Luận văn về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PH M NHƯ THÀNH

V

TÍNH CH T NGHI M C A

PHƯƠNG TRÌNH TI N HÓA VÀ

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Hà N i - 2015

NG D NG


Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PH M NHƯ THÀNH

V

TÍNH CH T NGHI M C A

PHƯƠNG TRÌNH TI N HÓA VÀ

Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s :

60460102

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
PGS.TS. Đ NG ĐÌNH CHÂU
Hà N i - 2015

NG D NG


M cl c
1 N a nhóm liên t c m nh trong không gian Banach
sinh c a chúng
1.1 N a nhóm liên t c m nh . . . . . . . . . . . . . . . . .
v toán t sinh và m t s k t qu b tr .
toán t sinh c a n a nhóm . . . . . . . . .
1.4 Khái ni m v tán x và đ nh lý Lunner-Phillips . . .
1.5 M t s ví d khác nhau c a n a nhóm liên t c m nh
1.5.1 N a nhóm liên t c đ u . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 N a nhóm đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.3 N a nhóm đi u ch nh . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 N a nhóm nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Bài toán Cauchy đ t ch nh . . . . . . . . . . . . . . .

và toán t
5
. . . . . . .
51.2 Khái ni m
. . . . . . .
91.3 Đ nh lý v
. . . . . . . 12
. . . . . . . 15
. . . . . . . 17
. . . . . . . 17
. . . . . . . 19
. . . . . . . 19
. . . . . . . 20
. . . . . . . 22

2 Tính ch t nghi m c a phương trình ti n hóa tr u tư ng và ng
d ng
2.1 Nhi u b ch n c a n a nhóm liên t c m nh . . . . . . . . . . . . . 2.2
Phương trình ti n hóa v i nhi u Lipschitz . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Khái ni m h toán t ti n hóa liên t c m nh và m t vài tính ch t
nghi m c a phương trình vi phân tuy n tính thu n nh t trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Nhi u tuy n tính c a phương trình ti n hoá và h toán t ti n
hóa liên t c m nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 S tương đương ti m c n c a các h toán t ti n hóa . . . . . . .
2.6

ng d ng c a phương pháp n a nhóm trong mô hình qu n th
sinh h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 V tính
ch t nghi m c a bài toán dân s ph thu c vào tu i
2.6.2 Tính ch t nghi m c a bài toán dân s có ph thu c vào
tu i và s phân b dân cư . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

26
26
30

37
44
47
53
53
55



M Đu
Trong th i gian g n đây do yêu c u đòi h i t các mô hình ng d ng, lý thuy t đ
nh tính c a các phương trình vi phân trong không gian Banach đư c phát tri n m
nh m . Các k t qu nh n đư c v tính n đ nh c a phương trình vi phân trong không
gian Banach có th ng d ng cho vi c nghiên c u tính ch t nghi m c a phương trình
vi phân hàm. Đ ng th i s d ng trong vi c nghiên c u c a các mô hình ng d ng
như: mô hình qu n th sinh h c, m ng nơron th n kinh, trong v t lý và cơ h c. M t
trong nh ng v n đ đ u tiên đư c nhi u ngư i quan tâm, nghiên c u là áp d ng
phương pháp n a nhóm cho các phương trình ti n hóa tr u tư ng, t đó ng d ng
vào mô hình dân s .

Trong nhi u mô hình ng d ng, ta thư ng g p bài toán phương trình đ o
hàm riêng d ng:
∂v = A(D)v
∂t
trong đó v là m t hàm véc tơ v = (v1, ..., vm) ph thu c vào t và x,

(1)

AαDα,

A(D) =
|α|≤r

α = (α1, .., αn) là m t đa ch s , |α| = α1 + ... + αn, Dα = Dα1...Dαn, Dk = ∂i∂ (k =
1

1, 2, ..., n), x = (x1, ..., xn) là m t đi m trong không gian R
ma tr n h ng c p m ⋅ n. S r đư c g i là c p c a h .

n
n

xk

và h s Aα là m t

Bài toán tìm nghi m c a phương trình (1), v = v(t, x) th a mãn đi u ki n
v(0, x) = φ(x)

(2)

đư c g i là bài toán Cauchy, trong đó hàm vector φ(x) đư c cho trong toàn b
không gian Rn. Đôi khi ngư i ta cũng có th g i là bài toán v i giá tr ban đ u.
Bài toán v i giá tr ban đ u (1) thư ng đư c gi i b ng phương pháp Fourier.
Tuy nhiên trong nhi u trư ng h p, đ m r ng ph m vi ng d ng c a nó ngư i
ta thư ng xét phương trình đ o hàm riêng d ng
∂v = A(D)v + g(t, v).
∂t
2

(3)


Nh áp d ng phương pháp n a nhóm vi c nghiên c u tính ch t nghi m c a
phương trình (3) có th đưa v nghiên c u tính ch t nghi m c a phương trình
vi phân
du(t)
 dt + Au(t) = f (t, u(t)), t > t 0
u(t0)

