Bài tập hình học phương trình đường thẳng và đường tròn (có đáp án)

Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng
TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1.

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x - 7 y + 17 = 0 ,

d2 : x + y - 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam
giác cân tại giao điểm của d1, d2 .

· Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x - 7 y + 17
x+ y-5
é x + 3y - 13 = 0 (D1 )
=
Ûê
ë3 x - y - 4 = 0 (D2 )
12 + (-7)2
12 + 12
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với D1 hoặc D2 .
KL: x + 3y - 3 = 0 và 3x - y + 1 = 0

Câu 2.

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2 x - y + 5 = 0 .

d2 : 3 x + 6 y – 7 = 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d1, d2.

r
r
· d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6)
uur uur
Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = 0 nên d1 ^ d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường

thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = 0 Û Ax + By - 2 A + B = 0
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
2A - B
é A = 3B
Û
= cos 450 Û 3 A2 - 8 AB - 3B 2 = 0 Û ê
ë B = -3 A
A2 + B2 22 + (-1)2
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x + y - 5 = 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - 5 = 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x + y - 5 = 0 ; d : x - 3y - 5 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) d1 : x - 7 y + 17 = 0 , d2 : x + y - 5 = 0 , P(0;1) .
ĐS: x + 3y - 3 = 0 ; 3 x - y + 1 = 0 .
Câu 3.

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + 5 = 0 , d2 : 3 x + y + 1 = 0 và điểm

I (1; -2) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho
AB = 2 2 .

uur
uur
· Giả sử A(a; -3a - 5) Î d1; B(b; -3b - 1) Î d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1)

uur
uur
ìb - 1 = k (a - 1)
I, A, B thẳng hàng Þ IB = kIA Û í
î-3b + 1 = k (-3a - 3)
· Nếu a = 1 thì b = 1 Þ AB = 4 (không thoả).
b -1
· Nếu a ¹ 1 thì -3b + 1 =
(-3a - 3) Û a = 3b - 2
a -1
2

AB = (b - a)2 + éë3(a - b) + 4 ùû = 2 2 Û t 2 + (3t + 4)2 = 8 (với t = a - b ).
2
5
+ Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + 1 = 0
Û 5t 2 + 12t + 4 = 0 Û t = -2; t = -

Trang 1


PP to trong mt phng
+ Vi t =
Cõu 4.

Trn S Tựng

-2
-2
4

2
ị a-b =
ị b = , a = ị D : 7x - y - 9 = 0
5
5
5
5

Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng d1 : x + y + 1 = 0 ,

d2 : 2 x y 1 = 0 . Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d1) v (d2) tng
uuur uuur r
ng ti A v B sao cho 2 MA + MB = 0 .
ã Gi s: A(a; uuur
a1),uuur
B(b; r2b 1).
T iu kin 2 MA + MB = 0 tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0
Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng d1 : x + y + 1 = 0, d2 : x 2 y + 2 = 0 ln lt ti A, B sao cho
MB = 3MA.
uuur
ỡ A ẻ (d1 )
ỡ A(a; -1 - a) ỡù uuur
MA = (a - 1; -1 - a)
ãớ
.
ớ
ịớ
B
ẻ

(
d
)
B
(2
b
2;
b
)
ợ
ùợ MB = (2b - 3; b)
ợ
2
uuur
uuur
uuur
uuur
T A, B, M thng hng v MB = 3MA ị MB = 3MA (1) hoc MB = -3MA (2)
ỡ ổ 2 1ử
ỡ A 0; -1)
ùA - ;ị (d ) : x - y - 1 = 0
(1) ị ớ ỗố 3 3 ữứ ị (d ) : x - 5y - 1 = 0 hoc (2) ị ớ (
ợ B(4;3)
ù B(-4; -1)
ợ

Cõu 5.

Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng d1 : 3x - y - 5 = 0, d2 : x + y - 4 = 0 ln lt ti A, B sao cho

Cõu 6.

2 MA 3MB = 0 .
ã Gi s A(a;3a - 5) ẻ d1 , B(b;4 - b) ẻ d2 .

uuur
uuur
ộ2 MA = 3MB (1)
uuur
Vỡ A, B, M thng hng v 2 MA = 3MB nờn ờ uuur
2
3
MA
=
MB (2)
ở
ỡ
5
ổ 5 5ử
ùa =
ỡ2(a - 1) = 3(b - 1)
+ (1) ớ
ớ
ị A ỗ ; ữ , B(2;2) . Suy ra d : x - y = 0 .
2
ợ2(3a - 6) = 3(3 - b)
ố2 2ứ
ùợb = 2
ỡ2(a - 1) = -3(b - 1)

ỡa = 1
+ (2) ớ
ớ
ị A(1; -2), B(1;3) . Suy ra d : x - 1 = 0 .
ợ2(3a - 6) = -3(3 - b)
ợb = 1
Vy cú d : x - y = 0 hoc d : x - 1 = 0 .
Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho (OA + 3OB) nh nht.

Cõu 7.

ã PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
M(3; 1) ẻ d 1 =

x y
+ = 1 (a,b>0)
a b

3 1 Cụ - si 3 1
+
2 . ị ab 12 .
a b
a b

ỡa = 3b
ù
ỡa = 6
M OA + 3OB = a + 3b 2 3ab = 12 ị (OA + 3OB)min = 12 ớ 3 1 1 ớ
ợb = 2

ùợ a = b = 2
x y
Phng trỡnh ng thng d l: + = 1 x + 3y - 6 = 0
6 2
Trang 2


Trn S Tựng

PP to trong mt phng

Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng OA + OB nh nht.
ã x + 2y - 6 = 0

Cõu 8.

Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
9
4
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
nh nht.
+
OA2 OB 2
ã ng thng (d) i qua M(1;2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn
x y
A(a; 0); B(0; b) vi a.b ạ 0 ị Phng trỡnh ca (d) cú dng + = 1 .
a b
1 2
Vỡ (d) qua M nờn + = 1 . p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú :

a b

Cõu 9.

2

2

ổ1 2ử ổ1 3
2 ử ổ 1 ửổ 9
4 ử
9
4
9
9
4
9
1 = ỗ + ữ = ỗ . + 1. ữ Ê ỗ + 1ữỗ + ữ

+ 2
+
.
2
2
2
2
2
b ứ ố 9 ứố a
10
10

b ứ
a
b
OA
OB
ốa bứ ố3 a
1 3
2
1 2
20
Du bng xy ra khi : = 1: v
+ = 1 a = 10, b =
ị d : 2 x + 9 y - 20 = 0 .
3 a
b
a b
9
Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)

v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).
ã x + 3y - 6 = 0; x - y - 2 = 0
Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua M(2;1) v to

vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng S = 4 .

ã Gi A(a;0), B(0; b) (a, b ạ 0) l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra: d :

x y
+ =1 .
a b

ỡ2 1
ỡ2b + a = ab
ù + =1
Theo gi thit, ta cú: ớ a b
ớ
.
ab
=
8
ợ
ù ab = 8
ợ
ã Khi ab = 8 thỡ 2b + a = 8 . Nờn: b = 2; a = 4 ị d1 : x + 2 y - 4 = 0 .

ã Khi ab = -8 thỡ 2b + a = -8 . Ta cú: b2 + 4b - 4 = 0 b = -2 2 2 .
+ Vi b = -2 + 2 2 ị d : (1 - 2 ) x + 2 (1 + 2 ) y - 4 = 0

+ Vi b = -2 - 2 2 ị d : (1 + 2 ) x + 2 (1 - 2 ) y + 4 = 0 .
Cõu hi tng t:
a) M (8;6), S = 12 .
S: d : 3x - 2 y - 12 = 0 ; d : 3x - 8y + 24 = 0
Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh

2 x y + 3 = 0 . Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
=
.
10

ã PT ng thng (D) cú dng: a( x 2) + b( y + 1) = 0 ax + by 2a + b = 0 (a2 + b2 ạ 0)
Ta cú: cos a =

2a - b

=

1

7a2 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 ị b = 1; b = 7.

10
5(a2 + b2 )
ị (D1): x + y 1 = 0 v (D2): x + 7y + 5 = 0

Trang 3


PP toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2 x + 3y + 4 = 0 .

Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 450 .

· PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = 0 Û ax + by – (2a + b) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
2a + 3b

Ta có: cos 450 =

é a = 5b
Û 5a2 - 24ab - 5b2 = 0 Û ê
ë5a = - b

13. a2 + b2
+ Với a = 5b . Chọn a = 5, b = 1 Þ Phương trình D : 5 x + y - 11 = 0 .
+ Với 5a = -b . Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + 3 = 0 .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2 x - y - 2 = 0 và điểm I(1;1) .

Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đường thẳng

0

d một góc bằng 45 .

· Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ¹ 0) .
Vì (·
d , D) = 450 nên

2a - b
2

2

a +b . 5

1

é a = 3b
Ûê
ë b = -3a
2

=

4+c

éc = 6
= 10 Û ê
ëc = -14
10
-2 + c
é c = -8
= 10 Û ê
· Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û
ëc = 12
10

· Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û

Vậy các đường thẳng cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 .
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có

phương trình lần lượt là 3x + y + 2 = 0 và x - 3y + 4 = 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2 .
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B , C
( B và C khác A ) sao cho

1

+

1

đạt giá trị nhỏ nhất.
AB 2 AC 2
· A = d1 Ç d2 Þ A(-1;1) . Ta có d1 ^ d2 . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên D . ta có:
1

1

1
AB

2

+

1
AC

2

=
1

1

AH

2

³

1
AM 2

(không đổi)

khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M
AB
AC
AM 2
và vuông góc với AM. Þ Phương trình D: x + y - 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1; -2) , d1 : 3 x + y + 5 = 0 , d2 : x - 3y + 5 = 0 .
ĐS: D : x + y + 1 = 0 .
Þ

2

+

2

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – 4 = 0 và đường

tròn (C ) : x 2 + y 2 – 4 y = 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).
· M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b)
6
N Î (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 Þ b = 0; b =
5
Trang 4


Trn S Tựng

PP to trong mt phng

ổ 38 6 ử
ổ 8 4ử
Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M ỗ ; ữ , N ỗ - ; ữ
ố 5 5ứ
ố 5 5ứ
Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D: 2 x + 3y + 4 = 0 . Tỡm

im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc 450 .
r
ỡ x = 1 - 3t
ã D cú PTTS: ớ
v VTCP u = (-3;2) . Gi s B(1 - 3t; -2 + 2t ) ẻ D .
ợ y = -2 + 2t
ộ 15
uuur r
uuur r

ờt = 13
1
AB.u
1
2
0
( AB, D) = 45 ị cos( AB; u) =

169t - 156t - 45 = 0 ờ
.
r =
AB. u
2
2
ờt = - 3
13
ở
ổ 32 4 ử
ổ 22 32 ử
Vy cỏc im cn tỡm l: B1 ỗ - ; ữ , B2 ỗ ; - ữ .
ố 13 13 ứ
ố 13 13 ứ
Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng d : x - 3y - 6 = 0 v im N(3; 4) .

Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch
15
bng .
2
uuur
ã Ta cú ON = (3; 4) , ON = 5, PT ng thng ON: 4 x - 3y = 0 . Gi s M (3m + 6; m) ẻ d .

2S
1
Khi ú ta cú SDONM = d ( M , ON ).ON d ( M , ON ) = DONM = 3
2
ON
4.(3m + 6) - 3m
-13

= 3 9m + 24 = 15 m = -1; m =
5
3
ổ
-13
-13 ử
+ Vi m = -1 ị M (3; -1)
+ Vi m =
ị M ỗ -7;
ữ
3
3 ứ
ố
Cõu 19. Trong mt phng to Oxy, cho im A(0;2) v ng thng d : x - 2 y + 2 = 0 . Tỡm

trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC .
ã Gi s B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) ẻ d .
uuur r
ổ2 6ử
2 5
5
Vỡ DABC vuụng B nờn AB ^ d AB.ud = 0 B ỗ ; ữ ị AB =

ị BC =
5
5
ố 5 5ứ
ộc = 1 ị C (0;1)
5
1
BC =
125c 2 - 300c + 180 =
ờ
ổ4 7ử
7
ờc = ị C ỗ ; ữ
5
5
5
ố 5 5ứ
ở
Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng d1 : x + y - 3 = 0 , d2 : x + y - 9 = 0 v

im A(1; 4) . Tỡm im B ẻ d1, C ẻ d2 sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.
uuur
uuur
ã Gi B(b;3 - b) ẻ d1, C (c;9 - c) ẻ d2 ị AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) .
uuur uuur
ỡ(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = 0
ỡ AB. AC = 0
DABC vuụng cõn ti A ớ
ớ
2

2
2
2 (*)
ợ AB = AC
ợ(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c)
Vỡ c = 1 khụng l nghim ca (*) nờn

Trang 5


PP to trong mt phng

Trn S Tựng

ỡ
(b + 1)(5 - c)
(1)
ùùb - 1 =
c -1
(*) ớ
(5 - c)2
ù(b + 1)2
+ (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2)
2
ùợ
(c - 1)
ộb = c - 2
.
T (2) (b + 1)2 = (c - 1)2 ờ
ở b = -c

+ Vi b = c - 2 , thay vo (1) ta c c = 4, b = 2 ị B(2;1), C (4;5) .
+ Vi b = -c , thay vo (1) ta c c = 2, b = -2 ị B(-2;5), C (2;7) .
Vy: B(2;1), C (4;5) hoc B(-2;5), C (2;7) .
Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú

phng trỡnh: d1 : (m 1) x + (m 2) y + 2 m = 0 ; d2 : (2 m) x + (m 1) y + 3m 5 = 0 . Chng
minh d1 v d2 luụn ct nhau. Gi P = d1 ầ d2. Tỡm m sao cho PA + PB ln nht.
ỡ(m - 1) x + (m - 2)y = m - 2
ã Xột H PT: ớ
.
ợ(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + 5
2

ổ
3ử 1
m -1 m - 2
Ta cú D =
= 2 ỗ m - ữ + > 0, "m
2 - m m -1
2ứ 2
ố
ị d1, d2 luụn ct nhau. Ta cú: A(0;1) ẻ d1, B(2; -1) ẻ d2 , d1 ^ d2 ị D APB vuụng ti P ị P
nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: ( PA + PB)2 Ê 2( PA2 + PB2 ) = 2 AB 2 = 16
ị PA + PB Ê 4 . Du "=" xy ra PA = PB P l trung im ca cung ằ
AB

P(2; 1) hoc P(0; 1) m = 1 hoc m = 2 . Vy PA + PB ln nht m = 1 hoc
m =2.

Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D): x 2 y 2 = 0 v hai im A(-1;2) ,

B(3;4) . Tỡm im Mẻ(D) sao cho 2 MA2 + MB2 cú giỏ tr nh nht.
uuur
uuur
ã Gi s M M (2t + 2; t ) ẻ D ị AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4)
ổ 2ử
ổ 26 2 ử
Ta cú: 2 AM 2 + BM 2 = 15t 2 + 4t + 43 = f (t ) ị min f (t ) = f ỗ - ữ ị M ỗ ; - ữ
ố 15 ứ
ố 15 15 ứ
Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng d : 2 x - y + 3 = 0 v 2 im A(1; 0), B(2;1) .

Tỡm im M trờn d sao cho MA + MB nh nht.
ã Ta cú: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > 0 ị A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi AÂ l im i xng ca A qua d ị AÂ(-3;2) ị Phng trỡnh AÂB : x + 5y - 7 = 0 .
Vi mi im M ẻ d, ta cú: MA + MB = MAÂ + MB AÂB .
M MAÂ + MB nh nht AÂ, M, B thng hng M l giao im ca AÂB vi d.
ổ 8 17 ử
Khi ú: M ỗ - ; ữ .
ố 11 11 ứ

Trang 6


Trn S Tựng

PP to trong mt phng
TP 02: NG TRềN

Cõu 1.

Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):

2 x y 5 = 0 v ng trũn (C): x 2 + y 2 - 20 x + 50 = 0 . Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã A(3; 1), B(5; 5) ị (C): x 2 + y 2 - 4 x - 8y + 10 = 0
3
, A(2; 3),
2
B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng d : 3x y 8 = 0 . Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.
ã Tỡm c C (1; -1) , C2 (-2; -10) .
1
11
11
16
+ Vi C1(1; -1) ị (C): x 2 + y 2 - x + y +
=0
3
3
3
91
91
416
+ Vi C2 (-2; -10) ị (C): x 2 + y 2 - x + y +
=0
3
3
3

Cõu 2.

Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng

Cõu 3.

Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: d1 : 2 x + y - 3 = 0 ,

d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x + 3y + 2 = 0 . Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d1 v
tip xỳc vi d2 v d3.
ã Gi tõm ng trũn l I (t;3 - 2t ) ẻ d1.
3t + 4(3 - 2t ) + 5 4t + 3(3 - 2t ) + 2
ột = 2
=
ờ
5
5
ởt = 4
49
9
Vy cú 2 ng trũn tho món: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 =
v ( x - 4)2 + ( y + 5)2 =
.
25
25
Cõu hi tng t:
a) Vi d1 : x 6 y 10 = 0 , d2 : 3 x + 4 y + 5 = 0 , d3 : 4 x - 3y - 5 = 0 .

Khi ú: d (I , d2 ) = d ( I , d3 )

2

2

2

ổ
10 ử ổ
70 ử ổ 7 ử
S: ( x - 10) + y = 49 hoc ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = ỗ ữ .
43 ứ ố
43 ứ ố 43 ứ
ố
2

2

Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng D : x + 3y + 8 = 0 ,
D ' :3x - 4 y + 10 = 0 v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng D , i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

Cõu 4.

