Phương pháp cực trị và ứng dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

ĐÀO TH NGÂN

PHƯƠNG PHÁP C C TR VÀ
NG D NG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

HÀ N I - NĂM 2015

NHIÊN


Đ I H C QU C GIA HÀ N I

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

ĐÀO TH NGÂN

PHƯƠNG PHÁP C C TR VÀ
NG D NG

LU N VĂN

Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P
Mã s 60460113

Gi ng viên hư ng d n
PGS. TS. NGUY N ĐÌNH SANG

HÀ N I - NĂM 2015


M cl c
L IM

1

ĐU

DANH M C HÌNH V

3

B NG KÝ HI U

4

1 KI N TH C CƠ B N
1.1 Đ nh nghĩa giá tr l n nh t (GTLN), giá tr nh
1.1.1 Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m
1.1.2 Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m

5
5
5

...............
n.................
2 PHƯƠNG PHÁP TÌM C C TR
2.1 Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s
2.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
d...............
2.1.3 Nh n xét v phương pháp . . . .
2.1.4 Bài t p áp d ng . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp mi n giá tr . . . . . . . .
2.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ví d . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Nh n xét v phương pháp . . . .
2.2.4 Bài t p áp d ng . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp b t đ ng th c . . . . . .
2.3.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.3.2 Ví d . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Nh n xét v phương pháp . . . .

i

nh t (GTNN)
t hàm s
...
tt ph p . . .
51.2 Các đi u ki n đ .
.........
61.3 Đ nh lý cơ b
.........
7

. . . .
. . . .
92.1.2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. .
. .
Ví
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .

. .
. .

. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9

10
12
13
14

14
14
18
18
19
19
21
27


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

28
29
29
29
31
31
32
32
32
35
35
36
36
37
40
40
41
41
51

NG D NG C A PHƯƠNG PHÁP C C TR
3.1
ng d ng c c tr đ gi i phương trình và b t phương trình . . 3.1.1
Phương pháp ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Bài t p áp
d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ng d ng c c tr đ gi i và bi n lu n phương trình và b t phương
3.2
trình có ch a tham s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1
Phương pháp ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Bài t p áp d
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ng d ng ch ng minh b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1
3.3
Phương pháp ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Bài t p áp
d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
53
53
57

2.4

2.5

2.6

2.7

3

2.3.4 Bài t p áp d ng . . . . .
Phương pháp lư ng giác hóa . . .
2.4.1 Phương pháp . . . . . . .
2.4.2 Ví d . . . . . . . . . . .
2.4.3 Nh n xét v phương pháp
2.4.4 Bài t p áp d ng . . . . .
Phương pháp hình h c . . . . . .
2.5.1 Phương pháp . . . . . . .
2.5.2 Ví d . . . . . . . . . . .
2.5.3 Nh n xét v phương pháp

2.5.4 Bài t p áp d ng . . . . .
Phương pháp vectơ . . . . . . . .
2.6.1 Phương pháp . . . . . . .
2.6.2 Ví d . . . . . . . . . . .
2.6.3 Nh n xét v phương pháp
2.6.4 Bài t p áp d ng . . . . .
Ví d t ng quát . . . . . . . . .
2.7.1 Ví d . . . . . . . . . . .
2.7.2 Bài t p áp d ng . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

58
58
64
65
65
69

K T LU N

71

TÀI LI U THAM KH O

72

ii


L IM

ĐU

Các v n đ liên quan đ n c c tr và ng d ng c a c c tr là nh ng
bài toán r t quan tr ng và có nhi u d ng toán g n v i ng d ng th c t nh t
trong toán h c ph thông. Ví d bài toán tìm đư ng đi ng n nh t, di n tích l
n nh t, t ng chi phí ít nh t, l i nhu n cao nh t... Đ c bi t, các bài v c c tr
thư ng là bài toán khó, t ng h p trong m i kì thi t t nghi p, cao đ ng - đ i
h c.
C c tr bao g m c c tr tuy t đ i và c c tr tương đ i. Trong lu n văn này
khái ni m c c tr đư c đ c p đ n là c c tr tuy t đ i (g m giá tr l n nh t và giá
tr nh nh t). Trong chương trình ph thông khái ni m hàm nhi u bi n
chưa đư c đ c p đ n, do đó trong lu n văn này dù có nh ng bài toán nhi
u bi n nhưng s đư c đưa v đ gi i theo bài toán c c tr m t bi n ho c c a m
t t p h p.
Lu n văn "Phương pháp c c tr và