= u0

trong đó −A là m t toán t sinh c a C0− n a nhóm T (t), t ≥ 0, trong không gian Banach X
và f : [t0, T ] ⋅ X → X là ánh x liên t c theo t và th a mãn đi u
ki n Lipschitz theo u.
M c đích chính c a lu n văn là c g ng tìm hi u phương pháp n a nhóm trong
các không gian hàm và lý thuy t nhi u c a n a nhóm vào vi c nghiên c u tính ch t
nghi m c a phương trình vi phân có nhi u trong không gian Banach, t đó đưa ra
ng d ng vào mô hình dân s .
B c c lu n văn g m ph n m đ u, hai chương, ph n k t lu n và danh m c tài li u

tham kh o.
Chương m t trình bày đ nh nghĩa, tính ch t c a n a nhóm liên t c m nh m t s đ
nh lý quan tr ng v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh, v tán x và m t s d ng
khác nhau c a n a nhóm liên t c m nh. Trong chương này, chúng tôi s d ng các
ki n th c đã đư c trình bày trong các tài li u [1], [4], [8], [9] và chuyên đ cao h c c
a TS. Tr n Đ c Long.
Chương hai trình bày bài toán nhi u c a n a nhóm, tính ch t c a h toán t ti n
hóa liên t c m nh, s tương đương ti m c n và các đ nh lý liên quan; t đó đưa ra
bài toán mô hình dân s ph thu c vào tu i. Đ hoàn thành các n i dung đó, chúng
tôi đã s d ng các ki n th c cơ b n và tư li u đã đư c trình bày trong các tài li u [2],
[3], [5], [6], [7], [8] và các n i dung trong các chuyên đ cao h c c a PGS.TS.
Hoàng Qu c Toàn và PGS.TS. Đ ng Đình Châu.
B n lu n văn này đư c th c hi n dư i s hư ng d n c a PGS.TS. Đ ng Đình Châu.
Nhân d p này tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i Th y, ngư i đã dành nhi u công
s c và th i gian đ hư ng d n, ki m tra, giúp đ tôi trong vi c hoàn thành b n lu n văn.
Tôi xin g i l i c m ơn đ n lãnh đ o và các th y cô trong khoa Toán - Cơ - Tin h
c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên Hà N i v các ki n th c và nh ng đi u t t đ p
mang l i cho tôi trong th i gian h c t p t i trư ng. Tôi xin c m ơn
t i phòng Sau đ i h c v nh ng đi u ki n thu n l i trong vi c hoàn thành th t c h c t
p và b o v lu n văn.
Cám ơn các th y và các b n trong seminar Phương trình vi phân v nh ng
3


s đ ng viên và nh ng ý ki n trao đ i quí báu đ i v i b n thân tôi trong th i
gian qua.
Cu i cùng tôi mu n t lòng bi t ơn gia đình, ngư i thân là ch d a v tinh th n và v
t ch t cho tôi trong cu c s ng và trong h c t p.
M c dù đã có nhi u c g ng nhưng do th i gian còn b h n ch nên b n lu n văn
còn đ l i nhi u thi u sót v l i n loát và các l i khi b qua m t s trình bày chi ti t vi c

ch ng minh l i các k t qu trong chương 1 cũng như trong m t vài ví d ng d ng. Vì
v y, tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y, cô và các b n.

Hà N i, tháng 11 năm 2015

Ph m Như Thành

4


Chương 1

N a nhóm liên t c m nh trong
không gian Banach và toán t sinh
c a chúng
1.1

N a nhóm liên t c m nh

Đ nh nghĩa 1.1. M t h (T (t))t≥0 các toán t tuy n tính b ch n trên không gian Banach X
đư c g i là n a nhóm liên t c m nh (ho c C0− n a nhóm ) n u
nó th a mãn các đi u ki n sau:
1. T (t + s) = T (t)T (s) v i m i t, s ≥ 0. 2. T (0) =
I.
3. tlim0 T (t)x = T (t0)x v i m i x ∈ X, t ≥ 0. →t
Ví d 1.1. Xét n a nhóm (T (t))t≥0 trong không gian C0 = C0(R), xác đ nh b i
C0(R) = {f ∈ C(R) : s

→±∞

f (s) = 0}. lim

V i chu n ||f|| = sup |f(s)|. Ta có (C0, ||.||) là m t không gian Banach.
s∈R

∀t ≥ 0, ta đ nh nghĩa:

(Tl(t)f )(s) = f (t + s)

∀f ∈ C0, ∀s ∈ R.

(Tr(t))f (s) = f (s − t)

∀f ∈ C0, ∀s ∈ R.

và

Khi đó (Tr(t))t≥0 và (Tl(t))t≥0 là các n a nhóm liên t c m nh trên C0, đư c g i
tương ng là n a nhóm d ch chuy n trái và ph i c a C0.
5


Ch ng minh. Ta ch ng minh cho trư ng h p n a nhóm d ch chuy n trái, trư ng
h p n a nhóm d ch chuy n ph i đư c ch ng minh tương t .
+) Ta ch ng minh (Tl(t)) là m t n a nhóm.
Th t v y: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0, s ∈ R, ta có
(Tl(t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl(t)f )(h + s) = (Tl(t)Tl(h))f (s)

suy ra Tl(t + h) = Tl(t)Tl(h).
+) Ta ch ng minh (Tl(t))t≥0 liên t c m nh. Th t v y, ta c n ch ra r ng, ∀f ∈ C0

thì
lim ||Tl(t)f − f || = lim+ sup |f (t + s) − f (s)| = 0.
t→0 s∈R

t→0+

Vì f ∈ C0 suy ra f liên t c trên R và t n t i các gi i h n s

→±∞

f(s) = 0, nên f lim

liên t c đ u trên R.
Do đó
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀s1, s2 : |s1 − s2| < δ ⇒ |f (s1) − f (s2)| < .

