Luận văn một số hệ phương trình không mẫu mực

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

Ph m Th Nh n

M T S H PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG M U M C

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P
Mã s :
60.46.01.13

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
PGS.TS NGUY N XUÂN TH O

Hà N i - Năm 2015


M cl c
M đ u và l i c m ơn

2

1 H phương trình cơ b n
1.1 H phương trình tuy n tính . . . . . .
1.1.1 H hai phương trình tuy n tính

4
4

....
. . . . . . . . . . . .
....
. . . . . . . . . . . .
41.1.2 H ba phương trình tuy
....
. . . . . . . . . . . . 5
....
. . . . . . . . . . . . 6
....
. . . . . . . . . . . .
61.2.2 H hai phương trình đ ng
....
. . . . . . . . . . . . 12
....
. . . . . . . . . . . . 14
quát . . . . . . . . . . . . . 16

n tính
1.2 H phương trình phi tuy n . . . . . . .
1.2.1 H phương trình đ i x ng . . .
cp.
1.2.3 H phương trình hoán v . . . .
1.2.4 H hai phương trình b c 2 t ng
2 M t s phương pháp gi i h phương trình
2.1 Phương pháp c ng đ i s và th . . . . . . .

2.2 Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp lư ng giác . . . . . . . . . . .
2.4 Phương pháp s d ng tính ch t c a hàm s
2.5 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . .
3 Gi i m t s h không m u m
3.1 H phương trình đ i s . . .
3.2 H phương trình vô t . . . .
3.3 H phương trình ch a mũ và
3.4 H phương trình h n h p . .

c
.....
.....
logarít
.....

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

18
18
21
24
27
32

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

37
37
45
48
50

K T LU N

53

Tài li u tham kh o

54

1


M đu
H phương trình là m t trong nh ng phân môn quan tr ng c a Đ i s và có nh
ng ng d ng trong các ngành khoa h c và k thu t khi chúng ta c n xem xét nhi u
đ i lư ng. S m bi t đư c t xa xưa do nhu c u tính toán c a con ngư i và ngày càng
phát tri n theo th i gian đ n nay ch xét trong Toán h c h phương trình đã r t đa d
ng v hình th c như: h phương trình đ i s , h phương trình vô t , h phương trình
có ch a mũ và logarít. . . và ph c t p v cách tìm ra hư ng gi i.

Trong nh ng năm g n đây t năm 2002 - 2014 h phương trình không m u m c
thư ng xuyên xu t hi n trong các kỳ thi Olympic Toán, VMO, tuy n sinh Đ i h c Cao đ ng. Đây là m t lo i toán khó đòi h i h c sinh ph i v n d ng linh ho t, sáng t
o các ki n th c gi i tích, hình h c và lư ng giác.
Tác gi ch n đ tài Lu n văn "M t s h phương trình không m u m c" nh m
nghiên c u m t cách h th ng các h phương trình không m u m c và v n d ng
chúng trong các đ thi qu c t và qu c gia. Trong lu n văn "h phương trình không
m u m c" đư c hi u là h có ch a các l p hàm khác nhau (ch a căn, mũ và logarít,
lư ng giác. . . ) ho c cách gi i c a chúng không th c hi n đư c b ng các bi n đ i
thông thư ng c n v n d ng các phương pháp
so sánh, ư c lư ng. . . . Lu n văn g m 3 chương v i n i dung như sau
Chương 1. H phương trình cơ b n đưa ra các lo i h phương trình
thư ng g p trong chương trình ph thông và đ c p cách gi i t ng quát.
Chương 2. M t s phương pháp gi i h phương trình đ c p các phương pháp
gi i h truy n th ng: phương pháp th và c ng đ i s , phương pháp đ t n ph ,
phương pháp lư ng giác hóa và các phương pháp gi i đ c bi t cho h không m u
m c: phương pháp s d ng tính ch t c a hàm s , phương pháp đánh giá.
Chương 3. Gi i m t s h phương trình không m u m c trong chương này ch y
u gi i thi u các h phương trình không m u m c trong các kỳ thi qu c t và qu c
gia.