ã Gi s tõm I (-3t - 8; t ) ẻ D.. Ta cú: d ( I , DÂ ) = IA


3(-3t - 8) - 4t + 10
2

3 +4

2

= (-3t - 8 + 2)2 + (t - 1)2 t = -3 ị I (1; -3), R = 5

PT ng trũn cn tỡm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 .
Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng D : 4 x - 3y + 3 = 0 v
D ' : 3 x - 4 y - 31 = 0 . Lp phng trỡnh ng trũn (C ) tip xỳc vi ng thng D ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi D '. Tỡm ta tip im ca (C ) v D ' .

Cõu 5.

ã Gi I (a; b) l tõm ca ng trũn (C). (C ) tip xỳc vi D ti im M(6;9) v (C ) tip
xỳc vi DÂ nờn
Trang 7


PP to trong mt phng

Trn S Tựng

ỡ
ỡ 4a - 3b + 3 3a - 4b - 31
54 - 3a
ỡduuu
(rI , D) = d (I , D ')
ù
ù 4a - 3
+ 3 = 6a - 85

=
ớ
ớ
r
ớ
4
5
5
ợ IM ^ uD = (3; 4)
ùợ3(a - 6) + 4(b - 9) = 0
ùợ3a + 4b = 54
ỡ
ù 25a - 150 = 4 6a - 85
ộ a = 10; b = 6
ớ
ờ
54 - 3a
b
=
ở a = -190; b = 156
ùợ
4
Vy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tip xỳc vi D ' ti N(13;2)
hoc (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tip xỳc vi D ' ti N(-43; -40)
Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua A(2; -1) v tip
xỳc vi cỏc trc to .
ộ( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a)
ã Phng trỡnh ng trũn cú dng: ờ
2
2

2
ờở( x - a) + ( y - a) = a (b)
a) ị a = 1; a = 5
b) ị vụ nghim.

Cõu 6.

Kt lun: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = 1 v ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 .
Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng (d ) : 2 x - y - 4 = 0 . Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).
4
ã Gi I (m;2m - 4) ẻ (d ) l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: m = 2m - 4 m = 4, m = .
3

Cõu 7.

2

2

ổ
4ử ổ
4 ử 16
4
ã m = thỡ phng trỡnh ng trũn l: ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = .
3
3ứ ố
3ứ
9
ố

ã m = 4 thỡ phng trỡnh ng trũn l: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 .
Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):
3x 4 y + 8 = 0 . Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D).

Cõu 8.

ã Tõm I ca ng trũn nm
uuurtrờn ng trung trc d ca on AB
d qua M(1; 2) cú VTPT l AB = (4;2) ị d: 2x + y 4 = 0 ị Tõm I(a;4 2a)
ộa = 3
Ta cú IA = d(I,D) 11a - 8 = 5 5a2 - 10a + 10 2a2 37a + 93 = 0 ờ
31
ờa =
2
ở
ã Vi a = 3 ị I(3;2), R = 5 ị (C): (x 3)2 + (y + 2)2 = 25
2

ổ 31
ử
ổ
31 ử
4225
31
65
ã Vi a =
ị I ỗ ; -27 ữ , R =
ị (C): ỗ x - ữ + ( y + 27)2 =
2

2
2ứ
4
ố 2
ứ
ố
Cõu 9.

Trong h to Oxy cho hai ng thng d : x + 2 y - 3 = 0 v D : x + 3y - 5 = 0 . Lp

2 10
, cú tõm thuc d v tip xỳc vi D .
5
ã Tõm I ẻ d ị I (-2a + 3; a) . (C) tip xỳc vi D nờn:
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng

d (I , D) = R

a-2
10

=

2 10
ộa = 6
ờ
5
ở a = -2
Trang 8

Trn S Tựng

PP to trong mt phng

ị (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 =

8
8
hoc (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = .
5
5

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy

ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã (C) cú tõm I(-2 3;0) , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi IÂ l tõm ca (CÂ).
ỡ
PT ng thng IA : ớ x = 2 3t , I ' ẻ IA ị I Â(2 3t;2t + 2) .
ợ y = 2t + 2
uur
uur
1
AI = 2 I ÂA t = ị I '( 3;3) ị (CÂ): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4
2
Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 4 y 5 = 0 . Hóy vit

ổ4 2ử

phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M ỗ ; ữ
ố 5 5ứ
ã (C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M
ổ 8 -6 ử
ị IÂ ỗ ; ữ ị (CÂ):
ố5 5 ứ

2

2

ổ
8ử ổ
6ử
ỗx - ữ +ỗy+ ữ = 9
5ứ ố
5ứ
ố

Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 2 = 0 . Vit

phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB = 3 .

ã (C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R = 3 . PT ng thng IM: 3x - 4 y - 11 = 0 . AB = 3 .
ỡ H ẻ IM
ỡ3 x - 4 y - 11 = 0
ù
ù

Gi H ( x; y ) l trung im ca AB. Ta cú: ớ
3
9
ớ
2
2
2
2
ùợ IH = R - AH = 2
ùợ( x - 1) + ( y + 2) = 4
ộ
1
29
ờ x = - 5 ; y = - 10
ổ 1 29 ử
ổ 11 11 ử
ờ
ị H ỗ - ; - ữ hoc H ỗ ; - ữ .
ố 5 10 ứ
ố 5 10 ứ
ờ x = 11 ; y = - 11
5
10
ở
ổ 1 29 ử
ã Vi H ỗ - ; - ữ . Ta cú RÂ2 = MH 2 + AH 2 = 43 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 .
ố 5 10 ứ
ổ 11 11 ử
ã Vi H ỗ ; - ữ . Ta cú RÂ2 = MH 2 + AH 2 = 13 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 .
ố 5 10 ứ

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 4 v im

K(3;4) . Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã (C) cú tõm I(1;2) , bỏn kớnh R = 2 . SD IAB ln nht DIAB vuụng ti I AB = 2 2 .
M IK = 2 2 nờn cú hai ng trũn tho YCBT.
+ (T1 ) cú bỏn kớnh R1 = R = 2 ị (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 4
Trang 9


PP to trong mt phng

Trn S Tựng

+ (T2 ) cú bỏn kớnh R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = 2 5 ị (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 .
Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC

ổ1 ử
vi cỏc nh: A(2;3), B ỗ ;0 ữ , C (2;0) .
ố4 ứ
ổ1
ử
ã im D(d;0) ỗ < d < 2 ữ thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
ố4
ứ
2

2
ổ9ử

1
ỗ 4 ữ + ( -3)
d
DB AB
4= ố ứ
khi v ch khi
=

ị 4d - 1 = 6 - 3d ị d = 1.
2
DC AC
2-d
2
4 + ( -3 )

x +2 y-3
x +2 y -3
=
x + y - 1 = 0 ; AC:
=
3x + 4 y - 6 = 0
3
-3
4
-3
Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l 1- b v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:
ộ
4
3 (1 - b ) + 4b - 6

ờ b - 3 = 5b ị b = - 3
= b b - 3 = 5b ị ờ
2
2
ờ b - 3 = -5b ị b = 1
3 +4
ở
2
1
Rừ rng ch cú giỏ tr b = l hp lý.
2
Phng trỡnh AD:

2

2

ổ
1ử ổ
1ử
1
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip DABC l: ỗ x - ữ + ỗ y - ữ =
2ứ ố
2ứ
4
ố
Cõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d1): 4 x - 3y - 12 = 0 v (d2):

4 x + 3y - 12 = 0 . Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d1), (d2) v trc Oy.

ã Gi A = d1 ầ d2 , B = d1 ầ Oy, C = d2 ầ Oy ị A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) ị DABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip DABC
ổ4 ử
4
ị I ỗ ;0 ữ , R = .
3
ố3 ứ
Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d: x - y - 1 = 0 v hai ng trũn cú

phng trỡnh: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 . Vit phng trỡnh
ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C1) v (C2).
ã Gi I, I1, I2, R, R1, R2 ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C1), (C2). Gi s I (a; a 1)ẻ d .
(C) tip xỳc ngoi vi (C1), (C2) nờn II1 = R + R1, II 2 = R + R2 ị II1 R1 = II 2 R2



(a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 a = 0 ị I(0; 1), R =

2

ị Phng trỡnh (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 .
Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),

M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip
DABC.
Trang 10


Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng

· y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 2 x = 0 . Viết phương trình tiếp

tuyến của ( C ) , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o .

