CHUYÊN đề TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

Chủ đề 3:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I - LÝ THUYẾT:
a
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
 
Vectơ a  0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của

vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d .

d

a'

2. Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Đường thẳng d đi qua M0  x0 ; y0 ; z0  và có 1 vectơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3 

x  x0  a1t

+ Phương trình tham số của đường thẳng d là:  y  y0  a2t (t  R)
z  z  a t
0
3


(1)

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
d:

x  x0 y  y 0 z  z 0


a1
a2
a3

(2)



a1.a2 .a3  0

a



3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

M0

x  x0 /  b1 k
 x  x0  a1t



Cho hai đường thẳng d1 :  y  y0  a2t và d2 :  y  y0 /  b2 k
z  z  a t
z  z /  b k
0
3

0
3


Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3  .

Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương b   b1 ; b2 ; b3  .

 Cách 1: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình cơ bản:


Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của a và b .
Bước 2: Nhận xét:

 d / / d2

+ Nếu a và b cùng phương thì:  1
 d1  d2


+ Nếu a và b không cùng phương thì hoặc d1 cắt d2 hoặc d1 và d2 chéo nhau.

 TH1: d1 cắt d2



Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
x0  a1t  x0  b1 k (1)

 y0  a2 t  y0  b2 k (2) (*) có nghiệm duy nhất (t0 , k0 ) .
z  a t  z  b k (3)
0
3
0
3
.
.

d2
M0

d1

Kết luận: d1 cắt d2 tại điểm M 0  x0  a1t0 ; y0  a2t0 ; z0  a3t0  .

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
1
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra  t0 ; k0  và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì

 t ; k  , ngược lại thì không).
0

0

 TH2: d1 và d2 chéo nhau


Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
x0  a1t  x0  b1 k (1)

 y0  a2 t  y0  b2 k (2) (*) vô nghiệm.
z  a t  z  b k (3)
0
3
 0 3

d2

d1

 TH3: d1 song song với d2



Điều kiện 1: a và b cùng phương .

M0

Điều kiện 2: Chọn điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )  d1 . Cần chỉ rõ M 0  d2 .
 TH4: d1 và d2 trùng nhau


Điều kiện 1: a và b trùng nhau.

d2

Điều kiện 2: Chọn điểm M 0  x0 ; y0 ; z0   d1 . Cần chỉ rõ M 0  d2 . d 1

Đặc biệt: d1  d2  a.b  0  a1b1  a2 b2  a3 b3  0

M0

 Cách 2: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 chương trình nâng cao theo sơ đồ sau:

- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương ud vµ M0  d.

- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương ud/ vµ M 0/  d.
 
Tính ud , ud' 


 


u , u   0
d
d
'



 

 u , u   0
d
d
'


  /

ud , M0 M0   0



Trùng nhau

 

u , u   0
d
d
'




 

 u , u   0
d
d
'


  /

ud , M0 M0   0



Song song

 

 u , u   0
 d d' 
   /
ud , ud'  M0 M0  0



Cắt nhau

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)

2
Cần file Word vui lòng liên hệ:

 

 u , u   0
d
d
'


   /
ud , ud'  M0 M0  0



Chéo nhau

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

 


+ Vectơ a  0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc
trùng với đường thẳng d .


+ Nếu a là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì ka ,( k  0) cũng là 1 vectơ chỉ phương của d .

 
+ Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d . Nếu có 2 vectơ a , b không cùng phương và
 

 

 
u  a
   thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u   a , b  hoặc u  k  a , b  , k  0 .
u  b
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1; 1; 2  , B  2; 3; 1 , C  4; 2; 0  ; các

x  1
x 1 y z  3

đường thẳng 1 :  y  2  3t  t  R  ,  2 :