2


L i c m ơn
Tác gi xin g i l i c m ơn chân thành và sâu s c đ n PGS.TS Nguy n Xuân Th
o - m t ngư i th y t n tâm v i ngh , th y không ch là ngư i ch p bút cho tác gi
hoàn thành xu t s c Lu n văn, mà th y còn cho tác gi ngh l c ph n đ u, m t cái
nhìn khác v đ nh hư ng tương lai ngh nghi p.
Tác gi xin g i l i c m ơn t i Ban giám hi u, phòng Đào t o Sau đ i h c Khoa
Toán - Cơ - Tin h c, các th y cô đã tham gia gi ng d y cho l p Cao h c Toán niên

khóa 2013 - 2015, các th y cô và anh ch c a Seminar "Phương pháp Toán sơ c p"
trư ng Đ i h c Khoa h c T Nhiên, Seminar "Gi i tích" Vi n Toán tin và ng d ng trư
ng Đ i h c Bách Khoa Hà N i đã t o đi u ki n và giúp đ tác gi trong su t th i gian
h c t p và nghiên c u t i trư ng.
Nhân đây tác gi cũng xin g i l i c m ơn các b n h c viên cao h c khóa 2013 2015, gia đình và b n bè đã luôn ng h khích l , t o m i đi u ki n thu n l i đ tác gi
hoàn thành khóa h c và Lu n văn này. M c dù tác gi đã c g ng r t nhi u nhưng k t
qu trong Lu n văn còn khiêm t n và khó tránh kh i nh ng khi m khuy t. Tác gi
mong nh n đư c s đóng góp quý báu c a các th y cô và các đ c gi đ Lu n văn
hoàn thi n hơn.
Hà N i, ngày 24 tháng 9 năm 2015.
H c viên

Ph m Th Nh n

3


Chương 1
H phương trình cơ b n
Trong Chương này tác gi khái quát l i m t s h phương trình cơ b n trong
h th ng chương trình THPT, cùng phương pháp gi i t ng quát và các ví d
minh h a cho t ng d ng c th . Các ví d trình bày đư c trích trong cu n "B i dư ng
h c sinh gi i môn Toán - Văn Phú Qu c", "Tuy n ch n và gi i h phương trình thư
ng g p trong các kỳ thi Đ i h c và Cao đ ng - Hà Văn Chương".

1.1

H phương trình tuy n tính

1.1.1

H hai phương trình tuy n tính

H hai phương trình tuy n tính có d ng

ax + by = c
ax+by =c

Cách gi i.
Cách 1. S d ng phương pháp Cramen.
Tính các đ nh th c
D=

ab
ab

= ab − a b

Dx =

cb
cb

= cb − c b

Dy =

ac
ac

= ac − a c

TH1. a = a' = b = b' = 0.
+ N u c = c' = 0 thì h vô đ nh.
+ N u c = 0 ho c c = 0 thì h vô nghi m.
TH2. Trong 4 h s a, a', b, b' có ít nh t m t h s khác không. + H có
nghi m duy nh t ⇔ D = 0.
4


Chương 1. H phương trình cơ b n

Nghi m duy nh t c a h là (x, y) =
D=0

Dx ; Dy .
DD

+

D x = Dy = 0 ⇒ h

+ vô đ nh (có vô
s nghi m).
D
=
0
Dx
=
0(

Dy
=
0)
⇒

h
vô
ng
hi
m.
Các
h 2.
Sd
ng
phư
ơng
phá
p
Ga
uss.
Nhân ho c chia m t phương trình nào đó
c a h v i m t s thích h p, đ khi c ng ho c tr
các phương trình khác c a h ta s lo i d n
đư c n.
a
x + by = c

Ti p t c làm như trên, ta s bi n đ i
h đã cho v h tam giác
T h tam

giác ta rút
ra đư c
nghi m.

a
x
=
c


Ngoài ra, ta có th gi i h phương
trình b c nh t hai n b ng các lo i
máy tính b túi như CASIO fx - 500
MS, CASIO fx - 570 E, SHARP EL
- 506W.