· (C ) : ( x + 1)2 + y 2 = 1 Þ I (-1; 0); R = 1 . Hệ số góc của tiếp tuyến (D) cần tìm là ± 3 .
Þ PT (D) có dạng D1 : 3x - y + b = 0 hoặc D2 : 3x + y + b = 0
+ D1 : 3 x - y + b = 0 tiếp xúc (C) Û d ( I , D1 ) = R Û

b- 3
= 1 Û b = ±2 + 3 .
2

Kết luận: (D1 ) : 3 x - y ± 2 + 3 = 0
+ (D2 ) : 3 x + y + b = 0 tiếp xúc (C) Û d ( I , D2 ) = R Û

b- 3
= 1 Û b = ±2 + 3 .
2

Kết luận: (D2 ) : 3 x + y ± 2 + 3 = 0 .
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 5 = 0 và

đường thẳng (d): 3x + y - 3 = 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 450 .
5.

· (C) có tâm I(3; 1), bán kính R =

Giả sử (D): ax + by + c = 0 (c ¹ 0) .

ìd ( I , D) = 5
ï
é a = 2, b = -1, c = -10
é D : 2 x - y - 10 = 0
Từ: í
2 Þ ê a = 1, b = 2, c = -10 Þ ê D : x + 2 y - 10 = 0 .
ë
ë
ïcos(d , D) =
î
2
Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C ) : ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 10 và đường thẳng

d : 2 x - y - 2 = 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C ) , biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng d một góc 450 .

r
· (C) có tâm I(1;1) bán kính R = 10 . Gọi n = (a; b) là VTPT của tiếp tuyến D (a2 + b2 ¹ 0) ,
Vì (·
D, d ) = 450 nên

2a - b
a2 + b2 . 5

=

1

é a = 3b
Ûê
ë b = -3a
2
4+c

éc = 6
= 10 Û ê
ëc = -14
10
-2 + c
é c = -8
· Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û
= 10 Û ê
ëc = 12
10

· Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = 0 . Mặt khác d ( I ; D) = R Û

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3 x + y + 6 = 0; 3 x + y - 14 = 0 ; x - 3y - 8 = 0; x - 3y + 12 = 0 .

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1): x 2 + y 2 – 2 x – 2 y – 2 = 0 , (C2): x 2 + y 2 – 8 x – 2 y + 16 = 0 .

· (C1) có tâm I1(1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I 2 (4; 1) , bán kính R2 = 1.
Ta có: I1I 2 = 3 = R1 + R2

Þ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

Þ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: (D) : y = ax + b Û (D) : ax - y + b = 0 ta có:
Trang 11


PP to trong mt phng

Trn S Tựng

ỡ a + b -1
ỡ
ỡ
2
2
=2
ù
=
=a
a
ù
ù
2
2
ỡd ( I1; D) = R1
ù a +b
ù
ù
4
4

ớ
hay ớ
ớd ( I ; ) = R ớ
D
4
a
+
b
1
+
4
7
2
4
7 2
ợ 2
2
ù
ùb =
ùb =
=1
ù 2
2
ợù
ợù
4
4
ợ a +b
Vy, cú 3 tip tuyn chung: (D1 ) : x = 3, (D2 ) : y = -

2
4+7 2
2
4-7 2
x+
, (D3 ) y =
x+
4
4
4
4

Cõu 22. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 2 v

(C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 8 . Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca (C) v (C).

ã (C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R = 2 ; (CÂ) cú tõm IÂ(1; 2) v bỏn kớnh R ' = 2 2 .
Ta cú: II ' = 2 = R - RÂ ị (C) v (CÂ) tip xỳc trong ị Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (CÂ) tip xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
uur
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II Â = (-1; -1) ị PTTT: x + y - 7 = 0
Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C1 ) : x 2 + y 2 - 2 y - 3 = 0 v

(C2 ) : x 2 + y 2 - 8x - 8y + 28 = 0 . Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca (C1 ) v (C2 ) .

ã (C1 ) cú tõm I1(0;1) , bỏn kớnh R1 = 2 ; (C2 ) cú tõm I 2 (4;4) , bỏn kớnh R2 = 2 .
Ta cú: I1I 2 = 5 > 4 = R1 + R2 ị (C1 ),(C2 ) ngoi nhau. Xột hai trng hp:
+ Nu d // Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng: x + c = 0 .
Khi ú: d ( I1 , d ) = d ( I 2 , d ) c = 4 + c c = -2 ị d : x - 2 = 0 .

+ Nu d khụng song song vi Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng: d : y = ax + b .

ộ
3
7
a= ;b=
ờ
4
2
=2
ờ
3
3
a2 + 1
ờa = ; b = -1 + b
4a - 4 + b
4
2
ờ
=
7
37
ờ
a2 + 1
a2 + 1
ờở a = - 24 ; b = 12
ị d : 3x - 4 y + 14 = 0 hoc d : 3 x - 4 y - 6 = 0 hoc d : 7 x + 24 y - 74 = 0 .
Vy: d : x - 2 = 0 ; d : 3 x - 4 y + 14 = 0 ; d : 3 x - 4 y - 6 = 0 ; d : 7 x + 24 y - 74 = 0 .
ỡ
ù

ỡd ( I1, d ) = 2
ù
Khi ú: ớ
ớ
ợd ( I1, d ) = d ( I 2 , d )
ù
ù
ợ

-1 + b

Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C1 ) : x 2 + y 2 - 4 y - 5 = 0 v

(C2 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 8y + 16 = 0 . Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca (C1 ) v (C2 ) .

ã (C1 ) cú tõm I1(0;1) , bỏn kớnh R1 = 3 ; (C2 ) cú tõm I 2 (3; -4) , bỏn kớnh R2 = 3 .
Gi s tip tuyn chung D ca (C1 ), (C2 ) cú phng trỡnh: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ạ 0) .
ỡù 2b + c = 3 a2 + b2
ỡd ( I , D) = R1
D l tip tuyn chung ca (C1 ), (C2 ) ớ 1
ớ
ợd ( I 2 , D) = R2
ùợ 3a - 4b + c = 3 a2 + b2
-3a + 2b
T (1) v (2) suy ra a = 2b hoc c =
.
2
+ TH1: Vi a = 2b . Chn b = 1 ị a = 2, c = -2 3 5 ị D : 2 x + y - 2 3 5 = 0
Trang 12

(1)
(2)


Trn S Tựng

PP to trong mt phng
ộa = 0
-3a + 2b
. Thay vo (1) ta c: a - 2b = 2 a2 + b2 ờ
4 .
ờa = - b
2
3
ở
ị D : y + 2 = 0 hoc D : 4 x - 3y - 9 = 0 .

+ TH2: Vi c =

Cõu 25. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 + 4 3 x - 4 = 0 . Tia Oy ct (C) ti im

A. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú bỏn kớnh RÂ = 2 sao cho (T) tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã (C) cú tõm I(-2 3;0) , bỏn kớnh R = 4 . Tia Oy ct (C) ti A(0;2) . Gi J l tõm ca (T).
ỡ
Phng trỡnh IA: ớ x = 2 3t . Gi s J (2 3t;2t + 2) ẻ ( IA) .
ợ y = 2t + 2
uur
uur

1
(T) tip xỳc ngoi vi (C) ti A nờn AI = 2JA ị t = ị J ( 3;3) .
2
Vy: (T ) : ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 4 .
Cõu 26. Trong

mt phng Oxy, cho ng trũn (C):

x 2 + y2 = 1

v phng trỡnh:

x 2 + y 2 2(m + 1) x + 4my 5 = 0 (1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca
ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (Cm). Tỡm m (Cm) tip xỳc vi (C).

ã (Cm) cú tõm I (m + 1; -2m) , bỏn kớnh R ' = (m + 1)2 + 4m2 + 5 ,
(C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1,

OI = (m + 1)2 + 4m 2 , ta cú OI < RÂ

3
Vy (C) v (Cm) ch tip xỳc trong. ị RÂ R = OI ( vỡ R > R) ị m = -1; m = .
5
1

v
Cõu 27. Trong mt phng Oxy, cho cỏc ng trũn cú phng trỡnh (C1 ) : ( x - 1)2 + y 2 =
2
(C2 ) : ( x - 2)2 + ( y - 2)2 = 4 . Vit phng trỡnh ng thng d tip xỳc vi (C1 ) v ct (C2 )
ti hai im M , N sao cho MN = 2 2 .

1

ã (C1 ) cú tõm I1(1; 0) , bỏn kớnh R1 =

2

trung im ca MN ị d ( I 2 , d ) = I 2 H =

; (C2 ) cú tõm I1(2;2) , bỏn kớnh R2 = 2 . Gi H l
R22

2

ổ MN ử
-ỗ
ữ = 2
ố 2 ứ

Phng trỡnh ng thng d cú dng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 ạ 0) .
ỡ
1
ỡù 2 a + c = a2 + b2
ùd ( I1, d ) =
Ta cú: ớ

. Gii h tỡm c a, b, c.
2
ớ
2
2

ùd ( I , d ) = 2
ùợ 2a + 2b + c = 2 a + b
ợ 2
Vy: d : x + y - 2 = 0; d : x + 7 y - 6 = 0 ; d : x - y - 2 = 0 ; d : 7 x - y - 2 = 0

Cõu 28. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 6 x + 5 = 0 . Tỡm im

M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú
bng 600 .
Trang 13


PP to trong mt phng

Trn S Tựng

ã (C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
ộã
AMB = 60 0 (1)
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị ờã
0
ờở AMB = 120 (2)
Vỡ MI l phõn giỏc ca ã
AMB nờn:
(1) ã
AMI = 300 MI =
(2) ã
AMI = 600 MI =

IA

sin 30

0

IA
sin 600

MI = 2R m2 + 9 = 4 m = 7
MI =

2 3
4 3
R m2 + 9 =
Vụ nghim Vy cú
3
3

hai im M1(0; 7 ) v M2(0; - 7 )
Cõu 29. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng D nh bi:

(C ) : x 2 + y 2 - 4 x - 2 y = 0; D : x + 2 y - 12 = 0 . Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi
(C) hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 600.