Khi đó v i m i t : 0 ≤ t < δ thì |t + s − s| < δ, v i m i s ∈ R, ta có
|f (t + s) − f (s)| <

Suy ra
h n ta có

∀s ∈ R.

v i m i t : 0 ≤ t < δ. V y theo đ nh nghĩa gi i

sup |f (t + s) − f (s)| ≤
s∈R

lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+ s∈R

V y (Tl(t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh.
B đ 1.1. Gi s X là m t không gian Banach và F là m t hàm t m t t p
compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các kh ng đ nh sau là tương đương.
(a) F là toán t tôpô liên t c m nh; t c là, ánh x K t → F (t)x ∈ X là liên
t c ∀x ∈ X.
(b) F là b ch n đ u trên K, và ánh x K
t → F (t)x ∈ X là liên t c
∀x ∈ D ⊂ X, D trù m t trong X.
(c) F là liên t c đ i v i tôpô h i t đ u trên t p con compact c a X; t c là, ánh x K ⋅
C (t, x) → F (t)x ∈ X là liên t c đ u đ i v i t p compact C trong X.
Đ nh lý 1.1. Cho m t n a nhóm (T (t))t≥0 trên m t không gian Banach X. Khi đó các tính
ch t sau là tương đương.
(a) (T (t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh.
6


(b) tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ X. →0
(c) Có m t s δ > 0, M ≥ 1 và m t t p con trù m t D ⊂ X th a mãn
i) ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ],
ii) tlim+ T (t)x = x ∀x ∈ D. →0
Ch ng minh.
+) Ch ng minh (a) ⇒ (c.ii).
Vì (T (t))t≥0 là n a nhóm liên t c m nh trên m t không gian Banach, nên
lim T (t)x = T (0)x = x

∀x ∈ D (Do D trù m t trong X).

t→0+

+) Ch ng minh (a) ⇒ (c.i).
Gi s ngư c l i, t c là t n t i m t dãy (δn)n∈N ⊂ R+ h i t đ n 0 th a mãn
||T (δn)|| → ∞ khi n → ∞.

Theo nguyên lý b ch n đ u, t n t i x ∈ X th a mãn (||T (δn)x||)n∈N không b ch n. Đi u
này mâu thu n v i T (.)x liên t c t i t = 0 (do (T (t))t≥0 là n a nhóm
liên t c m nh).
+) Ch ng minh (c) ⇒ (b).
Đ t K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} v i m i dãy b t kì (tn)n∈N ⊂ [0, ∞) h i t đ n 0. Khi
đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|Kx là liên t c ∀x ∈ D.
Do đó áp d ng b đ 1.1 (b) ta đư c T (.)|Kx liên t c ∀x ∈ X, t c là:
lim T (tn)x = x

n→∞

∀x ∈ X.

Vì (tn)n∈N đư c ch n tùy ý nên (b) đư c ch ng minh. +) Ch ng
minh (b) ⇒ (a).
Gi s t0 > 0, và x ∈ X . Khi đó
lim ||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0)||.|| lim+ ||T (h)x − x|| = 0,
h→0+

h→0

suy ra (T (t))t≥0 liên t c ph i. N u h < 0
||T (t0 + h)x − T (t0)x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||

d n đ n tính liên t c trái, trong đó ||T (t)|| b ch n đ u ∀t ∈ [0, t0]. V y (T (t))t≥0 là n a

nhóm liên t c m nh.
Đ nh lý 1.2. Cho m t n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0. Khi đó có m t h ng
s w ∈ R và M ≥ 1 th a mãn
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t > 0.
7

(1.1)


Ch ng minh. Ch n M ≥ 1 th a mãn
||T (s)|| ≤ M

∀0 ≤ s ≤ 1.

V i t ≥ 0 l y t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1. Khi đó
||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)||
≤ ||T (s)||.||T (1)||n
≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt

v i w = ln M và t ≥ 0.
Đ nh nghĩa 1.2. Cho m t n a nhóm liên t c m nh T = (T (t))t≥0, chúng ta g i
ω0 là c n tăng trư ng n u
ω0 = ω0(T) = inf{w ∈ R : t n t i Mw ≥ 1 th a mãn ||T (t)|| ≤ Mwewt

Xét trong trư ng h p đ c bi t.
- N u w = 0, n a nhóm (T (t))t≥0 đư c g i là n a nhóm b ch n.
- N u w = 0 và M = 1, n a nhóm (T (t))t≥0 đư c g i là là n a nhóm co.
- N u ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 và x ∈ X, n a nhóm (T (t))t≥0 đư c g i là n a

nhóm đ ng c .
Ví d 1.2. Theo đ nh lý 1.2 ta luôn có ω < +∞ nhưng có th ω0 = −∞. Ch ng
h n trong không gian L1 , ta xét n a nhóm t nh ti n trái xác đ nh b i: [0;1]
f (t + s) n u s + t ≤ 1

T (t)f (s) =

n us+t>1

0

Ta có:
T (t) = 0, ∀t > 1.

