Về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÍ THỊ PHƯƠNG THẢO

VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON
VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Khuất Văn Ninh

Hà Nội, 2014


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả

Phí Thị Phương Thảo


Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Trong quá trình nghiên cứu và
hoàn thành luận văn, tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các nhà khoa
học và các đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đạt
được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình khoa học nào.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả

Phí Thị Phương Thảo


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Không gian mêtric, không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Không gian Banach, một số không gian hàm, nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Khái niệm về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1. Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4. Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình

tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Chương 2. Ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich để giải
phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1. Phương pháp làm trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Phương pháp Newton-Kantorovich giải phương trình tích phân phi
tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1. Thuật toán giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp NewtonKantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.2. Thuật toán giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp NewtonKantorovich cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

1


2.3. Sự kết hợp của phương pháp Newton-Kantorovich và phương pháp
cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.1. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.2. Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . .

44

2.4. Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Chương 3. Sự kết hợp phương pháp cầu phương và phương pháp
Newton-Raphson để giải phương trình tích phân phi tuyến

59

3.1. Phương pháp Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2. Sự kết hợp phương pháp cầu phương và phương pháp NewtonRaphson để giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến) là một phương pháp được
sử dụng rộng rãi trong việc giải phương trình phi tuyến. Phương pháp đó
được nhà toán học Raphson phát triển để giải hệ phương trình phi tuyến
nhiều biến. Vào giữa thế kỉ trước phương pháp Newton được nhà toán học
Kantorovich phát triển để giải phương trình toán tử trong các không gian
Banach. Tư tưởng chính của phương pháp Newton là tuyến tính hóa bài
toán giải phương trình phi tuyến. Nghĩa là đưa bài toán giải phương trình
phi tuyến về giải một dãy các phương trình tuyến tính, nghiệm của phương
trình tuyến tính là nghiệm xấp xỉ của phương trình phi tuyến đã cho. Hơn
nữa tốc độ hội tụ của dãy nghiệm là tốc độ bình phương. Lí thuyết phương
trình tích phân phi tuyến là lĩnh vực quan trọng trong ngành toán học cả
về phương diện lí thuyết và ứng dụng. Có nhiều phương pháp giải phương
trình tích phân phi tuyến, trong đó việc giải đúng phương trình tích phân
phi tuyến nói chung là việc làm khó khăn. Người ta chỉ giải đúng được một
số phương trình đặc biệt, còn đa số là phải giải xấp xỉ. Với mong muốn tìm
hiểu sâu hơn về phương pháp Newton và các mở rộng của nó (phương pháp
kiểu Newton) cả về lí thuyết và ứng dụng trong việc giải phương trình tích

phân phi tuyến nên tôi chọn nghiên cứu đề tài "Về sự hội tụ của phương
pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình tích phân ".

1


2

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích
phân phi tuyến, ứng dụng vào giải một số phương trình tích phân cụ thể,
giải số trên máy tính.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải một số phương trình tích phân phi tuyến. Phân tích
các ưu nhược điểm của từng phương phávà ma trận nghịch đảo nhờ phần mềm Maple như
sau:
> J0 := matrix(4, 4, [−0.968750, 0.062500, 0.093750, 0.062500, 0.062500,
−0.875000, 0.187500, 0.125000, 0.093750, 0.187500, −0.718750, 0.187500,
0.125000, 0.250000, 0.375000, −0.750000


−0.968750 0.062500 0.093750 0.062500 


 0.062500 −0.875000 0.187500 0.125000 

J0 := 



 0.093750 0.187500 −0.718750 0.187500 


0.125000 0.250000 0.375000 −0.750000
> det(J0);
0.312500


72

> N 1 := inverse(J0);

−1.100000

−0.200000
N 1 := 

−0.300000

−0.400000

−0.200000 −0.300000
−1.400000 −0.600000
−0.600000 −1.900000
−0.800000 −1.200000


−0.200000

−0.400000

.

