Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian Metric nón với đại số Banach

Header Page 1 of 149.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH BẢO TRUNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ
SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN
VỚI ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 149.


Header Page 2 of 149.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH BẢO TRUNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ
SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN
VỚI ĐẠI SỐ BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 2 of 149.


Header Page 3 of 149.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Hà Đức Vượng
- người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả
hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2016
Tác giả luận văn

Đinh Bảo Trung

Footer Page 3 of 149.


Header Page 4 of 149.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Điểm bất động
của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với
đại số Banach" do tôi tự làm.
Luận văn này không trùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án nào khác.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2016
Tác giả luận văn

Đinh Bảo Trung

Footer Page 4 of 149.


Header Page 5 of 149.

Mục lục

Bảng kí hiệu

1

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không
gian metric nón với đại số Banach

29

2.1. Không gian metric nón với đại số Banach . . . . . . . . . . 29
2.2. Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không
gian metric nón với đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

38

Footer Page 5 of 149.


Header Page 6 of 149.

Bảng kí hiệu
N Tập hợp số tự nhiên
R Tập hợp số thực
C Tập hợp số phức
∅ Tập hợp rỗng

d Metric
dp Metric nón
(X, d) Không gian metric
(X, dp ) Không gian metric nón
E
intP

Không gian Banach thực
Phần trong của P

≤p Quan hệ thứ tự theo nón P
Kết thúc chứng minh

Footer Page 6 of 149.

1

Header Page 7 of 149.

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Xét ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó T : X → X.
Nếu có hằng số k > 0 thỏa mãn d(T x, T y) ≤ kd(x, y) thì T được gọi là
ánh xạ Lipschitz và k được gọi là hằng số Lipschitz.
Trong trường hợp k < 1 thì T gọi là ánh xạ co, k = 1 thì T gọi là
ánh xạ không giãn.
Điểm x thỏa mãn x = T x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T
trên tập hợp X.
Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên Lý thuyết
điểm bất động, gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer,
Banach, Schauder, Kakutani, Ky Fan,...
Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ
XX, trong đó có kết quả kinh điển là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).
Đây là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz vì mọi ánh xạ co đều là ánh
xạ Lipschitz. Sau đó rất nhiều nhà toán học đã mở rộng kết quả này sang
các lớp không gian khác.
Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc là Huang LongGuang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệm không gian metric nón,

Footer Page 7 of 149.

2


Header Page 8 of 149.

bằng cách thay tập số thực R trong định nghĩa metric bởi không gian

Banach thực [4]. Từ đó nhiều kết quả về điểm bất động cho lớp không
gian này đã lần lượt được công bố.
Năm 2013, các nhà toán học người Trung Quốc là Hao Liu và
Shaoyuan Xu đã công bố kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong bài báo Cone metric spaces with Banach algebras and
fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings [3].
Đây là một kết quả khá mới về điểm bất động. Với mong muốn tìm hiểu
sâu hơn về điểm bất động, điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng
trong không gian metric nón với đại số Banach, dưới sự hướng dẫn của
TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Điểm bất động của
ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại
số Banach".

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong
không gian metric nón với đại số Banach.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian metric, không gian metric nón, đại số
Banach và điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian
metric nón với đại số Banach.

Footer Page 8 of 149.

3


Header Page 9 of 149.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong
không gian metric nón với đại số Banach, chủ yếu dựa trên 2 bài báo:

1. Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of
generalized Lipschitz mappings của Hao Liu và Shaoyuan Xu [3].

2. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings
của Huang Long-Guang và Zhang Xian [4].

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng một số phương pháp và công cụ của Giải tích hàm và Lý
thuyết điểm bất động.

6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là một tài liệu tổng quan về Điểm bất động của ánh xạ
Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại số Banach.
Luận văn gồm hai chương nội dung.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về không gian
metric, không gian metric đầy đủ. Tiếp theo là các kiến thức cơ bản về
không gian định chuẩn, không gian Banach, đại số tập hợp, đại số định
chuẩn, đại số Banach và cuối cùng là các kiến thức cơ bản về không gian
metric nón.