ã ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R = 5 .
Gi A, B l hai tip im. Nu hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 600 thỡ IAM l na tam
giỏc u suy ra IM = 2 R=2 5 .
Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 20 .
Mt khỏc, im M nm trờn ng thng D, nờn ta ca M nghim ỳng h phng trỡnh:
ỡ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 20
(1)

ớ
+
2
12
=
0
(2)
x
y
ợ
ộy = 3
Kh x gia (1) v (2) ta c: ( -2 y + 10 ) + ( y - 1) = 20 5y - 42 y + 81 = 0 ờ
27
ờy =
5
ở
ổ 6 27 ử
Vy cú hai im tha món bi l: M ( 6;3) hoc M ỗ ; ữ
ố5 5 ứ
2

2

2

Cõu 30. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 v ng

thng d : x + y + m = 0 . Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k
c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam giỏc ABC
vuụng.

ã (C) cú tõm I(1; 2), R = 3. ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 ị IA = 3 2
m -1
ộ m = -5

= 3 2 m -1 = 6 ờ
ởm = 7
2
Cõu hi tng t:
a) (C ) : x 2 + y 2 = 1, d : x - y + m = 0

S: m = 2 .

Cõu 31. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 v ng

thng d : 3 x - 4 y + m = 0 . Tỡm m trờn d cú duy nht mt im P m t ú cú th k c
hai tip tuyn PA, PB ti ng trũn (C) (A, B l hai tip im) sao cho PAB l tam giỏc u.
ã (C) cú tõm I (1; -2) , bỏn kớnh R = 3 . DPAB u ị PI = 2 AI = 2 R = 6 ị P nm trờn ng
trũn (T) cú tõm I, bỏn kớnh r = 6 . Do trờn d cú duy nht mt im P tho YCBT nờn d l tip

Trang 14


Trn S Tựng

PP to trong mt phng

tuyn ca (T) ị d ( I , d ) = 6

11 + m

ộ m = 19
=6ờ
.
5
ở m = -41

Cõu 32. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn (C ) : x 2 + y 2 - 18 x - 6 y + 65 = 0

v (C Â) : x 2 + y 2 = 9 . T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ),
gi A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng 4,8.

ã (C) cú tõm O ( 0; 0 ) , bỏn kớnh R = OA = 3 . Gi H = AB ầ OM ị H l trung im ca AB
12
9
OA2
. Suy ra: OH = OA2 - AH 2 = v OM =
= 5.
5
5
OH
ỡù x 2 + y 2 - 18 x - 6 y + 65 = 0
ỡ M ẻ (C )
ỡx = 4 ỡx = 5
Gi s M ( x; y) . Ta cú: ớ
ớ 2
ớ
ớ
2
OM
=

5
ợ
ợy = 3 ợy = 0
ùợ x + y = 25

ị AH =

Vy M(4;3) hoc M(5;0) .

Cõu 33. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 4 . M l im

di ng trờn ng thng d : y = x + 1 . Chng minh rng t M k c hai tip tuyn MT1 ,
MT2 ti (C) (T1, T2 l tip im) v tỡm to im M, bit ng thng T1T2 i qua im
A(1; -1) .

ã (C) cú tõm I (1; -2) , bỏn kớnh R = 2 . Gi s M ( x0 ; x0 + 1) ẻ d .
IM = ( x0 - 1)2 + ( x0 + 3)2 = 2( x0 + 1)2 + 8 > 2 = R ị M nm ngoi (C) ị qua M k c
2 tip tuyn ti (C).
ổ x +1 x -1ử
Gi J l trung im IM ị J ỗ 0 ; 0
ữ . ng trũn (T) ng kớnh IM cú tõm J bỏn
ố 2
2 ứ
2

2

ổ
x0 + 1 ử ổ
x0 - 1 ử

( x0 - 1)2 + ( x 0 + 3)2
IM
kớnh R1 =
cú phng trỡnh (T ) : ỗ x ữ +ỗy ữ =
ố
2 ứ ố
2 ứ
4
2
T M k c 2 tip tuyn MT , MT n (C) ị ã
IT M = ã
IT M = 90 0 ị T , T ẻ (T )
1

2

1

2

1

2

ị {T1, T2} = (C ) ầ (T ) ị to T1, T2 tho món h:
ỡ
x +1
x -1
( x - 1)2 + ( x0 + 3)2
ù( x - 0 )2 + ( y - 0 )2 = 0

ị (1 - x0 ) x - (3 + x0 ) y - x0 - 3 = 0 (1)
ớ
2
2
4
ù( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 4
ợ
To cỏc im T1, T2 tho món (1), m qua 2 im phõn bit xỏc nh duy nht 1 ng
thng nờn phng trỡnh T1T2 l x(1 - x 0 ) - y(3 + x0 ) - x0 - 3 = 0 .
A(1; -1) nm trờn T1T2 nờn 1 - x0 + (3 + x0 ) - x0 - 3 = 0 x0 = 1 ị M(1;2) .
Cõu 34. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): ( x 1)2 + ( y + 1)2 = 25 v im

M(7; 3). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M ct (C) ti hai im A, B phõn bit sao
cho MA = 3MB.
ã PM /(C ) = 27 > 0 ị M nm ngoi (C). (C) cú tõm I(1;1) v R = 5.
Mt khỏc:
uuur uuur
PM /(C ) = MA.MB = 3MB2 ị MB = 3 ị BH = 3 ị IH = R 2 - BH 2 = 4 = d[ M ,(d )]
Trang 15


PP toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng

Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
éa = 0
-6a - 4b
=4Ûê
d [M ,(d )] = 4 Û

12 . Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
2
2
êa = - b
a +b
5
ë
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)

và cắt đường tròn (C) có phương trình ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = 25 theo một dây cung có độ dài
bằng l = 8 .
· d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 Û ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l = 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.
éa = 0
2a - b - a - 2b
= 3 Û a - 3b = 3 a2 + b2 Û 8a2 + 6ab = 0 Û ê
d (I,d ) =
3
=
a
b
2
2
ê
a +b
ë
4
3
· a = 0: chọn b = 1 Þ d: y – 2 = 0 · a = - b : chọn a = 3, b = – 4 Þ d: 3x – 4 y + 5 = 0.

4
Câu hỏi tương tự:
a) d đi qua O, (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 6 y - 15 = 0 , l = 8 . ĐS: d : 3 x - 4 y = 0 ; d : y = 0 .
b) d đi qua Q(5;2) , (C ) : x 2 + y 2 - 4 x - 8y - 5 = 0 , l = 5 2 .
ĐS: d : x - y - 3 = 0 ; d :17 x - 7 y - 71 = 0 .
c) d đi qua A(9;6) , (C ) : x 2 + y 2 - 8 x - 2 y = 0 , l = 4 3 .
1
21
ĐS: d : y = 2 x - 12 ; d : y = - x +
2
2
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2 x - 8y - 8 = 0 . Viết

phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d : 3 x + y - 2 = 0 và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài l = 6 .
· (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng D có dạng: 3x + y + c = 0, c ¹ 2 .
Vì D cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:
-3 + 4 + c
éc = 4 10 - 1
Þ d ( I,D) =
=4Ûê
.
2
c
=
4
10
1
ë
3 +1

Vậy phương trình D cần tìm là: 3 x + y + 4 10 - 1 = 0 hoặc 3 x + y - 4 10 - 1 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) (C ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 = 3 , d : 3 x - 4 y + 2012 = 0 , l = 2 5 .
ĐS: D : 3 x - 4 y + 5 = 0 ; D : 3x - 4 y - 15 = 0 .
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) :( x + 4)2 + ( y - 3)2 = 25 và

đường thẳng D : 3 x - 4 y + 10 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d biết d ^ (D) và d cắt (C)
tại A, B sao cho AB = 6.
· (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d ^ D nên
PT của d có dạng: 4 x + 3y + m = 0 .
Ta có: d ( I ,(D1 )) = IH =

AI 2 - AH 2 = 52 - 32 = 4 Û

Trang 16

-16 + 9 + m
42 + 32

é m = 27
= 4Û ê
ë m = -13


Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4 x + 3y + 27 = 0 và 4 x + 3y - 13 = 0 .
Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 3 = 0 và điểm

M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.

