giải tích phi tuyến

Chơng IV
Giải tích phi tuyến trong không gian định chuẩn
i18. Đạo hàm và vi phân
Trong giải tích cổ điển, các khái niệm đạo hàm và vi phân đóng vai trò trung tâm
vì vậy, đơng nhiên, khi tổng quát hoá cho trờng hợp không gian định chuẩn, việc xây
dựng phép tính vi phân vẫn tiếp tục là một trong những mục tiêu lớn. tuy nhiên, đay là
một lĩnh vực đầy khó khăn và phức tạp. Vì vậy ,ở đây ta chỉ làm quen với một số khái
niệm đơn giản nhất.
1. Đạo hàm và vi phân .
Cho f là ánh xạ từ một tập hợp mở o trong không gian định chuẩn m vào không
gian định chuẩn n . ta sẽ nối f làm n hàm hay đơn giản là hàm xác định trên 0 .
Định nghĩa 1: ta nói hàm f khả vi tại điểm a 0 , nếu với mọi x 0 đều có: f(x) -
f (a) += La(x-a) + (x, x-a) (1)
trong đó La là toán tử tuyến tính trên trục từ M vào N, La (x - a) là ảnh của x - a
qua La, (a, x-a) là một đại lợng (với giá trị thuộc N) sao cho:
( )
)2(0
,
=



ax
axa
ax
him


Đại lợng La(x-a) (với giá trị thuộc N) gọi là vi phân của hàm f tại a. Bản thân toán
tử tuyến tính La gọi là đạo hàm của f tại a và ký hiệu là f'(a)
Chú ý: với mỗi a thì La hay f'(a) là toán tử tuyến tính từ M vào Na nhng hàm đạo

hàm f': a f'(a) hay f: x f'(x) nói chung là ánh xạ phi tuyến.
2. Đạo hàm định nghĩa nh trên còn gọi là hàm mạnh trong đạo hàm Jreschat
Để hiểu rõ khái niệm ta hãy bắt đầu từ trờng hợp đơn giản nhất M = N = R
Giả sử f là hàm số xác định trên (, ). Theo định nghĩa, f khả vi tại a, nếu:
f(x) - f(a) = La(x-a) + (a, x-a)
với (a, x-a) là vô cùng bé cấp cao so với x - a(khi x a).
Trong R thì toán tử La đợc xác định bởi một số La: ảnh của x - a qua toán tử tuyến
tính La chính là tich (x-a). Nh vậy, tính khả thi và đạo hàm ở đây đơn giản là trùng
với các khái niệm đã định nghĩa trong giải tích cổ điển!.
Bây giờ ta xét trờng hợp tổng quát hơn một chút: f là ánh xạ từ tập mở O trong R
n
vào R
m
. Phần tử của R
m
hoặc R
n
sẽ đợc viết dới dạng các cột. Trong trờng hợp này f(x)
thực chất là cột gồm m số f
1
(x
1
) f
m
(x). Mỗi ánh xạ fk thực chất lại là hàm n biến x
1
, .
x
n
, nếu x =

n
x
x
1
. Do toán tử tuyến tính từ R
n
đợc thể hiện bởi một ma trận (phụ thuộc
)(
1
n
a
a
a
=
) nêu đẳng thức (1) đợc tách thành m đẳng thức sau (i = 1, m)
58
),().()()()(
1
axaaxajafixfi
ijj
n
j
+=

=

Nh vậy, f khả vi tại a, nếu mỗi hàm fi đều khả vi tại a, đồng thời
y
(a) chính là đạo
hàm (riêng) của hàm fi theo biến số thứ j.