Footer Page 9 of 149.

4

Header Page 10 of 149.

Sau các khái niệm, chúng tôi đã đưa ra các ví dụ để minh họa.
Chương 2. Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz suy rộng trong không gian
metric nón với đại số Banach
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về không gian
metric nón với đại số Banach, cùng với các ví dụ minh họa.
Cuối cùng chúng tôi trình bày chi tiết các định lý điểm bất động của ánh
xạ Lipschitz suy rộng trong không gian metric nón với đại số Banach cùng
với phần chứng minh chi tiết.

Footer Page 10 of 149.

5


Header Page 11 of 149.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về
metric, không gian metric đầy đủ. Tiếp theo chúng tôi trình bày về không
gian định chuẩn, không gian Banach, đại số tập hợp, σ -đại số tập hợp, đại
số định chuẩn và đại số Banach. Cuối cùng, chúng tôi trình bày các kiến
thức cơ bản về không gian metric nón, không gian metric nón đầy đủ. Sau
mỗi khái niệm, chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ để minh họa.

1.1.

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1.[1]. Cho X là tập khác rỗng.
Ánh xạ d : X × X → R được gọi là một metric nếu thỏa mãn các điều
kiện sau:

1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X.
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó (X, d) là một không gian metric.

Ví dụ 1.1.1. Ta kí hiệu C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số với giá trị

Footer Page 11 of 149.

6


Header Page 12 of 149.

thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).
Với hai hàm số bất kì x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] ta đặt:

d(x, y) = max |x(t) − y(t)| .
a≤t≤b

Khi đó (C[a,b] , d) là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2.[1]. Cho không gian metric (X, d), dãy {xn } ⊂ X
và x0 ∈ X .
Dãy {xn } được gọi là hội tụ tới điểm x0 nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0
thì d(xn , x0 ) < ε.

Kí hiệu: lim xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞.
n→∞

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn } trong X .
Ví dụ 1.1.2. Sự hội tụ của một dãy hàm trong không gian C[a,b] tương
đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a, b].
Chứng minh.
Thật vậy, giả sử dãy hàm {xn (t)} ⊂ C[a,b] hội tụ tới hàm x(t) ∈ C[a,b] .
Theo định nghĩa, ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 thì

d(xn , x) = max |xn (t) − x(t)| < ε.
a≤t≤b

Suy ra

|xn (t) − x(t)| < ε, ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a, b].

(1.1)

Bất đẳng thức (1.1) chứng tỏ dãy hàm số {xn (t)} hội tụ đều tới hàm x(t)
trên [a, b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm {xn (t)} ⊂ C[a,b] hội tụ đều tới hàm x(t) trên

[a, b]. Khi đó x(t) là hàm liên tục trên [a, b], nghĩa là x(t) ∈ C[a,b] .
Footer Page 12 of 149.

7


Header Page 13 of 149.

Theo định nghĩa về hội tụ đều của dãy hàm thì ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n ≥ n0
và ∀t ∈ [a, b] ta có

|xn (t) − x(t)| < ε.
Suy ra max |xn (t) − x(t)| < ε, ∀n ≥ n0 .
a≤t≤b

Hay d(xn , x) < ε, ∀n ≥ n0 .
Do đó dãy hàm {xn (t)} hội tụ tới hàm x(t) theo metric d của C[a,b] .

Định nghĩa 1.1.3.[1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn } ⊂ X
được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n0
thì d(xn , xm ) < ε, hay

lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Ví dụ 1.1.3. Cho không gian metric (C[0,1] , d) là không gian các hàm
số thực liên tục trên [0, 1], với metric d được xác định như sau:
1

|x(t) − y(t)| dt.

d(x, y) =
0

Khi đó dãy {xn (t)} ⊂ C[0,1] với




0



n
xn (t) = nt −

3



1

1
nếu 0 ≤ t <
4
1
1 1
nếu ≤ t ≤ +
4
4 n
1 1
nếu + < t ≤ 1
4 n

là dãy Cauchy.
Chứng minh

∀n, m ∈ N∗ , m > n, ∀t ∈ [0, 1] ta có
1

|xn (t) − xm (t)| dt

d(xn , xm ) =
0

Footer Page 13 of 149.

