 


x3  3

7x  3 
6
1 
dx

x

2

dt

x

2

dt






x 2
 dx



2
2



x  3 x  1
x  2x  3 
 x  1 x  3  0 
0 x  2x  3
0
0
1

I

Thầy Mẫn Ngọc Quang

0989 850 625
Page 8


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

1

 x2

5
   2 x  6ln x  3  ln x  1    7 ln 2  6ln 3
 2
0 2
5
, b  2, c  6  P  30
2

a

ĐÁP ÁN B
2

Câu 22: Cho I  
1
2

2
A
B 
dx
  
 . Khi đó S  2A  B .I bằng:
x  x  1 1  x x  1 



2

2
B. ln 2
3

A. 2

Ta có:
Nên



2
3
Giải:

D. ln 2

C.

 A  B x  A   A  B  0   A  1
1
A
B
 



x  x  1 x x  1
x  x  1
A 1
 B  1

1
1
1
 
x  x  1 x x  1
2

Suy ra I  
1
2

2

2

2

2

dx
dx
dx
2
  
 ln x 1  ln  x  1 |21  ln 2
x  x  1 1 x 1 x  1
2
2

Vậy S   2 A  B .I  I  ln 2
ĐÁP ÁN D
Câu 23: Cho I  

 A
dx
B 





2 x2  x  1   x  1  2 x  1 

Khi đó P   2 A  B  bằng:
A. 1

B.

3
2

C. 3

D. 0

Giải:
I

 2x  1  2  x  1 dx
dx
dx


2 x2  x  1   x  1 2 x  1   x  1 2 x  1

1 1
2 

1
2
 

 dx  ln x  1  ln x  1  C
3  x  1 2x  1 
3
3
1
3

Khi đó A  , B 

2
 2A  B  0  P  0
3

ĐÁP ÁN D

Thầy Mẫn Ngọc Quang

0989 850 625
Page 9


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Câu 24: I  

a

4x  3
dx  ln x  a  b ln cx  1  C . Khi đó S   c bằng:
b
2 x  3x  2



2



B. 2

A. 2

C. 4

D. 3

Giải:
I

 2x  1  2  x  2 dx  ( 1  2 )dx
4x  3
dx

  2x  1 x  2 
 x  2 2x  1
2 x 2  3x  2

a
 1
2 
 

dx  ln x  2  2ln 2 x  1  C  a  2, b  2, c  2  S   c  3
b
x

2
2
x

1







ĐÁP ÁN D
Câu 25: Cho I  

4 x3  2 x2  2 x  2
dx  ax3  x  b ln 2x  1  C
2x  1

Và các mệnh đều sau:

 1

a
 2  S  a  b  163

 3  a, b là các số nguyên dương.
 4  P  ab  1
Số mệnh đề đúng là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải:
I

 2 x3

3

4 x3  2 x2  2 x  2
3 

 x  ln 2 x  1   C
dx    2 x2  1 
dx



2
2x  1
2x  1 

 3


a

2
3
,b 
3
2

1 . Đúng

. Đúng
 2  . S  a  b  13
6

 3  . a, b không phải là số nguyên. Sai
 4  P  ab  1. Đúng
ĐÁP ÁN D.
Câu 26: Cho I  


x3 

x 3  3x 2  x  6
dx   ax2  x  b ln
C
2
x 1 
x  4x  3


Và các mệnh đều sau:
Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
10

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

 1

a  1,b 

3
2

2 S  a  b  2
 3 a  b
 4  P  ab  23
Số mệnh đề sai là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải:
I



x 3  3x 2  x  6
3
dx    x  1  2
 dx
2
x  4x  3
x  4x  3 


 x2

3
3 
3 x3 
  x  1

dx


  x  ln
C

2( x  3) 2( x  1) 
2
x 1 

 2

1
3
 a  ,b 
2
2

1 . a  1, 23 . Sai
2  . S  a  b  2 . Đúng
 3  . a,b không phải là số nguyên. Sai
 4  P  ab  43 . Sai
ĐÁP ÁN D
Câu 27: Cho I  

 2
1 
8 x3  4 x2  2


ln
2


1

ax
x
b
x

dx

C

4x2  4x  1
 2x  1 


Và các mệnh đều sau:

1 Modun của số phức z  2a  2bi bằng
2  S  a  b  2
3 a  b

5

 4  P  ab  23
Số mệnh đề đúng là:
A. 0
Thầy Mẫn Ngọc Quang

B. 1

C. 2
Page
11

D. 3
0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Giải:


8x3  4x2  2
2x  3 
1
2

I
dx    2 x  1  2

 dx    2 x  1 
2
2 x  1  2 x  12
4x  4x  1
4x  4x  1 




1 
  x2  x  ln 2 x  1 
C

 2x  1 

 a  1, b  1

1 . Sai

z

 2 a    2b 
2

2

 44  8 .