· (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 < 5 Þ M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = 2 IA2 - IH 2 = 2 5 - IH 2 ³ 2 5 - IM 2 = 2 3 .

uuur
Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI = (1; -1)
Þ Phương trình d: x - y + 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự:

a) Với (C): x 2 + y 2 - 8x - 4 y - 16 = 0 , M(–1; 0).
d : 5x + 2 y + 5 = 0

ĐS:

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm

M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.

· Tam giác OAB có diện tích lớn nhất Û DOAB vuông cân tại O. Khi đó d (O, d ) =

5 2
.
2

Giả sử phương trình đường thẳng d: A( x - 2) + B( y - 6) = 0 ( A2 + B2 ¹ 0)

é
-24 - 5 55
A
êB =
5 2
-2 A - 6 B 5 2
47
d (O, d ) =
Û
=
Û 47B2 + 48 AB - 17 A2 = 0 Û ê
2
2
-24 + 5 55
ê
A2 + B 2
A
êë B =
47
+ Với B =

-24 - 5 55
A : chọn A = 47 Þ B = -24 - 5 55
47

Þ d: 47( x - 2) - ( 24 + 5 55 ) ( y - 6) = 0
+ Với B =

-24 + 5 55
A : chọn A = 47 Þ B = -24 + 5 55

47

Þ d: 47( x - 2) + ( -24 + 5 55 ) ( y - 6) = 0
Câu hỏi tương tự:
a) (C ) : x 2 + y 2 + 4 x - 6 y + 9 = 0 , M(1; -8) .

ĐS: 7 x + y + 1 = 0; 17 x + 7 y + 39 = 0 .

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 6 x + 2 y - 6 = 0 và điểm

A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).
· (C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) Î (C).
PT đường thẳng d có dạng: a( x - 3) + b( y - 3) = 0, a2 + b2 ¹ 0 Û ax + by - 3a - 3b = 0 .
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B Þ AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông.
3a - b - 3a - 3b
1
1
Ta có: d ( I , d ) = 2 2 ( = AD = AB) Û
=2 2
2
2
2
2
a +b
Trang 17


PP toạ độ trong mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng

Û 4b = 2 2 a2 + b2 Û a2 = b2 Û a = ± b . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x + y - 6 = 0 hoặc x - y = 0 .
Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x 2 + y 2 = 13 và (C2):

( x - 6)2 + y 2 = 25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

· (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 =

13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm

A(2; 3). Giả sử d: a( x - 2) + b( y - 3) = 0 (a2 + b2 ¹ 0) . Gọi d1 = d (O, d ), d2 = d ( I 2 , d ) .
Từ giả thiết Þ R12 - d12 = R22 - d22 Û d22 - d12 = 12 Û

(6a - 2a - 3b)2

-

a2 + b2

(-2a - 3b)2
a2 + b2

= 12

éb = 0
Û b2 + 3ab = 0 Û ê
.

ë b = -3a
· Với b = 0: Chọn a = 1 Þ Phương trình d: x - 2 = 0 .
· Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Þ Phương trình d: x - 3y + 7 = 0 .
Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: mx + 4 y = 0 , đường tròn (C):

x 2 + y 2 - 2 x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.
· (C) có tâm I (1; m) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
IH = d (I , D) =

m + 4m
m 2 + 16

=

5m
m2 + 16

; AH = IA2 - IH 2 = 25 -

(5m)2
2

m + 16

=

20
m 2 + 16

é m = ±3
SDIAB = 12 Û d ( I , D). AH = 12 Û 3m2 - 25 m + 48 = 0 Û ê
16
êm = ±
3
ë
(C ) : x 2 + y 2 = 1 , đường thẳng
(d ) : x + y + m = 0 . Tìm m để (C ) cắt (d ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn

· (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B Û d (O; d ) < 1
1
1
1
Khi đó: SOAB = OA.OB.sin·
AOB = .sin·
AOB £ . Dấu "=" xảy ra Û ·
AOB = 90 0 .
2
2
2
1
Vậy S AOB lón nhất Û ·
AOB = 900 . Khi đó d ( I ; d ) =
Û m = ±1 .
2
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d ) :

2 x + my + 1 - 2 = 0 và

đường tròn có phương trình (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C ) . Tìm
m sao cho (d ) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
· (C ) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B Û d ( I , d ) < R Û

Trang 18

2 - 2m + 1 - 2 < 3 2 + m2


Trần Sĩ Tùng

PP toạ độ trong mặt phẳng

Û 1 - 4m + 4m2 < 18 + 9m2 Û 5m2 + 4m + 17 > 0 Û m Î R
1
1
9
Ta có: S
= IA.IB sin ·
AIB £ IA.IB =
IAB 2
2
2
3 2
9
Vậy: S
lớn nhất là khi ·

AIB = 900 Û AB = R 2 = 3 2 Û d ( I , d ) =
IAB
2
2
3 2
2 + m2 Û 2m2 + 16m + 32 = 0 Û m = -4
2
Câu hỏi tương tự:
Û 1 - 2m =

a) Với d : x + my – 2m + 3 = 0 , (C ) : x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 .
8
m=0Ú m=
15

ĐS:

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x - 6 y + 9 = 0 và

điểm M(1; -8) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
· (C) có tâm I(-2;3) , bán kính R = 2 .
PT đường thẳng d qua M(1; -8) có dạng: d : ax + by - a + 8b = 0 ( a2 + b2 ¹ 0 ).
1
SD IAB = IA.IB.sin ·
AIB = 2sin ·
AIB .
2
2
Do đó: SD IAB lớn nhất Û ·

AIB = 90 0 Û d ( I , d ) = IA
= 2
2
11b - 3a
é a = 7b
Û
= 2 Û 7a2 - 66ab + 118b2 = 0 Û ê
.
ë 7a = 17b
a2 + b 2
+ Với b = 1 Þ a = 7 Þ d : 7 x + y + 1 = 0
+ Với b = 7 Þ a = 17 Þ d :17 x + 7 y + 39 = 0
Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và

đường thẳng D: x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.

· (C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
1
Kẻ đường cao IH của DIAB, ta có:
SDABC = SIAB = IA.IB.sin ·
AIB = sin ·
AIB
2
IA
Do đó SIAB lớn nhất Û sin ·
AIB = 1 Û DAIB vuông tại I Û IH =
= 1 (thỏa IH < R)
2
1 - 4m

8
Û
= 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m =
15
m2 + 1
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C ) : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 , D : 2 x + my + 1 - 2 = 0 .

ĐS: m = -4 .

b) Với (C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 5 = 0 , D : x + my - 2 = 0 .

ĐS: m = -2

Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C):
x 2 + y 2 + 2 x - 4 y - 8 = 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường

thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho
Trang 19


PP to trong mt phng

Trn S Tựng

tam giỏc ABC vuụng B.
ã Ta giao im A, B l nghim ca h phng trỡnh
ỡ x2 + y2 + 2 x - 4y - 8 = 0
ỡ y = 0; x = 2
ớ

. Vỡ x A > 0 nờn ta c A(2;0), B(3;1).
ớ
ợ y = -1; x = -3
ợ x - 5y - 2 = 0

Vỡ ã
ABC = 900 nờn AC l ng kớnh ng trũn, tc im C i xng vi im A qua tõm I
ca ng trũn. Tõm I(1;2), suy ra C(4;4).
Cõu 48. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trũn ( C ): x 2 + y 2 + 2 x - 4 y - 8 = 0 v

ng thng ( D ): 2 x - 3y - 1 = 0 . Chng minh rng ( D ) luụn ct ( C ) ti hai im phõn bit
A, B . Tỡm to im M trờn ng trũn ( C ) sao cho din tớch tam giỏc ABM ln nht.
9
ã (C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R = 13 . d ( I , D) =
< R ị ng thng ( D ) ct (C) ti
13
1
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú SD ABM = AB.d ( M , D) . Trong ú
2
AB khụng i nờn SD ABM ln nht d ( M , D) ln nht.
Gi d l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi ( D ). PT ng thng d l
3x + 2 y - 1 = 0 .
Gi P, Q l giao im ca ng thng d vi ng trũn (C). To P, Q l nghim ca h
2
ỡ 2
ộ x = 1, y = -1
phng trỡnh: ớ x + y + 2 x - 4 y - 8 = 0 ờ
ị P(1; 1); Q(3; 5)
ở x = -3, y = 5
ợ3x + 2 y - 1 = 0

Ta cú d ( P, D) =

4

; d (Q, D) =

13
Vy ta im M(3; 5).

22
13

. Nh vy d ( M , D) ln nht M trựng vi Q.

