Sức bền Vật liệu Giáo trình, bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

-

TR
NG
I H C PH M V N
NG
KHOA K THU T - CỌNG NGH
*******
ThS. NGUY N QU C B O

BÀI GI NG

S C B N V T LI U 1
(Dùng cho sinh viên cao đ ng)

STRENGTH OF MATERIALS
PART 1

Qu ng Ngưi, 12/2013


M CL C
M c l c …………………..……………………………...........……..…………. 2
L i nói đ u ………………………………………………...........….…………... 4
Các kí hi u thông d ng ………………………………...…............…...………. 5
Ch

ng 1.
1.1.

CÁC KHÁI NI M C

it

B N

ng và nhi m v nghiên c u c a môn h c ……..........…...……. 7

1.2. Các gi thi t c b n v v t li u …..………...………..........………..…. 8
1.3. Ngo i l c ………..…………...…………………..…..........…………. 10
1.4. N i l c ………………..……………..……………..........…………… 12
1.5.

ng su t ……………………..……………………..........……...…… 21

1.6. Bi n d ng và chuy n v ………....……………..…............………..… 23
1.7. Các ví d …………………………..…………..........……………….. 24
Câu h i ôn t p………………………………………….......………....…………. 33
Tr c nghi m ……….. .. …………………………………………...........………. 34
Ch

ng 2.

THANH CH U KÉO - NÉN ÚNG TỂM

2.1. Khái ni m .............................…………………..............……………. 36
2.2.

ng su t trên m t c t ngang ………......…………..........………..….. 36

2.3. Bi n d ng c a thanh ch u kéo - nén ………………..........…..………. 38
2.4. Các đ c tr ng c h c c a v t li u ………...………............…………. 41

2.5. Tính toán đi u ki n b n .......................................……..…………..…. 44
2.6. Bài toán kéo - nén siêu t nh …....…………...….......………………… 46
2.7. Các ví d …………………………………………………………….. 47
Câu h i ôn t p……………………………………………………………………. 56
Tr c nghi m ……….. .. ………………………………………………………… 56
Ch

ng 3.

C TR NG HỊNH H C C A M T C T NGANG

3.1. Khái ni m ……..……...…………………….………………………... 58
3.2. Di n tích - Momen t nh ………………….....………………………... 58
3.3. Momen quán tính …...……………….......……………....…………... 61
3.4. Momen chính trung tâm c a m t s m t c t đ n gi n …..................... 63
3.5. Công th c chuy n tr c song song c a momen quán tính ……....….... 65
3.6. Công th c xoay tr c c a momen quán tính ........………...……..…….67
2


3.7. Các ví d …………………………………………………………….. 68
Câu h i ôn t p……………………………………………………………………..73
Tr c nghi m ……….. .. …………………………………………………………..74
Ch

ng 4.

THANH CH U U N PH NG

4.1. Khái ni m ………………………...……………..…………………… 76

4.2. D m ch u u n thu n tuý ph ng …...………………….……………… 77
4.3. D m ch u u n ngang ph ng …………...……………..……………… 90
Câu h i ôn t p…………………………………………….……………………. 104
Tr c nghi m ……….. . ……………………………………………………..… 104
Ch

ng 5.

THANH TRọN CH U XO N THU N TUụ

5.1. Khái ni m ……..…………………....................................…………. 106
5.2.

ng su t trên m t c t ngang c a thanh tròn …………....…….……. 108

5.3. Bi n d ng c a thanh tròn ch u xo n ……………………....…..……. 112
5.4. Tính toán thanh tròn ch u xo n ..............................….….............….. 113
5.5. Bài toán xo n siêu t nh ........……………….…..…………………… 114
5.6. Các ví d …………………………………………..……………….. 114
Câu h i ôn t p………………………………………………………..…………..122
Tr c nghi m ……….. .. ………………………………………..………………..122
Ph l c
PL 01. Các đ n v đo l

ng thông d ng ……...……..……..……..……...... 124

PL 02. B ng tra h s mođun đàn h i d c…………………..…...…......……125
PL 03. B ng tra h s bi n d ng d c…………….……...............……...……125
PL 04. B ng tra ng su t cho phỨp..………………..........…..…….…..…… 126
TƠi li u tham kh o ………………...…………............……………….....….. 127

3


L I NịI

U

S c b n v t li u là m t môn khoa h c th c
nghi m thu c kh i ki n th c k

thu t c

gi ng d y trong các ngành k thu t

s

các tr

ơ

c

ng ơ i

h c, cao ơ ng. M c ơích c a môn h c là cung c p
nh ng ki n th c c n thi t v c h c v t r n bi n d ng
nh m gi i quy t các v n ơ liên quan t

thi t k ơ n

ch t o, và h tr cho vi c nghiên c u các môn h c
chuyên ngành khác trong l nh v c c khí và xây d ng.
Bài gi ng S c b n v t li u 1 ơ
theo ch

ng trình gi ng d y c a Tr

Ph m V n

c biên so n
ng

i h c

ng dành cho sinh viên b c cao ơ ng

ngành c khí ơào t o theo h c ch tín ch . Bài gi ng
g m 5 ch

ng. Trong m i ch

ng ơ u có ph n Câu

h i ôn t p và Tr c nghi m giúp cho h c viên c ng
c các ki n th c ơã h c.