V i m i t th a mãn
0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ 1

do

1

||T (t)f || = ||

T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||.

0

Suy ra

||T (t)|| ≤ 1 V i ω < 0 c đ nh, ch n M sao cho M ≤ e−ω. Khi đó:

||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt,

V y ω0 = −∞.
8

∀t ≥ 0.

∀t ≥ 0}.


1.2

Khái ni m v toán t sinh và m t s k t qu b tr

Đ xây d ng khái ni m toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh, trư c h t ta có b
đ sau.
B đ 1.2. Cho m t n a nhóm (T (t))t≥0 liên t c m nh và m t ph n t x ∈ X.
Đ i v i qu đ o ánh x ξx : t → T (t)x, các tính ch t sau là tương đương.
(a) ξx(.) là kh vi trên R+.
(b) ξx(.) kh vi bên ph i t i t = 0.
Đ nh nghĩa 1.3. Toán t sinh A : D(A) ⊂ X → X c a m t n a nhóm liên t c
m nh (T (t))t≥0 trên m t không gian Banach X là m t toán t
Ax = ξ˙x(0) = lim+ 1 (T (h)x − x) h→0 h

(1.2)

xác đ nh v i m i x trong mi n xác đ nh c a nó
D(A) = {x ∈ X : ξx là kh vi trên R+}.

(1.3)

Theo b đ 1.2, ta th y mi n xác đ nh D(A) là t p t t c các ph n t x ∈ X
mà ξx(.) là kh vi bên ph i t i t = 0. Do đó
D(A) = {x ∈ X : lim+ 1 (T (h)x − x) t n t i}. h→0 h

(1.4)

Mi n D(A) là m t không gian vector và chúng ta ký hi u toán t sinh c a nó là
(A, D(A)).

Chúng ta thư ng ch vi t A, và coi mi n xác đ nh c a nó là cho b i (1.4).
Đ nh lý 1.3. Cho toán t sinh (A, D(A)) c a n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0, ta có
các tính ch t sau là đúng.
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán t tuy n tính.
(ii) N u x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và
d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x
dt

(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có
t

T (s)xds ∈ D(A).
0

9

∀t ≥ 0.

(1.5)

(iv) ∀t ≥ 0, ta có
t

T (t)x − x = A

x ∈ X,

(1.6)

n u x ∈ D(A).

(1.7)

nu

T (s)xds
0
t

=

T (s)Axds
0

Đ nh lý 1.4. Toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh là toán t tuy n tính
đóng, xác đ nh trù m t và xác đ nh m t n a nhóm duy nh t.
Đ nh lý 1.5. Gi s T (t)t≥0 là n a nhóm liên t c m nh trên không gian Banach
X có toán t sinh (A, D(A)) và l y m t h ng s w ∈ R, M ≥ 1 th a mãn
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t ≥ 0.

(1.8)

Khi đó các tính ch t sau là đúng.
∞

(i) N u λ ∈ C th a mãn R(λ)x = 0 e−λsT (s)xds t n t i ∀x ∈ X, thì λ ∈ ρ(A)
và R(λ, A) = R(λ).
(ii) N u Reλ > w thì λ ∈ ρ(A), và gi i th c đư c cho b i tích phân trong (i).
M

(iii) ||R(λ, A)|| ≤ Reλ − w v i m i Reλ > w.

H qu 1.1. Đ i v i toán t sinh (A, D(A)) c a n a nhóm liên t c m nh
(T (t))t≥0 th a mãn ||T (t)|| ≤ M ewt v i m i t ≥ 0, v i Reλ > w và n ∈ N ta

có:

+∞

R(λ, A)nx = ((−1) 1)! dλn−1 R(λ, A)x = (n − 1)!
n
−

Đ c bi t, ta có:

d
n

−
1

1

0

sn−1e−λsT
(s)xds,


∀x ∈ X.

(
||R(λ, A)n|| ≤ (ReλM w)n ,

1 .9)

∀n ∈ N và Reλ > w. −

Ch ng minh. Đ ng th c (1.9) tương đương v i:
dn−1 R(λ, A)x = (−1)n−1(n − 1)!R(λ, A)nx
dλn−1
+∞

sn−1e−λsT (s)xds.

= (−1)n−1
0

V i m i λ, µ ∈ ρ(A), ta có (λI − A)R(λ, A) = I. Do v y, ta suy ra:
[λIR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A)
10


và
R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A).

Do A và R(λ, A) giao hoán v i nhau nên tr t ng v hai phương trình trên, ta
đư c:
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).