; các mặt phẳng ( P) : x  3y  2z  1  0 ,
3
3
2
 z  3  4t



(Q) : 3x  z  0 . Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:
a) Đường thẳng 1 .
b) Đường thẳng d1 đi qua A và song song với  2 .
c) Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng d2 qua B và song song với Oy .
e) Đường thẳng d3 qua C và vuông góc với ( P) .
f) Đường thẳng d4 qua B , vuông góc với Ox và 1 .
g) Đường thẳng d5  (Q) qua O và vuông góc với  2 .
h) Đường thẳng d6 là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P),(Q) .
i) Đường thẳng d7 qua B vuông góc với  2 và song song với mặt phẳng (Oxy ) .
j) Đường thẳng d8 qua A , cắt và vuông góc với trục Oz .
Bài giải:

a) Đường thẳng 1 có 1 vectơ chỉ phương là a  (0; 3; 4) .


b) Đường thẳng  2 có 1 vectơ chỉ phương là b  (3; 3; 2) . Ta có: d1 / /  2 nên b  (3; 3; 2)
cũng là 1 vectơ chỉ phương của d1 .


Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương là AB  (1; 4; 1) .

d) Đường thẳng d2 / / Oy nên có 1 vectơ chỉ phương là j  (0;1; 0) .

e) Mặt phẳng ( P) có 1 vectơ pháp tuyến là n1  (1; 3; 2) . Đường thẳng d3  ( P ) nên có 1

vectơ chỉ phương là n1  (1; 3; 2) .


f) Gọi u4 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d4 .


 
u4  i


Ta có:  i , a    0; 4; 3 ,  
  chọn u4   0; 4; 3 .
u4  a

c)

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
3
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN


g) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến là n2   3; 0; 1 . Gọi u5 là 1 vectơ chỉ phương của


u5  n2


 

  chọn u5  (1; 3; 3) .
đường thẳng d5 . Ta có:  n2 , b   ( 3; 9; 9) ,  
u4  b

 
h) Gọi u6 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d6 . Ta có:  n1 , n2    3; 5; 9  ,


u6  n1

  chọn u6   3; 5; 9  .

u6  n2

i) Gọi u7 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d7 . Mặt phẳng (Oxy ) có 1 vectơ pháp



u7  n2

 
  chọn u7  1; 1; 0  .
tuyến là k   0; 0;1 .Ta có:  n2 , k    3; 3; 0  ,  
u7  k
j)

d  Oz

Gọi H  d8  Oz . Ta có  8
 H là hình chiếu của A lên Oz  H  0; 0; 2  . Vậy d8 có
 A  d8

1 vectơ chỉ phương là OA  1; 1; 0  .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : x  3ky  z  2  0 và

   : kx  y  2z  1  0 . Tìm k

để giao tuyến của   ,   

a) vuông góc với mặt phẳng  P  : x  y  2z  5  0 .
b) song song với mặt phẳng  Q  :  x  y  2z  1  0 .
Bài giải:

Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là giao tuyến của   ,    .

Mặt phẳng của   có 1 vectơ pháp là n  1; 3k ; 1 .

Mặt phẳng của    có 1 vectơ pháp là n   k ; 1; 2  .
 
u  n

 
Ta có:     chọn u  n , n   6 k  1;  k  2; 3k 2  1 .
u  n

a) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến nP  1; 1; 2  . Đường thẳng d vuông góc với mặt





 3k 2  2 k  3  0

 
 

phẳng  u, nP cùng phương  u, nP   0   11k  4  0
(vô nghiệm).
1  5k  0

Vậy không tồn tại giá trị k thỏa yêu cầu bài toán.

b) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến nQ   1; 1; 2  .

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  u.nP  0

k  0
 6k  1  k  2  3k  1  0  3k  7 k  0  
.
k  7

3
2

2

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)

4
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bước 1: Xác định M 0  x0 ; y0 ; z0   d.


Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3  của đường thẳng d .
Bước 3: Áp dụng công thức, ta có:
+

Phương trình tham số của d :

x  x0  a1t

 y  y0  a2t (t  R)
z  z  a t
0
3


+

Phương trình chính tắc của d :

x  x0 y  y0 z  z0


;  a1 , a2 , a3  0 
a1
a2
a3

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng 1 :

x 1 y  2 z


và
1
1
2

 x  2  2t

 2 :  y  1  t . Viết phương trình:
 z  3t

a) tham số của đường thẳng 1 .

b) chính tắc của đường thẳng  2 .
Bài giải:


a) Đường thẳng 1 qua M 1; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 1; 2  , có phương trình tham
x  1  t

số là:  y  2  t .
z  2t



b) Đường thẳng 1 qua N  2; 1; 0  và có 1 vectơ chỉ phương u   2; 1; 3 , có phương trình
x  2 y 1 z

 .
2
1 3
Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương trình tham số hay

chính tắc là:

phương trình chính tắc của đường thẳng đều đượC.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A  2; 0; 1 , B  2; 3; 3 , C 1; 2; 4  ,

x  t

D  1; 2;1 ; đường thẳng thẳng 1 :  y  1  t ; mặt phẳng   : 3x  5y  z  1  0 . Viết phương
 z  2t

trình của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:


a) Qua A và có 1 vectơ chỉ phương u   1; 3; 5  .
b) Qua 2 điểm B, C .

c) Qua M0 1; 2; 3 và song song với trục tung.

d) Qua C và song song với 1 .

e) Qua B và vuông góc với  Oxz  .

f) Qua D và vuông góc với   .
Bài giải:
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
5
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

a) Đường thẳng d qua A  2; 0; 1 và có 1 vectơ chỉ phương u   1; 3; 5  , có phương trình

x  2  t

tham số là:  y  3t
.
z  1  5t




b) Đường thẳng d qua B  2; 3; 3 và có 1 vectơ chỉ phương BC   1; 1; 7  , có phương

x  2  t

trình tham số là:  y  3  t .
z  3  7t



c) Đường thẳng d qua M 0 1; 2; 3  Ox và song song với trục Ox nên nhận i  1; 0; 0  làm

x  1  t

1 vectơ chỉ phương, có phương trình tham số:  y  2 .
z  3

d)Đường thẳng d đi qua điểm C 1; 2; 4  . Đường thẳng 1 có 1 vectơ chỉ phương là


u  1; 1; 2  . Ta có: d / / 1  d có 1 vectơ chỉ phương là u  1; 1; 2  . Vậy phương trình chính
tắc của đường thẳng d là:

x 1 y  2 z  4


.
1

1
2

e) Đường thẳng d đi qua điểm B  2; 3; 3 . Mặt phẳng  Oxz  có 1 vectơ pháp tuyến là


j   0;1; 0  .


Đường thẳng d vuông góc với  Oxz  nên nhận j  (0; 1; 0) làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy

x  2

phương trình tham số của đường thẳng d là:  y  3  t .
z  3

f)Đường thẳng d đi qua điểm D  1; 2;1 . Mặt phẳng   có 1 vectơ pháp tuyến là


n   3; 5; 1 . Đường thẳng d vuông góc với   nên nhận n   3; 5; 1 làm 1 vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

x  1 y  2 z 1


.
3
5
1

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;1; 1 , B  2; 1; 3 , C 1; 2; 2  ,

x  2  t
x 1 y z 1

D  1; 2;1 ; các đường thẳng thẳng 1 :  y  1  t ,  2 :
 
; các mặt phẳng
2
1
1
z  t


  : x  2 y  z  1  0 ,    :

x  y  2z  3  0 . Viết phương trình của đường thẳng d trong mỗi

trường hợp sau:
a) Qua A và vuông góc với các đường thẳng 1 , AB .
b) Qua B và vuông góc với đường thẳng AC và trục Oz.
c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng   ,  Oyz  .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
6
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

d) Qua C , song song với    và vuông góc với  2 .
e) d là giao tuyến của hai mặt phẳng   ,    .
Bài giải:


a) Đường thẳng d qua A 1;1; 1 . Đường thẳng 1 có 1 vectơ chỉ phương u1  1; 1;1 ;
 


u  u1


AB  1; 2; 4   u; AB    2; 3; 1 . Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có:    