i kèm v i Bài gi ng này,

chúng tôi có biên so n tài li u Bài t p S c b n v t

li u 1.
Bài gi ng này ơã ơ

c hi u ch nh và b

sung

nhi u l n, tuy nhiên c ng không tránh kh i nh ng sai
sót, r t mong ơ

c s

li u ngày càng ơ

ơóng góp c a b n ơ c ơ tài

c hoàn thi n h n. Chúng tôi xin

chân thành c m n.
Qu ng Ngãi, tháng 12/2013
Ng
Mobil:

i biên so n:
090 531 1727

Email:

4

CỄC Kệ HI U THỌNG D NG
Kí hi u
z
H to đ

c
tr ng
v t li u

H tr c chính trung tâm

 ,

To đ c c

E

tr ng
hình h c

Young)
H s Poisson

G

Môđun đàn h i tr

Jo
J xy

t (môđun đàn h i c t)

Momen t nh đ i v i tr c x, y.
Momen quán tính c a hình ph ng đ i v i
tr c x, y.
Momen quán tính c c
Momen quán tính ly tâm (c a hình ph ng
đ i v i h tr c xy).

kN/cm 2

kN/cm 2

m3
m4
m4
m4

Wx , Wy

Momen ch ng u n đ i v i tr c x, y.

m3

Wo

Momen ch ng xo n c a m t c t tròn

m3

ix , i y

Ngo i l c

Môđun đàn h i d c (môđun đàn h i



Jx , Jy

nv

Tr c thanh

X,Y

Sx , Sy

c

Tên g i

Bán kính quán tính c a ti t di n đ i v i tr c
x, y

m

P

L c t p trung

M

Momen t p trung

N.m

q

C

ng đ c a l c phân b trên 1 đo n

N/cm

p

C

ng đ c a l c phân b trên 1 di n tích

N/cm 2

m

C

ng đ c a momen phân b trên 1 đo n

N/m

N



ng su t pháp

N/m 2



ng su t ti p

N/m 2

p

ng su t toàn ph n

N/m 2

5


 1 , 2 , 3

ng su t

ng su t gi i h n t l

N/m 2

 ch

ng su t gi i h n ch y

N/m 2

b

ng su t gi i h n b n

N/m 2

ng su t cho phép

N/m 2

ng su t t i h n

N/m 2

 th

Nz

L cd c

N

Qx, Qy

L cc t

N

Mx, My

Momen u n

Nm

Mz

Momen xo n

Nm



Bi n d ng dài t đ i

Chuy n



Bi n d ng góc t đ i

v vƠ bi n

l

Bi n d ng dài tuy t đ i

d ng



Góc xo n t đ i c a thanh

y, 
EF
Các kí
hi u khác

N/m 2

 tl

  ,  

N il c

Các ng su t chính c a tr ng thái ng su t

võng và góc xoay c a thanh ch u u n
c ng c a m t c t khi thanh ch u kéonén

EJ

c ng c a m t c t khi thanh ch u u n

GJ

c ng c a m t c t khi thanh ch u xo n



m nh c a thanh



H s gi m ng su t cho phép (h s u n
d c)

6


Ch

ng 1.

CỄC KHỄI NI M C

B N

A. M C TIểU
- Cung c p nh ng khái ni m c b n nh : n i l c, ng su t, bi n d ng và các
gi thi t c b n v v t li u.

- N m v ng các n i dung đ làm c s cho các ch

ng sau, nh t là v bi u

đ n i l c.

B. N I DUNG
IT

1.1.

NG VĨ NHI M V NGHIểN C U C A MỌN H C

it

1.1.1.

ng

Khác v i C h c lý thuy t, kh o sát s cân b ng và chuy n đ ng c a v t r n
tuy t đ i, còn S c b n v t li u (SBVL) kh o sát v t th th c t c là v t r n bi n
d ng.
it

ng nghiên c u c a SBVL là các v t r n bi n d ng và có các d ng

v t th là:
- Kh i (H. 1.1a): là nh ng v t th có kích th
đ

c theo 3 ph

ng t

ng

ng nhau. VD: h p, viên bi, móng máy, …
- T m và v (H. 1.1b,c): là nh ng v t th có kích th

h n nhi u so v i ph

ng th ba. VD: sàn nhà, tr n nhà, t

- Thanh (H. 1.1d,e): là nh ng v t th có kích th
nhi u so v i ph

c theo 2 ph

ng, v b n ch a, …

c theo 1 ph

ng th ba.
a)

c)

b)

e)

d)

Hình 1.1

7

ng l n

ng l n h n


N i dung nghiên c u

đây, ch y u là thanh và h thanh (khung, dàn).

- Thanh có thanh th ng và thanh cong.
- H thanh (khung) có khung ph ng và khung không gian.
Trong tính toán thanh đ

c bi u di n b ng đ

ng tr c c a nó.