2  . S  a  b  2 . Đúng
 3  . a,b không phải là số nguyên. Sai
 4  P  ab  43 . Sai
ĐÁP ÁN B
1

 x  1 dx
2

Câu 28: Cho I  

x2  1

0

 a  ln b . Cho các mệnh đề sau:

1 . a  b
 3  I  ln ab 

2  S  a  2b  6
 4  log 2 không tồn tại
3

2

1
a

Số mệnh đề đúng là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải:


x  1  2x
2x 
2x
dx    1  2
dx   dx   2 dx
2
x 1
x 1
0
0
0
0 x 1
1

I4  
1

1

2

1

  dx  
0





d x2  1
x 1
2

0

1

1

 x  ln  x  1 01  1  ln 2
2

 a  1,b  2

1 . a  b . Sai
2  S  a  2b  9 . Sai
 3  I  ln ab   ln1  ln 2  0  ln 2 . Đúng.
 4  Đúng vì cơ số 1 không tồn tại.
3

2

Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
12

0989 850 625


 dx




Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

ĐÁP ÁN C

LUYEÄN TAÄP
1

x3
dx = ln a  b ln c . Chọn đáp án đúng
4
2
0 x  3x  2

Câu 1: Cho I1  
A. a  b  c 

5
2

1
b

B. a  

C.  b  2c  c  2a  a  2b   1
2

Câu 2: Cho

3c
2

D. a  c  b

1

5

 x 1  x  dx  a  b ln 8 . Chọn đáp án đúng
3

2

1

A. a  b 

7
2

C.  5a  3b  

B. 4a  3b
8

27

D. ab 

3
18

1

x3
dx  ln 3  b ln 2  c . Chọn đáp án đúng
4
2
0 x  3x  2

Câu 3. Cho I  
A. b  c 

3
4

B. 2b  c

C. bc  0

D. b, c là các số nguyên
2
2x  3
 A
B 

dx

0 x2  4 x  3 0  x  1  x  3  . Khi đó I. A  B bằng:

2

Câu 4: Cho I 
A. 2  ln

125
3

B. 2 ln

125
3

C. ln

125
9

1
2

D. ln

125
9

0

dx
1
 a  ln b
5
1 2 x  x  3

Câu 5: Cho I  

2

Và các mệnh đều sau:

1 Modun của số phức
 3 a  b

2 S  a  b  7
 4  P  ab  6

z  2a  5bi bằng 30

Số mệnh đề đúng là:
A. 0
Câu 6: Cho I  

B. 1

C. 2

D. 3

4x  5
dx  ln x  a  b ln x  c  C
x x2
2





1 Modun của số phức z  a  b   ci bằng 2
2  S  a  b  c  2
Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
13

2

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

3 c  b  a
 4  a,b,c là các số thực dương.
Số mệnh đề sai là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3x  2
A
B
dx  

dx
2
1 4x  4x  1
1  2 x  1
 2x  1

2

2

Câu 7: Cho I  

2

Khi đó P  A.B bằng:
3
2

A. ln 3

Câu 8. Cho I  

B. ln 2

C. ln 2

D.

21
4

 A
B
C 
 


 dx
 x  1 4x  8x  3  x  1 2x  1 2x  3 



dx



2

Khi đó P   A  B  C  .I bằng





A. 2ln x  1  ln 4x2  8x  3  C
1
2










1
2

B.   ln x  1  ln 4 x2  8 x  3   C




D. ln 4 x2  8 x  3  C

C.  ln 4 x2  8 x  3   C


Câu 9: Tìm nguyên hàm của 

 A
x3
B 

dx   
dx
x  3x  2
 x1 x 2
2

Khi đó S  A  B bằng
A. 0

B. 1

C. 2

D.

 A
6ln a  ln b
B 
2x  1
Câu 10: Tính I  

dx   
 dx 
2

2  3x 2  3x 
12
0 4  9x
0
1

1

Khi đó P   A  B a  2b 
A.

2
3

Câu 11: Cho f  x  

B. 3

C.