−0.600000

−1.800000

Suy ra ma trận nghịch đảo của ma trận J(Y (0) ) là:

−1.100000 −0.200000 −0.300000

−0.200000 −1.400000 −0.600000
J −1 (Y (0) ) = 

−0.300000 −0.600000 −1.900000

−0.400000 −0.800000 −1.200000


−0.200000

−0.400000
.

−0.600000

−1.800000

Ta tính nghiệm Y (1) như sau:
Y (1) = Y (0) − J −1 (Y (0) )f (Y (0) ).
> F 0 := matrix(4, 1, [−11/192, −11/96, −11/64, −11/48]);





 −0.057291 


 −0.114583 

F 0 := 


 −0.171875 


−0.229166
> T 1 := multiply(N 1, F 0);




 0.183332 


 0.366665 

T 1 := 


 0.549999 



0.733331


73

> X0 := matrix(4, 1, [1, 1, 1, 1]);




1
 
1

X0 := 
 
1
 
1
> X0 − T 1;

X0 − T 1
> X1 := evalm(X0 − T 1);




 0.816666 



 0.633335 
.
X1 := 


 0.450001 


0.266669
Suy ra Y (1) = Y (0) − J −1 Y (0) f Y (0)
  
 1  −1.100000 −0.200000 −0.300000
  
 1  −0.200000 −1.400000 −0.600000
 
Y (1) = 
 −
 1  −0.300000 −0.600000 −1.900000
  
1
−0.400000 −0.800000 −1.200000

 

 −0.057291   0.816666 

 


 −0.114583   0.633335 

=
.

 

 −0.171875   0.450001 

 

−0.229166
0.266669
Ta tính nghiệm Y (2) như sau:
Y (2) = Y (1) − J −1 Y (1) f Y (1)


−0.200000

−0.400000
·

−0.600000

−1.800000


74





−0.974479 0.039583 0.042187 0.016666 


 0.051041 −0.920833 0.084375 0.033333 
(1)

J(Y ) = 


 0.076562 0.118750 −0.873437 0.050000 


0.102083 0.158333 0.168750 −0.933333
> J1 := matrix(4, 4, [−0.974479, 0.039583, 0.042187, 0.016666, 0.051041,
−0.920833, 0.084375, 0.033333, 0.076562, 0.118750, −0.873437,
0.050000, 0.102083, 0.158333, 0.168750, −0.933333]);


−0.974479 0.039583 0.042187 0.016666 


 0.051041 −0.920833 0.084375 0.033333 

J1 := 


 0.076562 0.118750 −0.873437 0.050000 



0.102083 0.158333 0.168750 −0.933333
> det(J1);

0.702082
> N 2 := inverse(J1);



−1.036350

−0.072699
N 2 := 

−0.109049

−0.145399

−0.056379 −0.060088
−1.112759 −0.120177
−0.169139 −1, 180267
−0.225518 −0.240356

Suy ra ma trận nghịch đảo của

−1.036350

−0.072699
−1

(1)
J
Y
=

−0.109049

−0.145399


−0.237380

−0.047477
.

−0.071216

−1.094955

ma trận J(Y (1) ) là:
−0.056379 −0.060088
−1.112759 −0.120177
−0.169139 −1, 180267
−0.225518 −0.240356


−0.237380

−0.047477
.


−0.071216

−1.094955


75

Ta có
f Y (1) = (0.035711, 0.071423, 0.107135, 0.142847)T
> X2 := matrix(4, 1, [0.035711, 0.071423, 0.107135, 0.142847]);


 0.035711 


 0.071423 

X2 := 


 0.107135 


0.142847
> N 3 := multiply(N 2, X2);




 −0.050864 


 −0.101730 

N 3 := 


 −0.152595 


−0.203461
> X1 − N 3;

X1 − N 3
> X3 := evalm(X1 − N 3);




 0.867530 


 0.735065 
.
X3 := 


 0.602596 



0.470130


76

Vậy


Y (2)