8


Header Page 14 of1 149.

1
1
4+n

4

|xn (t) − xm (t)|dt +

=
0

1

|xn (t) − xm (t)|dt +
1

4

0

1

|xn (t) − xm (t)|dt +

0dt +

=

1
1
4+n

1
1
4+n

1
4

|xn (t) − xm (t)|dt

1
4

0dt
1

1
4+n

1
1
4+n

|xn (t) − xm (t)|dt.

=
1
4

Vì |xn (t) − xm (t)| ≤ 1, ∀n, m ∈ N∗ , ∀t ∈ [0, 1], nên ta có
1
1
4+n

d(xn , xm ) ≤

dt =

1
n

1
4

hay

0 ≤ d(xn , xm ) ≤

1
·
n

1
= 0, nên theo nguyên lý giới hạn kẹp, ta có
n→∞ n
lim d(xn , xm ) = 0.

Mà lim

n,m→∞

Vậy {xn } là dãy Cauchy trong (C[0,1] , d).

Định nghĩa 1.1.4.[1]. Không gian metric (X, d) được gọi là không gian
metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X .
Ví dụ 1.1.4. Cho không gian Rk với metric d được xác định như sau:
k
(n)

(m)

d x ,x
x(m) =

=

(n)

(m) 2

xi − xi

i=1
(m) (m)
(m)
x1 , x2 , ..., xk

∈ Rk .

Khi đó Rk là không gian metric đầy đủ.
Footer Page 14 of 149.

9

(n)

(n)

(n)

, ∀x(n) = x1 , x2 , ..., xk

,


Header Page 15 of 149.

Chứng minh.
(n)

(n)

(n)

Giả sử x(n) = x1 , x2 , ..., xk

, n = 1, 2, ... là một dãy Cauchy tùy ý

trong không gian Euclid Rk .
Theo định nghĩa của dãy Cauchy, ta có ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n0 thì
k
(n)

(m)

d x ,x

(m) 2

(n)

xi − xi

< ε, hay

< ε.

i=1

Suy ra
(n)

(m)

xi − xi

< ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀i = 1, 2, ..., k.

(1.2)
(n)

Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ, với mỗi i = 1, 2, ..., k thì dãy {xi } là
một dãy số thực Cauchy nên nó hội tụ, tức là tồn tại giới hạn
(n)

lim xi

n→∞

= xi , (i = 1, 2, ..., k).
(n)

Đặt x = (x1 , x2 , ..., xk ), ta có dãy {xi } ⊂ Rk hội tụ theo tọa độ tới x.
Do sự hội tụ trong Rk là hội tụ theo tọa độ nên dãy Cauchy {x(n) } hội tụ
tới x trong Rk .
Vậy Rk là không gian metric đầy đủ.

1.2.

Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1.[1]. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường

K (K thực hoặc phức). Ánh xạ . : X × X → R được gọi là một chuẩn
nếu thỏa mãn:
1. x ≥ 0, ∀x ∈ X.

x = 0 ⇔ x = θ.

2. λx = |λ| x , ∀x ∈ X, λ ∈ K.
3. x + y = x + y , ∀x, y ∈ X.
Số thực x được gọi là chuẩn của véc tơ x.
Ta kí hiệu không gian định chuẩn là (X, . ).

Footer Page 15 of 149.

10


Header Page 16 of 149.

Ví dụ 1.2.1. Cho không gian tuyến tính thực
Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R} và ánh xạ . : Rn → R xác định bởi

x = max |xi | .
1≤i≤n

Khi đó (Rn , . ) là một không gian định chuẩn.
Chứng minh.

∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn với xi ∈ R suy ra |xi | ∈ R, i = 1, 2, ..., n.
Do đó ∃ max{|x1 | , |x2 | , ..., |xn |}.
Vậy x = max |xi | hoàn toàn xác định.
1≤i≤n

Hiển nhiên x = max |xi | ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
1≤i≤n

x = 0 ⇔ max |xi | = 0.
1≤i≤n

Suy ra xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n. Vậy x = θ ∈ Rn .
Ta lại có ∀x ∈ Rn , ∀λ ∈ K :

λx = max |λxi |
1≤i≤n

= |λ| max |xi |
1≤i≤n

= |λ| x .
Cuối cùng ta có với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn ,

∀i = 1, 2, ..., n :
|xi + yi | ≤ |xi | + |yi | ≤ max |xi | + max |yi |.
1≤i≤n

1≤i≤n

Suy ra max |xi + yi | ≤ max |xi | + max |yi |.
1≤i≤n

1≤i≤n

1≤i≤n

Hay x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ Rn .
Do đó . là một chuẩn trên Rn , và ta có (Rn , . ) là không gian định chuẩn.

Nhận xét 1.2.1. Mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric.
Với mọi phần tử x, y ∈ (X, . ), ta đặt d(x, y) = x − y .
Footer Page 16 of 149.

11


Header Page 17 of 149.

Khi đó ta được không gian metric (X, d).
Định nghĩa 1.2.2.[1]. Cho không gian định chuẩn X , dãy {xn } ⊂ X .
Dãy {xn } gọi là hội tụ tới x nếu lim xn − x = 0.
n→∞

Ký hiệu: lim xn = x, hay xn → x khi n → ∞.
n→∞

Sự hội tụ này được gọi là hội tụ theo chuẩn.
Định nghĩa 1.2.3.[1]. Cho không gian định chuẩn X , dãy {xn } ⊂ X.
Dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy nếu lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có xn − xm < ε.
Định nghĩa 1.2.4.[1]. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X.

Ví dụ 1.2.2. Cho không gian véc tơ l2 . Đối với véc tơ bất kỳ

x = (xn ) ∈ l2 , ta đặt
∞

(xn )2 .

x =
i=1

Khi đó l2 là không gian Banach.
Chứng minh.
Trước tiên ta chứng minh l2 là không gian định chuẩn.
∞

|xn |2 ≥ 0, ∀x ∈ l2 .

1. x =

n=1

∞

|xn |2 = 0.

x =0⇔
n=1

Suy ra xn = 0, ∀n = 1, 2, ...
Vậy x = θ.
Footer Page 17 of 149.

12


Header Page 18 of 149.

2. ∀λ ∈ R, ∀x ∈ l2 ta có
∞

|λxn |2

λx =
n=1

∞

|xn |2

= |λ|
n=1

= |λ| x .
3. ∀x, y ∈ l2 ta có
∞

|xn + yn |2

x+y =
n=1
∞

∞
2

≤

|yn |2

|xn | +
n=1

n=1

= x + y .
Vậy l2 là không gian định chuẩn.
Bây giờ ta chứng minh l2 là không gian định chuẩn đầy đủ.
(n)

(n)

(n)

Thật vậy, giả sử x(n) = (x1 , x2 , ..., xk ), n = 1, 2, ... là một dãy Cauchy
tùy ý trong l2 .
Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 :
∞

x

(n)

(m)

−x

(n)
xk

=

−

(m) 2
xk

< ε.

(1.3)

k=1

p
(n)

(m) 2

< ε, ∀m, n ≥ n0 , p ∈ N∗ .

(1.4)

< ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀k = 1, 2, 3, ...

(1.5)

xk − xk

Ta suy ra
k=1

hay

Footer Page 18 of 149.

(n)

(m)

xk − xk

13


Header Page 19 of 149.

(n)

Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ với mỗi k cố định, ta có {xk } là dãy số
Cauchy nên tồn tại giới hạn
(n)

lim xk = xk , ∀k = 1, 2, ...

n→∞

Đặt x = (x1 , x2 , ..., xk , ...) = (xk ).
Vì các bất đẳng thức (1.4) không phụ thuộc vào p nên chuyển qua giới hạn
khi m → ∞ ta được:
p
(n)

xk − xk

2

< ε, ∀n ≥ n0 , p ∈ N∗ .