5
2

D. 6

3x 2  3x  3
x3  3x  2

a) Xác định các hằng số A, B, C để f  x  

A

 x  1

2



B
C

x 1 x  2

A. A  3, B  1,C  2

B. A  1, B  2, C  3

C. A  2, B  1,C  3

D. A  3, B  2,C  1

b) Tìm nguyên hàm của f(x).
Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
14

0989 850 625

1

2


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

3
3
B.
 2ln x  1  ln x  2  C
 2ln x  1  ln x  2  C
x 1
x 1
3
3
C.
D.
 2ln x  1  ln x  2  C
 2ln x  1  ln x  2
x 1
x 1
8  2x
Câu 12: Nguyên hàm của 2
 a ln x  1  b ln x  5  C
x  4x  5

A.

Tính S = a+b
A. 1

B. 2

C. 4

D. -2

C. 2

D. 3

C. 2

D. 3

1

9
ax.dx
 ln
8
0 x  3x  2

Câu 13: Để 

2

Khi đó a bằng:
A. 4

B. 1

x2  x  a
3
3
1 x  1 dx  2  ln 2
2

Câu 14. Tìm a để
A. 0

B. 1
2

Câu 15. Tính I 

x

2x  3
 A
B 
dx   


x

1
x
3
 4x  3
0
2

2

0

Khi đó P  A.B.I bằng:
3
4

A. ln

125
9

3
2

B. ln

125
9

Câu 16.Tìm hàm số f  x  biết f '  x  

3
8

C. ln

125

9

D. ln

4x2  4x  3
và f  0   1.
2x  1

A. x 2  x  ln 2x  1

B. x 2  x  ln 2x  1  1  C

C. x 2  x  ln 2x  1  1

D. x 2  x  ln 2x  1  1

Câu 17. Tính tích phân



125
9

Bx  C 
4x  2
 A
0 x3  2 x2  x  2 dx  0  x  2  x2  1  dx  a  ln b
1

1



Khi đó S  A  B  C .ab bằng:
B. ln

A. 0

4
9

D. 2 ln

C. 1

Câu 18. Tìm A, B, C:



dx

 x  1 x  2 

2



 B
A
C 

 

dx
x2
 x1 x 2

A. A  B  1, C  1

B. A  B  C  1

C. A  B  2, C  1

D. A  B  C  1

Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
15

0989 850 625

4
9


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Giải:
Câu 1:
Đáp án D.

Câu 2:
ĐÁP ÁN D
Câu 3.
ĐÁP ÁN C
Câu 4:
ĐÁP ÁN C
Câu 5:
ĐÁP SỐ B
Câu 6:
ĐÁP ÁN D
Câu 7:
ĐÁP ÁN D
Câu 8.
ĐÁP ÁN B.
Câu 9:
ĐÁP ÁN B
Câu 10
ĐÁP ÁN D
Câu 11:
ĐÁP ÁN D
ĐÁP ÁN C
Câu 12:
ĐÁP ÁN C
Câu 13:
ĐÁP ÁN B
Câu 14.
ĐÁP ÁN B
Câu 15
ĐÁP ÁN C
Câu 16.

ĐÁP ÁN C
Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
16

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Câu 17.
ĐÁP ÁN A
Câu 18.
ĐÁP ÁN A

ÑOÅI BIEÁN

x

Câu 6 : Cho I   x x2  3dx 
A. 2018

3

2



b

a

 C . Tính S  log2b a  loga b  2016 ?

B. 2020

C. 2025

D. 2030

Giải:
Đặt t  x 2  3  t 2  x 2  3  2tdt  2xdx  xdx  tdt .
Suy ra I   t.tdt   t 2 dt 

t3
( x 2  3)3
C 
C
3
3

Vậy S  log32 3  log3 3  2016  2018
x2  3 ta sẽ tìm cách đặt t  x2  3 .Tiếp đó ta biến đổi các phần còn lại

Bình luận: khi có căn

theo t , kể cả dx cũng biểu diễn theo dt . xdx  tdt
Câu 7. Cho I  
A.

dx
2x  1  4

1
2

 2x  1  ln



B. 0

2x  1  4



n

 C . Tính S  Sin(

n.
)
8

D. 1

C. 1
Giải:

Chọn C
Đặt t  2x  1  t 2  2x  1  tdt  dx
I


tdt
4 
 1 
 dt  t  4ln t  4  C  2x  1  ln
t4
 t4

Vậy n = 4 vậy S  Sin(

2x  1  4



4

C

n.
)1
8

Bình luận: Việc suất hiện căn
theo dt: tdt  dx
Câu 8. Cho I   x 3x2  1dx 
A. 4 và 3