u  AB

x 1 y 1 z 1
chọn u   2; 3;1 . Vậy phương trình chính tắc của d là


.
2
3
1


 


b) Đường thẳng d qua B  2; 1; 3 ; AC   0; 1; 3 ; k   0; 0; 1   AC , k   1; 0; 0  . Gọi u là



u  AC

1 vectơ chỉ phương của d . Ta có:     chọn u  1; 0; 0  .
u  k
x  2  t

Vậy phương trình tham số của d là  y  1
z  3



c) Đường thẳng d qua O  0; 0; 0  ; n1  1; 2; 1 là 1 vectơ pháp tuyến của   ; i  1; 0; 0 
 
là 1 vectơ pháp tuyến của  Oyz  ; Ta có:  n1 , i    0; 1; 2  .
 
u  n1


Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có:     chọn u   0;1; 2  . Vậy phương trình
u  i
x  0

tham số của d là  y  t .

z  2t




d) Đường thẳng d qua C 1; 2; 2  ; n2  1;1; 2  là 1 vectơ pháp tuyến của    ; u2   2;1;1
 

là 1 vectơ chỉ phương của  2 ; Ta có:  n2 , u2   ( 1; 3; 1) .Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta
 
u  n2

x 1 y  2 z  2
có:     chọn u  ( 1; 3; 1) . Vậy phương trình chính tắc của d là


.
1
3
1
u  u2
e) Chọn điểm trên giao tuyến d :
x  2 y  z  1  0
Xét hệ phương trình: 
(I) . Cho z  0 , giải được:
x  y  2 z  3  0

 x  5
 A  5; 2; 0   d .


y  2
 
u  n1

+ Xác định vectơ chỉ phương của d : Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của D. Ta có:    
u  n2

x  5  5t

 

chọn u  n1 , n2    5; 3; 1 . Vậy phương trình tham số của d :  y  2  3t .
z  t


ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
7
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d đi qua

x  t


A  2; 1;1 cắt và vuông góc với đường thẳng  :  y  1  t .
z  t

Bài giải:

a) Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u  1; 1;1 .

 
 
Gọi B  d   . Ta có: B    B(t; 1  t; t ); AB  (t  2; t ; t  1); u  AB  u.AB  0  t  1 .

Suy ra: B 1; 2;1 . Đường thẳng d đi qua A  2; 1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là AB  1;1; 0 

x  2  t

nên có phương trình tham số là:  y  1  t .
z  1

x  2 y  4 z 1


và
3
2
2
mặt phẳng (P): 3x  2 y  3z  7  0 .Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  3; 2; 4  và d:

với (P) và cắt đường thẳng D.
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Bước 1: Xác định điểm B  d   : AB / / mp( P) .

B

A

 x  2  3t

Ta có: d :  y  4  2t . Gọi B  2  3t; 4  2t ;1  2t   d
 z  1  2t
P



Lúc đó: AB   3t  1; 2t  6; 2t  5 . Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp nP   3; 2; 3
 
6
AB / / mp( P)  AB.nP  3  3t  1  2  2t  6   3  2t  5   0  7t  6  0  t 
7
Bước 2: Đường thẳng   AB .
  11 54 47 
 32 40 19 
Vì vậy B  ;  ;   AB   ;  ;  .
7 7
7 11 
 7
7


Đường thẳng   AB đi qua A và có 1 vectơ chỉ phương là u  11; 54; 47  nên có phương trình

x  3  11t

tham số:  y  3  54t .
z  4  47t


A
Q

Cách 2:

B

Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P):
Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q),   AB .

