Bai tap nang cao Dai so 9

Bài tập nâng cao Đại số 9
Baứi taọp naõng cao chửụng i ủaùi soỏ 9
Bài 1: Có hay không một số thực x để cho
1
x 15 và 15
x
+
đều là số nguyên
Bài 2: Tìm x, y thỏa mãn các phơng trình sau:
a)
2 2
x 4x 5 9y 6y 1 1 + + + =
b)
2 2
6y y 5 x 6x 10 1 + =
Bài 3: Rút gọn các biểu thức:
a)
13 30 2 9 4 2+ + +
b)
m 2 m 1 m 2 m 1+ +
c)
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + + + +
Bài 4: Rút gọn các biểu thức:
a)
( ) ( )
6 2 6 3 2 6 2 6 3 2
A
2
+ + + +
=
` b)

9 6 2 6
B
3

=
Bài 5: So sánh:
a)
6 20 và 1 6+ +
b)
17 12 2 và 2 1+ +
c)
28 16 3 và 3 2
Bài 6: Rút gọn a)
110 70
22 14
+
+
b)
42 6
21 18


c)
12 18 6
2 6 2
+
+
d)
( )
2

10 1 3
10 3 1

+
Bài 7: Tính a)
5 3 29 6 20
b)
2 3 5 13 48+ +
c)
7 48 28 16 3 . 7 48

+ +
ữ

Bài 8: Chứng minh:
2 2
a a b a a b
a b
2 2
+
=
(với a , b > 0 và a
2
b > 0)
áp dụng kết quả này để rút gọn:
a)
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+
+

+ +
b)
3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
+

+
c)
2 3. 2 4 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + + + +
d)
2 10 30 2 2 6 2
:
2 10 2 2 3 1
+

Bài 9: Cho biểu thức
2
2
2x x 1
P(x)
3x 4x 1

=
+
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0
Bài 10: Cho biểu thức:
2
x 2 4 x 2 x 2 4 x 2
A

4 4
1
x x
+ + + +
=
+
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
a)
2
9 x
b)
x x (x 0) >
c)
1 2 x+
d)
x 5 4
e)
1 2 1 3x
H Ngc Hip Trung hc Chuyờn Kontum Page 1
Bài tập nâng cao Đại số 9
g)
2
2x 2x 5 +
h)
2
1 x 2x 5 + +
i)
1
2x x 3 +

Bài 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
27 6 48+ >
b)
5 5 5 5
10 0
5 5 5 5
+
+ <
+
c)
2 2 2 1 2 2 2 1 1,9+ + >
d)
5 1 5 1 1
3 4 2 0,2 1,01 0
3
1 5 3 1 3 5

+
+ + >
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

e)
17 12 2 2 3 1+ >
f)
2 3 1 2 3 3 3 1
3 2 0
2 6 2 6 2 6 2 6 2

+
+ + + >
ữ
ữ
+ +

g)
( )
( )
3 5 7 3 5 7 3+ + + + <
h)
2 2 3 2 2
0,8
4
+ +
<
Bài 13: Chứng minh rằng
1
2 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
+ < <
. Từ đó suy ra:
1 1 1
2004 1 .... 2005
2 3 1006009
< + + + + <
Bài 14: Cho
3 2 3 2
x và y

3 2 3 2
+
= =
+
. Tính A = 5x
2
+ 6xy + 5y
2
Bài 15: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2002 2003
2002 2003
2003
2002
+ > +
Bài 16: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
2 x x 2 x x x x 1
B
x 1
x 2 x 1 x

+ +
=
ữ
ữ

+ +

với x > 0 ; x 1
Bài 17: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y:
( )

4
x y
1 x y
C
4xy
2 x y
x y x y
x y x y
+
+
=

+ +

ữ
ữ
+ +

với x > 0 ; y > 0
Bài 18: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A
2
2 x x 1 x 1

+
=
ữ ữ
ữ ữ
+

.
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A = - 4
Bài 19: Cho biểu thức
c ac 1
A a
a c a c
a c
ac c ac a ac


= +
ữ
ữ
+
+

+
+
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A khi c = 54, a = 24
c) Với giá trị nào của a và c để A > 0, A < 0.
Bài 20: Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= +
+
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.

b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng
y y 0 =
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?.
H Ngc Hip Trung hc Chuyờn Kontum Page 2
Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9
Bµi 21: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc
2
2
2n x 4
A
x x 4
−
=
− −
t¹i
m n
x
n m
= +
Bài tập nâng cao chương Ii đại số 9
§1. Nh¾c l¹i vỊ hµm sè
Bµi 1

: T×m tËp x¸c ®Þnh cđa c¸c hµm sè sau:

4 3 2
2
2
1 2 x 1
a) y 5x 3x 2x 7 b) y c) y

x 6x 10 x 2
5
d) y a x b 2 x (a, b 0) e) y x 9
x 2
− −
= − + − = =
− + −
= + − ≠ = − +
−
Bµi 2: T×m f(x) biÕt f(x - 1) = x
2
+ 3x - 2
Bµi 3: Cho hµm sè y = x
2
. XÐt tÝnh biÕn thiªn (®ång biÕn hay nghÞch biÕn) cđa hµm sè
trong tËp x¸c ®Þnh cđa nã.
Bµi 4: Cho hsè y = x
2
- 4x + 3. X¸c ®Þnh tÝnh biÕn thiªn cđa hµm sè trong kho¶ng ( -
∞
; 2 )
vµ (2; +
∞
)
Bµi 5: Cho hµm sè y = f(x) = - x
3
+ x
2
- x + 6
a) Chøng minh r»ng hµm sè lu«n nghÞch biÕn trong TX§ cđa nã.

b) Tõ kÕt qu¶ trªn h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa hµm sè trong ®o¹n [ 0 ; 2
]
Bµi 6: XÐt tÝnh biÕn thiªn cđa hµm sè y = f(x) = ax
3
víi a ≠ 0
§2. Kh¸i niƯm hµm sè bËc nhÊt
Bài 1: Cho điểm A có tọa độ (x
a
;

y
a
), điểm B có tọa độ (x
b
; y
b
) thì độ dài đoạn thẳng
AB được tính bằng công thức
( ) ( )
2 2
b a b a
AB x x y y= − + −
(1). Căn cứ vào hệ thức (1)
chứng minh rằng ABC có tọa độ các đỉnh là A(1 ; 1) , B(2 ;
1 3+
) , C(3 ; 1) là tam
giác đều.
Bài 2: Với những giá trò nào của m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất
a)
1

y 1 x 3
m 1
 
= − +
 ÷
−
 
b)
( )
2
m 1
y 5 x
m 1
−
= −
+
Bài 3: Vẽ tam giác OAB trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biết O(0 ; 0), A(2 ; 3), B(5 ; 3).
a) Tính diện tích OAB bằng hai cách.
b) Tính chu vi OAB (Theo đơn vò đo trên mỗi trục tọa độ).
Bài 4: Cho hàm số y = 2x.
a) Vẽ đồ thò hàm số trên bằng cách xác đònh điểm O(0 ; 0) và B(1 ; 2)
b) Tính góc
α
hợp bởi đường thẳng y = 2x với tia Ox
c) Xác đònh các điểm A(0,5 ; 1) , D(2 ; 4) , C(1 ; 2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
với đường thẳng. Các điểm A, B, C có thuộc đường thẳng y = 2x không ? Tính độ dài
OA, OB, OC, OD.
Hồ Ngọc Hiệp – Trung học Chun Kontum Page 3
Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9
Bµi 5: Cho ®iĨm A(- 3; 2) vµ B(1 ; 4). X¸c ®Þnh to¹ ®é c¸c ®Ønh C, D cđa h×nh b×nh hµnh

ABCD nhËn gèc O lµm t©m ®èi xøng. TÝnh ®é dµi c¸c ®êng chÐo.
Bµi 6: T×m trªn mp to¹ ®é c¸c ®iĨm cã:
a) Tung ®é b»ng 2, hoµnh ®é nhá h¬n 3.
b) Hoµnh ®é b»ng 1, tung ®é lín h¬n 3.
Bµi 7: Víi gi¸ trÞ nµo cđa m vµ n th× hµm sè y = (m
2
- 5m + 6)x
2
+ (m
2
+ mn - 6n
2
)x + 3 lµ
hµm sè bËc nhÊt
Bµi 8: Cho hµm sè y = (a
3
+ 4a
2
- 29a + 24)x + 5. Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× hµm sè ®ång
biÕn? nghÞch biÕn?
Bµi 9: X¸c ®Þnh a, b ®Ĩ hµm sè y = a(x+1)
2
+ b(x+2)
2
lµ hµm sè bËc nhÊt ?
Bµi 10: Víi gi¸ trÞ nµo cđa p vµ q th× hµm sè y = (p
2
- 9)x
2
+ (q - 3p)(q + 2p)x + 5 lµ hµm