)()( a
xj
fi
aij


=

(hay tốt nhất ký hiệu là:
y
(a) = (D
j
fi)(a))
Bây giờ ta xác lập vài sự kiện đơn giản liên quan đến đạo hàm l. Nếu f(x) = b (ccó
định) với mọi O thì f(x) O (tức là toán tử tuyến tính biến mọi h E, thành O F).
2. Đạo hàm của toán tử tuyến tính tại mọi điểm a đều tính toán từ đó.
Thật vậy. giả sử L là toán tử tuyến tính từ E vào F. Khi đó,
L(x) - L(a) = L(x-a) + (a, x-a)
Với (a, x-a) 0
Điều này chứng ypt L'(a) = L với mọi a.
Chú ý: 1. Trong trờng hợp M = N = R thì điều này có nghĩa là: đạo hàm của hàm f :
x x bằng (tức là f'(x) = hay f'(x) = f vì ánh xạ f đợc thể hiện bởi số ). Việc ở vế
trái của đẳng thức có mặt biến x, còn ở vế trái không có x, không có gì là lạ. điều này
chỉ có nghĩa là f'(x) không phụ thuộc x. Mặt khác, việc vế trái là giá trị của một ánh xạ
tại x, còn vế phải là bản thân ánh xạ (nh một quy luật!) cũng không có gì vô lý, vì f' có
giá trị tại x là một ánh xạ (tuyến tính)!.
2. Cần nhấn mạnh thêm khẳng định vừa nêu trên. Ta nói: đạo hàm của toán tử
tuyến tính f tại mọi điểm a đều chính là f. Điều này có nghĩa là: giá trị của hàm đạo
hàm f' tại a là f. Không đợc hiểu điều này có nghĩa là f' = f (!) Đẳng thức f' = f hoàn
toàn sai, chỉ đẳng thức f'(a) = f(a) mới đúng!.

Trong trờng hợp tổng quát, cần chú ý rằng hàm f' có miền xác định của f. Nhng
toán tử La = f'(a) thì khác hẳn mền xác định của nó là toàn bộ M. Tiếp theo với f là ánh
xạ từ tập A (mở) trong R vào R thì f' là ánh xạ từ B A cũng vào R, tức là f(a) và f'(a)
đều là các số thực. Trong trờng hợp tổng quát f(a) và f'(a) là hai đối tợng hoàn toàn
khác nhau f(a) N còn f'(a) là phần tử của không gian các toán tử liên tục từ M vào N
(trong trờng hợp M = R
n
, N = R
n
thì f(a) là "vectơ m chiều" còn f'(a) là ma trận dạng m
x n.
Ta hãy xét một ví dụ tìm đạo hàm trong không gian vô hạn chiều.
Xét (phiếu) hàm phi tuyến trên C[0,1] nh sau:
(f) =
2
1
0
2
))(( fdxxf
=

Ta có:
59
( )
2
000000
000000
0
,,2
,,2,2,02,,)()(

ffffLfffffff
ffffffffffffff
f
+=+=
+==
Trong đó
0
Lf
là toán tử tuyến tính từ C[0,1] vào R (tức là phiếm hàm tuyến tính)
biến mỗi g C[0,1] thành 2f
0
, g =

1
0
0
)()(2 dxxgxf
.
Nh vậy
)('
0
f

là phiếm hàm tuyến tính biến mỗi hàm g thành

1
0
0
)()(2 dxxgxf
.

Nhận xét: Kết quả này có thể tổng quát hoá: nếu là phiếm hàm xác định trên
không gian Euclide E, biến mỗi x E thành qxq
2
thì (x
0
) là phiếm hàm tuyến tính
biến mỗi y E thành 2(x
0
, y).
Chú ý rằng ánh xạ
)(' xx


lại không phải là phiếm hàm tuyến tính. Chính giá
trị
)(' x

mới là phiếm hàm tuyến tính (trong khi
)(x

là số thực không âm!)
2. Các phép toán đối với đạo hàm
1. Cho f và g là hai hàm cùng xác định trên tập mở A trong không gian định chuẩn
M và cùng nhận giá trị trong không gian định chuẩn N. Nếu f và g khả vi tại a A thì
f và g ( , là hai số) cùng khả vi tại a; ngoài ra:
(f + g)' (a) = f' (a) + g'(a).
2. Cho f và g là hai hàm cùng xác định trên tập mở A trong M và nhận giá trị tơng
ứng trong các không gian định chuẩn N và P. Nếu f và g cùng khả vi tại a A thì ánh
xạ:
h : A N x P

Cũng khả vi tại a và: h'(a) = (f'(a), g'(a)).
ở đây, ta có thể coi N x P là không gian định chuẩn với chuẩn của (a, b) N x P
là:
( )
( )
22
,,max),( babahoặcbaba
+==
3. Cho f là ánh xạ từ tập mở A trong M vào N. g là ánh xạ từ tập mở B trong N vào
P sao cho f(A) B; h = gf: A P. Khi đó, nếu f khả vi tại a, g khả vi tại b = f(a) thì h
khả vi tại a và:
)3()(')).((')(' afafgah
=
Tính ở vế phải phải đợc hiểu là tính ánh xạ (theo nghĩa tác dụng liên tiếp): với mỗi
x A M thì h'(a)(x) nhận đợc bằng cách sau: trớc hết tác dụng f'(a) lên x, đợc y =
f'(a)(x) N sau đó tác dụng g'(b) = g'(f(a)) lên y, ta đợc h'(a)(x) P. Riêng trong trờng
hợp M = N = P = R thì tính g'(f(a)). f'(a) là tính các số.
4. Bây giờ xét trờng hợp f, g xác định trên A M nhng đều nhận giá trị trong
không gian Euclide E. Xét ánh xạ:
: A R
)(),( xgxfx
60
Giả sử: f, g cũng khả vi tại a A.
)4();(0))(('),()(),)(('
);(0))(('),();(0))((')(),()('
);()).(('),()(),;())(('
)()(),()(),()(
)(),()(),()(),()(),(
)(),()(),()()(
axaaxagafagaxaf

