Đề đa thi vào 10 môn toán tỉnh vĩnh phúc 2016 2017

/>

HƯỚNG DẪN GIẢI VĨNH PHÚC
I. TRẮC NGHIỆM: mỗi ý đúng 0,5 điểm
Câu
1
2
Đáp án
B
A
II. TỰ LUẬN: (8,0 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
5

6

a

P = − 2 + 3−2 2 = − 2 +

(

)

2

3
A

2 −1 = − 2 +

4
C
Điểm
2 −1

= − 2 + 2 − 1 = −1
Số tiền phải trả cho 10km đầu là: 11.10 = 110 (nghìn đồng)
Số tiền phải trả cho 8km tiếp theo là: 7,5.8 = 60 (nghìn đồng)
b
Vậy hành khách đó đi 18km thì phải trả số tiền là:
110 + 60 = 170 (nghìn đồng)
Với m = 1 ta có hệ phương trình sau:
5

5
x
=

x − y = 1
3x = 5
x =

3
⇔
⇔
3 ⇔

a 2 x + y = 4  x − y = 1  y = x − 1  y = 2



3
5 2
Vậy với m = 1 hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ; ÷
3 3
b
(1)
mx − y = 1
Hệ: 
2 x + my = 4 (2)
Từ (1) ⇒ y = mx − 1 thay vào (2) ta được:
2 x + m ( mx − 1) = 4 ⇔ ( m 2 + 2 ) x = m + 4 (*)

Do m 2 + 2 > 0 với mọi m nên phương trình (*) luôn có nghiệm duy
nhất với mọi m do đó hệ đã cho cũng luôn có nghiệm duy nhất với
mọi giá trị của m.
m+4

 x = m 2 + 2
(0,25)

 y = 4m − 2
m2 + 2

Theo đề bài ta có phương trình:
m + 4 4m − 2
+ 2
= 2 ⇒ m + 4 + 4m − 2 = 2 ( m 2 + 2 )
2
m +2 m +2

1

m=
2

⇔ 2m − 5m + 2 = 0 ⇔ ( 2m − 1) ( m − 2 ) = 0 ⇔
2
(0,5)

m = 2
1 
Vậy với m ∈  ;2  thì hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) thỏa mãn
2 
/>
1,0

1,0

1,0

1,0


x+ y=2
Hình vẽ

(0,25)

7

Có 2 cách chứng minh
Cách 1: chứng minh 2 góc bằng nhau trước từ đó suy ra 4 điểm nằm
trên một đường tròn.
Ta có: PM//AB và PN//AC (theo giả thiết)
·
·
⇒ BAC
(Góc có cạnh tương ứng song song)
= MPN
Xét đường tròn (O)có tứ giác ABDC nội tiếp
·
·
·
·
⇒ BAC
+ BDC
= 1800 ⇒ MPN
+ MDN
= 1800
⇒ tứ giác PMDN nội tiếp hay 4 điểm P, M, D, N cùng thuộc một
đường tròn.
a Cách 2: Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn sau đó suy
ra 2 góc bằng nhau.
·
Từ PM//AB ⇒ ·ABD = PMD
(đồng vị)
·
PN//AC ⇒ ·ACB = PND
(đồng vị)
Mà ·ABD + ·ACB = 1800 (do tứ giác ABDC nội tiếp (O)).

·
·
⇒ PMD
+ PND
= 1800 ⇒ tứ giác PMDN nội tiếp hay 4 điểm P, M,
D, N cùng thuộc một đường tròn.
(do cùng bù góc BDC
)
·
·
·
⇒ MPN
= BAC
·
b Do AD là phân giác của góc BAC
⇒ D là điểm chính giữa của cung
nhỏ BC và DO ⊥ BC .
» = DC
» ⇒ BD = DC ⇒ ∆BDC cân tại D
⇒ BD
·
·
·
=> DP là phân giác của góc BDC ⇒ MDP = NDP (1)
/>
1,0

1,0

Xét đường tròn đi qua 4 điểm P, M, D, N, ta có:
·
·
(cùng chắn cung PN)
PMN
= NDP
·
·
(cùng chắn cung MP)
PNM
= MDP
·
·
⇒ PMN
= PNM
⇒ ∆PMN cân tại P.
·
·
» = PN
» ⇒ PQD
Từ ∆PMN cân nên PM = PN ⇒ PM
= PQN
(2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau).
·
⇒ QP là phân giác của MQN
(*)
Xét đường tròn chứa 5 điểm P,M,D,Q,N ta có:
·
·
(cùng chắn cung PMD)

(1)
PND
= PQD
c
Xét (O) có: ·ACD = ·AQD (cùng chắn cung ABD) (2)

1,0

·
Mà PN//AC (gt) => PND
= ·ACD (2 góc đồng vị) (3)
·
Từ (1), (2) và (3) ⇒ ·AQD = PQD
⇒ 3 điểm A, P, Q thẳng hàng(**)

8

·
Từ (*) và (**) suy ra: QA là phân giác của góc MQN
.
1
Từ x, y > 0 và x − 2 y ≤
x
1
⇒ x 2 − 4 xy + 4 y 2 ≤ ⇔ x 3 − 4 x 2 y + 4 xy 2 ≤ 1
x
Hoàn toàn tương tự cũng có: y 3 − 4 xy 2 + 4 x 2 y ≤ 1
Cộng vế với vế của 2 BĐT trên ta được: x 3 + y 3 ≤ 2
Áp dụng BĐT AM – GM cho bộ 3 số dương ta được:
x 3 + x3 + 1 ≥ 3x 2

2 y3 + 2 + 2 ≥ 6 y

⇒ 3 ( x 2 + 2 y ) ≤ 2 ( x 3 + y 3 ) + 5 ≤ 2.2 + 5 = 9 ⇒ P = x 2 + 2 y ≤ 3
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1
Vậy minP = 3 ⇔ x = y = 1 .

Chú ý: trên đây chỉ là một hướng giải, cách giải khác đúng vẫn được điểm tối đa.

/>
1,0