Suy ra:
R(λ, A) − R(µ, A) = −R(λ, A)R(µ, A)
λ−µ

v i µ = λ.

Cho µ → λ, ta có:
d R(λ, A) = −R(λ, A)2.
dλ

M t khác, ta cũng có:
+∞

d R(λ, A) = d
dλ
dλ

+∞

e−λsT (s)xds = −

se−λsT (s)xds.

0

0

V y (1.9) đúng v i n = 2. Trư ng h p t ng quát ta suy ra b ng quy n p. Th t
v y gi s (1.9) đúng v i n, t c là:
dn−1R(λ, A) = (−1)n−1(n − 1)!(R(λ, A))n.
dλn−1

Ta ch ng minh cho trư ng h p n + 1. Ta có:
dnR(λ, A) = (−1)n−1(n − 1)! d (R(λ, A))n
dλn
dλ
=

d

(−1)n−1n!R(λ, A)n−1 dλR(λ, A)
n
n+1

= (−1) n!R(λ, A)

.

t c là đ ng th c th nh t trong (1.9) đúng v i n + 1. M t khác t đ ng th c:
+∞

sn−1e−λsT (s)xds

dn−1 R(λ, A)x = (−1)n−1
dλn−1

0
+∞

⇒d

sne−λsT (s)xds.

R(λ, A) = (−1)n n
dλn

0

V y (1.9) đúng cho n + 1.

11


1.3

Đ nh lý v toán t sinh c a n a nhóm

Đ nh lý 1.6. Đ nh lý toán t sinh ( Hille-Yosida)

Cho (A, D(A)) là m t toán t tuy n tính trên m t không gian Banach X. Khi đó các
tính ch t sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra m t n a nhóm co liên t c m nh.
(b) (A, D(A)) đóng, xác đ nh trù m t, v i m i λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và
||λR(λ, A)|| ≤ 1.

(1.10)

(c) (A, D(A)) là đóng, xác đ nh trù m t, v i m i ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có
λ ∈ ρ(A) và
(1.11)

||R(λ, A)|| ≤ R1 . eλ

Ch ng minh.
+) (a) ⇒ (c) đúng (theo đ nh lý 1.4 và đ nh lý 1.5) +)
(c) ⇒ (b) hi n nhiên.
+) Ch ng minh (b) ⇒ (a).
Chúng ta đ nh nghĩa x p x Yosida sau:
An = nAR(n, A) = n2R(n, A) − nI

n ∈ N,

(1.12)

là các toán t b ch n, giao hoán v i m i n ∈ N.
Xét n a nhóm liên t c đ u cho b i:
Tn(t) = etAn

t ≥ 0.

(1.13)

An h i t đ n A theo t ng đi m trên D(A). Khi đó ta có các tính ch t sau:

(i) T (t)x = nlim Tn(t)x t n t i v i m i x ∈ X. →∞
(ii) (T (t))t≥0 là n a nhóm co liên t c m nh trên X.
(iii) N a nhóm này có toán t sinh (A, D(A)).
Ta ch ng minh các tính ch t này là đúng. Th t v y:
(i) M i (Tn(t))t≥0 là m t n a nhóm co vì:
||Tn(t)|| ≤ e−nte||n2R(n,A)||t ≤ e−ntent = 1

t ≥ 0.

Áp d ng đ nh lý cơ b n c a tích phân đ i v i hàm
s → Tm(t − s)Tn(s)x

0 ≤ s ≤ t, x ∈ D(A) và m, n ∈ N.

12


Ta có:
t

Tn(t)x − Tm(t)x =

d (T (t − s)T (s)x)ds

n

d
ts

0

m

=
Tm(t − s)Tn(s)(Anx − Amx)ds.
0

K
h
i

đ
ó
||Tn(t)x − Tm(t)x|| ≤
t||Anx − Amx||.

(1.14)
Vì (An(x))n∈N là dãy Cauchy đ i v i m i x ∈ D(A)
nên (Tn(t)x)n∈N h i t đ u v i m i x ∈ D(A) trên kho
ng [0, t0].
(ii) Vì (Tn(t))t≥0 (n = 1, 2, ...) là các n a nhóm
nên (T (t))t≥0 là n a nhóm.
H
ơ
n

n
a

≤ ||x|| ⇒ ||T (t)x|| ≤ ||x||
∀x ∈ X ,

s
u

||Tn(t)x||


M

y

t

(
t c hàm
)
x liên t c,

r

nên

a
||T (t)||
∀t ≥ 0

D
o
đ
ó
(

k
h
á
c
,

0

v

t

i
m

T

i

(

x

t
)

∈

≥
0

l
à
n
a
n
h
ó
m

D
(

(1.14)).
(iii) Ký hi u (B, D(B)) là toán t sinh c a (T
0
, (t))t≥ và c đinh x ∈ D(A). Trên
0
m
l
ài
k
h

i o
i n
g

á
n
h
x

u

)
,

[
0

ξ

c,

:
t

c
o
.

≤ (t))t≥0 liên t c m nh (do

hc
o
nm
p
a
đc
t

A

a

t
0

→
T

T

t Suy ra n a nhóm (T

g

)
t

≤ (t)x → x khi t → 0.