 0.816666  −1.036350 −0.056379 −0.060088
 

 0.633335  −0.072699 −1.112759 −0.120177
−
=
 

 0.450001  −0.109049 −0.169139 −1, 180267
 

−0.145399 −0.225518 −0.240356
0.266669

 


 0.035711   0.867530 

 

 0.071423   0.735065 
.
=


 

 0.107135   0.602596 

 

0.470130
0.142847


−0.237380

−0.047477
·

−0.071216

−1.094955

Ta tính nghiệm Y (3) như sau:

Y (3) = Y (2) − J −1 Y (2) f Y (2)


J Y (2)



−0.972889 0.045941 0.056493 0.029383 


 0.054220 −0.908116 0.112986 0.058766 

=


 0.081330 0.137824 −0.830519 0.088149 


0.108441 0.183766 0.225973 −0.882467

> J2 := matrix(4, 4, [−0.972889, 0.045941, 0.056493, 0.029383, 0.054220,
−0.908116, 0.112986, 0.058766, 0.081330, 0.137824, −0.830519, 0.088149,
0.108441, 0.183766, 0.225973, −0.882467]);


−0.972889 0.045941 0.056493 0.029383 


 0.054220 −0.908116 0.112986 0.058766 


J2 := 


 0.081330 0.137824 −0.830519 0.088149 


0.108441 0.183766 0.225973 −0.882467
> det(J2);
0.593992


77

> N 4 := inverse(J2);

−1.045641

−0.091280
N 4 := 

−0.136920

−0.182562

−0.773426 −0.095107
−1.154687 −0.190214
−0.232029 −1.285323
−0.309373 −0.380429

Vậy ma trận nghịch đảo của ma


−1.045641

−0.091280
J −1 Y (2) := 

−0.136920

−0.182562


−0.049466

−0.098933
.

−0.148400

−1.197868

trận J Y (2) là:
−0.773426 −0.095107
−1.154687 −0.190214
−0.232029 −1.285323
−0.309373 −0.380429


−0.049466

−0.098933



−0.148400

−1.197868

Ta tính f Y (2)
> sum(1/64∗0.867530∗0.867530−0.867530+1/32∗0.735065∗0.735065+
3/64∗0.602596∗0.602596+1/32∗0.470130∗0.470130+157/192+0∗i, i = 1);
0.002751
> sum(1/32 ∗ 0.867530 ∗ 0.867530 + 1/16 ∗ 0.735065 ∗ 0.735065 − 0.735065 +
3/32 ∗ 0.602596 ∗ 0.602596 +1/16 ∗ 0.470130 ∗ 0.470130 +61/96 + 0 ∗ i, i = 1);
0.005497
> sum(3/64 ∗ 0.867530 ∗ 0.867530 + 3/32 ∗ 0.735065 ∗ 0.735065 + 9/64 ∗
0.602596∗0.602596−0.602596+3/32∗0.470130∗0.470130+87/192+0∗i, i =
1);
0.008247
> sum(1/16 ∗ 0.867530 ∗ 0.867530 + 1/8 ∗ 0.735065 ∗ 0.735065 + 3/16 ∗
0.602596∗0.602596+1/8∗0.470130∗0.470130−0.470130+13/48+0∗i, i = 1);
0.010994


78

Suy ra
f Y (2) = (0.002751, 0.005497, 0.008247, 0.010994)T
> T 1 := matrix(4, 1, [0.002751, 0.005497, 0.008247, 0.010994]);


 0.002751 



 0.005497 

T 1 := 


 0.008247 


0.010994
> T 2 := multiply(N 4, T 1);




 −0.008456 


 −0.009254 

T 2 := 


 −0.013883 


−0.018509
> X3 − T 2;
X3 − T 2

> T 3 := evalm(X3 − T 2);




 0.875986 


 0.744319 
.
T 3 := 


 0.616479 


0.488639


79

Vậy




Y (3)