(1.6)

k=1

Tiếp tục chuyển qua giới hạn các bất đẳng thức (1.6) khi p → ∞ ta được
∞
(n)

xk − xk

2

< ε, ∀n ≥ n0 .

(1.7)

k=1

Hơn nữa ta có
(n) 2

(n)

|xk |2 = xk − xk + xk

≤

(n)

(n)

xk − xk + xk

2

.

Do đó
(n) 2

|xk |2 ≤ 2 xk

(n)

2

+ 2 xk − xk , ∀k, n = 1, 2, 3, ...

Từ (1.6),(1.7) và (1.8) ta suy ra
p

p
2

|xk | ≤ 2
k=1

k=1
∞

≤2

(n ) 2
xk 1
(n1 ) 2

xk
k=1
∞

<2

p

+2

(n1 )

− xk

(n1 )

− xk

xk
k=1
∞

xk

+2
k=1

(n1 ) 2

xk

+ 2ε2 ,

∀n1 > n0 .

k=1

Do đó x = (xn ) ∈ l2 .
(n)

Chứng tỏ dãy Cauchy {xk } hội tụ tới điểm x ∈ l2 .
Vậy l2 là không gian Banach.
Footer Page 19 of 149.

14

2

2

(1.8)


Header Page 20 of 149.

1.3.

Đại số Banach

Định nghĩa 1.3.1.[1]. Cho X là một không gian. C là một lớp tập hợp
trên X , C được gọi là một đại số trên X nếu thỏa mãn:
1. ∅ ∈ C, X ∈ C.
2. C đóng kín đối với các phép toán hữu hạn về tập hợp.
Định lý 1.3.1.[1]. Cho X là một không gian. Một lớp các tập hợp C
là một đại số trên X khi và chỉ khi C = ∅ và thỏa mãn các điều kiện:
1. A ∈ C, B ∈ C thì A ∪ B ∈ C.
2. A ∈ C thì phần bù của A : AC = X \ A ∈ C.
Chứng minh.
Giả sử C là một đại số trên X , hiển nhiên C = ∅.
Do đó tồn tại một tập hợp A ∈ C và A \ A = ∅ ∈ C, X = ∅C ∈ C.
Vậy C là một đại số thì C = ∅ và thỏa mãn điều kiện 1 và điều kiện 2.
Ngược lại, giả sử C = ∅, thỏa mãn điều kiện 1, điều kiện 2. Ta chứng minh
C là một đại số trên X.
Với A, B ∈ C, theo điều kiện 2 ta có AC , B C ∈ C và theo điều kiện 1 ta có

AC ∪ B C ∈ C.
Lại theo điều kiện 2 ta có AC ∪ B C

C

= A ∩ B ∈ C.

(Công thức De Morgan).
Bằng quy nạp ta có C đóng kín đối với phép hợp và phép giao hữu hạn

các tập hợp.
Mặt khác ta có A, B ∈ C thì B C ∈ C và theo chứng minh trên ta có

A ∩ B C = A \ B ∈ C.
Tương tự ta có B \ A ∈ C, và suy ra

(A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C.
Footer Page 20 of 149.

15


Header Page 21 of 149.

