Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Đề tài: Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng
Tác giả luận văn: Phạm Thị Hoài
Khóa: 2009-2011
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
Nội dung tóm tắt:
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng
dx
= A(t)x(t) + f (t, x(t)), t ∈ J,
dt

(1)

trong đó J là một khoảng con của R; A(t) là một toán tử tuyến tính (có thể
không bị chặn) trên không gian Banach X, x(t) ∈ X và f (., .) : J × X → X
là một toán tử phi tuyến. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của vấn đề xem xét dáng điệu tiệm cận nghiệm cho phương trình (1) là tìm
điều kiện của phương trình này để nó có đa tạp tích phân (ổn định, không
ổn định, tâm). Như ta đã biết điều kiện phổ biến nhất cho sự tồn tại này là
dx
nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) của phần tuyến tính
= A(t)x(t) và tính
dt
Lipschitz đều của f (t, x) với hằng số Lipschitz đủ nhỏ. Ta sẽ thiết lập sự tồn
tại đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp tâm không
ổn định khi phần tuyến tính của phương trình (1) có nhị phân mũ (hoặc tam
phân mũ) trên nửa đường thẳng hoặc cả đường thẳng, trong đó hàm f (t, x)
thỏa mãn điều kiện tổng quát hơn như sau:
f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ(t) x − y ,
với ϕ là một hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận được. Như
vậy với việc sử dụng không gian hàm chấp nhận được ta xây dựng được những

đa tạp bất biến cho phương trình (1) trong trường hợp phần tuyến tính có
nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) mà không sử dụng đến điều kiện Lipschitz
t+1
nhỏ của f (t, x). Thay vào đó là điều kiện đủ nhỏ của sup t ϕ(τ )dτ (Định
t≥0

lí 1.3.8). Và do đó ta thu được sự tồn tại của đa tạp bất biến ổn định, không
ổn định (tâm ổn định, tâm không ổn định) cho trường hợp phần tuyến tính
có nhị phân mũ (tam phân mũ) dưới điều kiện tổng quát hơn của f (t, x).
1


Trong [2], I.D. Chueshov đã xét phương trình
du
+ Au = B(u, t), t > s, u|t=s = u0 , s ∈ R,
dt
với A là toán tử dương có phổ rời rạc và B(., .) là toán tử phi tuyến liên tục
từ D(Aθ ) × R vào không gian Hilbert H (0 ≤ θ < 1 ) thỏa mãn điều kiện
B(u, t) ≤ M (1 + Aθ u )
và
B(u1 , t) − B(u2 , t) ≤ M (1 + Aθ (u1 − u2 ) ),
với mọi u, u1 , u2 thuộc D(Aθ ) (M là một hằng số dương nào đó). Với điều
kiện khe hở phổ và sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Perron, tác giả đã
chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính của phương trình này và đồng thời
chỉ ra tính hút cấp mũ của nó (Định lí 3.1, [2]).
Vận dụng kết quả trong [7] và phương pháp hàm Lyapunov-Perron tương
tự như trong [2], chúng tôi chứng minh được tính hút cấp mũ của đa tạp
không ổn định và đa tạp tâm không ổn định trong trường hợp phần tuyến
tính có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ còn phần phi tuyến thỏa mãn một
số điều kiện nào đó (Định lí 2.1.1 và Định lí 2.2.1). Tiếp đó chúng tôi có đưa

ra ví dụ minh họa cho kết quả mới này.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Đa tạp bất biến trong không gian hàm: Trong chương
này, chúng tôi trình bày các kiến thức về họ tiến hóa, họ tiến hóa có nhị phân
mũ, tam phân mũ, không gian hàm chấp nhận được và các tính chất của nó,
sự tồn tại của đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định và tâm không ổn
định (những kết quả trong [7]).
Chương 2: Tính hút của đa tạp không ổn định: Trong chương này
chúng tôi chứng minh tính hút cấp mũ của đa tạp không ổn định và đa tạp
tâm không ổn định, đồng thời chúng tôi cũng cho ví dụ để minh họa cho kết
quả mới này.

2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
PHẠM THỊ HOÀI

PHẠM THỊ HOÀI

TOÁN TIN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN TIN

2009-2011

Hà Nội, tháng 9 – Năm 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

PHẠM THỊ HOÀI

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội, tháng 9 – Năm 2011


Mục lục
Lời cảm ơn

2

Lời mở đầu

3

1 Đa tạp bất biến trong không gian hàm

1.1 Họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Khái niệm họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Họ tiến hóa có tam phân mũ . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian hàm và tính chấp nhận được . . . . . . . .
1.2.1 Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . .
1.2.2 Tính chất của không gian hàm chấp nhận được
1.2.3 Hàm ϕ−Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nhị phân mũ và đa tạp ổn định trên R+ . . . . . . . .
1.3.1 Đa tạp ổn định địa phương trên R+ . . . . . . .
1.3.2 Đa tạp bất biến ổn định trên R+ . . . . . . . .
1.4 Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định trên R+ . . . . .
1.5 Đa tạp không ổn định trên R . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Đa tạp không ổn định địa phương trên R . . . .
1.5.2 Đa tạp bất biến không ổn định trên R . . . . .
1.6 Đa tạp tâm không ổn định trên R . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

