Nhập môn TOPO bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG NHẬP MÔN TÔ PÔ

LIÊN VƯƠNG LÂM
Tổ Toán- Lý

Quảng Ngãi - 2015


ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG
NHẬP MÔN TÔ PÔ

LIÊN VƯƠNG LÂM

Tổ Toán- Lý

Quảng Ngãi- 2015


Mục lục

Mở đầu
1 Không gian metric
1.1

1.2

1.3

1.4

1

Không gian metric và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Khái niệm không gian metric . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Một số ví dụ về không gian metric . . . . . . . . .

2

1.1.3

Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . .

3

Tập đóng và tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Hình cầu và lân cận

. . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Tập mở- Tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Phần trong và bao đóng . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4

Tập hợp trù mật- Không gian khả li

. . . . . . . .

8

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2

Ánh xạ liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3

Phép đồng phôi- Phép đẳng cự . . . . . . . . . . .

13

Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.1

Khái niệm không gian metric đầy đủ . . . . . . . .

14

1.4.2

Nguyên lý Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.3

Nguyên lý Baire phạm trù . . . . . . . . . . . . . .

16

i


ii

1.5

1.4.4

Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.5

Bao đầy của một không gian metric . . . . . . . . .

18

Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5.1

Khái niệm tập compact . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.2

Một số đặc trưng của tập compact và không gian
compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Tính chất của hàm số liên tục trên tập compact . .

22

Không gian các ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6.1

Không gian C ♣X, Y q . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6.2

Định lý Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.3

Định lý Stone- Weierstrass . . . . . . . . . . . . . .

27

1.5.3
1.6

2 Không gian Tô Pô
2.1

2.2

2.3

29

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.1

Khái niệm không gian tô pô . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.2

Lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.3

Tập đóng, phần trong, bao đóng . . . . . . . . . . .

31

2.1.4

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Cơ sở Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1

Định nghĩa cơ sở Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.2

Xây dựng tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.3

Tô pô đầu- tô pô cuối . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Phân loại không gian tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.1

T1 không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.2

T2 - không gian hay không gian Hausdorff . . . . . .

38

2.3.3

Không gian chính quy và không gian chuẩn tắc . .

38


2.4

Không gian Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4.1

Định nghĩa không gian compact . . . . . . . . . . .

40

2.4.2

Một số tính chất của không gian compact . . . . .

41

Tài liệu tham khảo

42


Lời nói đầu
Nhập môn tô pô là môn học dành cho sinh viên năm thứ 3 ngành
Cao đẳng sư phạm Toán. Có nhiều sách và tài liệu tham khảo dành cho
môn học này. Tuy nhiên các sách này hoặc là được viết bằng tiếng Anh,
hoặc là được viết để phục vụ cho chuyên ngành sâu. Do đó, đối với sinh
viên Cao đẳng sư phạm toán việc tiếp cận và học tập môn này là không
dễ.
Qua thực tiễn nhiều năm giảng dạy và tham khảo các sách, chúng tôi
biên soạn tài liệu " Bài giảng nhập môn tô pô" nhằm trình bày dưới một
hệ thống và cách tiếp cận dễ dàng hơn. Bắt đầu bằng không gian cụ thể
là không gian metric. Sau đó chúng tôi trình bày về không gian tô pô.
Các kết quả trong tài liệu chỉ là đại cương đúng với tinh thần " nhập môn".
Độc giả có thể tham khảo sâu thêm trong các tài liệu được trích dẫn.
Tài liệu được hoàn thành cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp ở
Tổ Toán- Lý, trường Đại học Phạm Văn Đồng. Cho phép tôi được chân
thành cảm ơn. Cuối cùng, tài liệu không tránh khỏi những sai sót, rất
mong nhận được sự góp ý chân thành của quý độc giả.
Mọi sự góp ý xin gởi về:
Tôi xin chân thành cảm ơn.


Chương 1

Không gian metric
1.1

Không gian metric và sự hội tụ

1.1.1 Khái niệm không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Hàm số d : X ✂ X

Ñ

R được gọi là một metric trên X nếu các tính chất sau thỏa mãn:
i) d♣x, y q ➙ 0 với mọi x, y

€ X và d♣x, yq ✏ 0 nếu và chỉ nếu x ✏ y.

ii) d♣x, y q ✏ d♣y, xq- tính chất đối xứng.

iii) d♣x, z q ↕ d♣x, y q   d♣y, z q với mọi x, y, z

€ X.

Nếu d là một metric trên X thì ta nói cặp ♣X, dq là một không gian
metric.

Mỗi phần tử x € X được gọi là một "điểm". Số d♣x, y q được gọi là khoảng
cách giữa hai điểm x và y.
Nhận xét rằng

⑤d♣x, zq ✁ d♣x, yq⑤ ↕ d♣y, zq, ❅x, y, z € X.

1

2

1.1.2 Một số ví dụ về không gian metric
Ví dụ 1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm số d xác định trên X

✩
✫0
d♣x, y q ✏
✪1

bởi

✂X

nếux ✏ y
nếux ✘ y

Kiểm tra được rằng d là một metric trên X và được gọi là metric rời rạc
trên X. Hơn nữa, ♣X, dq được gọi là không gian metric rời rạc.

Ví dụ 1.2. Hàm số d♣x, y q
thông thường trên R.