Cõu 49. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 4 y - 5 = 0 v A(0;

1) ẻ (C). Tỡm to cỏc im B, C thuc ng trũn (C) sao cho DABC u.
uur
uur
ổ3 7ử
ã (C) cú tõm I(1;2) v R= 10 . Gi H l trung im BC. Suy ra AI = 2.IH H ỗ ; ữ
ố2 2ứ
D ABC u ị I l trng tõm. Phng trỡnh (BC): x + 3y - 12 = 0
Vỡ B, C ẻ (C) nờn ta ca B, C l cỏc nghim ca h phng trỡnh:
2
ỡ x2 + y2 - 2 x - 4y - 5 = 0
ỡ 2
ớ x + y - 2x - 4y - 5 = 0
ớ
ợ x + 3y - 12 = 0

ợ x = 12 - 3y
ổ 7+ 3 3-3 3 ử ổ 7- 3 3+3 3 ử
Gii h PT trờn ta c: B ỗ
;
;
ữ;C ỗ
ữ hoc ngc li.
ố 2
2 ứ ố 2
2 ứ
Cõu 50. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 35 v im

A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.
ỡ AB = AC
ã (C) cú tõm I(3; 4). Ta cú: ớ
ị AI l ng trung trc ca BC. DABC vuụng cõn
ợ IB = IC
ti A nờn AI cng l phõn giỏc ca ã
BAC . Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc 450 .
0
Gi d l ng thng
uurqua A v hp vi AI mt gúc 45 . Khi ú B, C l giao im ca d vi
(C) v AB = AC. Vỡ IA = (2;1) ạ (1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to
r
ị VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi u = (1; a) l VTCP ca d. Ta cú:

Trang 20


Trn S Tựng

PP to trong mt phng

ộa = 3
2 2 + a = 5 1 + a2 ờ
1
ờa = 1 + a 2 22 + 1
5 1 + a2
3
ở
r
ỡx = 5 + t
+ Vi a = 3, thỡ u = (1;3) ị Phng trỡnh ng thng d: ớ
.
ợ y = 5 + 3t

uur r
cos ( IA, u ) =

2+a

=

2+a

=

2

2

ổ 9 + 13 7 + 3 13 ử ổ 9 - 13 7 - 3 13 ử
;
;
ỗ
ữ, ỗ
ữ
2
2
ố 2
ứ ố 2
ứ
ỡx = 5 + t
1
r ổ 1ử
ù
+ Vi a = - , thỡ u = ỗ 1; - ữ ị Phng trỡnh ng thng d: ớ
1 .
y
=
5
t
3ứ
3
ố
ùợ
3
ổ 7 + 3 13 11 - 13 ử ổ 7 - 3 13 11 + 13 ử
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l: ỗ
;

;
ữ, ỗ
ữ
ố
2
2
ứ ố
2
2
ứ
ổ 7 + 3 13 11 - 13 ử ổ 9 + 13 7 + 3 13 ử
;
;
+Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l: ỗ
ữ, ỗ
ữ
2
2
2
ố
ứ ố 2
ứ
ổ 7 - 3 13 11 + 13 ử ổ 9 - 13 7 - 3 13 ử
v
;
;
ỗ
ữ, ỗ
ữ
2

2
2
ố
ứ ố 2
ứ
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:

ổ
ố

8ử
3ứ

Cõu 51. Trong mt phng to Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 = 4 v cỏc im A ỗ 1; - ữ ,

B(3;0) . Tỡm to im M thuc (C) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng

ã AB = 4 +
Ta cú:

20
.
3

64 10
= ; AB : 4 x - 3y - 12 = 0 . Gi M(x;y) v h = d ( M , AB) .
9
3

4 x - 3y - 12

1
20
ộ 4 x - 3y + 8 = 0
h.AB =
h=4
=4ờ
2
3
5
ở 4 x - 3y - 32 = 0

ỡ 4 x - 3y + 8 = 0
ổ 14 48 ử
+ớ 2
ị M (-2; 0); M ỗ - ; ữ
2
ố 25 75 ứ
ợx + y = 4

ỡ4 x - 3y - 32 = 0
+ớ 2
(vụ nghim)
2
ợx + y = 4

Cõu 52. Trong mt phng to Oxy, cho ng trũn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x - 6 y + 9 = 0 v ng

thng d : 3 x - 4 y + 5 = 0 . Tỡm nhng im M ẻ (C) v N ẻ d sao cho MN cú di nh nht.

ã (C) cú tõm I(-1;3) , bỏn kớnh R = 1 ị d ( I , d ) = 2 > R ị d ầ (C ) = ặ .

Gi D l ng thng qua I v vuụng gúc vi d ị (D) : 4 x + 3y - 5 = 0 .
ổ1 7ử
Gi N 0 = d ầ D ị N 0 ỗ ; ữ .
ố5 5ứ
ổ 2 11 ử
ổ 8 19 ử
Gi M1, M2 l cỏc giao im ca D v (C) ị M1 ỗ - ; ữ , M2 ỗ - ; ữ
ố 5 5ứ
ố 5 5ứ
ị MN ngn nht khi M M1, N N 0 .
ổ 2 11 ử
ổ1 7ử
Vy cỏc im cn tỡm: M ỗ - ; ữ ẻ (C ) , N ỗ ; ữ ẻ d .
ố 5 5ứ
ố5 5ứ

Trang 21


PP to trong mt phng

Trn S Tựng
TP 03: CC NG CễNIC

x2 y2
Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
+
= 1 . A, B l cỏc im trờn (E)
25 16
sao cho: AF1+BF2 = 8 , vi F1, F2 l cỏc tiờu im. Tớnh AF2 + BF1 .

ã AF1+ AF2 = 2a v BF1+BF2 = 2a ị AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 20
M AF1 + BF2 = 8 ị AF2 + BF1 = 12
Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi cỏc tiờu im
F1(-1;1), F2 (5;1) v tõm sai e = 0,6 .

Cõu 2.

ã Gi s M ( x; y) l im thuc elip. Vỡ na trc ln ca elip l a =

c
3
=
= 5 nờn ta cú:
e 0,6

MF1 + MF2 = 10 ( x + 1)2 + ( y - 1)2 + ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 10

( x - 2)2 ( y - 1)2
+
=1
25
16

x2 y2
+
= 1 . Tỡm to
4
1
cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam

giỏc ABC l tam giỏc u.
ổ2 4 3ử ổ2 4 3ử
ã Aỗ ;
ữ, Bỗ ;ữ
7 ứ
ố7 7 ứ ố7

Cõu 3.

Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):

Cõu 4.

Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):

cho ã
F1MF2 = 1200 (F1, F2 l hai tiờu im ca (E)).

x 2 y2
+
= 1 . Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao
100 25

ã Ta cú: a = 10, b = 5 ị c = 5 3 . Gi M(x; y) ẻ (E) ị MF1 = 10 F1F22 = MF12 + MF22 - 2 MF1.MF2 .cosã
F1MF2
2

3
3
x , MF2 = 10 +

x.
2
2

2

ổ
ổ
3 ử ổ
3 ử
3 ửổ
3 ửổ 1 ử
(10 3 ) = ỗ 10 x ữ + ỗ 10 +
x ữ - 2 ỗ 10 x ữỗ 10 +
x ữỗ - ữ
ố
2 ứ ố
2 ứ
ố
2 ứố
2 ứố 2 ứ
x = 0 (y= 5). Vy cú 2 im tho YCBT: M1(0; 5), M2(0; 5).
2

Cõu 5.

Trong mt phng Oxy, cho elip (E) cú hai tiờu im F1(- 3; 0); F2 ( 3; 0) v i qua im
ổ
1ử
A ỗ 3; ữ . Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu

2ứ
ố
P = F1M 2 + F2 M 2 3OM 2 F1M .F2 M .

thc:

ã (E):

x2
a2

+

y2
b2

=1ị

3
a2

+

1
4b 2

= 1 , a2 = b2 + 3 ị

x2 y2
+

=1
4
1

2
2
2
ị P = (a + ex M )2 + (a ex M )2 2( x M
+ yM
) ( a 2 - e2 x M
)= 1

Trang 22


Trn S Tựng

PP to trong mt phng

Trong mt phng to Oxy, cho elip (E): 4 x 2 + 16 y 2 = 64 . Gi F2 l tiờu im bờn phi
ca (E). M l im bt kỡ trờn (E). Chng t rng t s khong cỏch t M ti tiờu im F2 v
8
ti ng thng D : x =
cú giỏ tr khụng i.
3

Cõu 6.

ã Ta cú: F2 ( 12; 0) . Gi M ( x0 ; y0 ) ẻ (E ) ị MF2 = a - ex0 =
d ( M , D) = x0 -

8
3

=

8 - 3 x0
3

(vỡ -4 Ê x0 Ê 4 ) ị

8 - 3 x0
,
2

MF2
3
=
(khụng i).
d ( M , D) 2

Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): 5x 2 + 16 y 2 = 80 v hai im A(5; 1),
B(1; 1). Mt im M di ng trờn (E). Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch DMAB.

Cõu 7.

