Nghiên cứu bài toán tối ưu véc tơ toàn phương Điều kiện tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hoá bài toán tối ưu véc tơ toàn phương và bài toán tối ưu véc tơ toàn ătơng lồi

Header Page 1 of 149.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH NGỌC KHẮC

BÀI TOÁN
TỐI ƯU VÉC TƠ TOÀN PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2016
Footer Page 1 of 149.


Header Page 2 of 149.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH NGỌC KHẮC

BÀI TOÁN
TỐI ƯU VÉC TƠ TOÀN PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành:

Toán giải tích

Mã số:

60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2016
Footer Page 2 of 149.


Header Page 3 of 149.
i

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu
sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Phòng sau Đại học, Khoa toán, các thầy cô giáo trong nhà
trường cùng các bạn học viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo, chuyên viên Phòng Giáo dục
và Đào tạo thành phố Lào Cai đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện
để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này!
Hà Nội, ngày 18 tháng 10 năm 2016
Tác giả

Đinh Ngọc Khắc

Footer Page 3 of 149.


Header Page 4 of 149.
ii

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 18 tháng 10 năm 2016
Tác giả

Đinh Ngọc Khắc

Footer Page 4 of 149.


Header Page 5 of 149.
iii

DANH MỤC KÝ HIỆU

Rn

}.}
xx, yy
Bpx0 , εq “ tx P Rn : }x ´ x0 } ă 0u

A P Rnˆn
clS “ S
reC
intS
SpM P q
locpM P q
solpM P q

Footer Page 5 of 149.

Không gian Euclide n-chiều;
Chuẩn Euclide trong Rn ;
Tích vô hướng của hai véc tơ x;y;
Hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0
bán kính ;
Ma trận đối xứng;
Bao đóng của tập hợp S;
Nón lùi xa của C;
Miền trong của tập hợp S;
Tập các điểm KKT;
Nghiệm địa phương của pM P q;
Nghiệm (toàn cục) của pM P q;


Header Page 6 of 149.
iv

Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

DANH MỤC KÝ HIỆU

iii

MỤC LỤC

v

MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian Rn . . . . . . . . . .
1.2 Ma trận . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phép nhân ma trận . . .
1.2.2 Ma trận đối xứng . . . .
1.2.3 Ma trận xác định dương .
1.3 Tập lồi, tập affine . . . . . . . .
1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . .

1.3.2 Tập affine . . . . . . . .
1.4 Nón lồi . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Hàm lồi và hàm toàn phương . .
1.5.1 Hàm lồi . . . . . . . . .
1.5.2 Hàm toàn phương . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ VÀ BÀI TOÁN TỐI ƯU
TOÀN PHƯƠNG MỘT MỤC TIÊU
2.1 Bài toán tối ưu véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Quan hệ thứ tự theo nón . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Rn . . . . . . . . .
2.1.3 Điểm Pareto (điểm hữu hiệu) trong không gian Rn .

Footer Page 6 of 149.

3
3
4
4
5
5
6
6
7
8
11
11
15

16
16
16
17
17


Header Page 7 of 149.
v

2.2

2.1.4 Bài toán tối ưu . . . . .
2.1.5 Bài toán tối ưu véc tơ . .
2.1.6 Bài toán vô hướng hóa .
Bài toán tối ưu toàn phương một

2.2.1 Phát biểu bài toán . . . .
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
mục tiêu
. . . . . .
. . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3 BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ TOÀN PHƯƠNG

3.1 Bài toán tối ưu véc tơ toàn phương . . . . . . . . . . .
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Các điều kiện tính lồi Joint-Range . . . . . . . .
3.1.3 Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ toàn phương
3.2 Bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi . . . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . .
3.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine đơn điệu
3.2.3 Bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

18
19
20
22
22
23

.
.
.
.
.
.
.
.
.

25
25
25
26
29
34
35
35
36

41

KẾT LUẬN

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO

46

Footer Page 7 of 149.


Header Page 8 of 149.
1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong các
bài toán thực tiễn. Lý thuyết tối ưu được sử dụng nhiều trong quy hoạch
tài nguyên, quản lý kinh tế, chế tạo máy, điều khiển tự động, công nghệ
thông tin, giao thông vận tải và nhiều ngành khoa học khác.
Tối ưu toàn phương là một trong những lĩnh vực của tối ưu hóa. Đã có
nhiều kết quả nghiên cứu về bài toán tối ưu toàn phương, xem [5] và [8]
và những tài liệu trích dẫn trong đó.
Hiện nay bài toán tối ưu véc tơ toàn phương đang là lĩnh vực thu hút
sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Do đó trong các năm
gần đây đã có nhiều bài báo công bố kết quả nghiên cứu về bài toán tối
ưu vec tơ toàn phương, xem [7] và [10].
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tối ưu và bài toán tối ưu

véc tơ toàn phương tôi xin chọn đề tài nghiên cứu:“Bài toán tối ưu véc tơ
toàn phương”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về bài toán tối ưu véc tơ toàn phương: Điều kiện tối ưu,
điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ toàn phương
và bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu điều kiện tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hóa
bài toán tối ưu véc tơ toàn phương và bài toán tối ưu véc tơ toàn phương
lồi.
Footer Page 8 of 149.