✏ ⑤x ✁ y⑤ là một metric trên R, gọi là metric

Ví dụ 1.3. Hàm số d♣x, y q ✏

❛⑤x ✁ y⑤ là một metric trên R.

Ví dụ 1.4. Cho C là trường số phức. Với mỗi cặp số phức z
z✶

✏ x✶   iy✶ ta định nghĩa

d♣z, z ✶ q ✏

❛

✏ x   iy và

♣x ✁ x✶q2   ♣y ✁ y✶q2.

Kiểm tra được rằng ♣C, dq là một không gian metric và được gọi là metric
thông thường trên C.
Ví dụ 1.5. Cho Rn là một không gian vector thực n-chiều. Với cặp phần tử
x ✏ ♣x1 , x2 , . . . , xn q, y

✏ ♣y1, y2, . . . , ynq ta định nghĩa
d1 ♣x, y q ✏
d2 ♣x, y q ✏ ♣

➳
n

i✏1

➳
n

⑤xi ✁ yi⑤,

♣xi ✁ yiq2q1④2,

i✏1

d✽ ♣x, y q ✏ max ⑤xi ✁ yi ⑤.
1↕i↕n

Khi đó d1 , d2 , d✽ là các metric trên Rn . Trong đó d2 thường được gọi là
metric Euclide trên Rn .

Ví dụ 1.6. Cho C ra, bs là không gian các hàm liên tục trên đoạn ra, bs. Với
mỗi cặp hàm số x♣tq, y ♣tq € C ra, bs ta định nghĩa

d♣x, y q ✏ max ⑤x♣tq ✁ y ♣tq⑤
t€ra,bs


3

và

dL ♣x, y q ✏

➺

b

⑤x♣tq ✁ y♣tq⑤dt.

Kiểm tra được rằng d và dL là các metric trên C ra, bs.
Ví dụ 1.7. Cho ♣X, dq là một không gian metric và A ⑨ X là tập con khác
a

rỗng. Trên A ta định nghĩa
dA ♣x, y q ✏ d♣x, y q, ❅x, y

€ A.

Khi đó ♣A, dA q là một không gian metric và được gọi là không gian metric
con của ♣X, dq.

Ví dụ 1.8. Cho ♣X, dX q và ♣Y, dY q là các không gian metric. Trên tích

Descartes ta định nghĩa
d♣♣x, y q, ♣x✶ , y ✶ qq ✏ maxtdX ♣x, x✶ q, dY ♣y, y ✶ q✉.
Khi đó ♣X

✂ Y, dq là một không gian metric và được gọi là không gian
metric tích của hai không gian ♣X, dX q và ♣Y, dY q.
Ví dụ 1.9. Cho ♣X, dq là một không gian metric. Ta định nghĩa ánh xạ
l : X ✂ X Ñ R xác định bởi
l♣x, y q ✏ mint1, d♣x, y q✉
a. Chứng minh rằng l là một metric trên X.
b. Có thể thay ”1” bằng một số dương khác được hay không để l vẫn là
metric trên X.

Ví dụ 1.10. Cho ♣X, dq là một không gian metric. Ta định nghĩa ánh xạ
l:X

✂ X Ñ R xác định bởi
d♣x, y q
l♣x, y q ✏
1   d♣x, y q

Khi đó l là một metric trên X.
1.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số vấn đề về sự hội tụ trong
không gian metric và các tính chất của sự hội tụ.


4

Định nghĩa 1.1.2. Cho ♣X, dq là một không gian metric. Dãy điểm txn ✉

được gọi là hội tụ đến điểm x € X nếu lim d♣xn , xq ✏ 0, nghĩa là, với mọi
nÑ✽

→ 0 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n → n0 thì
d♣xn , xq ➔ .
Ta viết lim xn
nÑ✽

✏ x.

Mệnh đề 1.1.1. Trong không gian metric, giới hạn của mỗi dãy hội tụ là
duy nhất.
Chứng minh. Phản chứng. Giả sử txn ✉ hội tụ đến hai điểm phân biệt x, y.
Khi đó

0 ↕ d♣x, y q ↕ d♣x, xn q   d♣xn , y q Ñ 0.

Ta có được điều vô lí.
Mệnh đề 1.1.2. Cho X là tập hợp với metric rời rạc. Giả sử txn ✉ € X và
xn

Ñ a. Khi đó tồn tại n0 sao cho với mọi n ➙ n0 thì xn ✏ a.

Chứng minh. Vì xn Ñ a cho nên với
1
thì d♣xn , aq ➔ .
2
Suy ra d♣xn , aq ✏ 0 (???) do đó xn

✏ 21 , tồn tại n0 sao cho mọi n ➙ n0
✏ a, ❅n ➙ n0.

Mô tả sự hội tụ trong không gian Rn với metric Euclide và C ra, bs với
metric ’max’?
1.2

Tập đóng và tập mở

1.2.1 Hình cầu và lân cận
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử ♣X, dq là một không gian metric, a
r

→ 0. Ta định nghĩa các tập hợp

B ♣a, rq ✏ tx € X : d♣a, xq ➔ r✉,

€

X và


5

B ♣a, rq ✏ tx € X : d♣a, xq ↕ r✉
lần lượt gọi là hình cầu mở, đóng tâm a bán kính r trong không gian metric

♣X, dq.