]

c
áh


à
m
ξ

o

(

i i v i ξ˙(0) =
t η(0); T c là
đ
u

n

1

:

.

đ

t

1

n

→

4

η

)

:

,

t

T
n

(
t
)
x

h

i

→

v

T

à

(
t
)
A
x
.

h
à

t

đ

u

m

ξ
˙
n

:

đ

(
.
)

d

r
a
ξ

l
à

T
n

ξ

S
u
y

t
→

n

D(A) ⊂
D(B) và Ax = Bx v i x ∈ D(A).

(
t
)
A

h
à
m

x

k
h

h

v

n

1
3


Ch n λ > 0, khi đó λ − A là m t song ánh t D(A) vào X (vì λ ∈ ρ(A)).
M t khác, B là toán t sinh c a n a nhóm co (T (t))t≥0, nên λ ∈ ρ(B) (do đ nh

lý 1.5), suy ra λ − B cũng là song ánh t D(B) vào X.
Vy
D(A) = D(B) và A = B.

H qu 1.2. Gi s w ∈ R, (A, D(A)) là m t toán t tuy n tính trên m t không gian Banach X.
Khi đó các tính ch t sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra m t n a nhóm liên t c m nh th a mãn
||T (t)|| ≤ ewt

t ≥ 0.

(1.15)

(b) (A, D(A)) đóng, xác đ nh trù m t, v i m i λ > w ta có λ ∈ ρ(A) và
||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1.

(1.16)

(c) (A, D(A)) là đóng, xác đ nh trù m t, v i m i λ ∈ C mà Reλ > w, ta có
λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤ Reλ1− w .

(1.17)

N a nhóm th a mãn (1.15) đư c g i là n a nhóm t a co.
Ch ng minh. Xét n a nhóm đi u ch nh S(t) = e−wtT (t), toán t sinh c a nhóm
này là B = A − w. Ta có:
||S(t)|| = ||e−wtT (t)|| ≤ e−wt||T (t)|| ≤ e−wtewt = 1

∀t ≥ 0.

Suy ra (S(t))t≥0 là n a nhóm co liên t c m nh. Áp d ng đ nh lý 1.6 cho n a nhóm co (S(t))t≥0
ta đư c đi u ph i ch ng minh.
Nh n xét 1.1. Qua các đ nh lý v toán t sinh c a n a nhóm liên t c m nh
ta th y:
- Đ i v i n a nhóm liên t c m nh có th đi u ch nh đ thành n a nhóm b ch n.
- Đ i v i n a nhóm b ch n có th tìm m t chu n tương đương đ đ i v i chu n này
n a nhóm tr thành n a nhóm co.

14


1.4

Khái ni m v tán x và đ nh lý Lunner-Phillips

Đ nh nghĩa 1.4. Toán t tuy n tính (A, D(A)) trên không gian Banach X g i
là tán x n u
||(λI − A)x|| λ.||x||, ∀λ > 0, ∀x ∈ D(A).
(1.18)
Đ nh lý 1.7. Đ i v i tán x (A, D(A)) ta có các tính ch t sau:
(a) λI − A là đơn ánh v i m i λ > 0 và ta có:
||(λI − A)−1x||

1 .||x||, ∀x ∈ R(λI − A).
λ

(1.19)

(b) λI − A là toàn ánh v i λ > 0 nào đó khi và ch khi nó là toàn ánh v i m i

λ > 0. Trong trư ng h p này ta có (0, +∞) ⊂ ρ(A).

(c) Toán t A là đóng khi và ch khi mi n giá tr R(λI − A) là đóng v i λ > 0 nào đó
(và do đó v i m i λ > 0).
(d) N u R(A) ⊂ D(A), ch ng h n n u A là xác đ nh trù m t thì toán t A có
th m r ng thành toán t đóng. Bao đóng A c a nó l i là tán x th a mãn:
R(λI − A) = R(λI − A), ∀λ > 0.

Đ nh lý 1.8. (Lunner-Phillips) Đ i v i tán x xác đ nh trù m t (A, D(A)) trên
không gian Banach X các m nh đ sau tương đương:
(a) Bao đóng A c a A sinh ra n a nhóm co.
(b) R(λI − A) trù m t trong X v i m t λ > 0 nào đó (và do đó v i m i λ > 0).
Ch ng minh. +) (a) ⇒ (b). Do A sinh ra m t n a nhóm co nên theo đ nh lý 1.6, v i
m i λ > 0 thì λ ∈ ρ(A). Do đó R(λI − A) = X. Theo đ nh lý 1.7 thì R(λI − A) = R(λI − A). V y
ta có đi u ph i ch ng minh.
+) (b) ⇒ (a). Vì R(λI − A) = R(λI − A) = X (theo gi thi t (b)), theo đ nh lý 1.7 thì (0, +∞) ⊂
ρ(A). Do A là tán x nên A là tán x . Ta có ||λR(λ, A)|| 1 nên theo đ nh lý 1.6, A sinh ra n
a nhóm liên t c m nh.
H qu 1.3. Gi s (A, D(A)) là toán t xác đ nh trù m t trên không gian Banach X.
N u c A và toán t liên h p A∗ tán x thì bao đóng A c a A sinh ra m t n a nhóm co trên
X.
Ch ng minh. Theo đ nh lý Lunmer-Phillips, ta ch c n ch ng minh R(λI − A) = X. Th
t v y gi s ngư c l i R(λI − A) = X. Theo đ nh lý Hahn-Banach t n t i x∗ ∈ X∗, x∗ = 0 sao
cho:< (I − A)x, x∗ >= 0 v i m i x ∈ D(A). T đó, ta suy ra x∗ ∈ D(A∗). Do D(A) = X nên < x,
(I∗ − A∗)x∗ >= 0 v i m i x ∈ X. Suy ra
15