Header Page 9 of 149.
2

4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu
Điều kiện tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hóa bài toán tối
ưu véc tơ toàn phương và bài toán tối ưu véc tơ toàn phương lồi.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.

6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là bài tổng quan về bài toán tối ưu véc tơ toàn phương.

Footer Page 9 of 149.

Header Page 10 of 149.
3

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản
về không gian Euclide Rn , tập lồi, nón lồi và hàm lồi làm cơ sở để nghiên
cứu bài toán tối ưu ở các chương sau.
Nội dung chương này chủ yếu được trích dẫn từ các tài liệu [1] và [9].

1.1

Không gian Rn

(
Tập hợp Rn :“ x “ px1 , . . . , xn qT | xi P R, i “ 1, n , trong đó
¨ ˛
x1
˚
x2 ‹
T
˚
x “ px1 , x2 , . . . , xn q “ ˝ .. ‹
.‚
xn
với hai phép toán

px1 , x2 , . . . , xn qT ` py1 , y2 , . . . , yn qT “ px1 ` y1 , x2 ` y2 , . . . , xn ` yn qT

λpx1 , x2 , . . . , xn qT “ pλx1 , λx2 , . . . , λxn qT , λ P R
lập thành không gian véc tơ thực n-chiều.
Nếu x “ px1 , x2 , . . . , xn qT P Rn thì xi gọi là tọa độ thứ i của x.
Véc tơ không của không gian gọi là gốc của Rn , ký hiệu là 0,

0 “ p0, 0, . . . , 0qT
.
Đặt

e1 “ p1, 0, 0, . . . , 0qT ;
Footer Page 10 of 149.

e2 “ p0, 1, 0, . . . , 0qT ; . . . ;


Header Page 11 of 149.
4

ei “ p0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0qT ; . . . ; en “ p0, . . . , 0, 1qT .
Hệ các véc tơ pe1 , ..., en q như trên là một cơ sở của Rn ta gọi là cơ sở
chính tắc của Rn .
Trong Rn , x “ px1 , x2 , . . . , xn qT , y “ py1 , y2 , . . . , yn qT P Rn ta định
nghĩa:
n
ÿ
• xx, yy “
xi yi là tích vô hướng chính tắc của x và y .
i“1
d
n

ÿ
a
pxi q2 là chuẩn Euclide của x.
• }x} “ xx, xy “
i“1

‹ Tính chất của tích vô hướng
Với mọi x, y P Rn , λ P R,
1. xx, yy “ xy, xy
2. xx ` x1 , yy “ xx, yy ` xx1 , yy
3. λxx, yy “ xλx, yy
4. xx, xy ě 0, xx, xy “ 0 ô x “ 0.

‹ Tính chất của chuẩn trong không gian Euclide
Với mọi x, y P Rn , λ P R,
1. }x} ě 0, @x P Rn ; }x} “ 0 ô x “ 0
2. }λx} “ |λ|}x}, @λ P R, @x P Rn
3. |xx, yy| ď }x}}y}, dấu “=” xảy ra ô Dλ P R : x “ λy
4. }x} ´ }y} ď }x ` y} ď }x} ` }y}, @x, y P Rn .

1.2

Ma trận

1.2.1

Phép nhân ma trận

Định nghĩa 1.1. Cho hai ma trận A “ paij qmˆn và B “ pbij qnˆp . Tích
của hai ma trận được xác định như sau:

n
ÿ
AB “ pcij qmˆp với cij “
air brj .
r“1

Phép nhân hai ma trận A và B được xác định khi và chỉ khi số cột của
ma trận A bằng số hàng của ma trận B .
Footer Page 11 of 149.


Header Page 12 of 149.
5

1.2.2

Ma trận đối xứng

Định nghĩa 1.2. Ma trận vuông A “ paij qnˆn bằng với ma trận chuyển
vị của nó thì ma trận A được gọi là ma trận đối xứng, tức là: A “ AT (với
A “ paij qmˆn thì ma trận chuyển vị của A là AT “ paji qnˆm ).

1.2.3

Ma trận xác định dương

Định nghĩa 1.3. ([9]) Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n ˆ n.
(a) Ma trận A được gọi là xác định dương nếu

xx, Axy ą 0 với mọi x P Rn , x ‰ 0.