ng d ng" s trình bày

các phương pháp c c tr đ tìm các giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm
s , bi u th c, t p h p... và ng d ng c a các phương pháp này. Tuy nhiên
vi c chia các phương pháp ch là tương đ i, cùng v i đó các phương
pháp có r t nhi u ng d ng khác nhau, trong ph m vi phương pháp toán
sơ c p và gi i h n c a m t bài lu n văn th c sĩ không th trình bày h t t t c
các phương pháp và ng d ng đư c. Do đó, lu n văn s đ c p và đi sâu
vào 6 phương pháp cơ b n và 3 ng d ng thư ng g p trong các bài toán
toán ph thông nh t.
Trên cơ s đó, n i dung lu n văn đư c chia làm ba chương:

1

Chương 1: Ki n th c chu n b .
G m các ki n th c cơ b n v giá tr l n nh t, giá tr nh nh t. Chương
2: Phương pháp tìm c c tr .
Trình bày 6 phương pháp: Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm
s ; phương pháp mi n giá tr ; phương pháp b t đ ng th c; phương pháp
lư ng giác hóa; phương pháp hình h c; phương pháp vectơ. Cu i
chương là các ví d t ng quát v n d ng nhi u phương pháp khác nhau.
Chương 3:

ng d ng c a phương pháp c c tr .

Trình bày 3 ng d ng thư ng g p trong toán h c sơ c p:

ng d ng

c c tr đ gi i phương trình và b t phương trình; ng d ng c c tr đ gi i và
bi n lu n phương trình, b t phương trình có ch a tham s ; ng
d ng c c tr đ ch ng minh b t đ ng th c. M i ng d ng có các ví d chi ti t
và bài t p áp d ng.
Đ hoàn thành lu n văn, trư c h t em xin bày t s bi t ơn sâu s c
t i ngư i th y kính m n PGS. TS. Nguy n Đình Sang. Ngư i đã tr c ti p
hư ng d n, truy n th ki n th c, hư ng nghiên c u giúp em hoàn thành
luân văn này.
Em cũng chân thành c m ơn các th y, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin h
c, Trư ng Đ i h c Khoa h c t nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i, nh ng ngư
i đã gi ng d y, hư ng d n em trong quá trình h c, cùng các b n bè đã
giúp đ , đóng góp ý ki n, đ ng viên em trong h c t p, nghiên c u và hoàn
thành lu n văn này.
M c dù đã n l c, c g ng nhưng hi u bi t có h n và th i gian h n ch mà

v n đ tương đ i r ng nên em không tránh kh i thi u sót. Kính mong các
th y cô, b n bè góp ý đ em hoàn thi n hơn.
Em xin chân thành c m ơn!
Hà N i, ngày 9 tháng 10 năm 2015
H c viên
Đào Th Ngân
2


DANH M C HÌNH V

Hình 1: B ng bi n thiên hàm s y = |x3 + 3x2 − 72x + 90|.
Hình 2: Tam giác ABC đ u c nh đơn v 2.
Hình 3: Đ th x + y = 1 và x2 + y2 = 1.
Hình 4: Đư ng tròn tâm O, đư ng kính AB, ch a
Hình 5: Đ th elip.
Hình 6: B ng bi n thiên hàm s f (x) =

3

√4 2x + √

CAB.
√
2x + 2 4 6 − x.


B NG KÝ HI U

N T p các s t nhiên

N∗ T p các s đ m
Z T p các s nguyên
R T p các s th c C T
p các s ph c
GTLN Giá tr l n nh t
GTNN Giá tr nh nh t

[a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
(a; b) = {x ∈ R|a < x < b} [a;
b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b]
= {x ∈ R|a < x ≤ b}

4


Chương 1

KI N TH C CƠ B N
1.1
1.1.1

Đ nh nghĩa giá tr l n nh t (GTLN), giá tr nh
nh t (GTNN)
Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t hàm s

• Cho hàm s y = f (x) xác đ nh trên t p D ⊂ R. S M đư c g i là GTLN
c a hàm s y = f (x) trên D n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n:

f (x) ≤ M, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0) = M

Ký hi u: M = max f (x).
x∈D

• Cho hàm s y = f (x) xác đ nh trên t p D ⊂ R. S M đư c g i là GTNN
c a hàm s y = f (x) trên D n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n:

f (x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0) = m
Ký hi u: m = min f (x).
x∈D