(I∗ − A∗)x∗ = 0. Đi u này mâu thu n v i tính ch t (I∗ − A∗) đơn ánh do A∗ là

tán x (theo đ nh lý 1.7)
Gi s X là không gian Banach, X∗ là không gian liên h p c a X. Theo đ nh
lý Hahn-Banach v i m i x ∈ X, t n t i f ∈ X∗ sao cho
< x, f >= ||x||, ||f || = 1.

Đ t x∗ = ||x||.f. Khi đó, ta có:
||x∗|| = ||x|| và < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗||2.

V i m i x ∈ X, t p sau đây g i là đ i ng u c a x:
F(x) = {x∗ ∈ X∗ : < x, x∗ >= ||x||2 = ||x∗||2}.
Theo trên F(x) = ∅. Các t p này cho ta m t đ c trưng c a tán x . Ta có k t
qu sau đây:
Đ nh lý 1.9. Toán t (A, D(A)) là tán x khi và ch khi v i m i x ∈ D(A), t n
t i j(x) ∈ F(x) sao cho Re < Ax, j(x) >≤ 0 (∗). N u A là toán t sinh c a n a
nhóm co liên t c m nh thì (∗) đúng v i m i x ∈ D(A) và x∗ tùy ý thu c F(x).
Cho đ n nay nh ng k t qu v toán t sinh đ u nh n m nh đ n tính trù m t
c a mi n xác đ nh như là m t gi thi t cơ b n. Dư i đây, ta ch ra r ng ta s dùng
tán x đ kh c ph c gi thi t này như th nào. Tuy nhiên d a trên các phát bi u c a đ
nh lý 1.7, tán x A∗ có tính ch t (λI − A) là toàn ánh v i λ > 0 nào đó, vì v y (0, +∞) ⊂
ρ(A).
Đ nh lý 1.10. Gi s (A, D(A)) là tán x trên không gian Banach X sao cho
(λI − A) là toàn ánh v i λ > 0 nào đó. Khi đó ph n A| c a A trong không gian

con X0 = D(A) là xác đ nh trù m t và sinh ra n a nhóm co trong X0.
Ch ng minh. Ta có
A|x = Ax v i m i x ∈ D(A|) = {x ∈ D(A) : Ax ∈ X0} = R(λ, A)X0.

Do R(λ, A) t n t i v i λ > 0, đi u đó kéo theo R(λ, A)| = R(λ, A|). Do v y
(0, +∞) ⊂ ρ(A). Theo đ nh lý Hille-Yoshida, ta ch c n ch ng minh D(A|) trù

m t trong X0. L y x ∈ D(A) và đ t xn = nR(n, A)x. Khi đó xn ∈ D(A) và
lim nR(n, A)x = x

n→+∞

do ||R(n, A)|| ≤ 1 (theo đ nh lý 1.8). Do v y các toán t nR(n, A) h i t m nh n
trên D(A) đ n toán t I. Do ||nR(n, A)|| ≤ 1 v i m i n, ta có yn = nR(n, A)y → y
v i m i y ∈ X0. Do yn ∈ D(A|) nên ta suy ra D(A|) trù m t trong X0.
16


Ví d 1.3. Sau đây ta nêu ra ví d v m t tán x có mi n xác đ nh không trù
m t.
Gi s X = C[0,1], xét toán t Af = −f v i mi n xác đ nh D(A) đư c xác
đ nh như sau:
D(A) = {f ∈ C1 ,1] : f (0) = 0}. [0

A là toán t đóng. Th t v y, gi s fn → f, Afn = −fn → g, theo đ nh lý v
l y đ o hàm c a dãy hàm ta có f ∈ C1 ,1], f ∈ D(A) và Af = g. Suy ra A đóng. [0
D(A) = X vì n u f ∈ D(A) thì f (0) = 0. Gi s R(λ, A) là gi i th c c a A. Khi đó
v i m i f ∈ C1 ,1] t h th c (λI − A)(λI − A)−1f = f, ta suy ra u(t) = R(λ, A)f(t) [0
là nghi m c a phương trình λu + u = f, u(0) = 0 (do u ∈ D(A)). Đây là phương
trình vi phân tuy n tính c p 1. Nghi m c a nó là:
t

u(t) = R(λ, A)f (t) =

e−λ(t−s)f (s)ds, t ∈ [0, 1], f ∈ C[0,1].