(b) Ma trận A được gọi là nửa xác định dương nếu

xx, Axy ě 0 với mọi x P Rn .
Ma trận A được gọi là xác định âm (hay nửa xác định âm) nếu ´A
là xác định dương (hay nửa xác định dương).
Một số tính chất của ma trận xác định dương, nửa xác định
dương
• Các phần tử trên đường chéo chính của một ma trận xác định dương
(nửa xác định dương) là dương (không âm).
• Nếu C nửa xác định dương và xx, Cxy “ 0 thì Cx “ 0.
• Nếu C là ma trận xác định dương thì ma trận nghịch đảo C ´1 tồn
tại và xác định dương.
Mệnh đề 1.1. ([9]) Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n ˆ n.
(i) Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng
của A đều dương.
(ii) Ma trận A là nửa xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị
riêng của A đều không âm và tồn tại ít nhất một giá trị riêng bằng
không.
(iii) Ma trận đối xứng, lũy đẳng là ma trận nửa xác định dương.
(iv) Nếu C là một ma trận tùy ý (vuông hay chữ nhật) thì CC T và C T C
là các ma trận nửa xác định dương (với C T là ma trận chuyển vị của
ma trận C ).
Footer Page 12 of 149.


Header Page 13 of 149.
6

1.3

Tập lồi, tập affine

1.3.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.4. ([1]) Một tập C Ă Rn được gọi là một tập lồi, nếu C
chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và
chỉ khi
λx ` p1 ´ λqx P C, @x, y P C, @λ P r0, 1s
Một số tính chất cơ bản của các tập lồi:
• Giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là một tập lồi.
• Nếu C Ă Rn và D Ă Rm là tập lồi thì
C ` D “ tx ` y : x P C, y P Du,
αC “ tαx : x P Cu,
C ´ D “ C ` p´1qD
cũng là các tập lồi.
• Nếu C Ă Rn và D Ă Rm là các tập lồi thì tích Đề-các
C ˆ D “ tpx, yq : x P C, y P Du Ă Rn ˆ Rm cũng là tập lồi.
• Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn điểm trong Rn là
một tập lồi. Nếu x1 , x2 , . . . , xk thuộc một tập lồi C thì mọi tổ hợp lồi
của các điểm này cũng thuộc C , nghĩa là:
i

x P C, λi ě 0 pi “ 1, . . . , kq,

k
ÿ
i“1

λi “ 1 ñ

k
ÿ

λi xi P C.

i“1

• Một tập hợp lồi có thể giới nội hoặc không giới nội. Nếu tập lồi
C Ă Rn không giới nội thì có véc tơ t P Rn pt ‰ 0q sao cho với mọi
x P C tia x ` λt, λ ě 0 nằm trọn trong C. Một véc tơ t như thế gọi
là một phương vô hạn của tập lồi C.
Cho một tập bất kỳ E Ă Rn . Giao của tất cả các tập lồi chứa E được
gọi là bao lồi của E, ký hiệu convpEq. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E . Có
thể thấy:
• convpEq trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc E .
• Bao đóng của một tập lồi cũng là tập lồi.
Cho C P Rn là một tập lồi. Điểm x P C được gọi là điểm cực biên của
C nếu x không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của hai điểm phân biệt
bất kỳ khác của C , nghĩa là không tồn tại hai điểm y, z P C, y ‰ z sao
cho x “ λy “ p1 ´ λqz với 0 ă λ ă 1.
Tập hợp các điểm cực biên của tập lồi được ký hiệu là ExtpCq.
Footer Page 13 of 149.


Header Page 14 of 149.
7

Định nghĩa 1.5. ([1]) Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa

không gian đóng. Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ
các bất đẳng thức tuyến tính có dạng:
xai , xy ď bi , i “ 1, 2, . . . , m, trong đó ai P Rn , bi P R.
Một tập lồi đa diện bị chặn thì được gọi là đa điện lồi.
Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữu
hạn đoạn thẳng.
Một đa diện lồi là bao lồi của một số hữu hạn điểm.
Cho một tập lồi đa diện M , tập con F Ă M được gọi là diện nếu:

x P F ; a, b P M, 0 ă λ ă 1, x “ λa ` p1 ´ λqb P F ñ a, b P F.
Nói cách khác, F là một diện của M nếu F chứa một điểm trong (hoặc
điểm tương đối) của một đoạn thẳng nào đó của M thì F chứa trọn cả
đoạn thẳng đó. Một diện có thứ nguyên là 0 được gọi là một đỉnh hay
điểm cực biên, cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1.
Cho C là một tập lồi đa diện, một điểm x0 P C được gọi là điểm cực
biên (hay đỉnh) nếu nó không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào của C
nhận x0 làm điểm trong của đoạn thẳng đó, tức là không tồn tại hai điểm
phân biệt a, b P C sao cho x0 “ λa ` p1 ´ λqb, 0 ă λ ă 1.
Với tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tập đó.
Một tập hữu hạn pn ` 1q điểm u0 , u1 , . . . , un P Rn được gọi là độc lập
affine khi và chỉ khi pu1 ´ u0 q, pu2 ´ u1 q, . . . , pun ´ u0 q là độc lập tuyến
tính.
Nếu pn ` 1q điểm u0 , u1 , . . . , un P Rn là độc lập affine thì bao lồi của
nó được gọi là một n-đơn hình với các đỉnh u0 , u1 , . . . , un .