Chú ý: Ta có th thay D ⊂ R là t p xác đ nh c a hàm f (x) b ng t p [a, b]
và d n đ n khái ni m max f (x) , min f (x).
[a,b]

1.1.2

[a,b]

Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t t p h p

• Cho U là m t t p con c a t p s th c R. S α đư c g i là c n trên đúng
c a U , ký hi u α = sup U , n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n sau:

α ≤ x, ∀x ∈ U
∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: α − ε < xε ≤ α
5


N u α ∈ U thì α là s l n nh t c a U , ký hi u α = max U . V y:

α = max U ⇔

α ≥ x, ∀x ∈ U
α∈U

• Cho U là m t t p con c a t p s th c R. S β đư c g i là c n dư i đúng
c a U , ký hi u β = inf U , n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n sau:

β ≤ x, ∀x ∈ U
∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: β + ε > xε ≥ β

N u β ∈ U thì β là s nh nh t c a U , ký hi u β = min U . V y:

β = min U ⇔

β ≤ x, ∀x ∈ U
β∈U

Sup và inf c a m t t p bao gi cũng t n t i nhưng có th là ±∞.
Chú ý: Cho hàm f (x) xác đ nh trên [a, b] (hay t ng quát hơn là f xác đ nh
trên t p D). G i U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y}. Khi đó:

max U = max f (x) max f (x) ,
[a,b]

D

min U = min f (x) min f (x) .
[a,b]

1.2

D

Các đi u ki n đ

• Hàm s f liên t c trên [a, b] ⊂ R thì đ t GTLN, GTNN trên đo n đó. Ký hi u:
max f, min f .
[a,b]

[a,b]

• Hàm s f liên t c và đơn đi u trên [a, b] ⊂ R thì:
max f = max {f (a) , f (b)},
[a,b]

min f = min {f (a) , f (b)}.
[a,b]

• Đi m d ng: Các đi m thu c t p xác đ nh c a hàm f (x) mà t i đó đ o
hàm c a nó b ng 0 ho c không t n t i thì đư c g i là đi m d ng (đi m t i h n) c a
hàm đã cho.
Gi s f (x) là hàm s liên t c trên [a, b] ⊂ R và ch có m t s h u h n đi m
t i h n x1, x2, ..., xn thì:

6


max f = max {f (a) , f (x1) , f (x2) , • • • , f (xn) , f (b)},

[a,b]

min f = min {f (a) , f (x1) , f (x2) , • • • , f (xn) , f (b)}.
[a,b]

1.3

Đ nh lý cơ b n

Đ nh lí 1.1. Gi s y = f (x) là hàm liên t c trên [a, b] ⊂ R. Khi đó:
1. Phương trình f (x) = c có nghi m thu c [a, b] khi và ch khi:

min f (x) ≤ c ≤ max f (x).
[a,b]

[a,b]

2. B t phương trình f (x) ≥ c có nghi m thu c [a, b] khi và ch khi:

max f (x) ≥ c.
[a,b]

3. B t phương trình f (x) < c có nghi m thu c [a, b] khi và ch khi:

min f (x) < c.
[a,b]

4. B t phương trình f (x) > c nghi m đúng ∀x ∈ [a, b] khi và ch khi:

min f (x) > c.

[a,b]

5. B t phương trình f (x) ≤ c nghi m đúng ∀x ∈ [a, b] khi và ch khi:

min f (x) ≤ c.
[a,b]

Ch ng minh
1.Đi u ki n c n: Đ t h (x) = f (x) − c. Theo đ nh nghĩa, ∃x1 ∈ [a, b],

f (x1) = min f và ∃x2 ∈ [a, b] , f (x2) = min f . Khi đó h (x1) < 0, h (x2) > 0.
[a,b]

[a,b]

Vì h là hàm liên t c nên t n t i nghi m h (x) = 0 trên [a, b].
Đi u ki n đ : Ngư c l i, n u ∃x0 ∈ [a, b] mà c = f (x0) thì min f ≤ f (x0) ≤

max f . Do đó min f ≤ c ≤ max f .

2.Đi u ki n c n: Vì f (x) ≥ c có nghi m ∈ [a; b] nên ∃x0 ∈ [a; b] sao cho

f (x0) ≥ c. Ta luôn có max f (x) ≥ f (x) , ∀x ∈ [a; b], suy ra max f (x) ≥
f (x0) ≥ c.