1.1.2. Nhi m v
S c b n v t li u là m t ph n c a c h c v t r n bi n d ng. Nó cung c p các
ki n th c c b n đ tính đ b n, đ c ng v ng và n đ nh cho các chi ti t máy
c ng nh 1 b ph n c a công trình khi ch u tác d ng c a ngo i l c.
Khi thi t k các chi ti t máy ho c các b ph n c a công trình ta ph i đ m
b o 2 đi u ki n:

- V an toàn:
+ Chi ti t không b phá h y t c là đ b n (đi u ki n b n).
+ Chi ti t không b bi n d ng d c, xoay, ... quá l n t c là đ c ng (đi u
ki n c ng).
+ Chi ti t d ch chuy n trong ph m vi cho phép t c là đ m b o v chuy n
v (đi u ki n n đ nh).
- V kinh t : ti t ki m v t li u nh t.
* S c b n v t li u có nhi m v đ a ra các ph
đ c ng và đ

ng pháp tính toán v đ b n,

n đ nh c a các chi ti t máy ho c các b ph n c a công trình.

Cùng v i các k t qu c a S c b n v t li u, b ng ph

ng pháp suy di n toán

h c, S c b n v t li u tìm ra m i liên h gi a tác d ng c a môi tr

ng (ngo i l c)

v i s bi n đ i v đ c tr ng hình h c (bi n d ng) và tr ng thái c h c bên trong
(n i l c) c a v t th .
1.2. CÁC GI THI T C
vi c tính toán đ

B N V V T LI U
c đ n gi n nh ng v n đ m b o đ

c đ chính xác c n

thi t môn SBVL công nh n các gi thi t sau:
1.2.1. Gi thi t 1
V t li u có tính liên t c, đ ng nh t và đ ng h

ng.

Ngh a là:
- Liên t c: th tích c a v t th đ u có v t li u, không có l h ng, v t n t t
vi.
8


-

ng nh t: tính ch t c h c, v t lý c a v t li u

m i n i trong v t th

đ u gi ng nhau.
-

ng h

ng: tính ch t c a v t li u theo m i ph

ng đ u nh nhau.

G a thi t này ch đúng v i v t li u nh : thép, đ ng, …; còn g ch, g , … thì

không đúng.
1.2.2. Gi thi t 2
V t li u đàn h i hoàn toàn và tuân theo đ nh lu t Hooke.
Ngh a là:
- Khi có l c tác d ng thì v t th b bi n d ng, khi b l c tác d ng đi thì v t
th tr l i hình d ng và kích th

c ban đ u c a nó.

V t li u tho mãn gi thi t này g i là v t li u đàn h i tuy n tính. Th c t
không có v t li u đàn h i hoàn toàn mà có bi n d ng d .
- Tuân theo đ nh lu t Hooke: Trong ph m vi bi n d ng đàn h i c a v t li u,
bi n d ng c a v t th t l b c nh t v i l c gây ra bi n d ng đó.
Gi thi t này ch đúng v i kim lo i nh thép, đ ng, … có l c tác d ng trong
ph m vi nào đó và ph m vi nghiên c u c a SBVL c ng ch gi i h n trong các v t
li u tuân theo đ nh lu t này.
1.2.3. Gi thi t 3
Bi n d ng c a v t th là bỨ.
* Ghi chú
Áp d ng các gi thi t trên trong tính toán ta có th :
- Nghiên c u m t phân t bỨ đ suy r ng cho c v t th (phỨp tính vi tích
phân).
- Xem đi m đ t các ngo i l c không đ i trong khi v t th b bi n d ng (s đ
không bi n d ng).
- Áp d ng nguyên lí c ng tác d ng (nguyên lí đ c l p tác d ng):
“M t đ i l

ng (n i l c, bi n d ng, chuy n v , ng su t,…) do nhi u nguyên

nhân gây ra s b ng t ng đ i l

ng đó do t ng nguyên nhân riêng l gây ra”

Do đó thay vi c tính toán bài toán ph c t p b ng cách gi i các bài toán đ n
gi n h n đ gi i quy t.

9


1.3. NGO I L C
1.3.1.

nh ngh a

Ngo i l c là l c tác đ ng t các v t khác ho c t môi tr

ng bên ngoài lên

v t th đang xét.
1.3.2. Phơn lo i
Ngo i l c g m: t i tr ng và ph n l c.
1.3.2.1. T i tr ng
a)

nh ngh a

T i tr ng là l c ch đ ng tác d ng tr c ti p lên v t th mà v trí, tính ch t và
tr s đư bi t.
VD: tr ng l

ng c a v t, …

b) Phân lo i:
T i tr ng đ

c chia ra nh sau:

- C n c vào tính ch t tác d ng:
+ T i tr ng t nh: nêú nó t ng r t ch m t 0 đ n m t giá tr nh t đ nh r i
gi nguyên giá tr đó không k l c qúan tính.
+ T i tr ng đ ng: giá tr c a nó t ng đ t ng t hay k đ n quán tính.
- C n c vào hình th c tác d ng:
+ T i tr ng t p trung: là t i tác d ng lên v t trên 1 di n tích truy n l c
khá bé, có th coi nh 1 đi m. T i tr ng t p trung có th là l c t p trung ho c
momen t p trung.
Th nguyên là: [l c] ho c [l c] x [chi u dài].
n v th

ng dùng là: N, kN, … ho c N.m, kNm, …

+ T i tr ng phân b : là t i tr ng tác d ng lên 1 đo n dài hay trên 1 di n
tích truy n l c đáng k c a v t.
L c phân b có th là l c phân b đ u (hình ch nh t), l c phân b không
đ u (hình tam giác, hình thang, ...)
n v : T i tr ng phân b trên 1 đo n q là: N/cm, kN/m, T/m, …; t i tr ng
phân b trên 1 di n tích p là: N/m 2 , kN/m 2 , T/m 2 ,...
* Chú ý

10

1.

tính toán m t chi ti t ho c m t k t c u, tr

c tiên ta ph i thi t l p s

đ tính, đó là s đ k t c u. Trong s đ k t c u, m i m t d m đ
b i1đ

ng tr c và các liên k t đã đ

c bi u di n

c mô hình hoá. Các tính toán đ u đ

c

th c hi n trên s đ này (H. 1.2).
M  ql 2
M  ql 2

P  ql

q

H

HA
A

VA

C

l

D

B
VB

l

l

V

Hình 1.2
2. Khi tính ph n l c liên k t t đi u ki n cân b ng, trên s đ k t c u ta
ph i thay l c phân b b ng h p l c (l c t p trung) c a nó. Giá tr c a h p l c
b ng di n tích c a bi u đ l c phân b , còn đ

ng tác d ng c a nó đi qua v trí

kh i tâm c a bi u đ đó.
Th

ng có 2 tr

ng h p (H. 1.3):

- L c phân b là h ng s (qui lu t hình ch nh t):
+ L c t p trung: Q = q.L.
1
2

+ Tr ng tâm đ t t i trong tâm hình ch nh t: xC  .L
- L c phân b là hàm b c nh t (qui lu t hình tam giác):
+ L c t p trung: Q =

1
q.l.
2
2
3

+ Tr ng tâm đ t t i tr ng tâm hình tam giác: xC  .l

Q
Q

L/2

q
2/3 L

L/2

L
Hình 1.3

11


1.3.2.2. Ph n l c liên k t
nh ngh a

a)

Ph n l c liên k t là l c th đ ng, phát sinh t i ch ti p xúc gi a v t th đang
xét và các v t th khác khi t i tr ng tác d ng.
VD: L c phát sinh t i các g i đ tác đ ng lên tr c, ...
Giá tr ph n l c ph thu c vào t i tr ng. Liên k t có chuy n đ ng b c n tr
ng nào thì xu t hi n ph n l c liên k t theo ph

theo ph

ng đó.

b) Các liên k t và ph n l c liên k t
Khi ch u tác d ng c a ngo i l c, m t thanh mu n duy trì đ

c hình d ng và

v trí ban đ u thì ph i liên k t v i v t th khác. Tùy theo tính ch t c n tr chuy n
đ ng mà có các s đ liên k t th

ng g p là:

- G i di đ ng (H. 1.4a): ch c n tr chuy n đ ng theo ph
phát sinh ph n l c liên k t V theo ph

ng th ng đ ng,

ng c n tr , g m kh p di đ ng, liên k t

t a, …
- G i c đ nh (H. 1.4b): c n tr chuy n đ ng theo ph
th

ng đ

ng b t k . Ph n l c

c phân làm hai thành ph n: th ng đ ng V và n m ngang H, g m kh p

b nl ,…
- Ngàm (H. 1.4c): c n tr chuy n đ ng theo ph
l c th

ng đ

ng b t k và xoay. Ph n

c phân làm ba thành ph n: th ng đ ng V, n m ngang H và ng u

l c M, g m liên k t ngàm, …

H

H

M

H
V

V

V

a)

V
b)

V
c)

Hình 1.4
1.4. N I L C
1.4.1.

nh ngh a

Trong v t th , gi a các ph n t có các l c liên k t đ gi cho v t th 1 hình
dáng nh t đ nh. D

i tác d ng c a ngo i l c, các l c liên k t gi a các ph n t
12

c a v t t ng lên đ ch ng l i s bi n d ng.

gia t ng c a l c liên k t đ

cg i

là n i l c.
* V y: N i l c là l

ng thay đ i c a l c liên k t đ ch ng l i s bi n d ng

c a v t do ngo i l c gây ra.
gia t ng này (n i l c) ch đ t đ n m t giá tr thì v t li u s b phá h y. Vì
v y, xác đ nh n i l c là m t trong nh ng v n đ c b n c a SBVL.
1.4.2. Xác đ nh n i l c trên m t c t ngang c a thanh
N i l c đ

c xác đ nh b ng ph

ng pháp m t c t (hay ph

ng pháp

Cauchy).
Xét 1 v t th ch u l c

tr ng thái cân b ng (H. 1.5).