sè bËc nhÊt.
Bµi 11: Víi gi¸ trÞ nµo cđa k th× hµm sè y = (k
2
- 9)x + 4 ®ång biÕn ? nghÞch biÕn ?
Bµi 12: Chøng minh r»ng hµm sè y = (m
2
+ m + 1)x - 2 lu«n ®ång biÕn.
Bµi 13
B
: Chøng minh r»ng nÕu mét ®êng th¼ng kh«ng ®i qua gèc täa ®é, c¾t trơc hoµnh t¹i
®iĨm cã hoµnh ®é b»ng a, c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng b th× ®êng th¼ng ®ã cã
d¹ng :
x y
1
a b
+ =
Bµi 14 : Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y = (m - 2)x + 3 lu«n ®i qua ®iĨm A(0 ; 3) víi mäi
gi¸ trÞ cđa m.
Bµi 15 : X¸c ®Þnh c¸c hƯ sè a vµ b ®Ĩ ®êng th¼ng y = ax + b c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung
®é b»ng - 2 vµ song song víi ®êng th¼ng OA, trong ®ã O lµ gèc täa ®é, A(
2
; 1).
Bµi 16 : Cho hai ®êng th¼ng d vµ d’ theo thø tù cã ph¬ng tr×nh lµ :
y = (m
2
– 1)x + (m + 2) ; y = (5 – m)x + (2m + 5).
X¸c ®Þnh m ®Ĩ hai ®êng th¼ng song song víi nhau.
Bµi 17 : Cho A(3 ; - 1), B(- 1 ; - 3), C(2 ; - 4). Chøng minh r»ng ABC vu«ng c©n vµ tÝnh
diƯn tÝch cđa nã.
Bµi 18 : VÏ ®å thÞ c¸c hµm sè :

a)
= −y x 2
b)
= +y 2x 1
§3. §å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt
Bài 1: a) Vẽ đồ thò hai hàm số y = 3x và
1
y x
3
= −
trên cùng một hệ tọa độ.
b) Xác đònh góc
β
tạo bởi đường thẳng y = 3x và
1
y x
3
= −
.
Bài 2: Chứng minh rằng đồ thò hàm số y = f(x) = ax + b và y = g(x) = a’x + b’ đối
xứng nhau qua trục hoành khi và chỉ khi f(x) = - g(x) với mọi
x∈ ¡
. p dụng: chứng
minh rằng đồ thò của hàm số y = f(x) = 3x – 4 và đồ thò của hàm số y = g(x) = 4 – 3x
đối xứng nhau qua trục hoành.
Bài 3: Chứng minh rằng đồ thò hàm số y = f(x) = ax + b và y = g(x) = a’x + b’ đối
xứng nhau qua trục tung khi và chỉ khi f(x) = g(- x) và f(- x) = g(x) với mọi
x∈ ¡
. p
dụng: Chứng minh rằng đồ thò hàm số y = f(x) = 2x + 5 và đồ thò hàm số y = g(x) =

-2x + 5 đối xứng nhau qua trục tung.
Hồ Ngọc Hiệp – Trung học Chun Kontum Page 4
Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9
Bài 4:
a) Xác đònh hàm số y = ax + b biết hàm số có hệ số góc bằng
3
và đi qua điểm
A(2 ; 1).
b) Xác đònh hàm số
y f(x) 5x b= = +
biết rằng đường thẳng
y f(x) 5x b= = +
cùng đi
qua cùng đi qua điểm A.
Bài 5: Cho hàm số y = 3x + m (m là tham số). Cho m một giá trò ta có một đường
thẳng xác đònh. Cho nên đồ thò hàm số y = 3x + m là tập hợp các đường thẳng phụ
thuộc vào tham số m (còn gọi là họ đường thẳng. Chứng minh rằng họ đường thẳng
sau đây luôn đi qua một điểm cố đònh với mọi giá trò của m và tìm tọa độ của điểm
đó:
a) y = mx + m – 2 b) y = 2mx + 1 – m .
Bài 6: Cho đường thẳng y = 3x + 6.
a) Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng ấy với hai trục tọa độ.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng đã
cho.
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết rằng:
a) Đồ thò hàm số đi qua điểm A(2 ; 1) và song song với đường phân giác của góc phần
tư thứ hai.
b) Đồ thò hàm số đi qua điểm A(2 ; 1) và vuông góc với đồ thò của hàm số y = -3x + 2.
c) Đồ thò hàm số đi qua điểm A(2 ; 1) và điểm B(1 ; 3)
Bµi 8: Chøng minh r»ng mäi hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ; a ≠ 0 , b ≠ 0 ®Ịu cã thĨ viÕt díi