6
6
6
8
10
11
12
16
17
17
20
22
30
30
36
41

2 Tính hút của đa tạp không ổn định
43
2.1 Tính hút của đa tạp bất biến không ổn định . . . . . . . . . 43
2.2 Tính hút của đa tạp tâm không ổn định . . . . . . . . . . . 49
Kết luận

50

Danh mục tài liệu tham khảo

51

1


Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
Thầy bởi những kiến thức chuyên ngành mà Thầy đã truyền đạt, sự nhiệt
tình và tận tâm chỉ bảo trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài!
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán Tin ứng dụng, Viện Đào tạo
Sau Đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời, tác giả
xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và đồng nghiệp đã trao đổi
cùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp cho luận văn
được hoàn thiện hơn.
Tác giả vô cùng biết ơn gia đình, bạn bè và người thân đã động viên,
cổ vũ và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn
thành luận văn này.

2


Lời mở đầu
Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng
dx
= A(t)x(t) + f (t, x(t)), t ∈ J,
dt

(1)

trong đó J là một khoảng con của R; A(t) là một toán tử tuyến tính (có thể
không bị chặn) trên không gian Banach X, x(t) ∈ X và f (., .) : J × X → X
là một toán tử phi tuyến. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
của vấn đề xem xét dáng điệu tiệm cận nghiệm cho phương trình (1) là tìm
điều kiện của phương trình này để nó có đa tạp tích phân (ổn định, không
ổn định, tâm). Như ta đã biết điều kiện phổ biến nhất cho sự tồn tại đa tạp
tích phân của phương trình (1) là nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) của
dx
= A(t)x(t) và tính Lipschitz đều của f (t, x) với hằng
phần tuyến tính
dt
số Lipschitz đủ nhỏ. Ta sẽ thiết lập sự tồn tại đa tạp ổn định, không ổn
định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp tâm không ổn định khi phần tuyến tính
của phương trình (1) có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) trên nửa đường
thẳng hoặc cả đường thẳng, trong đó hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện tổng
quát hơn như sau:
f (t, x) − f (t, y) ≤ ϕ(t) x − y ,
với ϕ là một hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận được. Trong
hầu hết các chứng minh chúng ta sẽ làm chi tiết cho trường hợp nhị phân
mũ, trường hợp tam phân mũ sẽ được chuyển từ trường hợp nhị phân mũ
bằng quá trình đổi tỉ xích (rescaling). Trong quá trình chứng minh ta cũng
sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng hóa nhị phân mũ của
phương trình tiến hóa trong không gian hàm chấp nhận được xác định trên
R+ (hoặc R) để xây dựng cấu trúc nghiệm của phương trình (1) ở dạng đủ
tốt.
Như vậy với việc sử dụng không gian hàm chấp nhận được ta xây dựng
được những đa tạp bất biến cho phương trình (1) trong trường hợp phần

3


tuyến tính có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ) mà không sử dụng đến
điều kiện Lipschitz nhỏ của f (t, x). Thay vào đó là điều kiện đủ nhỏ của
t+1
sup t ϕ(τ )dτ (Định lí 1.3.8). Và do đó ta thu được sự tồn tại của đa tạp
t≥0

bất biến ổn định, không ổn định (tâm ổn định, tâm không ổn định) cho
trường hợp phần tuyến tính có nhị phân mũ (tam phân mũ) dưới điều kiện
tổng quát hơn của f (t, x).
Trong [2], I.D. Chueshov đã xét phương trình
du
+ Au = B(u, t), t > s, u|t=s = u0 , s ∈ R,
dt
với A là toán tử dương có phổ rời rạc và B(., .) là toán tử phi tuyến liên
tục từ D(Aθ ) × R vào không gian Hilbert H (0 ≤ θ < 1 ) thỏa mãn điều
kiện
B(u, t) ≤ M (1 + Aθ u )
và
B(u1 , t) − B(u2 , t) ≤ M (1 + Aθ (u1 − u2 ) ),
với mọi u, u1 , u2 thuộc D(Aθ ) (M là một hằng số dương nào đó). Với điều
kiện khe hở phổ và sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Perron, tác giả
đã chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính của phương trình này và đồng
thời chỉ ra tính hút cấp mũ của nó (Định lí 3.1, [2]).
Vận dụng kết quả trong [7] và phương pháp hàm Lyapunov-Perron tương
tự như trong [2], chúng tôi chứng minh được tính hút cấp mũ của đa tạp
không ổn định và đa tạp tâm không ổn định trong trường hợp phần tuyến
tính có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ còn phần phi tuyến thỏa mãn một

số điều kiện nào đó (Định lí 2.1.1 và Định lí 2.2.1). Tiếp đó chúng tôi có
đưa ra ví dụ minh họa cho kết quả mới này.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1: Đa tạp bất biến trong không gian hàm: Trong chương
này, chúng tôi trình bày các kiến thức về họ tiến hóa, họ tiến hóa có nhị
phân mũ, tam phân mũ, không gian hàm chấp nhận được và các tính chất
của nó, sự tồn tại của đa tạp ổn định, không ổn định, tâm ổn định và tâm
không ổn định (những kết quả trong [7]).
Chương 2: Tính hút của đa tạp không ổn định: Trong chương này
chúng tôi chứng minh tính hút cấp mũ của đa tạp không ổn định và đa tạp
tâm không ổn định, đồng thời chúng tôi cũng cho ví dụ để minh họa.
Mặc dù đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và cũng rất cố gắng, song do
thời gian có hạn, kiến thức tích lũy chưa nhiều nên bản luận văn không
4


tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong sẽ nhận được các ý kiến đóng
góp của Quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn
chỉnh hơn.