1
a

2x  1 ta đặt t  2x  1 , sau đó vẫn như thói quen, ta biểu diễn dx

 3x

B. 9 và 3

2



b

 1  C . Giá trị a và b lần lượt là:

C. 3 và 9

D. 4 và 9

Giải:
Chọn B
Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
17

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

1
Đặt t  3x 2  1  2tdt  6 xdx  tdt  xdx
3
2

2

1
1
7
I   t 2 dt  t 3 
31
9 1 9

 3x

1 2
1
1
t dt  t 3  C 

3
9
9

Vậy a = 9; b = 3
I

2

Bình luận: Việc xuất hiện căn

 1  C
3

3x 2  1 ta đặt t  3x 2  1 , sau đó vẫn như thói quen, ta biểu diễn

dx theo dt .
Câu 9: Cho A   x5 1  x 2 dx  at 7  bt 5  ct 3  C , với t  1  x 2 . Tính A  a  b  c
A.

12
79

B.

95
103

22
105
Giải:

C.

D.

48
109

Chọn C
Đặt t  x2  1  x 2  t 2  1  xdx  tdt

A    t 2  1 t 2 dt    t 6  2t 4  t 2 dt 
2





2





sin x
1
2
.
dx 
ln a  4 3  ln b  2 2  1 
3
sin x 1  cos x
2 2

2

3

Tính A 

1
2
1
 C  a  ;b   ;c 
7
5
3

22
105

 a bc 
Câu 10. Cho

t7 2 5 t3
 t 
7 5
3

15
a  b
2

A. 30

B. 24

C. 36

D.75

Giải:
Chọn D
Đặt t  1  cos x  t 2  1  cos x  2tdt   sin xdx
x



t 

3

C

3

; x   t 1
2
2

2tdt

1
3

2

1  t 2  1 
 

2



3
2

 1  t  2 1 
 2
 
 ln
 2 2  t  2 t  

Thầy Mẫn Ngọc Quang

 1  1
1 
dt  2   3  2
 2  dt 
t t  2
 2t 2 t  
2

1

2

2

1




2 3
1
ln
3
2 2
2 3
2




 1
2  1
2 1

Page
18

2
3

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.



1
2

ln  7  4 3   ln 3  2 2   1 
2

11
1  x2
dx  a  ln b  ln 3 . Tính
 a  b  3 .
2
x

3



Câu 11. Cho I 

2
 a  7; b  3
3

1

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải:
Chọn A
Đặt t  1  x2  t 2  1  x 2  tdt  xdx và x :1  3 thì t : 2  2
3

Khi đó I 


1

2





1  x2
xdx 
x2

2

t
 t 2  1.tdt 
2

1 

1 1



t2 1 1
 t 2  1 dt 
2
2

t 1 

1

 1  2  t  1  t  1  dt   t  2 ln t  1 
2

 a  2  2; b  2  1 



2

 1  t
2

2

 2  2  ln
2

2



1 
 dt
1 



1
2  1  ln 3
2

11
 a  b  3  0
2

Bình luận: Việc xuất hiện căn

1  x 2 ta đặt t  1  x 2 , ta tiếp tục công việc biểu diễn

1  x2
1  x2

x và dồn về ẩn t , có xdx = tdt. Kinh nghiệm cho thấy khi có căn bậc 2 ta cứ
x
x2
đặt căn đó bằng một biến t rồi kiên trì biến đổi là giải được bài toán.
2 a 
 2ln 
 . Tính A  a  b
x2  4 x  3
 1 b 