Tìm m đ h phương trình có

Ví d 1.1 (Đ i h c Giao Thông

= m2 − 20, Dy = m2 + m − 12.

nghi m (x; y) th a mãn x − y <
2.

L i gi i. Ta có D = −2m − 5, Dx

V n T i - 1995). Cho h

•D=0⇔

phương trình

m = 5 : Dx
= 0 nên h

(

vô nghi

m

m
2

+

• D = 0 ⇔ m = 5 : h có

1

Dx , y = Dy
2

)
x

nghi m duy nh t x =

The

D



5

( − 20) −
+ m − 12) <
m (m2
2
Dx − Dy < 2 ⇔
⇔ m
2  < −2
D
−
2

m

o
yêu
cu

−

đu
bài

m

y

x − y< 2 ⇔

=

>

4

−
2

3
x
−
5
y

3
5

V y m < − ho c m
2
> − th a mãn yêu c u

bài toán.

2
3

=
m

1.1.2 H
ba phương


trình
tuy n
tính
Cách gi i.
Gi ng h
hai
phương
trình tuy n
tính.

r
ì
n
h

V



−

í

2
x
+

d

y
−

1
.
2
.

3
z
=
−
9


G
i

x
x
−

i

−
2

h

p
h
ư
ơ
n
g

y
y
+
−
z
z
=
=

t

0


3
5

−
1
2


Chương 1. H phương trình cơ b n

L i gi i.
H phương trình tương đương

−

⇔

3

⇔

−
 2y + x + z = 0

 2x + y − 3z = −9 

−
 2x + y − 3z = −9 

 x − 6y + 3z==−012
3
xx − 6y − z
 =1

⇔

x

 − 5y = −9

−

 2y2+ x = −3 y=

x − 2y = −3

y

 = 2 z=3

V y nghi m c a h phương trình đã cho là (1;2;3).

1.2
1.2.1

H phương trình phi tuy n
H phương trình đ i x ng

a) H hai phương trình đ i x ng lo i 1
f (x, y) = 0
g(x, y) = 0

Nh n d ng Cho h phương trình

N u khi ta đ i ch x và y cho nhau, t ng phương trình c a h không thay đ i,
t c là f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x) thì h đã cho đư c g i là h đ i x ng lo i 1 hai n.
Cách gi i.
+ Bi n đ i h đã cho v h ch a x + y và xy.
+ Đ t x + y = u, xy = v v i đi u ki n u2 − 4v ≥ 0.
+ H đã cho tr thành đơn gi n hơn đ i v i các bi n u, v. + Gi i h
đ i v i u, v thu đư c các giá tr u, v.
+ Gi i h

x+y =u
xy = v

ta thu đư c nghi m (thư ng dùng đ nh lí Viét đ o).

Ví d 1.3. (Đ i h c Sư ph m Hà N i 2000) Gi i h phương trình
x2 + y2 + xy = 7
x4 + y4 + x2y2 = 21

L i gi i. H phương trình tương đương
x2 + y2 + xy = 7
(x2 + y2) − x2y2 = 21

Đ t u = x2 + y2, v = xy. H phương trình tr thành
u+v =7
u2 − v2 = 21

⇔

u+v =7

u−v =3
6

⇔

u=5
v=2


Chương 1. H phương trình cơ b n

Khi đó ta có,
2

2

x +y =5
xy = 2

⇔

(x + y )2 = 1
xy = 2

Gi i h trên ta thu đư c các
nghi m là (1; 2), (2; 1),
(−1; −2), (−2; −1).
V
í
d

1
.
4
.
G
i
i
h
p
h
ư
ơ
n
g
t
r
ì
n
h
1
1


+
=
9


x

+ uv) =

y
(
(



y

S3 − 3P S = 9
(1.1)

⇔
S(S + P + 1) = 18
P S = 18 − S − S2
(1.2)