Hà Nội, ngày 07 tháng 8 năm 2011
Học viên : Phạm Thị Hoài

5


Chương 1
Đa tạp bất biến trong không gian
hàm
1.1

Họ tiến hóa

1.1.1

Khái niệm họ tiến hóa

Định nghĩa 1.1.1. Kí hiệu J là R hoặc R+ , một họ các toán tử (U (t, s))t≥s,t,s∈J
trên không gian Banach X được gọi là một họ tiến hóa (liên tục mạnh, bị
chặn mũ) trên J nếu:
(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s, t, r, s ∈ J,
(ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s)x liên tục trên J × J với mọi x ∈ X,
(iii) U (t, s)x ≤ Keω(t−s) x với mọi t ≥ s, t, s ∈ J và x ∈ X, trong đó
K, ω là các hằng số nào đó.
Khái niệm họ tiến hóa được phát triển một cách tự nhiên từ lí thuyết
về phương trình tiến hóa được đặt chỉnh. Nghĩa là, nếu bài toán Cauchy

 du(t)
= A(t)u(t), t ≥ s, t, s ∈ J
dt
u(s) = x ∈ X,
s
6


(trong đó, A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X, nói chung
A(t) không bị chặn với t ∈ J) được đặt chỉnh thì tồn tại một họ tiến hóa
(liên tục mạnh, bị chặn mũ) (U (t, s))t≥s,t,s∈J sao cho nghiệm của bài toán
trên được cho bởi u(t) = U (t, s)u(s). Để biết chi tiết hơn về khái niệm họ
tiến hóa, các tính chất, các ứng dụng và những vấn đề liên quan đến họ tiến

hóa, bạn đọc có thể xem thêm trong A. Pazy[10] hay R. Nagel, G. Nikel [9].
Dưới đây là một số ví dụ minh họa họ tiến hóa:
dx
= A(t)x, với x ∈
dt
là liên tục. Khi đó tồn

Ví dụ 1.1.2. (i) Xét phương trình vi phân thường
Rn , ánh xạ tuyến tính A : [0, +∞) → Rn×n

tại duy nhất họ hai tham số các ma trận Cauchy không suy biến
(X(t, s))t,s≥0 , với X(t, s) := X(t)X −1 (s), X(t) là một ma trận cơ bản
nào đó. Họ các ma trận Cauchy này là một họ tiến hóa.
(ii) Hàm u đi từ R vào tập các toán tử khả nghịch, bị chặn đều trên X.
Toán tử u−1 (τ ) = [u(τ )]−1 bị chặn và liên tục mạnh. Khi đó toán tử
U (θ, τ ) = u(θ)u(τ )−1 xác định một họ tiến hóa trên X.
(iii) Cho (A, D(A)) là toán tử tuyến tính trên X. Lấy ω ∈ R, M ≥ 1, khi
đó các khẳng định sau tương đương
(a) (A, D(A)) sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn
T (t) ≤ M eωt , t ≥ 0.
(b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật và với mọi λ ∈ C thỏa mãn
Reλ > ω, ta có
λ ∈ ρ(A) và R(λ, A)n ≤

M
, ∀n ∈ N.
(Reλ − ω)n

Nửa nhóm (T (t))t≥0 thường được kí hiệu là (etA )t≥0 . Với nửa nhóm liên
tục mạnh và bị chặn mũ này, ta có họ tiến hóa tương ứng với nó là

U (t, s) = e(t−s)A , t ≥ s ≥ 0.
7


1.1.2

Họ tiến hóa có tam phân mũ

Định nghĩa 1.1.3. Kí hiệu J là R hoặc R+ , một họ tiến hóa {U (t, s)}t≥s,t,s∈J
trên J được gọi là có tam phân mũ trên J nếu tồn tại ba họ các phép chiếu
(Pj (t))t∈J,j=1,2,3 , các hằng số dương N, α, β, với α < β sao cho các điều kiện
sau được thỏa mãn:
(i) supt∈J Pj (t) < +∞, j = 1, 2, 3,
(ii) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = Id với mọi t ∈ J, và Pj (t)Pi (t) = 0 với mọi
j = i,
(iii) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s), với mọi t ≥ s ≥ 0, j = 1, 2, 3,
(iv) U (t, s)|ImPj (s) là đồng phôi từ ImPj (s) lên ImPj (t) với mọi t ≥ s, t, s ∈
J và j = 2, 3 theo thứ tự; ta cũng kí hiệu U (s, t)| là ánh xạ ngược của
U (t, s)|ImP2 (s) (trong đó t ≥ s),
(v) Các ước lượng sau được thỏa mãn:
U (t, s)P1 (s)x ≤ N e−β(t−s) P1 (s)x , với mọi t ≥ s, t, s ∈ J, x ∈ X,
U (s, t)| P2 (t)x ≤ N e−β(t−s) P2 (t)x , với mọi t ≥ s, t, s ∈ J, x ∈ X,
U (t, s)P3 (s)x ≤ N eα|t−s| P3 (s)x , với mọi t, s ∈ J, x ∈ X.
Trong trường hợp đặc biệt khi họ phép chiếu (P3 (t))t∈J là tầm thường,
nghĩa là P3 (t) = 0, ∀t ∈ J thì ta gọi họ tiến hóa trên là một họ tiến hóa có
nhị phân mũ.
Ví dụ 1.1.4. Xét phương trình tiến hóa:
dx(t)
= Ax(t) + f (t, x),
dt