Ví dụ 1.11. Xét tâp số thực R với metric thông thường. Hình cầu B ♣a, rq

là khoảng ♣a ✁ r, a   rq. Ngược lại, với mỗi khoảng ♣a, bq là hình cầu tâm
b✁a
b a
bán kính r ✏
.
x0 ✏
2
2
Ví dụ 1.12. Mô tả hình cầu trong không gian metric rời rạc?
Ví dụ 1.13. Biểu diễn hình cầu B ♣0, 1q trong không gian R2 với các metric
d1 , d2 , d✽ .
Định nghĩa 1.2.2. Tập con U của không gian metric X được gọi là một

lân cận của x € X nếu tồn tại r

→ 0 sao cho B ♣x, rq ⑨ U .

Nhận xét. i) Nếu U là lân cận của x và U
x.
ii) Nếu U, V là các lân cận của x thì U

➇V

⑨V

thì V cũng là lân cận của

cũng là lân cận của x.

iii) Giao hữu hạn các lận cận của x là một lân cận của x. Điều này không
đúng với giao vô hạn.???

1.2.2 Tập mở- Tập đóng
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử A là tập con của không gian metric X. Ta nói
x € X là một điểm trong của A nếu tồn tại số r

→ 0 sao cho B ♣x, rq ⑨ A.
Định nghĩa 1.2.4. Tập A được gọi là mở nếu mọi điểm x € A đều là điểm
trong của A. Tập B được gọi là đóng nếu phần bù X ③B là tập mở.
Ví dụ 1.14. Hình cầu mở là tập mở, hình cầu đóng là tập đóng.

Ví dụ 1.15. Trong đường thẳng thực R thì tập ♣a, bq-mở, ra, bs-đóng, ♣a, bskhông đóng không mở.
Ví dụ 1.16. Trong không gian metric rời rạc, mọi tập con đều vừa đóng,

6

vừa mở.
Ví dụ 1.17. Tập các số nguyên là tập đóng trên đường thẳng thực, tập các
số hữu tỉ không là tập đóng.
Định lý 1.2.1. a) Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở; hợp tùy ý các
tập mở là một tập mở.
b) Giao tùy ý các tập đóng là một tập đóng; hợp hữu hạn các tập đóng là
tập đóng.
Chứng minh. (sinh viên tự chứng minh)
Ví dụ 1.18. Tìm ví dụ chỉ ra rằng giao vô hạn các tập mở không là tập mở
và hợp vô hạn các tập đóng không là tập đóng?
Mệnh đề 1.2.2. Tập con A của không gian metric X là mở nếu và chỉ
nếu dãy txn ✉

€ X và xn Ñ x € A thì tồn tại số tự nhiên n0 sao cho mọi
n → n0 thì xn € A.
Mệnh đề sau mô tả cấu trúc của các tập mở trên đường thẳng thực.
Mệnh đề 1.2.3. Mỗi tập mở trên đường thẳng thực là hợp hữu hạn hay
đếm được các khoảng mở rời nhau.
Chứng minh. Giả sử G là một tập mở trong R và x
tồn tại một khoảng mở U

€ G. Vì G mở nên

⑨ G. Kí hiệu Ux là hợp của các khoảng mở U

như thế. Khi đó Ux là một tập mở trong G chứa x. Ta chứng minh rằng

✏ ♣a, bq trong đó a ✏ inf Ux, b ✏ sup Ux.

Thật vậy, rõ ràng rằng Ux ⑨ ♣a, bq. Với y € ♣a, bq, y ✘ x. Xét a ➔ y ➔ x, từ
định nghĩa của a tồn tại y ✶ € Ux sao cho a ➔ y ✶ ➔ y. Do đó có khoảng mở
U chứa x và y ✶ , với U ⑨ G. Suy ra y € U do đó y € Ux . Chứng minh hoàn
toàn tương tự cho x ➔ y ➔ b. Vậy Ux ✏ ♣a, bq.
Ux

Từ định nghĩa suy ra Ux là khoảng mở lớn nhất trong G chứa x. Từ đó
suy ra với x và x✶ phân biệt trong G thì hoặc Ux

✏ Ux✶ hoặc Ux ❳ Ux✶ ✏ ❍.


7

Mặt khác, vì mỗi khoảng mở Ux đều chứa các điểm hữu tỉ là tập đếm được
cho nên có không quá đếm được các tập Ux và
G✏

↕

x€ G

Ux .

1.2.3 Phần trong và bao đóng
Định nghĩa 1.2.5. i)Tập hợp tất cả các điểm trong của A được gọi là
phần trong của tập hợp A và kí hiệu là Int A hoặc A0 .
ii) Điểm x được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mỗi số r

→ 0 thì

B ♣x, rq ❳ A ✘ ❍. Tập tất cả các điểm dính của tập hợp A được gọi là bao
đóng của tập hợp A kí hiệu là A.
iii) Điểm x được gọi là điểm biên của tập hợp A nếu với mỗi r

B ♣x, rq ❳ A

→ 0 thì

✘ ❍ và B ♣x, rq ❳ ♣X ③Aq ✘ ❍. Tập tất cả các điểm biên của
tập hợp A kí hiệu là ❇ A.
iv) Điểm x được gọi là một điểm tụ của tập hợp A nếu với mọi số r → 0
thì B ♣x, rq ❳ ♣A③tx✉q ✘ ❍.
v) Điểm x được gọi là một điểm cô lập của tập A nếu tồn tại r → 0 sao
cho B ♣x, rq ❳ A ✏ tx✉.
Nhận xét. i)IntA ⑨ A và nếu A-mở thì IntA ✏ A.
ii) Điểm tụ có thể không thuộc A, nhưng điểm cô lặp thì thuộc A.

