Ôn tập học kỳ I lớp 12

Ôn thi học kỳ I
A/Giải tích
I/ Đạo hàm- Vi phân:
1/ Các quy tắc tính đạo hàm
2/ Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
3/ ý nghĩa của đạo hàm:
Phơng trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) tại M(x
0
; y
0
) là: y- y
0
= y
/
(x
0
) (x- x
0
)
4/ Đạo hàm cấp cao:
/
( 1) ( )
(n 2, n )
n n
y y


=

Ơ
5/ Vi phân: cho hàm số y = f(x)

+ Vi phân của hàm số là:
/
dy y dx=
+ Công thức tính gần đúng:
/
0 0 0
( ) ( ) ( )f x x f x x f x+ +
II/ Khảo sát hàm số:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm số
2/ Chú ý một số hàm cụ thể:
+ y = ax
3
+ bx
2
+ cx +d ( a
0
)
+ y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a
0
)
( Chỉ xét tính lồi, lõm và điểm uốn; không xét tiệm cận)
+
(ad-bc 0; c 0)
ax b
y
cx d

+
=
+
+
2
,
, ,
(aa 0)
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
(Không xét tính lồi, lõm và điểm uốn; chỉ xét các tiệm cận)
4/ Một số bài toán liên quan đến hàm số và khảo sát hàm số:
a) Bài toán xét sự tơng giao giữa các đờng
b) Bài toán tìm tham số để hàm số có CĐ, CT
c) Bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến( nghịch biến trên 1khoảng, đoạn)
d) Bài toán viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
e) Bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên 1 khoảng, 1 đoạn
(+) Trên khoảng (a; b)
-Bớc 1: Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a; b).
- Bớc 2: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
(+) Trên đoạn
[ ]
;a b
- Bớc 1: Tìm các điểm tới hạn của hàn số
+ Tính y
/

+ Giải phơng trình y
/
= 0
+ Tìm x để y
/
không xác định
Giả sử các điểm tới hạn là: x
1
, x
2
, ....thuộc
[ ]
;a b
- Bớc 2: Tính
, , , ,
1 2
( ), ( ),......, ( ), ( )y x y x y a y b
- Bớc 3: So sánh các giá trị tính đợc ở bớc 2 để kết luận
III/ Nguyên hàm- tích phân:
1/ Nguyên hàm:
+
/
( ) ( ) ( với F ( ) ( ), c hằng số)f x dx F x C x f x= + =

+ Bảng nguyên hàm cơ bản
+ Các tính chất của nguyên hàm
2/ Tích phân +
( ) ( ) ( ) ( )
b
b

a
a
f x dx F x F b F a= =

+ Các tính chất của tích phân
B/ Bài tập:
Bài 1: Bài tập trắc nghiệm:
1/ Đạo hàm của hàm số
3
2
1
y x
x

=
ữ

là:
A.
' 3y =
2
2
1
x
x


ữ

; B.

'y =
3
2
1
2x
x

+
ữ

C.
'y =
3 2
2
3( 1)x
x
+
; D.
' 3y =
2
2
2
1 1
(2 )x x
x x

+
ữ

2/ Giá trị m để hàm số y = x
3
3x
2
+ mx + 2 đồng biến trên
Ă
là
A. m > 2 ; B. m < 3
C. m 3 ; D.
m

Ă
3/ Cho hàm số y =
3
2
2 1
x
x +
có các điểm tới hạn là
A.
1
2

và 0. ; B. 0 và 1.
C.
1
2

v à 1. ; D. 1.
4/ GTNN của hàm số y =

2
( 6) 4x x +
trên [0; 3] là
A.
5 5
. ; B.
8 2
.
C. -12. ; D.
5 13
.
5/. Hàm số y = 2sin
2
x cosx + 1 có GTNN là
A. 25/4. ; B. 20/8.
C. 15/8. ; D. 25/8.
6. Cho (C): y = x
3
3x + 1. phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; - 1) là
A. y = x 2. ; B. y = -1
C. y = -x + 2. ; D. y = 1.
7/Đồ thị của hàm số nào dới đây lồi trên khoảng
(-

; +

)
A. y = 5 + x 3x
2
; B. y = (2x+1)