ã Phng trỡnh ng thng (AB): x - 2 y + 3 = 0 v AB = 2 5
Gi M ( x0 ; y0 ) ẻ ( E ) ị 5 x02 + 16 y02 = 80. Ta cú: d ( M ; AB) =

x0 - 2 y0 + 3

1+ 4

=

x0 - 2 y0 + 3
5

1
Din tớch DMAB: S = . AB.d ( M ; AB) = x0 - 2 y0 - 3
2
ổ 1
1ử
p dng bt ng thc Bunhiacpxki cho 2 cp s ỗ
; - ữ , ( 5 x0 ; 4 y0 ) cú:
2ứ
ố 5
2

(

)

ổ 1
ử
ổ1 1ử
1
9
. 5 x0 - .4 y0 ữ Ê ỗ + ữ 5x02 + 16 y02 = .80 = 36
ỗ
2

20
ố5 4ứ
ố 5
ứ
x0 - 2 y0 Ê 6 - 6 Ê x0 - 2 y0 Ê 6 - 3 Ê x0 - 2 y0 + 3 Ê 9 ị x0 - 2 y0 + 3 Ê 9
ỡ 5x
4y
ỡ
8
=
ù
x0 =
ù
ỡ
x
y
5
=
8
ù
1
3
0
ị max x0 - 2 y0 + 3 = 9 ớ 1
ớ 0
ớ
x
2
y
=

6
2
0
ợ 0
ù 5
ù y0 = - 5
3
ợ
ùợ x0 - 2 y0 + 3 = 9
ổ8 5ử
Vy, max SMAB = 9 khi M ỗ ; - ữ .
ố3 3ứ
x 2 y2
+
= 1 v hai im A(3;2), B(3;
9
4
2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch
ln nht.

Cõu 8.

Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp ( E ) :

ã PT ng thng AB: 2 x + 3y = 0 . Gi C(x; y) ẻ (E), vi x > 0, y > 0 ị

x2 y2
+
= 1.
9

4

1
85
85 x y
85 ổ x 2 y 2 ử
170
AB.d (C , AB) =
2 x + 3y = 3.
+
Ê3
2ỗ + ữ = 3
13 ỗố 9
4 ữứ
13
2
13 3 2
2 13
ỡ x 2 y2
= 1 ùỡ x = 3 2
ùù +
ổ3 2
ử
9
4
Du "=" xy ra ớ
ớ
. Vy C ỗ
; 2ữ.
2

ố 2
ứ
ùx = y
ùy = 2
ợ
ùợ 3 2
S ABC =

Trang 23


PP to trong mt phng

Trn S Tựng

x 2 y2
+
= 1 v im M(1;1) . Vit phng
25 9
trỡnh ng thng i qua M v ct elip ti hai im A, B sao cho M l trung im ca AB .
ã Nhn xột rng M ẽ Ox nờn ng thng x = 1 khụng ct elip ti hai im tha YCBT.
Xột ng thng D qua M(1; 1) cú PT: y = k ( x - 1) + 1 . To cỏc giao im A, B ca D v

Cõu 9.

Trong mt phng ta Oxy , cho elip ( E ) :

ỡ x 2 y2
ù
( E ) l nghim ca h: ớ 25 + 9 = 1

ùợ y = k ( x - 1) + 1

(1)
(2)

ị (25k 2 + 9) x 2 - 50k (k - 1) x + 25(k 2 - 2k - 9) = 0 (3)
PT (3) luụn cú 2 nghim phõn bit x1, x2 vi mi k . Theo Viet: x1 + x2 =
Do ú M l trung im ca AB x1 + x2 = 2 x M
Vy PT ng thng D: 9 x + 25y - 34 = 0 .
Cõu hi tng t:
a) Vi ( E ) :

50k (k - 1)

25k 2 + 9
50k (k - 1)
9

=2k =- .
2
25
25k + 9

x 2 y2
+
= 1 , M(1;1)
9
4

.

S: D : 4 x + 9 y - 13 = 0

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):

x2 y2
+
= 1 . Tỡm im M ẻ (E) sao cho
8
2

M cú to nguyờn.
ã Trc ht ta cú nhn xột: Nu im ( x; y) ẻ ( E ) thỡ cỏc im (- x; y ),( x; - y),(- x; - y) cng
thuc (E). Do ú ta ch cn xột im M ( x0 ; y0 ) ẻ (E ) vi x0 , y0 0; x0 , y0 ẻ Z .
ộ y = 0 ị x = 2 2 (loaùi)
x02 y02
0
+
= 1 ị y02 Ê 2 ị 0 Ê y0 Ê 2 ị ờ 0
ị M(2;1) .
8
2
ờở y0 = 1 ị x0 = 2
Vy cỏc im tho YCBT l: (2;1),(-2;1),(2; -1),(-2; -1) .

Ta cú:

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):

x2 y2

+
= 1 . Tỡm im M ẻ (E) sao cho
8
2

tng hai to ca M cú giỏ tr ln nht (nh nht).
x2 y2
+
= 1 . p dng BT Bunhiacpxki, ta cú:
8
2
ổ x 2 y2 ử
( x + y)2 Ê (8 + 2) ỗ + ữ = 10 ị - 10 Ê x + y Ê 10 .
2 ứ
ố 8
ỡx y
ổ 4 10 10 ử
ù =
+ x + y Ê 10 . Du "=" xy ra ớ 8 2
Mỗ
;
ữ.
5
5
ố
ứ
ùợ x + y = 10
ỡx y
ổ 4 10
10 ử

ù =
+ x + y - 10 . Du "=" xy ra ớ 8 2
Mỗ;ữ
5
5 ứ
ố
ùợ x + y = - 10

ã Gi s M ( x; y) ẻ ( E ) ị

Trang 24


Trn S Tựng

PP to trong mt phng

x2 y2
+
= 1 v im A(3; 0) . Tỡm trờn
9
3
(E) cỏc im B, C sao cho B, C i xng qua trc Ox v DABC l tam giỏc u.
ã Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s B( x0 ; y0 ), C ( x0 ; - y0 ) vi y0 > 0 .

Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):

x02 y02
+
= 1 x02 + 3y02 = 9 . BC = 2 y0 v ( BC ) : x = x 0 ị d ( A,( BC )) = 3 - x0

9
3
Do A ẻ Ox , B v C i xng qua Ox nờn DABC cõn tõ A

Ta cú:

Suy ra: DABC u d ( A,( BC )) =

3
BC 3 - x0 = 3y0 3y02 = ( x0 - 3)2
2

ộx = 0
ị x02 + ( x0 - 3)2 = 9 ờ 0
.
ở x0 = 3
+ Vi x0 = 0 ị y0 = 3 ị B(0; 3), C (0; - 3) .

+ Vi x0 = 3 ị y0 = 0 (loi).

Vy: B(0; 3), C (0; - 3) .
Cõu 13. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):

x2 y2
+
= 1 v cỏc ng thng
9
4

d1 : mx - ny = 0 , d2 : nx+my = 0 , vi m 2 + n2 ạ 0 . Gi M, N l cỏc giao im ca d1 vi (E),

P, Q l cỏc giao im ca d2 vi (E). Tỡm iu kin i vi m, n din tớch t giỏc MPNQ
t giỏ tr nh nht.
ỡ x = nt1
ỡ x = -mt2
ã PTTS ca d1, d2 l: d1 : ớ
, d2 : ớ
.
ợ y = mt1
ợ y = nt2
+ M, N l cỏc giao im ca d1 v (E)
ổ
6n
6m
ị Mỗ
;
ỗ
2
2
9m 2 + 4n2
ố 9m + 4n
+ P, Q l cỏc giao im ca d2 v (E)

ử
ổ
-6n
-6 m
;
ữữ , N ỗỗ
2
2

9m 2 + 4n2
ứ
ố 9m + 4n

ử
ữữ
ứ

ổ
ử ổ
ử
-6m
6n
6m
-6n
ị Pỗ
;
, Qỗ
;
ữ
ữữ
ỗ
ữ ỗ
2
2
4m 2 + 9n2 ứ ố 4m 2 + 9n2 4m 2 + 9n2 ứ
ố 4m + 9 n
+ Ta cú: MN ^ PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi.
S = SMPNQ

1
72(m 2 + n2 )
2
2
2
2
= MN .PQ = 2OM .OP = 2 x M + y M . x P + yP =
2
(9m 2 + 4n2 )(4m2 + 9n2 )

p dng BT Cụ-si:

(9m2 + 4n2 )(4m2 + 9n2 ) Ê

(9m 2 + 4n2 ) + (4m 2 + 9n2 ) 13 2
= (m + n2 )
2
2

72(m 2 + n2 ) 144
=
. Du "=" xy ra 9m 2 + 4n2 = 4m 2 + 9n2 m = n
13 2
13
(m + n2 )
2
144
Vy: min S =
khi m = n .
13

ị S

x2 y2
Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh:
= 1.
16 9
Trang 25