1.3.2

Tập affine

Định nghĩa 1.6. ([1]) Một tập A được gọi là tập affine nếu nó chứa đường

thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là,

λx ` p1 ´ λqy P A, @x, y P A, @λ P R.
Dễ thấy mọi tập affine đều là tập lồi.
Định nghĩa 1.7. ([1]) Đường thẳng đi qua hai điểm a, b P Rn là tập hợp
tất cả các điểm x trong Rn có dạng x “ λa ` p1 ´ λqb, @λ P R.

Footer Page 14 of 149.


Header Page 15 of 149.
8

Đoạn thẳng đi qua hai điểm a, b P Rn ký hiệu là ra, bs là tập

tx P Rn : x “ λa ` p1 ´ λqb, 0 ď λ ď 1u.
Định lý 1.1. ([1]) Nếu M là tập affine khác rỗng trong Rn thì tồn tại
không gian véc tơ con W của Rn sao cho M “ a ` W , trong đó a P M.
Định nghĩa 1.8. ([1]) Nếu M là tập affine khác rỗng trong Rn và W là
không gian con của Rn sao cho M “ a ` W , trong đó a P M thì W được
gọi là không gian con song song với M , số chiều của W được gọi là số
chiều của tập affine M.
Định nghĩa 1.9. ([1]) Cho một tập S bất kỳ của Rn . Giao của tất cả các
tập affine trong Rn chứa S là một tập affine. Ta gọi giao đó là bao affine
của S , ký hiệu là aff S . Dễ thấy aff S là tập affine nhỏ nhất chứa S.
Định nghĩa 1.10. ([1]) Cho a P Rn , a ‰ 0 và α P R. Ta gọi tập H “
tx P Rn : xa, xy “ αu là một siêu phẳng (xác định bởi a và α).
Siêu phẳng là một tập affine có số chiều bằng pn ´ 1q và có thể chứng
minh được mọi tập affine có số chiều bằng pn ´ 1q đều là siêu phẳng xác
định bởi a và α nào đó.

Ví dụ 1.3.1. Trong R2 , mọi đường thẳng đều là một siêu phẳng. Trong
R3 , mọi mặt phẳng đều là siêu phẳng.
Định nghĩa 1.11. ([1]) Cho a P Rn zt0u, α P R.
Tập hợp X “ tpx1 , x2 , . . . , xn q P Rn : xa, xy ď αu được gọi là nửa
không gian đóng.
Tập hợp X “ tpx1 , x2 , . . . , xn q P Rn : xa, xy ă αu được gọi là nửa
không gian mở.

1.4

Nón lồi

Trong lý thuyết tối ưu, nón có vai trò quan trọng.
Định nghĩa 1.12. [1] Một tập C được gọi là nón nếu λx P C, @λ ą 0, @x P
C.
Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không
thuộc nón. Dĩ nhiên một nón không nhất thiết là một tập lồi. Ví dụ: Rz0
là một nón nhưng không lồi.

Footer Page 15 of 149.


Header Page 16 of 149.
9

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng. Khi đó
ta nói điểm 0 là đỉnh của nón. Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện
thì ta nói nó là nón lồi đa diện. Một ví dụ điển hình của nón lồi đa diện,
thường được sử dụng, là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình tuyến

tính đồng nhất:
tx | Ax ě 0u
với A là một ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng và số cột là hữu hạn).
Mệnh đề 1.2. ([1]) Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính
chất sau:
(i) λC Ď C @λ ą 0
(ii) C ` C Ď C.
Một số nón điển hình: Dưới đây ta sẽ xét một số nón lồi điển hình
thường được sử dụng trong giải tích lồi.
Tập lồi có một số đặc trưng là: một tia xuất phát từ một điểm thuộc
nó, thì hoặc nằm hẳn trong tập này hoặc một khi đã “ra khỏi” tập này thì
sẽ không “trở lại”.
Định nghĩa 1.13. ([1]) Cho C là một tập lồi trong Rn . Một véc tơ y ‰ 0
được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ
của C theo hướng y đều nằm trọn trong C , tức là y là hướng lùi xa khi và
chỉ khi
x ` λy P C, @x P C, @λ ě 0.
Một hướng lùi xa còn được gọi là hướng vô hạn. Ta ký hiệu tập hợp của
tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là re C . Tập hợp này được
gọi là nón lùi xa của C . Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn, thì re C
chỉ gồm duy nhất là điểm gốc. Chú ý rằng, nếu C là một tập lồi đóng, thì
trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi x P C , chỉ cần đòi hỏi cho
một điểm x P C . Cụ thể ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. ([1]) Giả sử C là một tập lồi đóng. Khi đó y là một hướng
lùi xa của C khi và chỉ khi

x ` λy P C @λ ě 0
với một điểm x nào đó thuộc C.