2
.
C.y= - x
3
- 2x +3 ; D. y = x
4
3x
2
+2.
8/. Đồ thị hàm số y =
4 2
1
3
4
x mx+
có điểm uốn nằm trên đờng thẳng y = - 5/9 thì
A.
5
3
m =
. ; B.
1
3
m =
.
C. m =
1
9
. ; D.
1

3
m =
.
9. Điểm cực đại của hàm số y = -x
3
+ 3x 2 là
A. -3. B. -2
C. -1 D. 1.
10. Điểm cực tiểu của hàm số: y =
1
2
x
4
2x
2
3 là
A. 2 B.
2

C. 4 D. 0.
11.Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x
3
2x
2
5x + 1 tại điểm (1 ; -5) là:
A. y = -6x + 1 ; B. y = - 6x - 1
C. y = 6x + 1. ; D. y = 6x -.1
Bài toán 1: Cho hàm số : y =
3 2
1

x
x


(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên
2.Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) biết:
a) Tiếp điểm (0 ; 2)
b) Tung độ tiếp điểm bằng 5/2
c) Tiếp tuyến song song với đờng y = -x + 3
d) Vuông góc với y = 4x + 10
e
*
) Đi qua điểm (2 ; 0)
Bài toán 2: Cho hàm số
y =
3 2
1
( 6) (2 1)
3
x mx m x m+ + + +
a) Khảo sát hàm số với m = 0
b)Tìm m để hàm số có CĐ, CT
c) Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Bài toán 3: Cho hàm số
y = 2x
3
+3mx
2
+6(m-1)x - 1 (C

m
)
a) Khảo sát với m = 2
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C
2
), biết tiếp tuyến đi qua A(0; -1)
c) Tìm m để hàm số có CĐ, CT.
d) Biện luận theo m k số nghiệm của PT:
2x
3
+6x
2
+6x - k = 0
Bài toán 4: Cho hàm số y = x
4
- x
2
+ 3
a) Khảo sát hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết: + Tiếp tuyến song song với đờng
thẳng
d
1
: 2x- y -6 = 0
+ Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng d
2
: x- 2y -3 = 0
c) Biện luận theo m số nghiệm của PT:
- x
4

+ x
2
+ 1 - m = 0
Bài toán 5: Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
2x 1
y tiếp xúc với y x m
x 2

= = +
+
b)
2
x mx 1
y tiếp xúc với trục hoành
x 1
+
=
+
Bài toán 3: Cho hàm số
y = 2x
3
+3mx
2
+6(m-1)x - 1 (C
m
)
a) Khảo sát với m = 2
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C
2

), biết tiếp tuyến đi qua A(0; -1)
c) Tìm m để hàm số có CĐ, CT.
d) Biện luận theo m k số nghiệm của PT:
2x
3
+6x
2
+6x - k = 0
Bài toán 4: Cho hàm số y = x
4
- x
2
+ 3
a) Khảo sát hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết: + Tiếp tuyến song song với đờng
thẳng
d
1
: 2x- y -6 = 0
+ Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng d
2
: x- 2y -3 = 0
c) Biện luận theo m số nghiệm của PT:
- x
4
+ x
2
+ 1 - m = 0
Bài toán 5: Tìm m để đồ thị hàm số :
a)

2x 1
y tiếp xúc với y x m
x 2

= = +
+
b)
2
x mx 1
y tiếp xúc với trục hoành
x 1
+
=
+
Bài 3: Xác định m để hàm số
3 2
1
( 2) 3
3
y x m x mx m= + +
nghịch biến khi x>1
Giải:
Ta có y
,
= - x
2
+2(m- 2)x - m
Theo yêu cầu đề bài ta phải có
,
0, x >1y

Xét các TH
TH1:
/
1 0
1 4,
0
a
m x
= <





TH2:
,
1
0
4
m
m
<

>

>

, y
,
có 2 nghiệm x

1
< x
2
và thoả mãn
,
1 2
1, m > 4
1 ( 1) 0
2 1
2
m
x x ay
S
m

<


<



= <

1m
<
Vậy
4m

là giá trị cần tìm

Bài 1 Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
6 5
dx
x x +

b)
3
2
x dx
x

c)
3 2
5 x x dx

d)
sin cos2x xdx

e)
3
ln 2xdx
x

f)
2008
(1 2 )x dx

k)