d¹ng “ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng theo trơc ch¾n” :
x y
1
m n
+ =
.
Bµi 9: VÏ ®å thÞ x
2
+ y
2
- 2xy - 9 = 0
Bµi 10: VÏ ®å thÞ (x - y)(x + 2y)(2x + y - 3) = 0
Bµi 11: Cho hµm sè y =
x 1 x 2− + −
a) VÏ ®å thÞ cđa hµm sè
b) C¨n cø vµo ®å thÞ cã nhËn xÐt g× vỊ sù biÕn thiªn cđa hµm sè ?
c) Dïng ®å thÞ, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa hµm sè
Bµi 12: Chøng minh r»ng ®å thÞ cđa hai hµm sè y = x - 2 vµ y = 2 - x lµ 2 ®êng th¼ng ®èi
xøng nhau qua trơc hoµnh.
Bµi 13 : Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y = 3x + 1 vµ ®å thÞ hµm sè y = - 3x + 1 lµ hai ®êng
th¼ng ®èi xøng nhau qua trơc tung.
Bµi 14: Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y = mx - 2m lu«n ®i qua 1 ®iĨm cè ®Þnh trong hƯ to¹
®é Oxy
Bµi 15: XÐt c¸c ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (m + 2)x + (m - 3)y - m + 8 = 0. Chøng
minh r»ng víi mäi m, c¸c ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua ®iĨm A(- 1 ; 2).
Bµi 16
B
: Cho ®êng th¼ng : (m - 2)x + (m - 1)y = 1 (m lµ tham sè).
a) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cđa m.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ kho¶ng c¸ch tõ gèc O ®Õn ®êng th¼ng lµ lín nhÊt.

Bµi 17 : XÐt c¸c ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh : (2m + 3)x + (m + 5)y + (4m - 1) = 0.
a) VÏ ®å thÞ ®êng th¼ng d øng víi m = - 1.
b) T×m ®iĨm cè ®Þnh mµ mäi ®êng th¼ng d ®Ịu ®i qua.
Hồ Ngọc Hiệp – Trung học Chun Kontum Page 5
Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9
Bµi 18 : Cho hai ®iĨm A(x
1
; y
1
) , B(x
2
; y
2
) víi x
1
≠ x
2
, y
1
≠ y
2
. Chøng mih r»ng nÕu ®êng
th¼ng y = ax + b ®i qua A vµ B th× :
− −
=
− −
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x

Bµi 19 : VÏ ®å thÞ hµm sè :
= − + −y x 1 x 3
.
§4-5. HƯ sè gãc - §êng th¼ng song song, c¾t nhau
Bài 1: Cho hàm số y = (m – 1)x + (m + 1) (1)
a) Xác đònh hàm số (1) khi đường thẳng (1) đi qua gốc tạo độ.
b) Xác đònh m để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.
c) Xác đònh m để đường thẳng(1) song song với đường thẳng
y 3x 2= +
d) Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố đònh với mọi
m∈ ¡
.
Tìm điểm cố đònh đó.
Bài 2: Cho hai đường thẳng y = a
1
x + b
1
(d
1
) và y = a
2
x + b
2
(d
2
) vẽ trên cùng một
mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng (d
1
) vuông góc với (d
2

) khi và chỉ khi a
1
.a
2
= -1.
p dụng: Xác đònh hàm số y = ax + b biết đồ thò của nó đi qua điểm A(-1 ; 2) và
vuông góc với đường thẳng y = 3x + 1.
Bài 3: a) Vẽ đồø thò các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
1
y x 3 (d )= +
2
y 2x 5 (d )= −
b) Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
c) Tìm tọa độ giao điểm B, C lần lượt là giao điểm của (d
1
), (d
2
) với trục hoành.
d) Tìm diện tích tam giác ABC.
Bài 4: Cho hàm số y = (k – 3)x + k’ (d). Tìm các giá trò của k, k’ để đường thẳng (d):
a) Đi qua điểm A(1 ; 2) và B(-3 ; 4)
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2−
và cắt trục hoành tại điểm
1 2+
.

c) Cắt đường thẳng 2y – 4x + 5 = 0.
d) Song song với đường thẳng y – 2x – 1 = 0
e) Trùng với đường thẳng 3x + y – 5 = 0.
Bµi 5: Cho 2 ®iĨm A(1 ; - 2) vµ B(- 4 ; 3)
a) T×m hƯ sè gãc cđa ®êng th¼ng ®i qua A, B.
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A, B.
Bµi 6
NC
: Cho hai ®êng th¼ng (d): y = (2m + 1)x - 2 vµ (d’): y = (m - 2)x + 3
a) Hai ®êng th¼ng nµy cã thĨ trïng nhau kh«ng ?
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ (d) // (d’)
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ (d) ⊥ (d’)
Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cđa k ®Ĩ 3 ®êng th¼ng ®ång qui:
(d
1
): y = 2x - 5 ; (d
2
): y = x + 2 ; (d
3
): y = kx - 12
Bµi 8: Cho hai ®êng th¼ng (d): y = m(x + 2) vµ (d’): y = (2m - 3)x + 2
a) Chøng minh r»ng khi m = 1 th× d ⊥ d’
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ d ⊥ d’.
Bµi 9: Cho hai ®êng th¼ng (d): y = (m + 5)x - 2 vµ (d’): y = 2m(m - 1)x + 5.
Hồ Ngọc Hiệp – Trung học Chun Kontum Page 6