Mệnh đề 1.2.4. Phần trong của tập A là tập mở và là tập mở lớn nhất

trong A. Do đó, A- mở nếu và chỉ nếu A ✏ IntA.

Mệnh đề 1.2.5. Bao đóng của tập A là tập đóng và là tập đóng bé nhất

chứa A. Do đó, A đóng nếu và chỉ nếu A ✏ A.

Mệnh đề 1.2.6. Cho ♣X, dq là một không gian metric, A, B là các tập con
trong X. Khi đó:

8

a) Nếu A ⑨ B thì int♣Aq ⑨ int♣B q.
b) int♣A ❳ B q ✏ int♣Aq ❳ int♣B q.

c) int♣Aq ❨ int♣B q ⑨ int♣A ❳ B q.

Nhận xét rằng trong mệnh đề trên tồn tại các tập A, B sao cho dấu "
=" không xảy ra ở khẳng định c). (Sinh viên tự lấy ví dụ).
Mệnh đề 1.2.7. x

€X

là một điểm dính của tập A nếu và chỉ nếu tồn

tại dãy txn ✉ ⑨ A hội tụ đến x.

Chứng minh. Giả sử x € A khi đó với mỗi số nguyên dương n thì B ♣x, 1④nq❳

✘ ❍ nghĩa là tồn tại xn sao cho d♣xn, xq ➔ 1④n. Do đó tồn tại dãy
txn✉ ⑨ A hội tụ đến x.
Ngược lại, nếu tồn tại dãy txn ✉ ⑨ A hội tụ đến x. Khi đó với mỗi số r → 0
thì xn Ñ x nên tồn tại n0 sao cho mọi n → n0 thì d♣xn , xq ➔ r. Do đó
B ♣x, rq ❳ A ✘ ❍, hay x € A.

A

Hệ quả. Tập con A của không gian metric X đóng nếu và chỉ nếu mọi
dãy txn ✉ ⑨ A xn

Ñ x thì x € A.

1.2.4 Tập hợp trù mật- Không gian khả li
Định nghĩa 1.2.6. Tập con A của không gian metric X được gọi là trù
mật trong X nếu A ✏ X.

Không gian metric X được gọi là khả li nếu tồn tại một tập hợp đếm được
M trù mật trong X.
Ví dụ 1.19. Đường thẳng thực R là một không gian khả li vì tập các số
hữu tỉ là tập đếm được trù mật trong R. Tổng quát hơn Rn là không gian
khả li vì Rn

✏ Qn.

Ví dụ 1.20. Cho X là một tập hợp và d1 , d2 là các metric trên X. Ta nói

d1 , d2 là hai metric tương đương nếu A là tập mở trong ♣X, d1 q nếu và chỉ


9

nếu A là tập mở trong ♣X, d2 q.
a. Chứng minh rằng nếu tồn tại hai số dương A, B sao cho
Ad1 ♣x, y q ↕ d2 ♣x, y q ↕ Bd1 ♣x, y q, ❅x, y

€X

thì d1 , d2 là tương đương.
b. Chứng minh rằng hai không gian metric là tương đương nếu một dãy
xn hội tụ trong không gian metric này thì cũng hội tụ trong không gian

metric kia.

c. Chứng minh rằng trên tập C ra; bs thì hai metric "sup" và "tích phân "
không tương đương.

Ví dụ 1.21. [Giả metric] Giả sử X là tập khác rỗng, hàm số d : X ✂ X

ÑR

được gọi là một giả metric trên X nếu d thỏa mãn các điều kiện sau:
a. d♣x, y q ➙ 0 ❅x, y

b. d♣x, y q ✏ d♣y, xq.

€ X.

c. d♣x, y q ↕ d♣x, z q   d♣z, y q ❅x, y, z

€ X.

Khi đó ♣X, dq được gọi là một không gian giả metric. Các định nghĩa tập
đóng, mở, hội tụ... được định nghĩa tương tự như trong không gian metric.
Giả sử ♣X, dq là một không gian giả metric. Ta định nghĩa quan hệ

✒ xác

định như sau:
x✒y

a. Chứng minh rằng

Ø d♣x, yq ✏ 0.

✒ là một quan hệ tương đương.

b. Kí hiệu X ✝ là tập hợp các lớp tương đương trên X theo quan hệ ✒. Đặt
d✝ ♣rxs, ry sq ✏ d♣x, y q.
Chứng minh rằng d✝ là một metric trên X ✝ .

Ñ X ✝ xác định bởi p♣xq ✏ rxs. Chứng minh rằng A mở
trong X thì p♣Aq mở trong X ✝ .
d. Chứng minh rằng hàm số f : X Ñ R và hàm số pf : X ✂ X Ñ R xác
c. Ánh xạ p : X

định bởi

pf ♣x, y q ✏ ⑤f ♣xq ✁ f ♣y q⑤


10

là một giả metric trên X.
1.3

Ánh xạ liên tục

1.3.1 Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.3.1. Cho f : ♣X, dq Ñ ♣Y, ρq, ánh xạ f được gọi là liên tục

€ X nếu với mỗi → 0 tồn tại δ → 0 sao cho mọi x € X mà

d♣x, x0 q ➔ δ thì ρ♣f ♣xq, f ♣x0 qq ➔ .
tại điểm x0

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x € X.