3 4 ln x
dx
x
+

Bài 2 Tính các tích phân sau
a)
1
2
0
1x x dx

b)
dxx


3
2
3
)
3
2
3cos(



c)


2

1
2
)21( x
dx
d)
dx
xx
x

++
+
1
0
2
1
24
e)

3
6
sin
.cos


x
dxx
f)

++
1

0
2
132 xx
dx
B/ Hình học
Bài 1:
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho ABC có
B(-4 ; -5); hai đờng cao có phơng trình là :
d
1
: 5x + 3y - 4 = 0 ; d
2
: 3x + 8y + 13 = 0 lập phơng trình các cạnh tam giác đó.
Bài 2: Cho đờng thẳng d: 3x- 4y -3 = 0
a) Tìm trên 0x điểm M cách d một khoảng bằng 3.
b) Tính khoảng cách giữa d và d
/
: 3x - 4y + 8 = 0
c) Viết PT đờng thẳng d
//
song song với d, cách d một khoảng là 4 và nằm trong nửa mặt
phẳng bờ d và cha gốc 0.
Bài 3: Lập phơng trình chứa 4 cạnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A(-1; 2) và phơng trình
của một đờng chéo là:
1 2
2
x t
y t
= +

=

Bài 4: Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh BC là
1 3
1 2
x y
=

, các đờng trung tuyến BM
và CN lần lợt có phơng trình là 3x + y - 7 = 0 và x + y - 5 = 0 . Viết phơng trình các cạnh
AB, AC.
Bài 5: Xác định toạ độ đỉnh B của tam giác ABC, biết C( 4; 3) và đờng phân giác trong ,
trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lợt có phơng trình: x + 2y - 5 = 0; 4x + 13y - 10 = 0.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, biết tâm I( 2; 2)
và PT AB: 2x - y = 0; AD: 4x - 3y = 0
Lập phơng trình cạnh BC và CD.
Bài 7 : Cho đờng thẳng (
D
): 2x - 3y + 3 = 0 và
điểm M(8; 2).
a) Tìm điểm đối xứng với điểm M qua (
D
).
b) Tìm điểm A trên (
D
) và cách M một khoảng
bằng 3.
c) Tính góc giữa AM và (
D

).
Bài 8: Xác định tâm và bán kính của các đờng tròn sau :
a) x
2
+ y
2
-2x +4y +1 = 0
b) x
2
+ y
2
+4x -6y - 12 = 0
c) 4x
2
+ 4y
2
+ 16x -12y + 7 = 0
Bài 9: Lập phơng trình đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng d: x + 2y - 5 tại A(3 ; 1) và đi qua
điểm B(6 ; 4)
Bài 10 : Cho hai đờng tròn:
(C
1
) : x
2
+ y
2
- 14x - 2y + 46 = 0
(C
2
) : x

2
+ y
2
- 4x - 6y + 12 = 0
Chứng minh rằng tồn tại 4 tiếp tuyến chung cuả hai đờng tròn trên.
Bài 11 : Cho đờng tròn :
x
2
+ y
2
- 8x - 6y + 21 - m
2
= 0 và điểm I (5 ; 2)
a) Chứng tỏ I nằm trong đờng tròn
b) Tìm phơng trình đờng thẳng cắt C tại hai điểm nhận I làm trung điểm.
Bài 12: Lập PT đờng tròn trong các trờng hợp sau:
a) Có tâm I( 1; -2) và tiếp xúc với (d) : x + y - 2 = 0.
b) Đi qua điểm A(3; 1), B(2; 2) và tiếp xúc với
(
D
): x - 2y + 4 = 0.
c) Đi qua 3 điểm A(-2; -1) , B(-1; 4) và C(4; 3).
d) Đi qua A( 0; 2), B(-1; 1) và có tâm nằm trên
đờng thẳng : 2x +3y = 0.
Bài 3: Cho đờng tròn (C ): x
2
+ y
2
- 4x + 2y - 3 = 0.
Lập PT tiếp tuyến cửa đờng tròn trong các trờng

hợp sau:
a) Tại điểm M(4; 1).
b) Tiếp tuyến đi qua điểm A(5; 3).
c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng
(d): 2x - 3y + 3 = 0.