+

T
h
a
y

1
3

S3 − 3P S = 9

√

√

3

1

1
1
+
√
x
1
3

1
+

(
1
.
2
)

=
1
8

v
à
o

√
y
3

(
1
.
1
)

1

L i gi i.
Đi u ki n
x, y = 0.
Đtu

t
a

= √x, v
= √y
3

đ
ư

3

H phương
trình đã cho tr
thành

v

Đ
H⇔

c
S
3

u
3

+
v

+
3
S
2

3

+

=
9
(u +
v)(1
+ u)
(1 +

3
S
−
6
3


X2 X
3X 2
=0
=

=
0

X
1

⇔

2

(

S

K
hi
đó

u
=
1

u

h =
o 2

.
S
u
y
ra

c

+

x

x

h =

o 1

=

c

1
8

1
)
3

=

v=2

v
=

y
=

y8

.

V y h phương
trình đã cho có
1

nghi m là ; 1 ,
1
1; .

8
8

6
4

⇔
S
=
3
⇒
P

=
2
S
V =
i 3
P
=
2

ta
có
u, v
là

nghi
mc
a
phư
ơng
trìn
h

7


Chương 1. H phương trình cơ b n
b) H ba phương trình đ i x ng lo i 1

Nh n d ng
Khi ta đ i ch các bi n x cho y, y cho z và z cho x t ng phương trình c a h không
thay đ i. H như v y g i là h đ i x ng lo i 1 ba n.
x
Cách gi i.
 +y+z=α
xy

+ Bi n đ i h đã cho v h có ch a các c m  + yz + zx = β xyz = γ
+ Theo đ nh lý Viét cho phương trình b c ba ta có x, y, z là ba nghi m c a
phương trình
t3 − αt2 + βt − γ = 0

(1.3)

Gi i phương trình (1.3), có các kh năng x y ra

+ N u phương trình (1.3) có đúng 3 nghi m, thì h có đúng 6 nghi m. + N
u phương trình (1.3) có đúng 2 nghi m thì h có đúng 3 nghi m.
+ N u phương trình (1.3) có nghi m duy nh t (nghi m b i 3), thì h có nghi m duy
nh t.
+ N u phương trình (1.3) có nghi m duy nh t (nghi m đơn) thì h vô nghi m.
Ví d 1.5. Gi i h phương trình
x
 +y+z=1


x

3
2

+ y3 + z3 = 9
2

x +y +z =1

2

L i gi i. T h phương trình ta có,
xy + yz + zx = (x + y + z) −2(x + y + z )
2

2

2

2

3xyz = (x3 + y3 + z3) − (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) = −12

Suy ra

xy + yz + zx = −4
xyz = −4

. H đưa v d ng
x
 +y+z=1
xy

 z+=yz + zx = −4
xy

−4

Theo đ nh lý Viét đ o x, y, z là nghi m c a phương trình
3

2

t − t − 4t + 4 = 0 ⇔

t=1
t=2
t = −2

T đó ta tìm đư c nghi m c a h (1; 2; −2) và các hoán v .

8


Chương 1. H phương trình cơ b n
c) H hai phương trình đ i x ng lo i 2

Nh n d ng
Cho h g m 2 phương trình có hai n x và y. Khi ta đ i ch x cho y và y cho x,
phương trình th nh t tr thành phương trình th hai và ngư c l i. H như v y g i là h
đ i x ng lo i hai. Cách gi i.
+ Tr t ng v hai phương trình đư c phương trình h qu . + Bi n đ
i phương trình h qu v phương trình tích.
+ Ghép t ng phương trình c a phương trình h qu v i m t trong hai phương trình c
a h đã cho, đư c các h m i (là nh ng h không đ i x ng).
Chú ý ngoài quy t c gi i cơ b n trên, trong m t s trư ng h p đ c bi t h phương
trình đ i s đ i x ng lo i 2 hai n đư c bi n đ i tương đương v h phương trình m i b
ng cách đ ng th i c ng và tr t ng v các phương trình c a h.
Ví d 1.6. (VMO 1994, b ng B) Gi i h phương trình
x2 + 3x + ln(2x + 1) = y y2 +
3y + ln(2y + 1) = x