đi m C nào đó trong v t th , ta t

th đ

ng t

tìm n i l c t i 1

ng dùng 1 m t ph ng  c t qua C. V t

c chia ra làm 2 ph n A và B. G i F là di n tích m t c t.
Gi s xét s cân b ng c a ph n A thì ta ph i tác d ng lên m t F m t h l c

phân b . ó là n i l c c n tìm.
Vì ph n A cân b ng nên n i l c và ngo i l c tác d ng lên nó h p thành 1 h
cân b ng:
( Fke ,  Fki )  0 .

Do đó ta áp d ng đi u ki n cân b ng t nh h c đ xác đ nh n i l c d
d ng c a ngo i l c.

P



1

(A)

P

C

P
5

(B)

P
4

2

P

P

P

P

3

1

6

(A)

C

2

Hình 1.5
* Chú ý

13

i tác


Ta c ng có th xỨt s cân b ng c a ph n B , nh ng chú ý là trên m t c t n i
l c c a ph n B thì cùng ph
m tc t

ng, cùng tr s , nh ng ng

c chi u v i n i l c trên

ph n A.

Nh v y mu n xác đ nh n i l c c a m t m t c t nào đó ta có th xỨt s cân
b ng c a ph n bên ph i ho c ph n bên trái c a m t c t đó.
1.4.3. Các thƠnh ph n n i l c trên m t c t ngang c a thanh
Xét s cân b ng 1 trong 2 ph n c a m t c t. Trên m t c t ngang ta có h
tr c Oxyz nh hình v (H. 1.6). H n i l c đ
c t ngang ta đ

c thu g n v tr ng tâm O c a m t

c vector chính R và mômen chính M .

P1
MZ
O

(A)

MX

QX
NZ

P2

z

MY
QY
P3

y

x

Hình 1.6
- Vector R đ

c phân tích thành:

+ Q x : L c c t theo ph

ng x.

+ Q y : L c c t theo ph

ng y.

+ N z : L c d c theo ph

ng z (tr c thanh).

- Momen M đ

c phân tích thành:

+ M x : Momen u n n m trong m t ph ng Oyz làm m t c t ngang quay
quanh tr c x.
+ M y : Momen u n n m trong m t ph ng Oxz làm m t c t ngang quay
quanh tr c y.

14


+ M z : Momen xo n n m trong m t ph ng Oxy làm m t c t ngang quay
quanh tr c z.
L c c t, l c d c, momen u n, momen xo n là h p l c c a n i l c trên
m t c t ngang.
* V y: Trên m t c t ngang c a thanh có t t c 6 thành ph n n i l c là:
Qx , Qy , N z , M x , M y và M z .

* Chú ý:

i v i bài toán ph ng, là bài toán có ngo i l c tác d ng n m trong 1 m t
ph ng ch a tr c thanh, th

ng là m t ph ng Oyz.

Trong m t ph ng Oyz, ch có 3 thành ph n n i l c: N z , Qy , M x và đ

c bi u

di n nh hình 1.7

MX
NZ
z

QY

y

Hình 1.7
1.4.4. Tính các thƠnh ph n n i l c
tính các thành ph n n i l c ta áp d ng ph
ph

ng pháp m t c t và vi t các

ng trình cân b ng t nh h c sau khi đư thay th ph n b đi b ng các n i l c

trên m t c t.
- Trong bài toán không gian: ta có 6 ph














ng trình cân b ng:

P  0
Y = Q + P  0
Z  N + P  0
uur
M = M + m P  = 0
uur
M = M + m P  = 0
uur
M = M + m P  = 0
X  Qx +
y

kx

ky

z

kz

x

x

x

k

y

y

y

k

z

z

15

z

k

(1.1)


Trong đó: Pk là các ngo i l c tác d ng lên ph n thanh đang xét.
- Trong bài toán ph ng: các ngo i l c tác d ng lên thanh đ u n m trong m t
ph ng Oyz nên: Qx  M y  M z  0 t i b t k m t c t ngang nào c a thanh nên ta
có 3 ph

ng trình cân b ng nh sau:
 Y =Q +
 Pky  0
y


 Z  N z +  Pkz  0
uur

 M x = M x +  mx Pk = 0

(1.2)

 

1.4.5. Qui
Trong tr

cd uc an il c
ng h p bài toán ph ng, ch n h tr c Oxy

2 m t c t nh Hình

c d u các n i l c nh sau:

1.8. Ta qui

- L c d c ( N z ): coi là d

ng (+) khi nó có chi u đi ra kh i m t c t (trùng

vect pháp tuy n ngoài c a m t c t).
- L c c t ( Q y ): coi là d

ng (+) khi nó có xu h

ng làm quay ph n thanh

đang xét theo chi u kim đ ng h (quay pháp tuy n ngoài c a m t c t đi 1 góc
90 0 theo chi u kim đ ng h thì trùng v i chi u c a l c).
- Mômen u n ( M x ): coi là d

ng khi nó làm c ng th d

i c a đo n thanh

đang xét.
QY  0

MX  0

MX  0

NZ  0

NZ  0
Hình 1.8

* Chú ý: Chi u d

y

z

QY  0

ng n i l c c a ph n bên trái và ph n bên ph i ng

c

chi u nhau.
1.4.6. Bi u đ n i l c
1.4.6.1.

nh ngh a

Bi u đ n i l c là đ th bi u di n s bi n thiên c a thành ph n n i l c theo
tr c thanh.