−0.049466


−0.098933
·

−0.148400

−1.197868



 0.867530  −1.045641 −0.773426 −0.095107
 

 0.735065  −0.091280 −1.154687 −0.190214
−
=
 

 0.602596  −0.136920 −0.232029 −1.285323
 

−0.182562 −0.309373 −0.380429
0.470130

 

 0.002751   0.875986 

 


 0.005497   0.744319 

=


 

 0.008247   0.616479 

 

0.488639
0.010994

Phương trình có nghiệm chính xác là:
1
y ∗ = 1 − x.
2
Ta lập bảng sau đây
i

yi

(0)

yi

(1)

yi

(2)

yi

yi

(∗)

∆yi

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0.816666

0.867530

0.875986 0.875000 0.000986

2

1

0.633335

0.735065

0.744319 0.750000 0.005681

3

1

0.450001 0.6022596 0.616479 0.625000 0.008521

4

1

0.266669

0.470130

(3)

0.488639 0.500000 0.011361


Kết luận
Phương pháp Newton-Kantorovich là một phương pháp được ứng dụng
rộng rãi để giải phương trình toán tử phi tuyến. Luận văn nghiên cứu ứng
dụng của phương pháp đó vào giải phương trình tích phân phi tuyến loại
II trong không gian các hàm số liên tục trên một đoạn. Trong quá trình
áp dụng phương pháp Newton-Kantorovich giải phương trình tích phân
phi tuyến loại II thường gặp một số khó khăn là không tìm được nghiệm
của phương trình tích phân tuyến tính sinh ra trong quá trình thực hiện
phép lặp theo thuật toán Newton-Kantorovich. Vì vậy chúng tôi xét một
số trường hợp điển hình và giải quyết các trường hợp đó. Luận văn đã thu
được một số kết quả sau:
1. Tìm được nghiệm gần đúng dạng biểu thức giải tích đối với những
phương trình phi tuyến loại II mà sau khi áp dụng phương pháp NewtonKantorovich dẫn đến phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến.
2. Giải số phương trình tích phân tuyến tính bằng phương pháp cầu
phương.
3. Giải số những phương trình tích phân phi tuyến mà sau khi áp dụng
phương pháp Newton-Kantorovich dẫn đến phương trình tích phân tuyến
tính nhưng không giải được chính xác bằng biểu thức giải tích. Khi đó kết
hợp với phương pháp cầu phương để giải số phương trình tích phân tuyến
tính thu được.
4. Giải số phương trình tích phân phi tuyến nhờ áp dụng phương pháp
cầu phương để đưa phương trình tích phân phi tuyến về hệ phương trình
phi tuyến nhiều biến rồi sau đó áp dụng phương pháp Raphson để giải gần
đúng hệ phương trình phi tuyến nhiều biến đó.
80

81

5. Nêu các ví dụ minh họa đối với các trường hợp trên.
6. Giải số một số phương trình tích phân cụ thể trên Maple.
Với khả năng và thời gian có hạn, luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Em kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn đồng
nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn!


Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải
xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật
Hà Nội.
[4] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[5] Ioannis K. Argyros (2008), Convergence and Applications of Newtontype Iterations, Department of Mathematical Sciences, Lawton, Ok
73505. Springer Science + Business Media, LLC.
[6] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, SpringerVerlag - Berlin Heidelberg.
[7] Jafar Saberi Nadjafi, Mahdi Heidari (2010), "Solving Nonlinear Integral Equations in the Urysohn form by Newton-Kantorovich - quadrature method", Journal of Computers and Mathematics with Applications, 60, 2058-2065.
[8] James M. Ortega and Werner C. Rheinboldt (1970), Iterative solution
of nonlinear equations several variables, Academic Press, New York
and London.
82

83

[9] Andrei D.Polyanin, Alexander V.Manzhirov (2008), Handbook of Integral Equations, 2nd ed., Chapman and Hall/CRC Press.
[10] Abdul Mạid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations,
Methods and Applications, Higher Education Press, Springer-VerlagBerlin Heidelberg.