(1.1)

Trong đó A là toán tử quạt thỏa mãn tập phổ của A là σ(A) được phân
hoạch thành ba tập rời rạc: {λ ∈ σ(A), Reλ < 0}, {λ ∈ σ(A), Reλ > 0} và
8


{λ ∈ σ(A), Reλ = 0} sao cho σ(A) ∩ iR chỉ gồm hữu hạn điểm. Khi đó
A sẽ là phần tử sinh của nửa nhóm giải tích (T (t))t≥0 . Do đó ta xác định
được họ tiến hóa U (t, s) := T (t − s) với mọi t ≥ s ≥ 0. Đây là một họ tiến
hóa có tam phân mũ, để thấy điều này ta chỉ cần chọn được một họ các
ánh xạ chiếu thích hợp thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa trên.
Thật vậy, áp dụng định lí ánh xạ phổ cho nửa nhóm giải tích ta có, với
mỗi t0 cố định, phổ của toán tử T (t0 ) được phân ra thành các tập rời rạc
σ1 , σ2 , σ3 với σ1 ⊂ {|z| < 1}, σ2 ⊂ {|z| > 1}, σ3 ⊂ {|z| = 1} và σ3 chỉ
có hữu hạn phần tử. Tiếp theo chúng ta sẽ chọn P1 = P1 (t0 ), P2 = P2 (t0 ),
P3 = P3 (t0 ) là các phép chiếu Riesz tương ứng với các tập phổ σ1 , σ2 , σ3 .
Rõ ràng P1 , P2 , P3 giao hoán với T (t) với mọi t ≥ 0.
Hiển nhiên P1 + P2 + P3 = I và Pi Pj = 0 với i = j, và tồn tại các hằng
số dương M, δ sao cho T (t)P1 ≤ M e−δt với mọi t ≥ 0. Hơn nữa, nếu đặt
Q := P2 + P3 = I − P1 và xét nửa nhóm liên tục mạnh (TQ (t))t≥0 trên không
gian ImQ với TQ (t) := T (t)Q. Vì σ2 ∪ σ3 = σ(TQ (t)) nên (TQ (t))t≥0 có thể
mở rộng thành một nhóm (TQ (t))t∈R trên ImQ. Từ lí thuyết nửa nhóm ta
suy ra tồn tại các hằng số dương K, α, γ (α được chọn đủ nhỏ để α < γ)
sao cho:
TQ (−t)P2 ≤ Ke−γt , ∀t ≥ 0,
TQ (t)P3 ≤ Keα|t| , ∀t ∈ R.
Từ các lập luận trên ta đi đến kết luận rằng: Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có
tam phân mũ với họ ánh xạ chiếu Pj , j = 1, 2, 3 và các hằng số N, α, β được

xác định như sau:
β := min{δ, γ},
N := max{K, M }.
9


1.2

Không gian hàm và tính chấp nhận được

Trong giải tích hàm và các lĩnh vực liên quan của toán học thì không
gian véctơ tôpô lồi địa phương là một lớp không gian đặc biệt quan trọng.
Chúng có thể được định nghĩa như các không gian véctơ với tôpô được
sinh bởi một họ tùy ý các tập con lồi cân và hấp thụ hoặc sinh bởi một
họ các nửa chuẩn. Theo cách xây dựng thứ hai này, ta nhắc lại dưới đây
một không gian hàm cụ thể bởi nó đóng một vai trò cơ bản trong suốt quá
trình nghiên cứu tính chất tiệm cận của phương trình tiến hóa. Kí hiệu B
là đại số Borel, λ là độ đo Lebesgue trên R+ . Tập các hàm đo được Borel
nhận giá trị thực và xác định trên R+ (hầu khắp nơi theo độ đo λ), khả
tích trên mọi khoảng compact J ⊆ R+ sẽ trở thành không gian véctơ tôpô
lồi địa phương với tôpô hội tụ theo nghĩa trung bình trên mọi khoảng J
đó. Không gian này được kí hiệu là L1,loc (R+ ).
L1,loc (R+ ) = {f : R+ → R (λ − h.k.n)|f đo được Borel,
f khả tích trên mọi khoảng compact J ⊂ R}.
Tập các nửa chuẩn xác định tôpô của L1,loc (R+ ) được cho bởi
|f (t)|dt, Jn = [n, n + 1], n ∈ N,

pn (f ) :=
Jn

trong đó {Jn }n∈N = {n, n + 1]}n∈N là tập đếm được các khoảng compact
rời nhau mà hợp của chúng là R+ . Với tập các nửa chuẩn này thì có thể
thấy rằng L1,loc (R+ ) là không gian Frechet.
Cho V là một không gian định chuẩn (với chuẩn . V ) và W là một
không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff. Khi đó ta nói: V mạnh
hơn W và kí hiệu là V → W nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:
(i) V ⊆ W ,
(ii) Ánh xạ đồng nhất từ V vào W là liên tục.
Điều kiện (ii) tương đương với: nếu π là một nửa chuẩn liên tục của W
thì tồn tại một số βπ sao cho π(x) ≤ βπ x V với mọi x ∈ V . Đặc biệt nếu
W cũng là không gian định chuẩn (với chuẩn . W ) thì quan hệ V → W
tương đương với V ⊆ W và tồn tại số α > 0 sao cho x W ≤ α x V với
mọi x ∈ V .