1

dx

Câu 12. Cho I  
0

A. 3

B. 2

C. 5

D. 7

Giải:
Chọn C

Đặt t  x  1  x  3
1
x 1  x  3
 1

 dt  

dx  t.
 dx 
2  x  1 x  3
2
 2 x 1 2 x  3 

dx

 x  1 x  3



dx

 x  1 x  3



2dt
t

Và x : 0  1 thì t :1  3  2  2 .
2 2

Khi đó: I 4  2



1

dt
 2ln t
t
3
2

2 2
1 3

Câu 13. Cho tích phân I   (4 
a

A. 0

B. 1

2 2 
 2ln 
  a  2; b  3
1

3



x2
1  x3

)dx 

28
. Giá trị a là: (biết a có giá trị nguyên)
3

C. - 1

D. 3

Giải:
Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
19

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Chọn A
2

2

a

a

Ta có I   4dx  
2

Tính B  
a

x2
1 x
2

3

x2
1  x3

dx
2
1  x3  t  1  x3  t 2  x 2 dx  tdt
3

dx . Đặt

2

x2

Khi đó B  

2
2
dx 
1  x 3  2  1  b3
3
3
3
1 x
a

Ta có: I  4 x 

2
1  x3
3

a

2

a

2


 10   4a 
1  a3 
3




28
2
2
2


 10   4a 
1  a 3   4a 
1  a 3   6a  1  a 3  1
3
3
3
3


SHIFT  SOLVE  a  0


LUYEÄN TOÁC ÑOÄ
ÑEÀ 1:
x  3 1
dx  a  2ln a . Tính S  43 4a
x2

6

Câu 1. Cho tích phân: I  

1

A. 10

B. 5

C. 15
x3 dx

1

Câu 2. Cho tích phân I  0
A. 1

x  x 1
2

C. 3
xdx

b

12
5

2x  2

3

C.

2



x  1  ln x dx 

B.-100
1

Câu 5. Tính tích phân I   x
.0

A. 3 và 1







6
5

D.



x 2  1  e x dx 



11
5

3b5  a 2
19
 76
 ln b . Tính S 
a
3
C.-200

B. 2 và 3
1

D. 4

 b  0 . Biết z  a  bi là căn bậc hai của số phức 

7
5

B.

Câu 4. Tính tích phân I  1 x
A.100

a 1
. Giá trị của a là:

3



B. 2

Câu 3. Tính tích phân I  a
A.

4

D. 8



D.200

2

a  b 1
3

C. 3 và 2

. Giá trị của a và b là:
D. 2 và 1



Câu 6. Cho tích phân: I   x ax  b 3x 2  1 dx  3 , biết a  b  1 . Tính S  a3  b3

0

A.-15
Thầy Mẫn Ngọc Quang

B. 20

C. -19

Page
20

D. 15
0989 850 625

35
 3i
4


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Câu 7. Tính tích phân I  
0
A.

2
9

B. 



Câu 8. Cho

A.

2
9

1
1 x 



1
5

1 x

B.



3

C.

4
5



5

A.

4
9

B.

2

4
9

D. 

4
9

dx  f  x   C . Tính f ' 8  ?

C.

2 3

Câu 9. Cho tích phân I 

3

a
 a   a  370
.
dx  . Tính S  
 
 
3
b
 10b   10b  729
x 1
x5

2

dx
x x2  4

1
6

 lna  ln b . Tính

25
9

C.

9

4

D.

7
6

D.

9
25

e

8 ln2a ln2b 

2

a
x
dx =  ln16 . Giá trị của a và b là bao nhiêu (a, b tối giản)
b
x 1
1 1

Câu 10. Cho tích phân I  
A. 4 và 15

B. 5 và 3

C. 6 và 3

D. 5 và 6

ÑEÀ 2:
e

Câu 1. Cho I  
1

A.

B.
sin 2x  sin x
1  3cosx

5
27

Câu 3. Cho
A.

e

7
125

Câu 2. Cho I  
A.

1  3ln x ln x
5
3
dx =  a  3 1  3ln x   5 1  3ln x   . Giá trị của a là
x

1

B.



6

2
135

C.

9
145

D.

4
115

dx  f  x   C . Biết rằng f(x) không có hằng số tự do. Tính f(0)

13

27

C.

44
27

D.

19
27


 t  t 
1  cos3 x.sin x.cos5 xdx  2     C với t  6 1  cos 3 x . Tỉ số
bằng bao nhiêu?

 

5
13

B.

7
5

C.

7

13

D.

5
6

( x  2)dx a
 biết rằng a,b tối giản . Tính a + b
3
b
x 1
0

7

Câu 4. Tìm nguyên hàm của I  
A. 214
Câu 5. Cho I  

B. 124
2

ln x
x ln x  1

Thầy Mẫn Ngọc Quang



C. 421

D. 241



dx a bt 5  ct 3  d.t  C , biết t  ln x  1 . Tính A  abcd

Page
21

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

A. -30

B. -60

D. -27



 

2
sin 2 x
2


. Tính A  cos   
dx  , biết 
2
2
3
cos x  4sin x
,   0;  
 2






Câu 6. Cho I  


A.