L i gi i. Đi u ki n x > −1, y > −1

2

2

Khi đó t h phương trình ta có phương trình

x2 + 4x + ln(2x + 1) = y2 + 4y + ln(2y + 1)

Xét hàm s f(t) = t2 + 4t + ln(2t + 1) trên −1; +∞
2 > 0, ∀t > −1

Ta có f (t) = 2t + 4 + 2t + 1
⇒ f (t) là hàm đ ng bi n trên
Do đó (1. 5) có d ng

2

2

−1 ; +∞
2
f (x) = f (y) ⇔ x = y

Thay vào h đã cho ta đư c
x2 + 2x + ln(2x + 1) = 0

Xét hàm s g(x) = x2 + 2x + ln(2x + 1) trên −1; +∞
2
Ta có g (x) = 2x + 2 + 2x + 1 > 0, ∀x > −2
⇒ g(x) là hàm đ ng bi n trên

1

−1 ; +∞ .
2
9

2

(1.5)


Chương 1. H phương trình cơ b n

M t khác, g(0) = 0 nên x = 0 nghi m duy nh t c a phương trình g(x) = 0. V y h
phương trình đã cho có nghi m duy nh t là (0; 0).

d) H ba phương trình đ i x ng lo i 2

f
 (x, y, z) = 0
g

Nh n d ng Cho h phương trình  (x, y, z) = 0 φ(x, y, z) =
0

Khi ta đ i ch x cho y, y cho z, z cho x, thì ta đư c f(x, y, z) tr thành g(x, y, z),
g(x, y, z) tr thành φ(x, y, z), φ(x, y, z) tr thành f (x, y, z). H có tính ch t như trên, g i là h đ i x
ng lo i hai. Cách gi i.
H có d ng đ i x ng lo i hai 3 n là h khó. Cách gi i ph i linh ho t, tùy theo t ng h
có nh ng đ c đi m khác nhau, ta ch n cách gi i cho phù h p.

Ví d
trình

1.7. (Đ thi vào trư ng Đ i h c Ngo i Thương 1996) Gi i h phương

x 3 2
 = y + y + y −2
y

 = z3 + z 2 + zx− 22
3

2

z =x +x + −

L i gi i.
TH1. Trong 3 s x, y, z có ít nh t 2 s b ng nhau. Gi s x = y.
Ta có
(
x
 x − 1)(x2 + x + 2) = 0 
⇔
3
2
 = x 3 + x2 + x − 2
3
2
x = z + z + z −2
z
 = x3 + x2 + x − 2

x = z + z + z −2
z
 = x3 + x2 + x − 2


x
 =1
x
 +x+2=0 2
⇔ x = z3 + z2 + z − 2


 z = x3 + x2 + x − 2



x

 =1
⇔

1

 = z ++1z++−− 2
3

z=1

2

12

z

⇔

x=1
z=1

H phương trình có nghi m (1; 1; 1).
Các trư ng h p y = z, z = x làm tương t ta cũng đư c 1 nghi m (1; 1; 1).
TH2. Các s x, y, z đôi m t khác nhau. Gi s x > y > z Xét hàm
s f(t) = t3 + t2 + t − 2 trên R.
Ta có f (t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, ∀t ∈ R
⇒ f (t) đ ng bi n trên R.


10


Chương 1. H phương trình cơ b n

Do x > y > z ⇒ f(x) > f(y) > f(z) ⇒ z > x > y trái v i đi u gi s .
V y h không có nghi m (x, y, z) v i x > y > z.
Các trư ng h p khác làm tương t , ta đư c h cũng không có nghi m. V y h
có nghi m duy nh t (1; 1; 1).