16

Khi tính toán ta ph i s d ng các bi u đ n i l c vì ta c n tìm tr s c a n i
l c t i m i v trí c a nó trên thanh, c ng nh xác đ nh đ

c v trí m t c t có tr s

n i l c l n nh t và tr s c a nó.
Nói chung ta có 6 bi u đ n i l c, nh ng tu thu c vào tính ch t c a h
ngo i l c tác d ng lên thanh mà ta s có s bi u đ c n thi t.
1.4.6.2. Cách v bi u đ n i l c
a) Các ph

ng pháp v bi u đ n i l c

Có nhi u ph
- Ph

ng pháp đ xác đ nh n i l c nh :

ng pháp gi i tích (ph

pháp m t c t đ xác đ nh n i l c d

ng pháp m t c t bi n thiên): dùng ph

ng

i d ng bi u th c gi i tích theo z r i v đ

th .

- Ph

ng pháp nh n xỨt: ph

ng pháp d a trên các bi u th c liên h gi a

ngo i l c và n i l c.
- Ph

ng pháp c ng tác d ng: d a vào nguyên lý c ng tác d ng.

- Ph

ng pháp v n n ng: dùng bi u th c n i l c đư đ

c thi t l p d

i

d ng t ng quát đ i v i t ng bài toán (kéo/nén, u n, xo n) cho m i đo n đ tính.
b) Trình t v bi u đ n i l c b ng ph
Ta ti n hành theo 4 b

ng pháp gi i tích

c sau:

1. Xác đ nh các ph n l c liên k t (n u có):
- Thay các liên k t b ng các ph n l c liên k t.
- Xác đ nh các giá tr c a ph n l c liên k t c n thi t c a các liên k t b ng

cách l p các ph

ng trình cân b ng t nh h c.

2. Phân đo n thanh:
- Phân đo n sao cho n i l c liên t c trên t ng đo n
- D a vào s phân b c a t i tr ng, thanh đ

c chia thành nh ng đo n sao

cho trong m i đo n không có l c t p trung, momen t p trung ho c không có
b

c nh y c a l c phân b .
3. Xác đ nh các gía tr c a n i l c trên t ng đo n:
- Dùng ph

theo chi u d

ng pháp m t c t cho t ng đo n và đ t các n i l c trên m t c t

ng.

17


- L p các ph

ng trình cân b ng đ xác đ nh các n i l c (đó là các bi u th c

gi i tích).
4. V các bi u đ n i l c:
D a vào các giá tr c a các n i l c v a tìm, ta v bi u đ cho t ng lo i n i
l c.
* Chú ý: Ta qui

c h tr c c a các bi u đ n i l c nh hình 1.9 v i:

- Tr c hoành xác đ nh v trí m t c t theo tr c thanh, tr c tung xác đ nh tr
s c an il c
- Tung đ d

ng c a n i l c N z , Qy bi u di n phía trên tr c hoành và ghi

d u (+) ho c (-) trên bi u đ .
- Tung đ d

ng c a n i l c M x bi u di n phía d

i tr c hoành và không

ghi d u (+) ho c (-) trên bi u đ .
Nz
Qy
N

O

O

z

z

Mx

Hình 1.9
1.4.7. Liên h vi phơn gi a n i l c vƠ t i tr ng phơn b (
1.4.7.1.

nh lỦ Jurapski)

nh lý Jurapski

Cho 1 thanh AB ch u l c phân b b t k q(z) nh hình 1.10. Xét 1 đo n
thanh dz

hoành đ z, do phân t dz quá ng n nên ta có th xem l c phân b đ u

và b ng q. Trên m t c t ngang xu t hi n các n i l c t

ng ng: l c c t Q y ,

momen u n M x .
Xét đi u ki n cân b ng c a các n i l c trên các m t c t và ngo i l c phân
b q, ta có:

Y  Q

y

 dQy  Qy  q.dz  0

 M  M x  dM x   M x  Qy .dz  q

18

(a)

dz 2
2

0

(b)


q(z
)

A

B

dz

q

QY

M X  dM X
QY  dQY

MX
dz

Hình 1.10

B qua đ i l

dQy

q

(a) 

(c)

dz

ng VCB b c hai: dz 2  0 .
dM x
dz

(d)

d 2M x
dz 2

(e)

Qy 

(b) 
K t h p (c) và (d), ta có:

q

nh lý:

*
1.

o hàm b c nh t c a l c c t Q y b ng c

q(z) t i m t c t t

ng ng.
dQ y
dz

2.
c tt

ng đ c a t i tr ng phân b

 q(z)

(1.3)

o hàm b c nh t c a momen u n M x b ng tr s c a l c c t Q y t i m t

ng ng.
dM x
 Qy
dz

3.

(1.4)

o hàm b c hai c a momen u n M x b ng c

q(z) t i m t c t t

ng đ t i tr ng phân b

ng ng.
d 2 M x ( z ) dQ y ( z )

 q(z)
dz
dz 2

* Nh n xỨt
Ta áp d ng quan h vi phân c a đ nh lý Jurapski đ :
- V nhanh bi u đ n i l c Qy và M x (ph
19

ng pháp v nhanh).