Footer Page 16 of 149.

Header Page 17 of 149.
10

Chú ý 1.1. Trong trường hợp C không đóng, bổ đề trên không đúng. Ví
dụ, trong R2 lấy

C :“ tx “ px1 , x2 q | x1 ą 0, x2 ą 0u Y t0u.
Hiển nhiên véc tơ y “ p0, 1q có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm
0 ‰ x P C theo hướng này đều nằm trọn trong C , nhưng nếu xuất phát
từ x “ 0 thì điều này không đúng.
Cho C Ď Rn là một tập lồi và x P C . Ký hiệu

NC pxq :“ tω | xω, y ´ xy ď 0, @y P Cu.
Hiển nhiên 0 P NC pxq. Dùng định nghĩa, dễ dàng kiểm tra được rằng
NC pxq là một nón lồi đóng. Nón này được gọi là nón pháp ngoài của C tại
x. Tập ´NC pxq được gọi là nón pháp trong của C tại x. Hiển nhiên

´NC pxq :“ tω | xω, y ´ xy ě 0, @y P Cu.
Một nón quan trọng khác là nón đối cực được định nghĩa như sau:

C ˚ “ tω | xω, xy ď 0, @x P Cu.
Hiển nhiên đây cũng là một nón lồi đóng chứa gốc.
Cho C là một tập lồi khác rỗng và x P C . Ta nói d P Rn là một hướng
chấp nhận được của C nếu tồn tại t0 ą 0 sao cho x ` td P C với mọi
0 ď t ď t0 . Dễ kiểm tra thấy tập tất các hướng chấp nhận được là một
nón lồi chứa gốc. Ta ký hiệu nón này là FC pxq và gọi là nón các hướng
chấp nhận được, hoặc gắn gọn là nón chấp nhận được. Nón này có thể
không đóng. Tuy nhiên, nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón khác gọi là

nón tiếp của C tại x. Ký hiệu nón này là TC pxq, thì FC pxq “ TC pxq. Từ
đây suy ra

TC pxq “ td P Rn | Ddk Ñ d, Dtk Ó 0 : x ` tk dk P C, @ku.
Mệnh đề sau đây dễ dàng được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa.
Mệnh đề 1.4. ([1]) Nón pháp và nón tiếp là đối cực của nhau.
Ví dụ 1.4.1. Giả sử tập lồi C được cho bởi

C :“ tx P Rn | xaj , xy ď bj , j “ 1, . . . , mu.
Với x P C , đặt

Jpxq :“ tj | xaj xy “ bj u
Footer Page 17 of 149.


Header Page 18 of 149.
11

và gọi Jpxq là tập chỉ số tích cực tại x. Khi đó

TC pxq “ tx P Rn | xaj , xy ď 0, j P Jpxqu,
,
$
&
.
ÿ
j
j
λj a {λj ě 0 .
NC pxq “ conepa , j P Jpxqq “ y “

%
jPJpxq

1.5

Hàm lồi và hàm toàn phương

1.5.1

Hàm lồi

1.5.5.1 Định nghĩa, tính chất
Định nghĩa 1.14. ([1]) Một hàm f xác định trên tập lồi D được gọi là
hàm lồi trên D nếu @x, y P D, 0 ď λ ď 1 ta có

f pλx ` p1 ´ λqyq ď λf pxq ` p1 ´ λqf pyq.
Mệnh đề 1.5. ([1]) Nếu f là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập
lồi D thì với mọi số tự nhiên m, mọi x1 , . . . , xm P D và với mọi bộ số
m
ÿ
λ1 ě 0, . . . , λm ě 0,
λj “ 1, ta đều có
j“1

˜
f

m
ÿ

j“1

¸
λj x

j

m
ÿ

ď

λj f pxj q (Bất đẳng thức Jensen).

j“1

Định nghĩa 1.15. ([1]) Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Rn .
(a) Hàm f được gọi là lồi chặt trên D nếu

f pλx ` p1 ´ λqyq ă λf pxq ` p1 ´ λqf pyq

(1.1)

với mọi x, y P D và với mọi λ P p0, 1q.
(b) Hàm f : Rn Ñ R Y t`8u được gọi là lồi mạnh trên D với hệ số
η ą 0, nếu @x, y P D, @λ P p0, 1q ta có

1
f pλx ` p1 ´ λqyq ď λf pxq ` p1 ´ λqf pyq ´ ηλp1 ´ λq}x ´ y}2 .
2

(c) Hàm f được gọi là một hàm lõm trên D nếu ´f là hàm lồi trên D.
Footer Page 18 of 149.