10


1.2.1

Không gian hàm chấp nhận được

Trong mục này ta nhắc lại khái niệm không gian hàm Banach và tính
chấp nhận được. Ta cũng đưa ra một số ví dụ cụ thể để minh họa cho các
khái niệm này.
Định nghĩa 1.2.1. Không gian véctơ E của các hàm đo được Borel nhận
giá trị thực và xác định trên R+ (λ − h.k.n) được gọi là không gian hàm
Banach (trên (R+ , B, λ)) nếu:
(1) E là dàn Banach với chuẩn .

E

tương ứng, tức là (E, .

E)

là không

gian Banach; và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm đo được Borel nhận giá trị thực
sao cho |ψ(.)| ≤ |ϕ(.)| (λ − h.k.n) thì ψ ∈ E và ψ

E

≤ ϕ

E,

(2) Hàm đặc trưng χA thuộc E với mọi A (có độ đo hữu hạn) thuộc B;
supt≥0 χ[t,t+1] < +∞, inf t≥0 χ[t,t+1] > 0,
(3) E → L1,loc (R+ ).
Với không gian hàm Banach E, ta nhận thấy rằng điều kiện (3) có thể
diễn đạt lại như sau: với mỗi khoảng compact J ⊂ R+ tồn tại một số βJ ≥ 0
sao cho
|f (t)|dt ≤ βJ f E , với mọi f ∈ E.
J

Bây giờ ta lấy E là không gian hàm Banach và X là không gian Banach
với chuẩn . . Đặt
E := E(R+ , X) := {f : R+ → X, f là đo được mạnh và f

E

∈ E},

trang bị chuẩn
f

E

:=

f (.)

E

Ta nhận thấy rằng E là một không gian Banach và ta gọi E là không gian
Banach tương ứng với không gian hàm Banach E.
Định nghĩa 1.2.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thỏa mãn:
11


(1) Tồn tại một hằng số M sao cho mọi khoảng compact [a, b] ⊂ R+ ta
đều có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ

χ[a,b] E

E

với mọi ϕ ∈ E,

(2) Với ϕ ∈ E hàm Λ1 ϕ(t) xác định bởi Λ1 ϕ(t) :=

t+1
ϕ(τ )dτ
t

(1.2)
thuộc E,

(3) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , trong đó

 ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
+
Tτ ϕ(t) =
0
nếu 0 ≤ t < τ
Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi
τ ∈ R+ .

Ví dụ 1.2.3. Không gian Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ +∞ và không gian
t+1

M(R+ ) =

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

với f

M

= supt≥0

t+1
|f (τ )|dτ
t

|f (τ )|dτ < +∞
t

là các không gian hàm Banach chấp nhận

được. Hơn nữa, nếu E là không gian hàm Banach thì E → M(R+ ). Thật
vậy, đặt β = inf t≥0 χ[t,t+1]
t+1

|f (τ )|dτ ≤
t

Do đó, f ∈ M(R+ ) và f
1.2.2

> 0. Theo định nghĩa của E ta có

E

M
f
β

E

M
β

f

M

≤

với mọi t ≥ 0 và f ∈ E
E.

(1.3)

Bởi vậy, E → M(R+ ).

Tính chất của không gian hàm chấp nhận được

Bổ đề dưới đây cho ta tiêu chuẩn kiểm tra một hàm liệu có thuộc không
gian hàm Banach E hay không?
12

Bổ đề 1.2.4. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực
đo được Borel trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn
compact và bị chặn cốt yếu trong đoạn này. Khi đó ϕ ∈ E khi và chỉ khi
ψ ∈ E.
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu
trên J nên tồn tại M > 0 sao cho
λ(A) := λ ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0.
Đặt B = J \ A, do E là không gian hàm Banach nên |ϕ| ∈ E và χB ∈ E.
Bởi vậy, |ϕ| + M χB ∈ E. Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ| + M χB (λ − h.k.n), suy
ra ψ ∈ E.
Mệnh đề 1.2.5. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau
t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =
0

+∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ
bị chặn và ta có đánh giá
Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞,

(1.4)

trong đó T1+ , Λ1 và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.2.2,

(b) Với mọi α > 0, ψ(t) = e−αt ∈ E,
13


(c) Với mọi b > 0, f (t) = e b t ∈
/ E.
Chứng minh. Với a ∈ R đặt a+ = max{0, a}, ta có
t

Λ1 T1+ ϕ(t)

=

ϕ(s)ds,
(t−1)+


0

T1+ Λ1 ϕ(t) =



nếu 0 ≤ t ≤ 1,

t
(t−1)+

ϕ(s)ds nếu t > 1.