Ví d 1.8. (Đ thi vào trư ng Đ i h c Lu t Hà N i) Gi i h phương trình
2

 x + 1 = y3 + y2 + y 
2

 y + 1 = z3 + z 2 + zx
3

2z + 1 = x + x +

2

L i gi i.
TH1. Trong 3 s x, y, z có ít nh t 2 s b ng nhau.
Gi s x = y. H phương trình tr thành
(1.6)

2

3

2

 x+1=x +x +x
2

 x + 1 = x3 + x2 + z

2z + 1 = z3 + z2 +x

Ta có
(1.6) ⇔ x3 + x2 − x − 1 ⇔ (x + 1)2(x − 1) = 0 ⇔

x = −1
x=1

(1.7)
(1.8)

Thay x = −1 vào (1.7) và (1.8) ta đư c
−1 = z3 + z2 + z
z = −1

T đó suy ra h có nghi m (x; y; z) = (−1; −1; −1).
Thay x = 1 vào (1.7) và (1.8) đư c
3 = z3 + z2 + z
z=1

T đó suy ra h có nghi m (x; y; z) = (1; 1; 1).
Các trư ng h p y = z ho c z = x làm tương t cũng đư c hai nghi m như trên. TH2.
Ba s x, y, z đôi m t khác nhau (x > y > z). Xét hàm s f(t) = t3 + t2 + t trên R.
Ta có f (t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, ∀t ∈ R
⇒ f (t) là hàm đ ng bi n trên R.
⇒ x > y > z ⇒ f (x) > f (y) > f (z) ⇒ 2z + 1 > 2x + 1 > 2y + 1
⇒ z > x > y trái v i đi u gi thi t.
11


Chương 1. H phương trình cơ b n

V y h không có nghi m (x; y; z) trong đó x, y, z đôi m t khác nhau.
Các trư ng h p khác làm tương t , cũng đư c k t qu như trên (h vô nghi m). V y h
đã cho có 2 nghi m (1; 1; 1) và (−1; −1; −1).

1.2.2

H hai phương trình đ ng c p

Nh n d ng
+ Bi u th c f(x, y) = n=0 akxn−kyk là bi u th c đ ng c p b c n đ i v i x và y. k
+ Phương trình f(x, y) = 0, trong đó bi u th c f(x; y) là bi u th c đ ng c p
đư c g i là phương trình đ ng c p đ i v i x và y.
f (x, y) = d1
g(x, y) = d2

+ H phương trình

đư c g i là h phương trình bán đ ng c p

n u f(x, y) và g(x, y) là nh ng bi u th c đ ng c p.
Cách gi i.
+ Kh s h ng t do d1, d2 đư c phương trình đ ng c p.
+ Gi i phương trình đ ng c p.
+ Ghép nghi m c a phương trình đ ng c p v i m t trong các phương trình c a h đã
cho đư c các h m i (h không đ i x ng).

Ví d 1.9. (Đ i h c sư ph m TPHCM) Cho h phương trình
x2 + 2xy + 3y2 = 9 2x2 +
2xy + y2 = 2

L i gi i.
H phương trình tương đương v i
2x2 + 4xy + 6y2 = 18
−18x2 − 18xy − 9y2 = −18

C ng t ng v hai phương trình ta đư c
2

x+1
y2

2

16x + 14xy + 3y = 0 ⇔ 16

x+3
y8

(vì y = 0 không là nghi m c a phương trình)
x
V i + 1 = 0 ⇔ y = −2x th vào phương trình th nh t c a h ta đư c
y2

x2 − 4x2 + 12x2 = 9 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±2
12

=0


Chương 1. H phương trình cơ b n
x

V i + 3 = 0 ⇔ y = −8x th vào phương trình th nh t c a h ta đư c
3

y8

x2 − 16x2 + 64x2 = 9 ⇔ x2 = 17 ⇔ x = ±√3 ⇒ y = ±√8 9
3
3
17

V y nghi m c a h là (±1; ±2), ±√3 ± √8 ; .