C. -45

1
2

C. 

B. 1

1
2

D. 0


2

Câu 7. Tính B   1  cos x sin xdx  a 
0

A.

43
4

B. 29
a

Câu 8. I  
1

A. e

C.

37
4

D. 16

3  2ln x

5
dx  . Giá trị của a là:
3
x 1  2ln x

3

Câu 9. I  
A.

4 b 2
. Tính A  sin 4 a  b4
3

B. e2

e2 x dx
e 1
x

D.

e3

D.

46
9

 at 3  bt  C .Với t  e x  1 ; Tính A  a 2  b2

52
9

B.
ln 3

Câu 10. Cho I 

C.e

 e
0

40
9

C.

e x dx

x

 1 e  1

A. 23

x

B. 34

47
9



 a  b . Tính A  2 a 4  b4

C. 21


D. 45

ÑEÀ 3:
2x  1
28 b a
dx 
 ln .
27 a b
0 1  3x  1

1

Câu 1. Cho tích phân sau I  

 a  3997  cosa
. Biết a, b tối giản.
b
 

Tính S  cos2   
b

A. cos2  5  cos  5  1999

B. 1999

C. 2016

D. cos2  3  cos  3  2016
6

Câu 2. Tính tích phân: I  
1

A. 2

Thầy Mẫn Ngọc Quang

B. 4

x  3 1
dx  a  ln b .Tính S  z  z . Biết z  a  bi .
x2

C. 3

Page
22

D. 1

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

x3  3x 2  4
dx  a  ln b . Chọn phát biểu đúng
x2

10



Câu 3. Tính tích phân I 

5

A. a < b

B. a = b

C. b < 21

e

Câu 4. Cho tích phân: I   x ln xdx 
1

A. 12

e b
. Tính S  ab .
a

B. 4

C. 6

7

 x.

Câu 5. Cho tích phân:

x  1dx 

3

0

A. 64
Câu 6. Cho tích phân



B. 356
1
dx

1

A. 3

D. a, b đều nguyên

2

D. 8

a
. Giá trị của a là: (biết a, b tối giải)
b
C. 346

1 x  1 x

2

 a . Tính S   ai 

B. 2

D. 1029
2016

  ai 

2000

C. 0

D. 1


2

Câu 7. Tính tích phân: I   1  cos x (sin x) dx 
0

A. 1

B. 9
e8

Câu 8. Cho tích phân



e3

A.-10

B.-5

D.-40

B.
x 1

3x  1

A. 20

C.-20

2 x  3x  x

0

Câu 10. Cho D   3

D. 16
 10ab 
cos 
  11
 6 
2

Câu 9. Cho tích phân: I  

1
9

C. 25

dx
 ln a  ln b . Tính S  cos2  a  b  
x ln x ln ex
2

A.

4 a b
. Tính S  sin4 a  b4
3

3

2

x  x 1
2

b
2
2
 1 . Tính S  log 729  a   log1999  b  ? biết a, b tối giản.
a

dx 

1
27

dx 

B. 75

C.

 3x  1 3  3x  1

2

1
81

 b 3  3x  1

D.
2

a

C. 55

 C . Tìm a + b

D. 45

LÔØI GIAÛI
ÑEÀ 1:
Câu 1. Chọn D
Câu 2. Chọn B
Câu 3. Chọn A
Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
23

1
36

0989 850 625


Truy cập website để tham gia Khóa HọcToán và các bài thi Test năng lực.

Câu 4. Chọn B
Câu 5. Chọn D
Câu 6. Chọn C
Câu 7. Chọn A
Câu 8. Chọn C
Câu 9. Chọn D
Câu 10. Chọn B

ÑEÀ 2:
Câu 1. Chọn B
Câu 2. Chọn C
Câu 3. Chọn C
Câu 4. Chọn D
Câu 5. Chọn A
Câu 6. Chọn B
Câu 7. Chọn D
Câu 8. Chọn D
Câu 9. Chọn B
Câu 10. Chọn B

ÑEÀ 3:

Câu 1. Chọn B
Câu 2. Chọn B
Câu 3. Chọn C
Câu 4. Chọn B
Câu 5. Chọn D
Câu 6. Chọn B
Câu 7. Chọn D
Câu 8. Chọn B
Câu 9. Chọn D
Câu 10. Chọn A.

Thầy Mẫn Ngọc Quang

Page
24

0989 850 625