Do T1+ Λ1 ϕ ∈ E nên theo Bổ đề 1.2.4 suy ra Λ1 T1+ ϕ ∈ E. Mặt khác ta có
+∞

+∞

(t−j)+

Λσ ϕ(t) =

e
j=0
+∞

−σ(t−s)

−jσ

ϕ(s)ds ≤

(t−j)+

e

(t−(j+1))+

ϕ(s)ds
(t−(j+1))+

j=0

e−jσ Tj+ Λ1 T1+ ϕ(t) với mọi t ∈ R+ .

=
j=0

Ta có e−jσ Tj+ Λ1 T1+ ϕ ∈ E với mọi j và
+∞

+∞

e

−jσ

Tj+ Λ1 T1+ ϕ E

N1 e−jσ Λ1 T1+ ϕ

≤

j=0

E

=

j=0

N1
Λ1 T1+ ϕ

−σ
1−e

E.

Vì E là không gian hàm Banach nên Λσ ϕ ∈ E và ta có
Λσ ϕ

E

N1
Λ1 T1+ ϕ
1 − e−σ

≤

(1.5)

E

Tương tự ta có
+∞

+∞

t+j+1

Λσ ϕ(t) =

e

j=0
+∞

−σ(s−t)

ϕ(s)ds ≤

t+j

t+j+1

e

−jσ

ϕ(s)ds
t+j

j=0

e−jσ Tj− Λ1 ϕ(t) với mọi t ∈ R+ .

=
j=0

Ta có e−jσ Tj− Λ1 ϕ(t) ∈ E với mọi j và
+∞

+∞
−jσ

e
j=0

Tj− Λ1 ϕ E

N2 e−jσ Λ1 ϕ

≤
j=0

14

E

=

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

E.


Vì E là không gian hàm Banach nên Λσ ϕ ∈ E và ta có
Λσ ϕ

E

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

E.

(1.6)

Với ϕ ∈ M(R+ ) suy ra Λσ và Λσ bị chặn. Áp dụng với E = L∞ , từ (1.5)
và (1.6) suy ra bất đẳng thức (1.4).
(b) Lấy χ[0,1] ∈ E, đặt
t

e−α(t−s) χ[0,1] (s)ds =

v(t) =
0




e−αt (eα −1)
α

nếu t ≥ 1,



1−e−αt

α

nếu 0 ≤ t < 1.

Theo (a) ta có v(t) ∈ E. Vì vậy, theo Bổ đề 2.2 suy ra ψ ∈ E.
(c) Giả sử tồn tại b > 0 sao cho f (t) = e b t ∈ E. Theo (2) ta có
1 bt b
M
e (e − 1) ≤
f
b
β

E

với mọi t ≥ 0.

Điều này mâu thuẫn với lim e b t = +∞.
t→+∞

Chú ý: Nếu ta thay thế R+ bởi một khoảng I vô hạn (hoặc nửa vô
hạn, chẳng hạn như I = R− , R, hoặc (−∞, t0 ] với t0 cố định thuộc R,...) thì
chúng ta sẽ thu được những khái niệm tương tự về không gian hàm chấp
nhận được trên khoảng I, cụ thể là:
(1) Trong Định nghĩa 1.2.2 toán tử dịch chuyển Tτ+ và Tτ− với τ ∈ R+ sẽ
được thay bằng Tτ+ và Tτ− xác định với τ ∈ I như sau:
ϕ(t − τ ) nếu t và t − τ thuộc I,
0
nếu t ∈ I và t − τ không thuộc I.
−

Tτ ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ∈ I.

Tτ+ ϕ(t) =

(2) Trong Mệnh đề 1.2.5 (a) các hàm Λσ ϕ và Λσ ϕ được thay thế bởi:
t0

Λσ ϕ(t) =

e−σ|t−s| ϕ(s)ds,

t

trong đó t0 = +∞ nếu I = R, và t0 = 0 nếu I = R−
t

Λσ ϕ(t) =

e−σ|s−t| ϕ(s)ds.
−∞

15


Trong Mệnh đề 1.2.5 (b) và (c) hàm ψ(t) = e−αt ( t ≥ 0, và với số
α > 0 cố định) được thay bởi ψ(t) = e−α|t| ( t ∈ I, và với số α > 0 cố
định); và hàm f (t) = ebt với t ≥ 0 và hằng số b > 0 cố định sẽ được
thay bằng hàm f (t) = eb|t| với t ∈ I và b > 0.
Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng những khái niệm này. Ta
kí hiệu không gian hàm chấp nhận được của các hàm xác định trên tập I

là EI . Nếu I = R+ ta sẽ dùng E thay cho ER+ . Với một hàm ϕ xác định
trên toàn bộ đường thẳng ta kí hiệu hạn chế của ϕ trên I là ϕ|I . Rõ ràng
nếu ϕ ∈ ER thì ϕ|I ∈ EI .
Khi không gian pha có chiều vô hạn, thay vì phương trình (1), đối với
một họ tiến hóa (U (t, s))t≥s,t,s∈J (J = R+ hoặc R) ta sẽ xét phương trình
tích phân sau:
t