Chứng tỏ C đóng kín đối với phép lấy hiệu, hiệu đối xứng của các tập hợp.
Vậy C là một đại số trên X.
Ví dụ 1.3.1. Cho X là một không gian, C = {X, ∅}.
Khi đó C là một đại số trên X.
Chứng minh.
Thật vậy, hiển nhiên C = ∅.
Ta có X ∈ C, ∅ ∈ C ⇒ X ∪ ∅ = X ∈ C.
Vậy C đóng kín đối với phép hợp các tập hợp.
Do X ∈ C ⇒ X C = X \ X = ∅ ∈ C.
Vậy C đóng kín với phép lấy phần bù của tập hợp.
Vậy C là một đại số trên X.
Định nghĩa 1.3.2.[1]. Cho X là một không gian. Một lớp F các tập hợp
của X được gọi là σ -đại số trên X nếu nó chứa ∅, chứa X và đóng kín
đối với các phép toán đếm được về tập hợp.
Định lý 1.3.2.[1]. Cho X là một không gian. Một lớp F các tập hợp của

X là một σ -đại số trên X khi và chỉ khi F = ∅ và thỏa mãn điều kiện:
1. Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., n suy ra

n

Ai ∈ F.

i=1

2. A ∈ F suy ra AC = X \ A ∈ F.
Chứng minh.
Giả sử F là σ -đại số, ta chứng minh F thỏa mãn điều kiện 1 và điều kiện 2.
F là σ -đại số nên F = ∅ và F đóng kín với mọi phép toán đếm được về
tập hợp, tức là
n

Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., n, suy ra

Ai ∈ F .
i=1

Footer Page 21 of 149.

16


Header Page 22 of 149.

A ∈ F suy ra AC = X \ A ∈ F.

Ngược lại, giả sử F = ∅, thỏa mãn điều kiện 1 và điều kiện 2. Ta chứng
minh F là một σ -đại số trên X.
Ta có Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., n suy ra AC
i ∈ F và
∞

Do đó
i=1
∞

Mà
i=1

∞
i=1

ACi ∈ F.

C

∈ C.

ACi

ACi

C

∞

∞

Ai nên ta có

=

Ai ∈ C .

i=1

i=1

Vậy F đóng kín đối với phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù của tập
hợp. Do đó F là σ -đại số trên X.
Ví dụ 1.3.2. Cho X là một không gian. F = 2X là họ tất cả các tập con
của X . Khi đó F là một σ -đại số.
Chứng minh.
Thật vậy, F = 2X là họ tất cả các tập con của X nên F = ∅.

∀{Ai }∞
i=1 ⊂ F ta suy ra Ai ⊂ X, i = 1, 2, ..., n.
∞

∞

Ai ⊂ X do đó suy ra

Ta có
i=1

Ai ∈ F .

i=1

Ta có ∀A ∈ F ta suy ra A ⊂ X và AC = X \ A ⊂ X nên AC = X \ A ∈ F.
Do đó F là σ -đại số.
Định nghĩa 1.3.3.[3]. Cho A là một đại số. Ánh xạ . : A → R được
gọi là một chuẩn đại số trên A (algebra norm) nếu thỏa mãn:
1. x ≥ 0, ∀x ∈ A.

x = 0 khi và chỉ khi x = θ.

2. λx = |λ| x , ∀x ∈ A, λ ∈ R.
3. x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ A.
4. x.y ≤ x . y , ∀x, y ∈ A.
Khi đó (A, . ) là một không gian định chuẩn thực và được gọi là một đại
số định chuẩn thực (real normed algebra).

Footer Page 22 of 149.

17


Header Page 23 of 149.

Định nghĩa 1.3.4.[3]. Đại số định chuẩn (A, . ) được gọi là đại số Banach (Banach algebra) nếu . là một chuẩn đầy đủ. Nghĩa là mọi dãy

Cauchy trong (A, . ) đều hội tụ tới một điểm trong A.

Nhận xét 1.3.1. Cho (A, . ) là một đại số Banach thực, khi đó ta có:

1. (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ A.
2. x(y + z) = xy + xz

(x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A.
3. λ(xy) = (λx)y = x(λy), ∀x, y ∈ A, λ ∈ R.
4.

xy ≤ x . y , ∀x, y ∈ A.