Header Page 19 of 149.
12

(d) Hàm f được gọi là tựa lồi trên D nếu @λ P R tập mức dưới:

Lλ f :“ tx P D : f pxq ď λu
là tập lồi.
(e) Hàm f được gọi là tựa lõm trên D nếu ´f là hàm tựa lồi trên D.
Mệnh đề 1.6. ([1]) Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Rn . Hàm f lồi
mạnh trên D với hệ số η ą 0 khi và chỉ khi hàm

η
hp¨q :“ f p¨q ´ } ¨ }2 .
2
lồi trên C
Mệnh đề 1.7. ([1]) Một hàm f : D Ñ R là lồi trên D khi và chỉ khi

@x, y P D, @α ą f pxq, @β ą f pyq, @λ P r0, 1s
ñ f pλx ` p1 ´ λqyq ď λα ` p1 ´ λqβ.
Mệnh đề 1.8. ([1]) Cho C là một tập
hàm chỉ của tập C được định nghĩa trên
#
0,
δC pxq “
`8,

lồi khác rỗng trong Rn . Khi đó,
toàn Rn theo công thức

xPC
xRC

là hàm lồi trên Rn .
Mệnh đề 1.9. Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n ˆ n, và véc
tơ c P Rn .
(a) Nếu A là ma trận xác định dương thì hàm toàn phương
qpxq “ xx, Axy ` xc, xy là một hàm lồi mạnh trên Rn .
(b) Nếu A là ma trận nửa xác định dương thì hàm toàn phương
qpxq “ xx, Axy ` xc, xy là một hàm lồi trên Rn .

1.5.1.2 Dưới vi phân của hàm lồi
Định nghĩa 1.16. ([1]) Cho f : Rn Ñ R Y t`8u. Ta nói x˚ P Rn là dưới
đạo hàm của f tại x nếu

xx˚ , z ´ xy ` f pxq ď f pzq @z.
Footer Page 19 of 149.


Header Page 20 of 149.
13

Tương tự như đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này có
nghĩa là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số. Tuy nhiên
khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy
nhất.
Kí hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là Bf pxq. Nói chúng,

đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong Rn .
Nếu Bf pxq ‰ H, thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x.
Theo định nghĩa, một điểm x˚ P Bf pxq khi và chỉ khi nó thỏa mãn một
hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy Bf pxq là giao của các
nửa không gian đóng.
Vậy Bf pxq luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng). Như trong lý thuyết
toán tử đa trị, ta sẽ kí hiệu

dompBf q :“ tx | Bf pxq ‰ Hu.
Ví dụ 1.5.1. Xét hàm: f pxq “ }x}, x P Rn .
Tại điểm x “ 0 hàm này không khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân.
Thực vậy, theo định nghĩa ta có

Bf p0q “ tx˚ P Rn : xx˚ , xy ď }x}, @x P Rn u.
Từ bất đẳng thức này ta có thể suy ra Bf p0q chính là hình cầu đơn vị có
tâm tại 0.
Mệnh đề 1.10. ([1]) Cho f : Rn Ñ R Y t`8u lồi, chính thường. Khi đó
(i) Nếu x˚ R dom f thì Bf p0q “ H.
(ii) Nếu x P intpdom f q, thì Bf p0q “ H và compact. Ngược lại, nếu
Bf p0q “ H và compact thì x P ripdom f q.

1.5.1.3 Hàm lồi khả vi
Cho một hàm f xác định trên một lân cận của x P Rn . Theo định nghĩa,
hàm f được gọi là khả vi tại x, nếu tồn tai x˚ sao cho:

f pzq ´ f pxq ´ xx˚ , z ´ xy
lim
“ 0.
zÑx
}z ´ x}

Có thể kiểm tra được một điểm x˚ như thế này, nếu tồn tại sẽ duy nhất
và được gọi là đạo hàm của f tại x. Thông thường đạo hàm này được ký
hiệu là ∇f pxq hoặc f 1 pxq.
Footer Page 20 of 149.