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s h.k.n, t, s ∈ J. (1.7)

u(t) = U (t, s)u(s) +
s

Chúng ta chú ý rằng, nếu họ tiến hóa (U (t, s))t≥s,t,s∈J được lấy từ bài
toán Cauchy đặt chỉnh

 du(t)
= A(t)u(t), t ≥ s, t, s ∈ J,
dt
u(s) = x ∈ X.
s
thì hàm u thỏa mãn (1.7) với một hàm f cho trước, được gọi là nghiệm đủ
tốt của bài toán không thuần nhất:

 du(t)
= A(t)u(t) + f (t, u(t)), t ≥ s, t, s ∈ J,
dt
u(s) = x ∈ X.
s

Để hiểu rõ hơn về nghiệm đủ tốt và nghiệm cổ điển của phương trình
tiến hóa, bạn đọc có thể tham khảo trong [10].
1.2.3

Hàm ϕ−Lipschitz

Để chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình (1.7),
bên cạnh tính nhị phân mũ (hay tam phân mũ) của họ tiến hóa chúng ta
cần thêm tính ϕ−Lipschitz của phần không tuyến tính f . Trong định nghĩa
sau ta hiểu J là R+ hoặc R, và EJ kí hiệu là không gian hàm Banach trên
J, khi J = R+ ta sẽ viết E thay cho ER+ .
16


Định nghĩa 1.2.6 (Hàm ϕ−Lipschitz địa phương). Cho ϕ là một hàm
dương thuộc EJ , và Bρ là hình cầu bán kính ρ trong X (Bρ := {x ∈ X :
x ≤ ρ}). Hàm f : J × Bρ → X được gọi là ϕ−Lipschitz địa phương lớp
(M, ϕ, ρ) với các hằng số dương M, ρ nếu f thỏa mãn:
(i) f (t, x) ≤ M ϕ(t) với t ∈ J h.k.n, và x ∈ Bρ ,
(ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ J h.k.n, và x1 , x2 ∈ Bρ .
Chú ý: Nếu f (t, 0) = 0 thì từ điều kiện (ii) trong định nghĩa trên ta
thấy f thuộc vào lớp (ρ, ϕ, ρ).
Định nghĩa 1.2.7 (Hàm ϕ−Lipschitz ). Cho ϕ là một hàm dương thuộc
EJ , Hàm f : J × Bρ → X được gọi là ϕ−Lipschitz nếu f thỏa mãn:
(i) f (t, 0) = 0 với t ∈ J h.k.n,
(ii) f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ J h.k.n, và x1 , x2 ∈ X.

1.3

Nhị phân mũ và đa tạp ổn định trên R+

Trong phần này chúng ta sẽ nhắc lại những kết quả trong [6]. Khi J = R+ ,
đối với họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 ta sẽ viết lại phương trình tích phân (1.7)
như sau:
t

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0 h.k.n.

u(t) = U (t, s)u(s) +

(1.8)

s

1.3.1

Đa tạp ổn định địa phương trên R+

Trong suốt phần này ta giả sử rằng họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân
mũ trên R+ , và phần phi tuyến f là ϕ−Lipschitz địa phương lớp (M, ϕ, ρ)
như trong Định nghĩa 1.2.6.
Đầu tiên chúng ta đưa ra khái niệm về đa tạp ổn định địa phương cho
nghiệm của phương trình (1.8).

17


Định nghĩa 1.3.1. Một tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp ổn định địa
phương cho nghiệm của phương trình (1.8) nếu với mọi t ∈ R+ không gian
pha X được biểu diễn thành tổng trực tiếp X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho:

inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf{ x0 +x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1, i = 0, 1} > 0

t∈R+

t∈R+

và tồn tại các hằng số dương ρ, ρ0 , ρ1 và một họ các ánh xạ Lipschitz liên
tục:
gt : Bρ0 ∩ X0 (t) → Bρ1 ∩ X1 (t), t ∈ R+ ,
với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:
(i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t))|t ∈ R+ , x ∈ Bρ0 ∩ X0 (t)} và
ta kí hiệu St := {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S},
(ii) St đồng phôi với Bρ0 ∩ X0 (t) := {x ∈ X0 (t) : x ≤ ρ0 } với mọi t ≥ 0,
(iii) với mỗi x0 ∈ St0 tương ứng với một và chỉ một nghiệm u(t) của
phương trình (1.8) trên [t0 , +∞) thỏa mãn điều kiện u(t0 ) = x0 và
esssupt≥t0 u(t) ≤ ρ.
Giả sử (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép chiếu tương ứng
P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, β > 0. Đặt
H := sup P (t) < +∞.
t≥0

Ta định nghĩa hàm Green trên R+ như sau:
G(t, τ ) =

P (t)U (t, τ )
nếu t ≥ τ ≥ 0,
−U (t, τ )| [I − P (τ )] nếu 0 ≤ t < τ .

(1.9)

Khi đó ta có
G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−β|t−τ | , với mọi t = τ ≥ 0.

(1.10)

Bổ đề sau được lấy từ [6] cho ta dạng nghiệm bị chặn của phương trình
(1.8).
18


Bổ đề 1.3.2. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép
chiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0. Giả sử ϕ là
một hàm dương thuộc E. Cho f : R+ × Bρ → X thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với các
hằng số dương M, ρ. Gọi u(t) là nghiệm của phương trình (1.8) sao cho
esssupt≥t0 u(t) ≤ ρ với mỗi t0 ≥ 0. Khi đó với t ≥ t0 , u(t) có thể được
viết dưới dạng
+∞

G(t, τ )f (τ, u(τ ))dτ, với mỗi v0 ∈ X0 (t0 ) = P (t0 )X,

u(t) = U (t, t0 )v0 +
t0

(1.11)
trong đó G(t, τ ) là hàm Green được xác định bởi công thức (1.9).
Sau đây là nội dung của Định lí 3.7 trong [6]:
Định lí 1.3.3. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép
chiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0. Đặt
k :=

(1 + H)N
(N1 Λ1 T1+ ϕ
−β
1−e

∞

+ N2 Λ1 ϕ

∞ ).