Định nghĩa 1.3.5.[3]. Cho A là một đại số Banach. Phần tử e được

ex = xe = x, ∀x ∈ A. Hay e = 1.

gọi là đơn vị của A nếu thỏa mãn

Khi đó A là đại số Banach có đơn vị.
Định nghĩa 1.3.6.[3]. Cho A là một đại số Banach. Phần tử x ∈ A
được gọi là khả nghịch nếu ∃y ∈ A sao cho xy = yx = e.
Phần tử nghịch đảo của x ký hiệu là x−1 .
Định lý 1.3.3.[3]. Cho A là một đại số Banach với đơn vị e và x ∈ A.
Nếu bán kính phổ ρ(x) của x nhỏ hơn 1, nghĩa là

ρ(x) = lim xn

1
n

= inf xn

n→∞

n≥1

1
n

<1

thì e − x là khả nghịch,
∞
−1

(e − x)

xi .

=
i=0

Ví dụ 1.3.3. Cho A = Mn (R) = {a = (aij )n×n : aij ∈ R},
Footer Page 23 of 149.

18


Header Page 24 of 149.

∀i, j = 1, 2, ..., n là đại số của tất cả các ma trận thực vuông cấp n.
Ta xác định chuẩn trên A như sau:

|aij |.

a =
1≤i,j≤n

Khi đó A là một đại số Banach với đơn vị e là ma trận đơn vị.
Ví dụ 1.3.4. Cho A = l1 = {a = (an )n≥0 :

∞

|an | < ∞}.
i=0

Ta định nghĩa phép nhân trong A như sau:


ab = (an )n≥0 (bn )n≥0 = 



ai b j 

i+j=n

.

n≥0

Khi đó A là một đại số Banach với đơn vị e = (1, 0, 0, ...).

1.4.

Không gian metric nón

Định nghĩa 1.4.1.[4]. Cho E là một không gian Banach thực, tập con P
của E được gọi là một nón nếu:
1. P là tập đóng, không rỗng và P = {0}.
2. ∀a, b ∈ R, a, b ≥ 0; x, y ∈ P ⇒ ax + by ∈ P.
3. x ∈ P, −x ∈ P ⇒ x = 0, nghĩa là P ∩ (−P ) = {0}.

Định nghĩa 1.4.2.[4]. Cho E là một không gian Banach thực, P là một
nón trong E. Khi đó trên E ta xây dựng quan hệ thứ tự “ ≤p ” xác định
bởi nón P như sau:

x ≤p y khi và chỉ khi y − x ∈ P.
x

Footer Page 24 of 149.

19


Header Page 25 of 149.

x

p

y nếu y − x ∈ intP, trong đó intP là phần trong của P.

Định nghĩa 1.4.3.[4]. Cho E là không gian Banach thực, P là một nón

trong E. Nón P được gọi là nón chuẩn tắc (normal cone) nếu có một số

M > 0 sao cho ∀x, y ∈ E ta có
0 ≤p x ≤p y ⇒ x ≤ M y .
Số thực dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là hằng số chuẩn
tắc của P (normal constant). Khi đó ta cũng nói P là nón chuẩn tắc với
hằng số M.
Ví dụ 1.4.1. Cho E = R2 là không gian Banach thực với chuẩn trên
R2 được xác định bởi

x21 + x22 , ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .

x =

P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0} ⊂ R2 .
Khi đó P là một nón trong R2 .
Chứng minh.
Thật vậy, (0, 0) ∈ P ⇒ P = ∅.
Hiển nhiên P = {0}.
Ta có R2 \ P = {(x, y) ∈ R2 : x, y < 0} ⊂ R2 .
Vì int(R2 \ P ) = {(x, y) ∈ R2 : x, y < 0} ⊂ R2 ,

int(R2 \ P ) = R2 \ P

vậy R2 \ P

là tập mở.

Do đó P là tập đóng trong R2 .

∀a, b ∈ R, a, b ≥ 0

và

x, y ∈ P ⊂ R2 , do R2 là không gian Banach

thực nên cũng là không gian tuyến tính thực nên ta có ax + by ∈ P.
Cuối cùng ta thấy P = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0} ⊂ R2 .

−P = {(−x, −y) ∈ R2 : x, y ≥ 0} ⊂ R2 .
Footer Page 25 of 149.

20