17

17

17

Ví d 1.10. Gi i h phương trình
2x + 3y = x2 + 3xy + y2
x2 + 2 y 2 = x + 2 y

L i gi i.
+ Ta th y x = y = 0 là m t nghi m c a h .
+ Xét trư ng h p x = 0, y = 0, nhân t ng v c a hai phương trình ta đư c
(2x + 3y)(x2 + 2y2) = (x2 + 3xy + y2)(x + 2y)
⇔ x3 + 4y3 − 3xy2 − 2x2y = 0

Đ t x = ty ta có


t=1

√
1 + 17

t
t3 − 2t2 − 3t + 4 = 0 ⇔  = 




2√
t = 1 −2 17

+ V i t = 1 ⇔ x = y th vào phương trình th hai c a h ta đư c
x=1⇒y=1
x=0

3x(x − 1) = 0 ⇔

+V it=

1+

√
17
2

th vào phương trình th hai c a h ta đư c

t2y2 + 2y2 = ty + 2y
⇔ (t2 + 2)y2 − (t + 2)y = 0

⇔ y (t2 + 2)y − (t + 2) = 0

 y=0
⇔

√

√

 = t +2 2 = 5 + √17 ⇒ x =
y

t +2

1+

25 + 17

13

2

√
17

5 + √17
25 + 17


Chương 1. H phương trình cơ b n

Tương t cho TH t =

1−

√
17
2

ta thu đư c


√

x
 = 1 − 17

√

√
5 − √17
17 − 17

2


 = 5 − √17
y
17 − 17
V y nghi m c a h phương trình đã cho là

(0; 0), (1; 1),

1.2.3

√
1+

17
2

√

√

5 + √17 ; 5 + √17
25 + 17 25 + 17

√
,

1− 2 17

√
5 − √17
17 − 17

H phương trình hoán v

H phương trình hoán v là h có d ng


f
 ( x1 ) = g ( x2 )

f
 ( x2 ) = g ( x3 )


.

 f.(.xn−1) = g(xn)
f
 (xn) = g(x1) 
Đ nh lý 1.1. N u hai hàm s f(x), g(x) cùng tăng trên mi n xác đ nh và
(x1, x2, . . . , xn) là nghi m c a h (trong đó xi ∈ Ai = 1, n) thì x1 = x2 = • • • = xn.
Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s x1 = max(x1, x2, . . . , xn)
⇒ f (x1) ≥ f (x2) ⇒ g(x2) ≥ g(x3) ⇒ x2 ≥ x3 ⇒ • • • ⇒ xn ≥ x1
⇒ x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ • • • ≥ xn ≥ x1 ⇒ x1 = x2 = • • • = xn .

Đ nh lý 1.2. N u hàm s f(x) gi m và g(x) tăng trên mi n xác đ nh và
(x1, x2, . . . , xn) là nghi m c a h (trong đó xi ∈ Ai = 1, n) thì v i n l thì
x1 = x2 = • • • = xn .

Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s x1 = max(x1, x2, . . . , xn)
x1 ≥ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) ⇒ g(x2) ≤ g(x3) ⇒ x2 ≤ x3 ⇒ • • • ⇒ xn ≥ x1
f (xn) ≤ f (x1) ⇒ x1 ≤ x2 ⇒ x1 = x2 ⇒ x1 = x2 = • • • = xn

√
;

17

5 −√ .
17 − 17


Đ nh lý 1.3. N u hàm s f(x) gi m và g(x) tăng trên mi n xác đ nh và
(x1, x2, . . . , xn) là nghi m c a h (trong đó xi ∈ Ai = 1, n) thì v i n ch n thì
x1 = x3 = • • • = xn−1, x2 = x4 = • • • = xn.