Header Page 21 of 149.
14

Giả sử f : Rn Ñ R Y t`8u chính thường và x P dom f . Nếu f khả vi
tại x, thì với mọi y ‰ 0, ta có

f px ` λyq ´ f pxq ´ x∇f pxq, λyy
“ 0.
λŒ0
λ}y}
lim

hay

f 1 px, yq ´ x∇f pxq, yy
“ 0.
}y}
Suy ra f 1 px, yq “ x∇f pxq, yy với mọi y . Lấy y “ ei pi “ 1, . . . , nq là véc
tơ đơn vị thứ i của Rn , ta có:

x∇f pxq, ei y “ pBf | Bxi q pi “ 1, . . . , nq.
Vậy
1

f px, yq “

n
ÿ

yi pBf | Bxi qpxq.

i“1

Ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.11. ([1]) Giả sử f : Rn Ñ R Y t`8u lồi, chính thường và
x P dom f . Khi đó f khả vi tại x khi và chỉ khi tồn tại x˚ P Rn sao cho
f 1 px, yq “ xx˚ , yy với mọi y . Ngoài ra x P intpdom f q và ∇f pxq “ x˚ .

1.5.1.4 Cực trị của hàm lồi
Định nghĩa 1.17. ([1])
Cho D Ă Rn khác rỗng trong Rn và hàm số f : D Ñ R.
(a) Điểm x˚ P D được gọi là cực tiểu địa phương của f trên D nếu tồn
tại một lân cận U của x˚ sao cho

f px˚ q ď f pxq, @x P U X D.
(b) Điểm x˚ P D được gọi là cực đại địa phương của f trên D nếu tồn
tại một lân cận U của x˚ sao cho

f pxq ď f px˚ q, @x P D.
(c) Điểm x˚ P D được gọi là cực đại toàn cục trên D nếu

f pxq ď f px˚ q, @x P D.
Footer Page 21 of 149.

Header Page 22 of 149.
15

Mệnh đề 1.12. ([1]) Cho f là một hàm lồi trên tập lồi D khác rỗng trong
Rn . Khi đó:
(i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là cực tiểu toàn cục
(gọi tắt là điểm cực tiểu).
(ii) Tập hợp các điểm cực tiểu của f trên D nếu khác rỗng thì là một tập
lồi. Đặc biệt, nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại là duy nhất.
Mệnh đề 1.13. Cho f : Rn Ñ R Y t`8u lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu
địa phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa tập
hợp các điểm cực tiểu của f là một tập lồi. Nếu f lồi chặt thì điểm cực
tiểu, nếu tồn tại sẽ duy nhất.
Hệ quả 1.1. ([1]) Nếu một hàm lồi đạt cực đại trên một tập lồi có điểm
cực biên, thì cực đại sẽ đạt tại một điểm cực biên của tập lồi đó.

1.5.2

Hàm toàn phương

Hàm f : Rn Ñ R được gọi là hàm toàn phương nếu tồn tại ma trận
D P Rnˆn tồn tại véc tơ c P Rn và số thực α sao cho:

1
1
f pxq “ xT Dx ` cr x ` α “ xx, Dxy ` xc, xy ` α @x P Rn .
2
2

(1.2)

1
Vì xT Dx “ xT pD ` DT qx, @x P Rn , nên ta có thể giả sử ma trận D
2
trong công thức (1.2) là ma trận đối xứng.
Ví dụ 1.5.2. Xét hàm toàn phương f pxq
Ta có
„
1
2
f pxq “ px1 , x2 q ¨
0
2

“ x21 ` x22 , xT “ px1 , x2 q P R2 .
 „ 
0
x
¨ 1 .
2
x2

Kết luận Chương 1
Chương 1 của luận văn trình bày những kiến thức cốt lõi về không gian
R , tập lồi, hàm lồi và hàm toàn phương. Đây là những khái niệm quan
trọng, nền tảng cho việc nghiên cứu bài toán tối ưu véc tơ toàn phương
trong các chương sau.
n

Footer Page 22 of 149.


Header Page 23 of 149.
16

Chương 2
BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ VÀ
BÀI TOÁN TỐI ƯU TOÀN
PHƯƠNG MỘT MỤC TIÊU
Nội dung của chương này đề cập đến bài toán tối ưu véc tơ và bài toán
tối ưu toàn phương một mục tiêu.
Các khái niệm và các kết quả chính của chương này được dẫn từ các
tài liệu [3], [8] và các tài liệu trích dẫn trong đó.

2.1

Bài toán tối ưu véc tơ

2.1.1

Quan hệ thứ tự theo nón

Định nghĩa 2.1. Cho E là một không gian véc tơ tuyến tính thực, C là
một nón lồi, đóng, có đỉnh tại 0 và x, y là hai phần tử bất kỳ trong E.
(a) Ta nói x lớn hơn hoặc bằng y (hay y nhỏ hơn hoặc bằng x) theo nón
C và ký hiệu là x ěC y nếu x ´ y P C.
(b) Ta nói x lớn hơn y theo nón C và ký hiệu là x ąC y nếu x ěC y và
không có y ěC x.
(c) Khi int C là tập khác rỗng. Ta nói x thực sự lớn hơn y theo nón C

và ký hiệu là x "C y nếu x ąK y , trong đó K “ t0u Y int C.
Mệnh đề 2.1. Quan hệ thứ tự nêu trong định nghĩa 2.1 có một số tính
chất sau:
(i) Tính phản xạ: Nghĩa là ta có x ěC x với mọi phần tử x P X .
Footer Page 23 of 149.