Ví dụ 1.22. Cho ♣X, dq là một không gian metric và a

€ X. Ánh xạ f

:

Ñ R xác định bởi f ♣xq ✏ d♣x, aq là một ánh xạ liên tục.
Ví dụ 1.23. Ánh xạ đồng nhất i : Cs ra, bs Ñ CL ra, bs là một ánh xạ liên
X

tục. Tuy nhiên, chiều ngược lại của ánh xạ trên không là ánh xạ liên tục.
(Vì sao???)

Ví dụ 1.24. Kí hiệu C 1 ra, bs là không gian các hàm khả vi liên tục trên
đoạn ra, bs với metric

d♣x, y q ✏ max ⑤x♣tq ✁ y ♣tq⑤   max ⑤x✶ ♣tq ✁ y ✶ ♣tq⑤.
t€ra,bs

Ánh xạ f : C 1 ra, bs

t€ra,bs

Ñ Csra, bs xác định bởi f ♣xq♣tq ✏ x✶♣tq là một ánh xạ

liên tục.
Ví dụ 1.25. Cho f1 : R

Ñ R và f2 : R Ñ R là các ánh xạ liên tục. Khi đó

ánh xạ g : R Ñ R2 xác định bởi

g ♣xq ✏ ♣f1 ♣xq, f2 ♣xqq
là một ánh xạ liên tục.
Mệnh đề sau cho các tính chất tương đương của ánh xạ liên tục.
Mệnh đề 1.3.1. i) Ánh xạ f liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu mọi dãy

txn✉ ⑨ X, xn Ñ x0 thì f ♣xnq Ñ f ♣x0q.

ii) Ánh xạ f liên tục tại điểm x0 nếu và chỉ nếu với mọi lân cận V của
f ♣x0 q luôn tồn tại lân cận U của x0 sao cho f ♣U q ⑨ V .


11

Mệnh đề 1.3.2. Cho f là ánh xạ từ không gian metric X vào không gian
metric Y . Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) f liên tục.

ii) f ✁1 ♣Gq là tập mở trong X với mọi tập mở G trong Y .

iii) f ✁1 ♣F q là tập đóng trong X với mọi tập đóng F trong Y .

Chứng minh. Ta chứng minh i) và ii) là tương đương. Khẳng định ii) và
iii) tương đương được chứng minh bằng cách lấy phần bù.

iq ñ iiq Giả sử G là tập mở bất kỳ trong Y . Khi đó với bất kỳ x0

€ f ✁1♣Gq.

→ 0 sao cho B ♣f ♣x0q, q ⑨ G. Vì f liên tục tại x0 nên
tồn tại δ → 0 sao cho f ♣B ♣x0 , δ qq ⑨ B ♣f ♣x0 q, q. Do đó, f ♣B ♣x0 , δ qq ⑨ G
hay B ♣x0 , δ q ⑨ f ✁1 ♣Gq. Vậy f ✁1 ♣Gq là tập mở trong X.
iiq ñ iq Lấy x0 € X, ta chứng minh rằng f liên tục tại x0 . Với mọi → 0, thì
hình cầu B ♣f ♣x0 q, q là mở trong Y nên f ✁1 ♣B ♣f ♣x0 q, qq là mở trong X. Do
x0 € f ✁1 ♣B ♣f ♣x0 q, qq nên tồn tại δ → 0 sao cho B ♣x0 , δ q ⑨ f ✁1 ♣B ♣f ♣x0 q, qq
nên f ♣B ♣x0 , δ qq ⑨ B ♣f ♣x0 q, q. Vậy f liên tục tại x0 mà x0 tùy ý nên f liên
Vì G mở nên tồn tại

tục trên X.
Mệnh đề 1.3.3. Cho f : X

ÑY

trong đó X, Y là các không gian metric.

Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
a) f liên tục trên X;

b) f ✁1 ♣B q ⑨ f ✁1 ♣B q với mọi tập con B của Y ;
c) f ♣Aq ⑨ f ♣Aq với mọi tập con A trong X.
Mệnh đề 1.3.4. Cho f, g : X

ÑY

là các ánh xạ liên tục từ không gian

metric X vào không gian metric Y . Khi đó tập
A ✏ tx € X : g ♣xq ✏ f ♣xq✉
là tập đóng trong X.
Chứng minh. Để chứng minh A là tập đóng trong X ta chỉ ra rằng X ③A
là tập mở. Khi đó, với mọi a

€ X ③A thì g♣aq ✘ f ♣aq hay d♣g♣aq, f ♣aqq ✏


12

3r

→ 0. Ta chỉ ra rằng tồn tại hình cầu B ♣a, rq ⑨ X ③A. (???)

1.3.2 Ánh xạ liên tục đều
Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ f : ♣X, dq

Ñ ♣Y, ρq được gọi là liên tục đều
nếu mọi → 0 tồn tại δ → 0 sao cho mọi x, x✶ € X mà d♣x, x✶ q ➔ δ thì
ρ♣f ♣xq, f ♣x✶ qq ➔ .
Ví dụ 1.26. Các hàm số liên tục trên đoạn trên đường thẳng thực là các
ánh xạ liên tục đều.