(1.5)


- Ki m tra các bi u đ n i l c.
1.4.7.2. V nhanh bi u đ n i l c b ng nh n xỨt
D a vào các liên h trên ta có th v nhanh các bi u đ n i l c v i m t s
nh n xét nh sau:
1. T i đi m đ t c a ngo i l c t p trung P thì bi u đ Qy có b
và tr s b

c nh y (chi u

c nh y trùng chi u và tr s c a ngo i l c), còn bi u đ

Mx g y

khúc.
2. T i đi m đ t c a momen t p trung M thì bi u đ Qy không đ i, còn bi u
đ M x có b

c nh y (chi u và tr s b

c nh y trùng chi u và tr s c a momen

t p trung).
3. N u trên đo n thanh bi u th c c a t i tr ng ngang phân b q(z) có b c n
thì bi u th c Qy có b c (n + 1), M x có b c (n + 2). C th :
- Không có t i tr ng phân b [q(z) = 0]


dQ
d 2M
 0,
 0 . Do đó: Bi u đ
dz
dz 2

Qy là 1 h ng s và M x là 1 hàm b c

nh t trong đo n đó.
*

c bi t: Q = 0 thì M là h ng s .

- T i tr ng phân b đ u [q(z) = C]
 Do đó: Bi u đ Qy là 1 hàm b c nh t và M x là 1 hàm b c hai trong đo n
đó.
*

c bi t: t i Q = 0 thì M x có c c tr .

- T i tr ng phân b theo đ

ng b c nh t

 Do đó: Bi u đ Qy là 1 hàm b c hai và M x là 1 hàm b c ba trong đo n
đó.
*

c bi t: t i q = 0 thì bi u đ Qy có c c tr và t i Q = 0 thì M có c c tr .

4. N u trên đo n thanh qz  > 0 (h

ng lên)

 Qy đ ng bi n, M x lõm v phía trên và ng
5. N u trên đo n thanh Qy > 0
 M x đ ng bi n và ng

c l i.
20

c l i.


6. Giá tr l c c t Qy

đi m sau b ng giá tr c a Qy

đi m tru c c ng v i

di n tích c a t i tr ng qz  trên đo n đó:
Qys  Qyt  F q(z )

(1.6)

7. Giá tr momen u n M x đi m sau b ng giá tr c a M x

đi m tru c c ng

v i di n tích c a t i tr ng Qy trên đo n đó:

 

(1.7)

M xs  M xt  F Qy

* Chú ý:
1. Khi v nhanh ta v t trái sang ph i và bi u đ b t đ u t tr c thanh và
k t thúc

tr c thanh. V bi u đ Qy tr

c r i m i v Mx .

2. Các giá tr q(z), Qy và M x là các giá tr đ i s . q(z) >0 khi có chi u tác
d ng h
1.5.

ng lên trên

NG SU T

1.5.1.

nh ngh a

ng su t là tr s c a n i l c trên 1 đ n v di n tích c a m t c t.

Xét 1 phân t di n tích dF bao quanh đi m kh o sát C trên m t c t c a ph n
A. (H. 1.11a). G i P là vector n i l c tác d ng trên di n tích F .
ng su t toàn ph n t i C (kí hi u p ) là vector đ

c đ nh ngh a b ng bi u

th c:
P dP

F  0 F
dF

p  lim

P1

P1

(A)

P2

C
F

P



(A)

P2

C

P3

P3
a)

b)
Hình 1.11

21

p




Th nguyên c a ng su t là:
n v c a ng su t th

luc

chieu dai 2

ng dùng là: kN/cm2, ho c N/m2.

* Chú ý

1. C n phân bi t ng su t và áp su t.
2.

ng su t đ

c dùng cho n i l c.

ng su t đ c tr ng cho m c đ ch u đ ng c a v t li u t i 1 đi m. Xác

đ nh ng su t là c s đ đánh giá m c đ an toàn c a v t li u.
1.5.2. Các thƠnh ph n c a ng su t
ng phân ng su t toàn ph n p làm 2 thành ph n (H.

Trong tính toán ta th
1.11b):
-

ng su t pháp (  ): thành ph n vuông góc v i m t c t.

-

ng su t ti p (  ): thành ph n n m trong m t c t.

Nh v y:

p =  2  2

1.5.3. Kí hi u vƠ qui

(1.8)

c v d u c a ng su t

Nh hình 1.12.
ng su t pháp

1.5.3.1.

- Kí hi u  : có 1 ch s là ph
VD:  z (h

ng c a pháp tuy n.

ng theo tr c z).

-  > 0: khi vector bi u di n có chi u trùng chi u > 0 c a pháp tuy n ngoài
c a m t c t.
ng su t ti p

1.5.3.2.

- Kí hi u  : có 2 ch s , s th nh t ch ph
th hai ch ph

ng pháp tuy n c a m t c t, s

ng c a ng su t ti p.