[a,b]

7

[a,b]

Đi u ki n đ : Ngư c l i, theo đ nh nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) =

max f (x). Vì max f (x) ≥ c nên f (x1) ≥ c. V y phương trình f (x) ≥ c có
[a,b]

[a,b]

nghi m thu c [a; b].
3.Đi u ki n c n: Vì f (x) < c có nghi m ∈ [a; b] nên ∃x0 ∈ [a; b] sao cho

f (x0) < c. Ta có min f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ [a; b] nên min f (x) ≤ f (x0) < c.
[a,b]

[a,b]

Đi u ki n đ : Ngư c l i, theo đ nh nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) =

min f (x). Vì min f (x) < c nên f (x1) < c. V y b t phương trình f (x) < c
[a,b]

[a,b]

có nghi m thu c [a; b].
4.Đi u ki n c n: Theo đ nh nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) = min f (x).

[a,b]

Vì gi thi t f (x) > c, ∀x ∈ [a; b] nên f (x1) > c. Suy ra min f (x) > c.

[a,b]

Đi u ki n đ : Ngư c l i, min f (x) > c và f (x) ≥ min f (x) , ∀x ∈ [a; b],
nên f (x) > c, ∀x ∈ [a; b].

[a,b]

[a,b]

5.Đi u ki n c n: Theo đ nh nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) = max f (x).

[a,b]

Vì gi thi t f (x) ≤ c, ∀x ∈ [a; b] nên f (x1) ≤ c. Suy ra max f (x) ≤ c.

[a,b]

Đi u ki n đ : Ngư c l i, max f (x) ≤ c và f (x) ≤ max f (x) , ∀x ∈ [a; b]
nên f (x) ≤ c, ∀x ∈ [a; b].

[a,b]

[a,b]

Các đ nh lý trên đây đã cho ta th y t m quan tr ng c a c c tr , ti p ta s
t p trung vào các n i dung chi ti t sau:

• Các phương pháp tìm c c tr : Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s ,
phương pháp mi n giá tr , phương pháp b t đ ng th c, phương pháp lư ng giác

hóa, phương pháp hình h c, phương pháp vectơ.

• ng d ng c a các phương pháp tìm c c tr : ng d ng c c tr đ gi i phương
trình và b t phương trình, ng d ng c c tr đ gi i và bi n lu n phương trình và b t
phương trình có ch a tham s , ng d ng c c tr đ ch ng minh b t đ ng th c.

8


Chương 2

PHƯƠNG PHÁP TÌM C C TR
Các bài toán tìm c c tr r t đa d ng và ph c t p. M i bài toán có th áp d ng
các phương pháp khác nhau đ gi i quy t ho c có nh ng bài toán l i c n ph i h p
nhi u phương pháp khác nhau. Chương này s trình bày m t s phương pháp c c
tr đ gi i các bài toán tìm c c tr .

2.1

Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s

2.1.1

Phương pháp

. Xác đ nh t p xác đ nh c a hàm s . Đùng đ o hàm đ kh o sát chi u bi n
thiên c a hàm s và d a vào b ng bi n thiên cùng các giá tr đ c bi t trên t p xác đ
nh c a hàm s đ suy ra GTLN, GTNN.
2.1. Cho hàm s y = f (x) có tâp xác đ nh D. Tìm GTLN và

Bài toán

GTNN c a hàm s .
Cách gi i
Tính y . Tìm các nghi m x1, x2, . . . , xn ∈ D t i đó y = 0 ho c y không xác
đ nh.
Cách 1 : L p b ng, xác đ nh chi u bi n thiên. D a vào b ng bi n thiên tìm
GTLN, GTNN.
Cách 2 : N u D = [a; b]. Tính f (a) , f (x1) , f (x2) , . . . , f (xn) , f (b) đư c:

max] f (x) = max {f (a) , f (x1) , f (x2) , . . . , f (xn) , f (b)} ,
min f (x) = min {f (a) , f (x1) , f (x2) , . . . , f (xn) , f (b)} .

x∈[a,b

x∈[a,b]

9


2.1.2

Ví d

Ví d 2.1.1. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = cos2n x + sin2n x, n ∈ N∗.
Cách gi i
Hàm y là hàm tu n hoàn v i chu kì π nên ta ch c n xét trên [0; π]. Đ t

t = cos2 x, 0 ≤ t ≤ 1, ta có:
y (t) = tn + (1 − t)n , t ∈ [0; 1].