Header Page 24 of 149.
17

(ii) Tính bắc cầu: Nghĩa là nếu x ěC y, y ěC z thì suy ra x ěC z.
(iii) Tính tuyến tính: Nghĩa là nếu x ěC y thì suy ra

tx ` z ěC ty ` z,
với mọi số thực t ą 0 và mọi phần tử x P X.

2.1.2

Quan hệ thứ tự trong không gian Rn

Trong không gian Rn ta xét nón C “ Rn` . Hiển nhiên đây là một nón
lồi đóng và có đỉnh tại 0 và int C “ Rn`` . Như thường lệ, với hai phần tử
bất kỳ x, y , để đơn giản, thay cho các ký hiệu x ěRn` và ta sử dụng các
ký hiệu truyền thống là x ě y và x “ y tương ứng. Theo Định nghĩa 2.1,
trong trường hợp này ta có các quan hệ thứ tự như sau:
Định nghĩa 2.2. Với x “ px1 , x2 , . . . , xn qT và y “ py1 , y2 , . . . , yn qT thuộc
Rn . Ta nói:
(a) x ě y nếu xi ě yi @i “ 1, 2, . . . , n.
(b) x ą y (hay y ă x) nếu xi ě yi @i “ 1, 2, . . . , n và tồn tại chỉ số
1 ď i0 ď n sao cho xi0 ą yi0 (hay đơn giản x ‰ y ).

(c) x " y (hay y ! x) nếu xi ą yi , @i “ 1, 2, . . . , n.
Lưu ý rằng quan hệ thứ tự trong Rn được nêu trong Định nghĩa 2.2 chỉ
là quan hệ từng phần (hay bộ phận). Nói một cách khác, hai phần tử bất
kỳ trong Rn cũng có thể so sánh được với nhau hoặc không so sánh được
với nhau.
Ví dụ, trong R3 cho x “ p0, 3, 3qT , y “ p2, 3, 4qT và z “ p1, 2, 2qT thì
ta có x ď y , y ą z còn x và z không thể so sánh được với nhau.
Ngoài ra ta còn có các suy diễn: x " y ñ x ą y ñ x ě y .
Hơn nữa nếu x ě y và y ě x thì suy ra x “ y .

2.1.3

Điểm Pareto (điểm hữu hiệu) trong không gian Rn

Định nghĩa 2.3. ([3]) Cho A là tập khác rỗng trong Rn , và ta xét quan
hệ thứ tự trong Rn tương ứng với nón Rn` .

Footer Page 24 of 149.


Header Page 25 of 149.
18

(a) Ta nói x P A là điểm hữu hiệu (hay điểm cực tiểu Pareto) của A nếu
không tồn tại y P A mà x ą y , hay nói một cách khác, nếu tồn tại
y P A mà x ě y thì suy ra x “ y.
Một cách khác tương đương: x P A là điểm hữu hiệu của A nếu
A X px ´ Rn` q “ txu. Ta ký hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu của A
là MinpA | Rn` q.
(b) Ta nói x P A là điểm hữu hiệu yếu (hay Pareto yếu) của A nếu không

tồn tại y P A sao cho y " x.
Một cách khác tương đương: x P A là điểm hữu hiệu yếu của A nếu
A X px ´ pt0u Y Rn`` qq “ txu. Ta ký hiệu tập tất cả các điểm hữu
hiệu yếu của A là WMinpA | Rn` q.
Hiển nhiên, nếu x P MinpA | Rn` q thì x P WMinpA | Rn` q. Điều ngược
lại chưa chắc đúng.
Ví dụ 2.1.1. (Hình 2.1) Trong không gian R2 cho

A “ tpx, yq P R2 : x2 ` y 2 ď 1, y ď 0u Y tpx, yq : x ě 0, 0 ě y ě ´1u.
Khi đó ta có:

MinpAq “ tpx, yq : x2 ` y 2 “ 1, ´1 ď x, y ď 0u;
WMinpAq “ MinpAq Y tpx, yq : y “ ´1, x ě 0u.

Hình 2.1

2.1.4

Bài toán tối ưu

Cho C là một tập khác rỗng trong Rn và g là hàm số xác định trên C .
Bài toán tối ưu tổng quát có dạng:

mintgpxq : x P Cu
Footer Page 25 of 149.

(2.1)