(1.12)

Khi đó, với mọi số dương ρ và M ta có: Nếu f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với một
ρ
hàm dương ϕ ∈ E thỏa mãn k < min{1, 2M
} thì có tương ứng: mỗi phần tử

v0 ∈ B 2Nρ ∩ X0 (t0 ) với một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (1.8)
trên [t0 , +∞) thỏa mãn điều kiện P (t0 )u(t0 ) = v0 và esssupt≥t0 u(t) ≤ ρ.
Hơn nữa, ước lượng sau cũng được thỏa cho hai nghiệm u1 (t), u2 (t) bất kì
tương ứng với v1 , v2 ∈ B 2Nρ ∩ X0 (t0 ):
u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) v1 − v2 , với t ≥ t0 ,

(1.13)

trong đó µ là hằng số dương thỏa mãn
0 < µ < β + ln 1 − k(1 − e−β ) , và Cµ =

19

N
1−

k(1−e−β )
1−e−(β−µ)

.


Kết quả đầu tiên trong [6] về sự tồn tại đa tạp địa phương chính là Định
lí 3.8 (xem [6]) như sau:
Định lí 1.3.4. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ phép
chiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0. Khi đó, với
mọi số dương ρ và M ta có: Nếu f thuộc lớp (M, ϕ, ρ) với một hàm dương
ρ
} (số k được xác định bởi (1.12)) thì tồn
ϕ ∈ E thỏa mãn k < min{ N1+1 , 2M

tại đa tạp ổn định địa phương S cho nghiệm của phương trình (1.8). Hơn
nữa, hai nghiệm u1 (t), u2 (t) bất kì trên S hút nhau cấp mũ theo nghĩa, tồn
tại một hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc vào t0 ≥ 0 sao cho
u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u1 (t0 ) − P (t0 )u2 (t0 ) , với t ≥ t0 . (1.14)
Bạn đọc quan tâm đến chứng minh của hai định lí này có thể tham khảo
trong [6].
1.3.2

Đa tạp bất biến ổn định trên R+

Trong mục này ta sẽ nhắc lại những kết quả về sự tồn tại đa tạp bất

biến ổn định trong [6] với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân
mũ và hàm phi tuyến f là ϕ−Lipschitz như trong Định nghĩa 1.2.7. Nhưng
trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm về đa tạp bất biến ổn định cho
nghiệm của phương trình (1.8).
Định nghĩa 1.3.5. Một tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp bất biến ổn
định cho nghiệm của phương trình (1.8) nếu với mọi t ∈ R+ không gian
pha X được biểu diễn thành tổng trực tiếp X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho:
inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf{ x0 +x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1, i = 0, 1} > 0

t∈R+

t∈R+

và tồn tại một họ các ánh xạ Lipschitz liên tục:
gt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+ ,
với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:
20


(i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t))|t ∈ R+ , x ∈ X0 (t)} và ta kí
hiệu St := {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S},
(ii) St đồng phôi với X0 (t) với mọi t ≥ 0,
(iii) với mỗi x0 ∈ St0 tương ứng với một và chỉ một nghiệm x(t) của
phương trình (1.8) trên [t0 , +∞) thỏa mãn điều kiện x(t0 ) = x0 và
esssupt≥t0 x(t) < +∞,
(iv) S bất biến đối với phương trình (1.8) theo nghĩa, nếu x(.) là một nghiệm
của phương trình (1.8) thỏa mãn x(t0 ) ∈ St0 và esssupt≥t0 x(t) < +∞
thì x(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0 .
Chú ý rằng nếu ta đồng nhất X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t) thì ta có
thể hiểu là St = graph(gt ), ở đó graph(gt ) là kí hiệu đồ thị của hàm gt .

Bổ đề 1.3.6. ([6], Bổ đề 4.4) Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân
mũ với họ phép chiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0.
Giả sử rằng ϕ là hàm dương thuộc E. Cho f : R+ ×X → X là ϕ−Lipschitz.
Khi đó, với t ≥ t0 ta có thể viết lại nghiệm x(t) của phương trình (1.8) dưới
dạng:
+∞

x(t) = U (t, t0 )v0 +

G(t, τ )f (τ, x(τ ))dτ.

(1.15)

t0

với v0 ∈ X0 (t) = P (t0 )X, trong đó G(t, τ ) là hàm Green được xác định bởi
công thức (1.9).
Chú ý: Phương trình (1.15) được gọi là phương trình Lyapunov-Perron.
Bằng tính toán trực tiếp ta thấy rằng chiều ngược lại của Bổ đề 1.3.6 cũng
đúng.
Định lí 1.3.7. ([6], Định lí 4.6) Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân
mũ với họ phép chiếu tương ứng (P (t))t≥0 và các hằng số nhị phân N, β > 0.
Giả sử rằng ϕ là hàm dương thuộc E. Cho f : R+ × X → X là ϕ−Lipschitz
21