14


Chương 1. H phương trình cơ b n

Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s x1 = max(x1, x2, . . . , xn)
⇒ x1 ≥ x3 ⇒ f (x1) ≤ f (x3) ⇒ g(x2) ≤ g(x4) ⇒ x2 ≤ x4
⇒ f (x2) ≥ f (x4) ⇒ g(x3) ≥ g(x5) ⇒ x3 ≥ x5 ⇒ . . . ⇒ f (xn−2) ≥ f
(xn) ⇒ g(x 1) ≥ g(x1) ⇒ xn−1 ≥ x1
−

⇒ f (xn−1) ≤ f (x1) ⇒ g(xn) ≤ g(x2) ⇒ xn ≤ x2

V y ta có
x1 ≥ x3 ≥ • • • ≥ xn−1 ≥ x1
x2 ≤ x4 ≤ • • • ≤ xn ≤ x2

⇔

x1 = x3 = • • • = xn−1
x2 = x4 = • • • = x2

.

Ví d 1.11. (VMO 1994, b ng A).Gi i h phương trình
x

 + 3x − 3 + ln(x2 − x + 1) = y 3
y3 + 3y − 3 + ln(y2 − y + 1) = z
z
 3 + 3z − 3 + ln(z2 − z + 1) = x

L i gi i. Xét hàm s f(t) = t3 + 3t − 3 + ln(t2 − t + 1) trên R.
Ta có f (t) = 3t2 + 3tt2 − tt+ 12 > 0, ∀t ∈ R.
2 −+
f
 (x) = y
f

H đư c vi t l i dư i d ng  (y) = z f (z) = x
D dàng ch ng minh đư c x = y = z th vào phương trình th nh t c a h ta
đư c
x3 + 2x − 3 + ln(x2 − x + 1) = 0

Xét hàm s g(x) = x3 + 2x − 3 + ln(x2 − x + 1) = 0 trên R
Ta có g (x) = 3x2 + x2x x + 1 > 0, ∀x ∈ R
2

+1

2

−

⇒ g(x) là hàm đ ng bi n trên R.

Mà g(1) = 0 nên phương trình
x3 + 2x − 3 + ln(x2 − x + 1) = 0 ⇔ x = 1

V y h đã cho có nghi m (1; 1; 1).

Ví d 1.12. (VMO 2006, b ng A) Gi i h phương trình
√x2
 − 2x + 6. log3(6 − y) = x
√

 zy2 − 22zy+ 66..log 3(6 − xz))= zy
2

− + log (6 − =


3

15


Chương 1. H phương trình cơ b n

L i gi i. Đi u ki n x, y, z < 6
H phương trình đã cho tương đương v i


log

 3(6 − y) = √ 2 x


 log (6 − z) =
x − 2x + 6
 3
y
2
−
2y + 6
y


3
z
2
 (6 − x) = √ z − 2z + 6
log

Xét hàm s f(t) = √
Ta có f (t) = 2

t
t2 − 2t + 6
6−t
√

trên (−∞; 6)

> 0, ∀t < 6

(t − 2t + 6) t2 − 2t + 6
⇒ f (x) đ ng bi n trên (−∞; 6)

Không m t tính t ng quát, gi s x = max{x, y, z}. Xét hai trư ng h p
Trư ng h p 1: x ≥ y ≥ z
Do f(x) đ ng bi n trên (−∞; 6) nên ta có
log3(6 − y) ≥ log3(6 − z) ≥ log3(6 − x) ⇔ x ≥ z ≥ z

Vì y ≥ z, x ≥ y nên y = z ⇒ x = y = z.
Trư ng h p 2: x ≥ z ≥ y.
Ch ng minh tương t ta suy ra x = y = z.
T đó suy ra h phương trình có nghi m (3; 3; 3).

1.2.4

H hai phương trình b c 2 t ng quát

H phương trình b c hai 2 n có d ng t ng quát
a1x2 + b1xy + c1y2 + d1x + e1y + f1 = 0 a2x2 +
b2xy + c2y2 + d2x + e2y + f2 = 0

Trong đó ai, bi, ci, di, ei, fi(i = 1, 2) là các tham s và x, y là các n s .
Ta xét các trư ng h p đ c bi t c a h .
a) H ch a m t phương trình b c nh t

Ta bi u di n x theo y ho c ngư c l i t m t phương trình, thay vào phương trình
còn l i đ có m t phương trình b c 2 m t n.