✏ x2 liên tục nhưng không liên tục đều trên đường
thẳng thực. Tuy nhiên, khi thay f : r0; 1s Ñ R xác định bởi f ♣xq ✏ x2 thì
Ví dụ 1.27. Hàm số y
f là liên tục đều.

Thật vậy, với mọi

→ 0 ta chọn δ ✏ ④2 khi đó với mọi x, y thỏa ⑤x✁y⑤ ➔ ④2

thì

⑤f ♣xq ✁ f ♣yq⑤ ✏ ⑤x2 ✁ y2⑤ ↕ ♣???q.
Nên f liên tục đều trên r0; 1s.
Ví dụ 1.28. Hàm số y : ♣0; 1q Ñ R không liên tục đều.
1
1
sao cho với mọi δ → 0 thì ta chọn x ✏
và
Thật vậy, tồn tại ✏
2
n
1
y✏
. Khi đó
n 1
⑤x ✁ y⑤ ✏ ⑤ n♣n1  1q ⑤ ➔ δ
nhưng ⑤f ♣xq ✁ f ♣y q⑤ ✏ 1 → .
1
Bây giờ ta xét ánh xạ f : ♣0;  ✽q xác định bởi f ♣xq ✏ là ánh xạ liên tục.
x
1
Xét dãy xn ✏ là dãy Cauchy trong ♣0;  ✽q nhưng f ♣xn q ✏ n không là
n
dãy Cauchy. Tuy nhiên, tính chất f ♣xn q là dãy Cauchy với mọi dãy Cauchy
sẽ đúng nếu ánh xạ f liên tục đều. Cụ thể ta có mệnh đề sau

Ñ Y là ánh xạ liên tục đều giữa các không
gian metric X, Y . Giả sử rằng txn ✉ là dãy Cauchy trong X khi đó tf ♣xn q✉
Mệnh đề 1.3.5. Cho f : X
là dãy Cauchy trong Y .


13

→ 0 luôn tồn
tại δ → 0 sao cho mọi xn , xm thỏa d♣xn , xm q ➔ δ thì ρ♣f ♣xn q, f ♣xm qq ➔ .
Mà xn là dãy Cauchy trong X cho nên với δ → 0 luôn tồn tại n0 sao cho với
mọi n ➙ n0 thì d♣xn , xm q ➔ δ. Do đó tf ♣xn q✉ là dãy Cauchy trong Y .

Chứng minh. Vì f là ánh xạ liên tục đều cho nên với mọi

1.3.3 Phép đồng phôi- Phép đẳng cự
Định nghĩa 1.3.3. Một song ánh f : X

ÑY

từ không gian metric X vào

không gian metric Y là phép đồng phôi nếu f và f ✁1 liên tục.
Nếu có một phép đồng phôi từ X vào Y ta nói hai không gian metric X
và Y đồng phôi với nhau.
Ví dụ 1.29. Ánh xạ f :

♣✁1; 1q Ñ R xác định bởi f ♣xq ✏ tan♣ π2 xq là một

phép đồng phôi.
Ví dụ 1.30. Xây dựng một phép đồng phôi bất kỳ giữa hai khoảng mở trên
R?
Nhận xét. Một phép đồng phôi biến tập mở từ không gian này thành tập
mở của không gian kia và ngược lại. Do đó, các khái niệm dẫn xuất từ tập
mở như tập đóng, điểm dính, điểm tụ... bất biến qua phép đồng phôi.
Định nghĩa 1.3.4. Một song ánh f : X

ÑY

từ không gian metric X vào

không gian metric Y là đẳng cự nếu
d♣f ♣xq, f ♣y qq ✏ ρ♣x, y q, ❅x, y

€ X.

Nếu tồn tại một phép đẳng cự giữa hai không gian metric X và Y ta
nói X và Y đẳng cự với nhau.
Ví dụ 1.31. Phép tịnh tiến vector là một phép đẳng cự từ không gian Rn
vào chính nó.

Ví dụ 1.32. Cho ♣X, ρq là một không gian metric và Y là một tập hợp bất

Ñ X. Khi đó đặt
d♣y, y ✶ q ✏ ρ♣f ♣y q, f ♣y ✶ qq

kỳ. Giả sử có một song ánh f : Y

thì d là một metric trên Y và f là một phép đẳng cự.

14

1.4

Không gian metric đầy đủ

Trong giải tích cổ điển ta biết khái niệm dãy số Cauchy, hơn nữa ta
biết rằng mỗi dãy Cauchy là một dãy hội tụ. Vấn đề đặt ra trong trường
hợp tổng quát đối với một không gian metric. Yêu cầu định nghĩa một dãy
Cauchy trong không gian metric và mối liên hệ giwuax dãy Cauchy và dãy
hội tụ.
1.4.1 Khái niệm không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.4.1. Một dãy txn ✉ trong không gian metric ♣X, dq được gọi
là dãy Cauchy nếu mọi

→ 0 tồn tại n0 sao cho mọi m, n → n0 thì
d♣xn , xm q ➔ .

Nhận xét. Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. (???)
Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.4.2. Không gian metric ♣X, dq được gọi là không gian metric
đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Ví dụ 1.33. R với metric thông thường là một không gian metric đầy đủ.