1
Suy ra y = n tn−1 − (1 − t)n−1 . Cho y = 0 ⇔ t = .
Tính y (0) = 1; y (1) = 1; y

1
2

K t lu n:
V y max y = y (0) = 1; min y = y

2

= 2n1−1 .

π =1 n
4 . 2 −1

2.1.2. (HV Quan h Qu c t 1999) Cho các s x ≥ 0, y ≥ 0 và

Ví d

x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN c a bi u th c:
x
y
.
P=y+1+x+1
Cách gi i
Đ t y = 1 − x. Khi đó P có d ng:

P = 2 − x + 1 − x, x ∈ [0; 1]. x

x+1
Suy ra:

2 (x + 1)2 − 2 (2 − x)2 , ∀x ∈ [0; 1].
(2 − x)2 (x + 1)2
1
1
Cho P = 0 ⇔ x = , y = . Tính P (0; 1) = P (1; 0) = 1, P
2
2
P=

K t lu n:

V y max P = P (0; 1) = P (1; 0) = 1; min P = P

1; 1
22

Ví d 2.1.3. Tìm GTLN, GTNN c a S, bi t:

S = {s = (4x2 + 3y) (4y2 + 3x) + 25 | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1} .
10

1; 1
22
=2
3.

=2

3.


Cách gi i
Đây là bài toán tìm GTLN, GTNN c a t p h p, nhưng b ng phương pháp
đ t n ph , ta đưa v bài toán tìm GTLN, GTNN c a hàm s . Ta bi n đ i:

S = 16x2y2 + 12 (x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 − 2xy + 12.
1
1
Đ t t = xy, 0 ≤ t ≤ . Ta có S (t) = 16t2 − 2t + 12, t ∈ 0; .
4
4
1
16.
Suy ra S (t) = 32t − 2. Cho S (t) = 0 ⇔ t =
Tính S (0) = 12, S
K t lu n:
V y max S =

1 = 25, S 1 = 191
4
2
16 .

16

25 min S = 191
2;
16.

Ví d 2.1.4. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| trên

[−5; 5].
Cách gi i
Xét f (x) = x3 + 3x2 − 72x + 90, x ∈ [−5; 5].
Ta có f (x) = 3 (x2 + 2x − 24). Cho f (x) = 0 ⇔ x1 = 4, x2 = 6(lo i).
Tính f (−5) = 400, f (4) = −86, f (5) = −70.

Phương trình f (x) = 0 có nghi m x0 nào đó. Ta l p b ng bi n thiên:

K t lu n:
V y max y = max |f (x) | = 400; min y = min |f (x) | = 0.
11


Ví d 2.1.5. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s y =
Cách gi i

sin5 x + √5 cos x.
2
Hàm y là hàm
tu n hoàn chu
kì 2π nên ta ch c
n xét trên [0; 2π].
Trư c h t

sin2 x + √5 cos

ta xét

x. Đ t t = cos

hàm ph u x, −1 ≤ t ≤ 1.

=

2

T
a
c
ó
:

u
(
t
)
=
1
(
1
−
t


2

) + 5t, t ∈

2

√

[−1; 1]. √
2

5

Suy ra u =
5 − t > 0, ∀t ∈ [−1; 1]. Hàm đ
ng bi n trên [−1; 1] nên:

t

√

√

i

m
i
n
y
=
m
i
n

v
=

√

max u = u (1) = 5;
min u = u (−1) = − 5.
Tương t v i hàm v = − sin2 x + √5 cos x ta s có max v

= v (1) = √5 và
√

−
5

2
m
in
v
=
v
(−
1)
=
−
5.

ti

t

=
−
1
⇒
x
=
π
+
2
k
π

Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên −1 ≤ sin3 x ≤ 1. Suy ra − sin2 x ≤

sin5 x ≤ sin2 x.
D

.

o

√√
5tix=
2kπ; min
y=−5 ti
x=π+
2kπ.

K

đ

t

ó

l
u

:

n
:

sin2 x + √5 cos x ≤ sin5 x + √5 cos x ≤ sin2 x + √5
cos x, ∀x ∈ [0; 2π] .
−

c:

2= max u =

2
Ta
đư

x
t
=
=

2
1k
π
⇒
,

m
a
x
y

V
y

√

max
y=

2


.1.3
Nh n
xét v phương
pháp
Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s đã đư c
gi ng d y và áp d ng trong
toán Gi i tích 12. Đây là m t phương pháp r t hi u
qu đ v n d ng gi i h u h t các d ng bài toán tìm

GTLN, GTNN c a hàm s trong toán h c sơ c p. Nhi
u bài toàn ta c n có nh ng bư c bi t đ i như đ t n
ph , bi n đ i tương đương, . . . r i sau đó m i áp d ng
phương pháp này.