VD:  zx (song song v i tr c x),  zy (song song v i tr c y)

Z

 Zx
x

y

Z  0

z

 Zy  0

 Zy
Hình 1.12

22

y

z


-  > 0: khi pháp tuy n ngoài c a m t c t quay 1 góc 900 theo chi u quay
c a kim đ ng h , s trùng v i chi u c a  .
* Chú ý:

ng su t pháp gây bi n d ng dài, còn ng su t ti p gây bi n d ng

góc.

1.6. BI N D NG VĨ CHUY N V
1.6.1.

nh ngh a

- Bi n d ng: là s thay đ i hình dáng hình h c c a v t th du i tác d ng c a
l c.
- Chuy n v : là s thay đ i v trí c a 1 đi m c a v t th khi v t th b bi n
d ng.
1.6.2. Bi n d ng vƠ chuy n v c a thanh
Thanh đ

c mô t b i tr c và ti t di n.

1.6.2.1. Các lo i bi n d ng c a thanh
Bi n d ng c a thanh là s thay đ i kích th

c, hình dáng c a ti t di n, s

thay đ i chi u dài, đ cong, đ xo n c a tr c thanh.
Bi n d ng c a thanh có (H. 1.13):
- Bi n d ng dài (bi n d ng d c):
+ dz : bi n d ng dài tuy t đ i (bi n d ng d c tuy t đ i) c a đo n dz theo
ph

ng z.
dz
  z : bi n d ng dài t
dz

+
ph

ng đ i (bi n d ng d c t

ng z.
- Bi n d ng góc:là đ thay đ i c a góc vuông hay góc tr
+  : góc tr

t

t t đ i.

N

N

dz
dz  dz
Hình 1.13
1.6.2.2. Các lo i chuy n v c a thanh:
23



ng đ i) theo


Chuy n v c a thanh là s thay đ i v trí c a ti t di n tr

c và sau khi thanh

b bi n d ng.
Chuy n v thanh có:
- Chuy n v dài: là chuy n v th ng c a tr ng tâm ti t di n.
- Chuy n v góc: là chuy n v xoay c a m t ph ng ti t di n quanh tr ng tâm
c a nó.
1.7. CÁC Vệ D
* VD 1.1: Cho 1 d m ch u l c nh hình v (H. 1.14). Xác đ nh:
a) Ph n l c liên k t t i các g i đ A, B.
b) Tr s n i l c t i v trí m t c t z = 10 m.
Gi i:
a) Tính các ph n l c liên k t:
T i tr ng tác d ng lên d m g m:
- L c phân b : q = 1 kN/m, do đó: Q = q x 8 = 8 kN.
- L c t p trung: P = 15 kN.
- Momen t p trung: M = 52 kN.m.
Thay các liên k t t i A và B b ng các ph n l c liên k t: H A , VA , VB .
Xét s cân b ng c a d m, ta có:
 Z  H A  0


 Y  VA  VB  Q  P  0


 M A   Qx4  M  VB x14  Px 20  0

 H A  0; VA  3 kN ; VB  20 kN
b) Tính n i l c t i z = 10:
q  1kN / m

M  52kNm

1

P  15kN

B

A
q

8
m

M

16
m

6
m
M
X

A
Z  10

N
Z

Hình 1.14
24


Dùng m t c t 1-1 t i C (z = 10m) và xét cân b ng c a ph n bên trái:

Z  N  0
Y  Q  3  8  0  Q   5 kN.
 M  M  3x10  8x6  52  0  M
z

y

x

y

x

V y: N z  0; Qy   5 kN (ng

x

  70 kNm

c chi u hình v ); M x  - 70 kNm (ng

c

chi u hình v ).
* VD 1.2: V bi u đ n i l c N z , Qy và M x c a thanh ch u nh hình v v i
l c t p trung P = 50 kN, momen t p trung M = 50 kNm, a = 3 m, b = 4 m (H.
1.15a).
Gi i:
-B

c 1: Xác đ nh các ph n l c liên k t (H. 1.15b)

+ T i tr ng tác d ng lên thanh g m: P là l c t p trung, M là momen t p
trung.
+ Các ph n l c liên k t g m: Thay th g i đ c đ nh A b ng 2 thành
ph n ph n l c H A , VA và g i đ di đ ng B b ng ph n l c th ng đ ng VB .
D m cân b ng d

i tác d ng c a h l c: ( H A ,VA ,VB , P)  0 .

xác đ nh ph n l c t i g i t a A và B ta l p ph

ng trình cân b ng c a

h :
 Z  H A  P  0.


 Y  P  VA  VB  0

 M A  VB .(2a  b)  P.a  M  0


(a)
(b)
(c )

(a)  H A  P  50 kN
(c)  VB 

P.a  M 50 x3  50

 10kN.
2a  b
64

(b)  VA  P  VB  50  10  40kN.
-B

c 2: Phân đo n thanh.

Theo t i tr ng tác d ng, ta chia thanh làm 3 đo n: AC, CD và DB.
-B

c 3: Xác đ nh các giá tr n i l c.
xác đ nh giá tr n i l c t i các m t c t ngang c a thanh ta t

c t thanh t i v trí nào đó có hoành đ z.
25

ng t

ng