✩
✫1
d♣x, y q ✏
✪0

Ví dụ 1.34. Cho X là một tập hợp. Trên X ta định nghĩa
nếu x ✘ y
nếu x ✏ y

a. Hãy mô tả dãy Cauchy trong không gian ♣X, dq.

b. Chứng minh rằng ♣X, dq là một không gian metric đầy đủ.

Ví dụ 1.35. Cho N là tập các số tự nhiên. Trên N ta định nghĩa
d♣m, nq ✏ ⑤

1
m

✁ n1 ⑤; ❅m, n € R.

a. Chứng minh rằng d là một metric trên N.

b. ♣N, dq không là không gian metric không đầy đủ.


15

Ví dụ 1.36. Cho C là tập số phức. Trên C ta định nghĩa d : C ✂ C
xác định bởi

d♣z1 , z2 q ✏

ÑR

❛1   ⑤⑤zz ⑤ ✁.❛z 1⑤   ⑤z ⑤ .
1

1

2

2

2

2

a. Chứng minh rằng d là một metric trên C.

b. Chứng minh rằng ♣C, dq là một không gian metric đầy đủ.

Ví dụ 1.37. Cho R là tập số thực. Trên R ta định nghĩa d : R ✂ R Ñ R xác

định bởi

d♣x, y q ✏

❄ ⑤x2✁❛y⑤ 2 .
1 x . 1 y

a. Chứng minh rằng d là một metric trên R.

b. Chứng minh rằng ♣R, dq là một không gian metric không đầy đủ.

Hướng dẫn: Để chứng minh rằng ♣R, dq không là không gian đầy đủ ta xét

dãy các số tự nhiên là dãy Cauchy trong ♣R, dq (vì sao???) và dãy không
hội tụ???

Ví dụ 1.38. Không gian C ra; bs với metric sup là đầy đủ.

Ví dụ 1.39. Khoảng ♣a; bq với metric thông thường không là không gian
metric đầy đủ.

Ví dụ 1.40. Không gian CL ra; bs là không gian metric không đầy đủ.
Không gian metric đầy đủ được định nghĩa thông qua dãy Cauchy. Tuy
nhiên, không gian metric đầy đủ có các đặc trưng tương đương có thể được
sử dụng trong nhiều trường hợp thuận tiện. Sau đây, chúng tôi trình bày
một số đặc trưng của không gian metric đầy như nguyên lý Cantor, nguyên
lý Baire, nguyên lý ánh xạ co...
1.4.2 Nguyên lý Cantor
Định nghĩa 1.4.3. Dãy hình cầu Bn
nếu Bn 1

⑨ Bn, ❅n ➙ 1 và lim rn ✏ 0.

✏ B ♣xn, rnq được gọi là dãy thắt dần

Cantor, nhà toán học người Đức, cha đẻ của lý thuyết tập hợp đã nêu
ra nguyên lý về tính đặc trưng của không gian metric đầy đủ và dãy hình


16

cầu thắt dần.

↔

Định lý 1.4.1. Không gian metric X là đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy
hình cầu thắt dần trong X có một điểm chung duy nhất. (

n➙ 1

Bn

✏ ty✉).

1.4.3 Nguyên lý Baire phạm trù
Định nghĩa 1.4.4. Tập con A của không gian metric X được gọi là không

đâu trù mật nếu int♣Aq ✏ ❍.

Ví dụ 1.41. Tập các số tự nhiên trong không gian metric ♣R, dq là không
đâu trù mật.

Ví dụ 1.42. Tập A ✏ t♣x, 0q : x € R✉ là không đâu trù mật trong R2 . Không
gian metric X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X có thể biểu diễn

thành hợp các tập đếm được các tập không đâu trù mật. Nghĩa là, ♣X, dq

thuộc phạm trù thứ nhất thì
X

✏ ❨n➙1An

với int♣An q ✏ ❍, ❅n ➙ 1.

Không gian metric không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộc phạm
trù thứ hai.
Định lý 1.4.2 (Định lý phạm trù Baire). Không gian metric đầy đủ thuộc
phạm trù thứ hai.
1.4.4 Nguyên lý ánh xạ co
Một trong những ứng dụng đặc sắc của không gian metric đầy đủ là
nguyên lý ánh xạ co. Nguyên lý này có nhiều ứng dụng trong giải tích
mà một trong những ứng dụng quan trọng là chứng minh sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của phương trình vi phân, phương trình đại số, đạo hàm
riêng...
Định nghĩa 1.4.5. Cho ánh xạ f : X
động của ánh xạ f nếu f ♣x0 q ✏ x0 .

Ñ X, điểm x0 được gọi là điểm bất


17

Định nghĩa 1.4.6. Ánh xạ f : ♣X, dq Ñ ♣X, dq được gọi là một ánh xạ co
nếu tồn tại L € r0; 1q sao cho

d♣f ♣xq, f ♣y qq ↕ Ld♣x, y q

❅x, y € X.

Định lý 1.4.3 (Nguyên lý ánh xạ co Banach). Một ánh xạ co từ không

gian Banach X vào chính nó có duy nhất điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử ♣X, dq là không gian metric đầy đủ và ánh xạ f co có
hằng số co là L.
Lấy điểm x0

€ X và xây dựng dãy txn✉ xác định bởi
xn

✏ f ♣xn✁1q, ❅n ➙ 2.