0

V i m i λ > 0, ta có:
t

||R(λ, A)||

0

e−λ(t−s)||f ||ds, ∀f ∈ C[0,1].

Suy ra:
t

||R(λ, A)||
0

e−λ(t−s)ds = 1 e−λ(t−s)
λ

t
0

= 1 (1 − e−λt) < 1 .
λ
λ

Do v y ta có:
||x|| = ||R(λ, A)(λI − A)x||

||R(λ, A)||||(λI − A)x||

1 ||(λI − A)x||
λ

hay
||(λI − A)x||

λ||x||, ∀λ > 0.

V y A là tán x .

1.5
1.5.1

M t s ví d khác nhau c a n a nhóm liên t c m nh
N a nhóm liên t c đ u

Đ nh nghĩa 1.5. N a nhóm (T (t))t≥0 đư c g i là n a nhóm liên t c đ u trong
Λ(X) n u ánh x R+ t → T (t) ∈ Λ(X) liên t c đ i v i tô pô chu n (tô pô đ u)
trong Λ(X), t c là:
lim ||T (t + h) − T (t)|| = 0,

h→0+

17

∀t ≥ 0. (∗)


Rõ ràng n a nhóm liên t c đ u là liên t c m nh. Vì th đi u ki n (∗) tương

đương v i đi u ki n sau
lim ||T (h) − I|| = 0.

h→0+

Ví d 1.4. . Cho không gian Banach X và toán t A ∈ Λ(X). Xét chu i
∞

(tA)n , t ≥ 0.
n!

n=0
∞

Ta có chu i

n=0

||(tA)n||
n!

h i t . Th t v y:
||(tA)n|| ≤ tn||A||n
n!
n!

và
lim

n→∞

T đó suy ra

tn+1||A||n+1
(n + 1)!

tn||A||n
n!

:

=
n→∞

t||A|| = 0.
n+1

∞

||
||(tA)n h i t trong Λ(X).
n!
∞
(tA)n
T (t) = eAt =
. Ta có T (0) = I.
n
n!
=0
n=0

Đt

Dùng quy t c nhân Cauchy v chu i lũy th a, ta có
∞

T (t).T (s) = etA.esA

∞

tkAk
k!

=
k=0
∞

n

=
n=0 k=0
∞

=

k=0

sk A k
k!

tn−k.An−k
(n − k)!

kk

.s kA !

(t + s)n.An = e(t+s)A = T (t + s).
n!

n=0

Suy ra T (t) = etA là n a nhóm trong không gian Banach X.
+ Ta ch ng minh n a nhóm này liên t c đ u. Th t v y
∞

T (t) − I =
n=1

Suy ra

(tA)n .
n!

∞

||T (t) − I|| ≤
n=1

tn||A||n = et||A|| − 1.

n!

Khi đó
lim ||T (t) − I|| = 0.

t→0+

18


V y (T (t))t≥0 = (etA)t≥0 là n a nhóm liên t c đ u.
Đ nh lý 1.11. Toán t tuy n tính A là toán t sinh c a n a nhóm liên t c đ u
khi và ch khi nó là toán t b ch n ( A ∈ Λ(X)).
Đ nh lý 1.12. Đ i v i n a nhóm liên t c m nh (T (t))t≥0 trên m t không gian Banach X v
i toán t sinh (A, D(A)). Khi đó các kh ng đ nh sau là tương đương.
(a) Toán t sinh A là b ch n; T c là, t n t i M > 0 th a mãn
||Ax|| ≤ M ||x||

∀x ∈ D(A).

(b) Mi n D(A) là t t c các ph n t c a X. (c) Mi n
D(A)đóng trong X.
(d) N a nhóm (T (t))t≥0 liên t c đ u.
Trong m i trư ng h p n a nhóm đư c cho b i
∞

T (t) = etA =
n=0

1.5.2

t n An
n!

t ≥ 0.

N a nhóm đ ng d ng

Gi s V là phép đ ng c t không gian Y lên không gian X và (S(t))t≥0 là
n a nhóm liên t c m nh trên Y cho b i
S(t) = V −1T (t)V,

trong đó (T (t))t≤0 là n a nhóm liên t c m nh trên X.
Khi đó toán t sinh c a n a nhóm (S(t))t≥0 là B = V −1AV v i mi n xác đ nh
D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)},

trong đó (A, D(A)) là toán t sinh c a n a nhóm (T (t))t≤0.
Ta có σ(A) = σ(B) và gi i th c c a B là: R(λ, B) = V −1R(λ, A)V v i λ ∈ ρ(A).
1.5.3

N a nhóm đi u ch nh

N a nhóm đi u ch nh (eµtT (αt))t≥0, µ ∈ C, α > 0 có toán t sinh là B =
αA + µI v i mi n xác đ nh D(B) = D(A). Th t v y, ta có:
)

µt

Bx = lim e T (αtt)x − x = lim+ µt
t→ +

v i m i x ∈ D(A).

t→0

eµtα T (αtαx − x + e xt− x t

Suy ra
D(B) = D(A) và B = αA + µI.
19

= αAx + µIx