axaaxagafaxaaxagagaxaf
axaoaxagafxgaxaoaxaf
agxgafxgafxf
agafxgafxgafxgxf
agafxgxfax
++=
++++=
+++=
+=
+=
=

Trong đó o(a,b) là vô cùng bé cấp cao so với h : o(a;b) 0. h h.
Xét ánh xạ L
a
: M R biến mỗi h thành f'(a)(h), g(a) + f(a), g'(a)(b). Rõ ràng
ánh xạ này là phiếm hàm tuyến tính trên trục. Mặt khác, (4) có thể viết thành.
(x) - (a) = L
a
(x-a) + o(a; x-a)
Nh vậy, khả vi tại a và '(a) = L
a
Với M = R đẳng thức (4) có thể viết thành:
);(0)()('),()(),(')()( axaaxagafagafax
++=

Nên ta có công thức quan trọng sau:
)(),()(),()(),( a
dx
dg

afaga
dx
df
xgxf
dx
d
ax
+=
=
Nhận xét: Nh trên đã nói, nếu f là phiếm hàm trên M và f'(a) tồn tại thì f'(a) là
phiếm hàm tuyến tính trên M. Với M là không gian Hilbert thì có thể coi nh f'(a) là
phần tử của M.
Bài tập: Tính đạo hàm của phiếm hàm f cho bởi công thức:
( )
)(; Mxxxf
=
i19. Đạo hàm bậc cao
Trong bài này, ta nên khái niệm đạo hàm bậc n tuỳ ý của một hàm cho trớc theo hai
cách và chỉ rõ mối liên hệ giữa hai cách định nghĩa đó.
1. Định nghĩa hình thức đạo hàm bậc cao
Cho f là hàm xác định trên miền mở O trong không gian định chuẩn M và lấy giá
trị trong không gian định chuẩn N. Giả sử với mỗi x O thì f'(x) đều tồn tại. Khi đó,
nếu chính f' lại khả vi tại a O thì đạo hàm của nó tại a đợc gọi là đạo hàm cấp 2 của f
tại a. Cứ tiếp tục nh trong giải tích cổ điển, ta có thể định nghĩa f
(n)
(a) (đạo hàm cấp n
tuỳ ý).
Ta đã biết rằng với mỗi a thì f'(a) là phần tử của Ê(M,N). Vì chính f' lại là ánh xạ từ
M vào Ê(M,Ê(M,N) và f
(n)

(a) là phần tử Ê(M,Ê(M,, Ê(M, Ê(M,N)))) điều này cho
thấy tính phức tạp ghê ghớm của lý thuyết vi phân trong không gian nhiều chiều và vô
hạn chiều, đặc biệt khi phải làm việc với đạo hàm bậc cao.
61
Dới đây, ta sẽ nêu ra một cách để khắc phục khó khăn này: thiết lập mối tơng quan
giữa các phân tử của Ê(M, Ê(M,Ê(M,Ê(M,N))) với các ánh xạ đa tuyến tính.
2. ánh xạ đa tuyến tính
Định nghĩa: cho M và N là hai không gian tuyến tính. ánh xạ P : M
n
N
(coi nh hàm n biến) đợc gọi là đa tuyến tính (cụ thể hơn là n - tuyến tính) nếu nó là
ánh xạ tuyến tính theo mỗi biến x
1
M.
Hợp M, N là không gian định chuẩn và xét với n = 1, P là ánh xạ tuyến tính. Với n
= 2, P đợc gọi là song tuyến tính.
Từ nay trở đi, ta chỉ xét trờng ánh xạ đa tuyến tính liên tục.
Dễ chứng minh rằng P là n- tuyến tính và liên tục khi và chỉ khi tồn tại số thực
không âm P sao cho:
)1(....),...,(
11 nn
xxpxxP

với mọi (x
1
, x
n
) M
n
Infimum của tập hợp các số p thoả mãn bất đẳng thức (1) đợc gọi là chuẩn của P,

ký hiệu là P.
Ký hiệu tập hợp mọi ánh xạ n-tuyến tính liên tục từ M
n
vào N là P(M
n
, N) và xét
ánh xạ :Ê(M,Ê(M,N)) P(M
n
,N) biến (n lần M) Mỗi A Ê(M,Ê(M,N))
thành P p(M
n
, N), trong đó:
( )
( )( )
)2(......,...
21
1
nxn
xxAxxP
=