Vì ánh xạ f có hằng số co L cho nên ta kiểm tra được
d♣xn , xn 1 q ↕ Ld♣xn✁1 , xn q ↕ ☎ ☎ ☎ ↕ Ln d♣x0 , x1 q.
Do đó với mọi n, p ➙ 1 thì
d♣xn , xn p q ↕ L

✁ Lp d♣x , x q Ñ 0.
0 1
1✁L

n1

Cho nên txn ✉ là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ ♣X, dq nên
xn

Ñ x.

Hơn nữa, vì f co với hằng số L nên f liên tục. Suy ra,
x ✏ f ♣xq
hay x là điểm bất động với ánh xạ f .
Ta chứng minh rằng x là duy nhất. Thật vậy, nếu tồn tại x✶ cũng là điểm

bất động thì
0 ➔ d♣x, x✶ q ✏ d♣f ♣xq, f ♣x✶ qq ↕ Ld♣x, x✶ q.
Điều này là vô lý. Phép chứng minh kết thúc.
Ví dụ 1.43. Hợp thành, tổng của hai ánh xạ co có là ánh xạ co không?
Ví dụ 1.44. Cho f : R

Ñ

R là hàm số một biến khả vi, liên tục và


18

sup ⑤f ✶ ♣xq⑤ ✏ L ➔ 1. Chứng minh rằng f là một ánh xạ co.
Ví dụ 1.45. Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X
xạ liên tục thỏa mãn f 2

✏ f✆ f

Ñ X là một ánh

là một ánh xạ co. Chứng minh rằng f có

duy nhất điểm bất động.
Ví dụ 1.46. Cho ϕ
λ € R thỏa mãn

€ C ra; bs, K : ra; bs ✂ ra; bs Ñ R là hàm số liên tục và
⑤λ⑤ ➔ M ♣b1✁ aq

→ 0 và ⑤K ♣t, sq⑤ ↕ M, ❅♣t, sq € ra; bs ✂ ra; bs.
Ánh xạ Φ : C ra; bs Ñ C ra; bs xác định bởi
trong đó M

Φ♣xq♣tq ✏ λ

➺

b
a

K ♣t, sqx♣sqds   ϕ♣tq.

1.4.5 Bao đầy của một không gian metric
Tập các số hữu tỉ Q với metric thông thường tạo nên một không gian
metric không đầy dủ (tồn tại những dãy Cauchy hữu tỉ nhưng hội tụ đến
1 số vô tỉ). Một trong những cách xây dựng tập số thực là làm đầy tập Q.
Không những thế không gian Q còn trù mật trong R. Một cách tổng quát

với mỗi không gian metric ♣X, dq người ta có thể xây dựng một không gian
ˆ dˆq thỏa mãn các tính chất như trong định lý sau
metric đầy đủ ♣X,
Định lý 1.4.4. Với mỗi không gian metric ♣X, dq cho trước, tồn tại không
ˆ dˆq sao cho
gian metric đầy đủ ♣X,
ˆ
a. X đẳng cự với một không gian con Y của X.
ˆ
b. Y trù mật trong X.

ˆ dˆq là duy nhất theo nghĩa sai khác một đẳng cự.
Không gian ♣X,
ˆ dˆq xác định như trên được gọi là bao đầy của không gian
Không gian ♣X,

metric ♣X, dq.

Ví dụ 1.47. Ta kí hiệu không gian X với
X

✏ t♣xnq : sup ⑤xn⑤ ➔ M ✉


19

tập các dãy số thực bị chặn.

a. Chứng minh rằng d♣x, y q ✏ sup ⑤xn ✁ yn ⑤ là một metric trên X. Hơn nữa,

♣X, dq là một không gian metric đầy đủ.

b. C là tập các dãy số thực hội tụ. Chứng minh rằng C là một không gian
con đóng của X. Do đó, C cũng là không gian đầy đủ.
c. s0 là không gian các dãy số thực thỏa xn khác 0 ở hữu hạn số. Chứng
minh rằng s0 là không gian metric không đầy, xác định bao đầy của s0 .

Ví dụ 1.48. Cho ♣X, dq là một không gian metric. Kí hiệu B ♣X q là tập tất
cả các hàm số f : X
hiệu

Ñ R bị chặn trên X. với mỗi cặp f, g € B ♣X q ta kí
d♣f, g q ✏ sup ⑤f ♣xq ✁ g ♣xq⑤
x€ X

a. Chứng minh rằng d là một metric trên B ♣X q và ♣B ♣X q, dq là một không
gian metric đầy đủ.
b. Cho a

€ X cố định. Với mỗi x € X, ta xác định một hàm fx : X Ñ R

theo công thức

fx ♣y q ✏ d♣x, y q ✁ d♣y, aq, ❅y

€X

€ B ♣X q với mọi x € X.
c. Xét ánh xạ θ : X Ñ B ♣X q xác định bởi
Chứng minh rằng fx

θ♣xq ✏ fx
Chứng minh rằng θ là một phép đẳng cự từ X lên một không gian con của

B ♣X q. Từ đó suy ra θ♣X q là một bao đầy của X.
1.5

Không gian metric compact

Một trong những tính chất đẹp của hàm số liên tục trên R đó là hàm số

liên tục trên một đoạn ra; bs thì đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên
đoạn đó. Để khái quát tính chất trên, người ta xây dựng tập compact trên

một không gian metric bất kỳ. Từ đó nghiên cứu, mở rộng các kết quả của
giải tích cổ điển.