1
2


2.1.4

Bài t p áp d ng

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = 2cos 2x − 4cos x.

7

Đáp s : min y = −2, max y = .

4

Bài 2: C ho các s th c x, y th a mãn:

x2 − xy + 3 = 0
2x + 3y ≤ 14
Tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = 3x2y − xy2 − 2x (x2 − 1).
Đáp s : min P = −4,max P = 4.
Bài 3: Cho các s th c x, y th a mãn x2 − xy + y2 = 1. Tìm GTLN, GTNN
c a bi u th c:

x4 + y 4 + 1
P = x2 + y 2 + 1
11, max P = 6 − 2√6.
Đáp s : min P = 15
Bài 4: Cho các s th c dương x, y th a mãn x2 + y2 = 1. Tìm GTNN c a
bi u th c:

P=

x2 + xy + 2y2 .
y2 + 1
√

√
Đáp s : min P =

4 − 2, max P = 4 + 2
.
4

4

Bài 5: (H c sinh gi i Qu c gia, 1998) Cho x, y th a mãn 2x − y = 2. Tìm
GTNN c a bi u th c:

x2 + (y − 3)2.

P=

x2 + (y + 1)2 +

√

2

2

3

3

Đáp s : min P = 2 5 t i x = , y = − .

Bài 6: (Đ thi Đ i h c 1012 - D) Cho các s th c x, y th a mãn:

(x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32.
Tìm GTNN c a bi u th c A = x3 + y3 + 3 (xy − 1) (x + y − 2).

√

Đáp s : min A =

√

17 − 5 5 i x = y = 1 + 5
.
4 t

13

4


2.2

Phương pháp mi n giá tr

2.2.1

Phương pháp

Gi s f (x) là hàm liên t c trên [a, b]. Khi đó phương trình f (x) = y0 có

nghi m trên [a, b] khi và ch khi min f ≤ y0 ≤ max f .
[a,b]

[a,b]

Nói m t cách khác: Cho y = f (x) liên t c và xác đ nh trên [a, b] và có t p
giá tr là [c, d]. Khi đó min f = c và max f = d.
[a,b]

[a,b]

Phương trình f (x) = y0 xác đ nh trên R s có các trư ng h p sau:
1. c ≤ y0 ≤ d thì min f = c, max f = d.
R

R

2. c ≤ y0 thì min f = c, max f = +∞ (không xác đ nh).
R

R

3. y0 ≤ d thì min f = −∞, max f = d.
R

R

4. ∀y0 thì min f = −∞, max f = +∞.
R

R

Hai d ng phương trình thư ng đư c bi n đ i áp d ng

phương pháp này:

1. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a = 0) có nghi m khi và ch khi ∆ ≥ 0. 2.
Phương trình a sin x + b cos x = c có nghi m khi và ch khi a2 + b2 ≥ c2.

2.2.2

Ví d
x2 − 2ax
− 1 t GTNN.
x2 + 1 đ

Ví d 2.2.1. Tìm a đ GTLN c a hàm y =

Cách gi i

T p xác đ nh D = R. Xác đ nh y0 đ phương trình y0 =
nghi m, ta bi n phương trình v d ng:

(1 − y0) x2 − 2ax − (1 + y0) = 0.
Đ phương trình trên có nghi m thì ∆ ≥ 0, suy ra:

√
√
a2 + (1 − y2) ≥ 0 ⇔ − a2 + 1 ≤ y0 ≤ a2 + 1. 0
√
GTLN c a y là a2 + 1 ≥ 1. D u b ng x y ra khi và ch khi a = 0.
K t lu n:
V y a = 0 thì GTLN c a hàm s y đ t giá tr nh nh t.

14

x2 − 2ax
−1
x2 + 1 có


V


x
T

3y

0

T

(
N

(
Suy ra −1 ≤

y0 ≤

1


•
•3

K
Vy

max y =

1


= y có t p
xác đ nh R,
bi n đ i
phương trình

v0

x2

+
1


y

∆ = a2 −
4y0 (y0 − b)

0

⇔