Để có thể hiểu đợc những điều sắp trình bày, trớc hết ta cần chú ý nghĩa của biểu
thức ở vế phải của (2) để đỡ phức tạp, ta xét trờng hợp n = 2. Khi đó, (2) có dạng
)3()(),(
2121
xAxxx
=
Vì A là toán tử từ M vào Ê(M, N) nên nó biến x1 M thành toán tử Ax1 Ê(M,
N); tiếp theo toán tử Ax1 lại biến x2 M thành (Ax1)x2 N.
Ta có định lý sau:

Định lý 1: ánh xạ biến A thành P theo công thức (2) là đẳng cự.
Chứng minh: Ta thực hiện việc chứng minh cho trờng hợp n = 2. Trờng hợp tổng
quát giải quyết tơng tự.
Tính tuyến tính của ánh xạ là hiển nhiên. Tiếp theo với P xác định bởi A theo (3)
ta có:
APrasuyxxAxAxxxP
=
:..)(,(
212121
Mặt khác, với P là phần tử tuỳ ý của P(M
2
, N) xét toán tử phụ thuộc x
1
nh sau:
),(
:
212
1
xxPx
NMA
x


Rõ ràng:

1
x
A
Ê(M, N). Mặt khác cũng dễ thấy ánh xạ
A : M Ê (M, N)

x
1
A
x1
là phần tử của Ê(M, Ê(M, N)) và P. Xác định bởi A qua (3). Do
đó, là toán tính (tuyến tính và liên tục).
62
Lại có:
)5(.,()(sup
121
1
21
1
1
22
PAnenxPxxPSupxAxAx
xx
==
==
Từ (4) và (5) suy ra là đẳng cự, (đpcm).
Nhận xét: Định lý trên cho phép ta định nghĩa đạo hàm bậc 2 của hàm f từ O M
vào N nh phần tử của P(M2, N), tức là dạng song tuyến tính; đạo hàm bậc 3 nh phần tử
của P(M3, N), tức là dạng tam tuyến tính v.v
3. Định thức Taylon
Định lý 2: Cho f là hàm xác định trên O M và lấy giá trị trong N. Giả sử f(n)(x)
tồn tại với mọi x O và liên tục đều trên O. Khi đó

=
+=
n

k
lank
k
axaaxaxaf
k
xf
0
)(
),();...()(
1
1
)(


Trong đó x, a O vào (a,x-a) là vô cùng bé cấp cao so với qx-aq.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Với n = 1, đẳng thức là hiển nhiên.
Giả sử khẳng định đúng với n 1, tức là với bất kỳ một hàm g nào trên O mà g(m1)
(y) tồn tại với mọi y O và liên tục đều trên O, đều có:


=
+=
1
0
)(
),(),...()(
'
1
)(
n

k
lank
k
ayaayayag
k
yg


Ta phải chứng minh (6) (với mọi f thoả mãn điều kiện của định lý).
Thật vậy, áp dụng (7) cho g(y) = f(y). ta có:


=
+
+=
1
0
)1(
),(),...()(
'
1
)('
n
k
lank
k
ayaayayaf
k
yf

Suy ra, với mọi t [0;1] thì:
f(a+ t(x-a)) ;


=
+
+
1
0
)1(
))(;();...()(
'
n
k
k
k
axtaaxaxaf
k
t

Cho hai vế của đẳng thức này (nh hai toán tử) tác dụng lên x-a rồi lấy tính phân
theo t từ 0 đến 1, ta đợc:
)8();(;...)(
!
),(),...,()(
)1(
)())((')(()(
1
)(

1
0
1
)1(
1
1
0
axaaxaxaf
k
t
axaaxaxaf
k
t
dtaxaxtafafxf
lank
n
k
k
k
n
k
lank
k
k
+=
+
+
=
=+

=

=
+
+
+




Trong đó (a;x-a) =


1
0
)))((;( dtaxaxta


Chuyển f(a) từ vế trái của (8) sang vế phải (thành f(a)), ta có (6) (đpcm).
i20. Cực trị của phiếm hàm
63