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
8
Cần file Word vui lòng liên hệ:

P

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[Chuyờn Trc nghim Toỏn 12]

HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN

Vớ d 8: (Khi A- 2007) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , vit phng trỡnh ng thng
d

vuụng

gúc

vi

mp(P),

ng

thi

ct

c

hai

ng

thng

d1 ,

d2

d



vi

x 1 2t
x y 1 z 2

d1 :

; d2 : y 1 t ; ( P) : 7 x y 4z 0.
2
1
1
z 3

Hng dn gii:
Cỏch 1:



Bước 1: Viết phương trình mp( ) chứa d1 và vuông góc với (P).
Bước 2: Viết phương trình mp( ) chứa d 2 và vuông góc với (P).
Bước 3: Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mp( ) và mp( )
Kiểm tra sự cắt nhau. (Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương)

d1

d2

P
P

Cỏch 2:

d
d2

Bước 1: Viết phương trình mp( ) chứa d1 và vuông góc với (P).
Bước 2: Xác định giao điểm A của d2 và mp( )

A

d1



Bước 3: Đường thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc với mp(P)
Kiểm tra sự cắt nhau. (Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương)
Cỏch 3: S dng k nng khỏi nim thuc (Tỡm ra 2 giao im M, N)

x 2m

Ta cú: d1 : y 1 m ; d 2 :
z 2 m

x 1 2t

y 1 t
z 3


d
N

M
d2

d1


Mt phng (P) cú 1 vect phỏp tuyn l nP 7;1; 4 .

P

Gi N d d1 , M d d2 . Ta cú: N 2m;1 m; 2 m d1 , M 1 2t ;1 t ; 3 d2 .

NM 2t 2m 1; t m; 5 m .

4t 3m 5 0



t 2

Lỳc ú ta cú NM v nP cựng phng AB, nP 0 8t 15m 31 0


m 1
5t 9m 1 0


N 2; 0; 1 , M 5; 1; 3 .

ng thng d NM , qua N 2; 0; 1 v cú 1 vect ch phng l nP 7;1; 4 , cú phng
x 2 7t

trỡnh tham s: y t
.
z 1 4t

Vớ d 9: Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mp i qua A 3; 2;1 v
vuụng gúc vi :

x y 1 z


.
2
1
3

Bi gii:
NG NGC HIN (TP Vng Tu)
9

Cn file Word vui lũng liờn h:

Lấ B BO (TP Hu)
Mó s ti liu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN


Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u   2;1; 3 .

Mặt phẳng   đi qua A  3; 2;1 và vuông góc với  nên nhận u   2;1; 3 làm 1 vectơ pháp
tuyến, có phương trình: 2  x  3  1 y  2   3  z  1  0  2 x  y  3z  1  0 .
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp   và mặt cầu (S) có
2

2

phương trình như sau:   : x  y  z  5  0 , (S) :  x  2    y  1  z 2  25 .
a)Chứng minh:   cắt (S) theo một đường tròn có tâm H .
b)Gọi I là tâm mặt cầu (S) . Viết phương trình đường thẳng IH .
Bài giải:
a)Mặt cầu (S) có tâm I ( 2; 1; 0) , bán kính R  5 . Ta có: d( I ,( )) 

6
3

 R    cắt (S)

theo một đường tròn có tâm H .


b)Đường thẳng IH đi qua I ( 2; 1; 0) và nhận VTPT của   là n  (1; 1;1) làm vectơ chỉ

phương nên có phương trình chính tắc:

x  2 y 1 z

 .
1
1
1

LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết.
Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
 x  2  2t /
x  1  t


a) 1 :  y  2t
;  2 :  y  3  4t / .
z  3  t
 z  5  2t /



 x  2  3t

x 3 y  4 z 5

b) 1 :


;  2 :  y  5  3t
1
1
2
 z  3  6t


 x  2  2t
x 1 y  2 z  3

c) 1 :


;  2 :  y  2  t
1
3
1
 z  1  3t


 x  1  3t /
 x  2t


d) 1 :  y  1  3t ;  2 :  y  2  2t /

z  t
 z  1  2t /



Bài giải:


a) Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1; 0; 3 và có 1 vectơ chỉ phương a  1; 2; 1 .

Đường thẳng  2 đi qua điểm N  2; 3; 5 và có 1 vectơ chỉ phương b   2; 4; 2  .
 

 
 
Ta có:  a , b   0 , MN  1; 3; 2  ,  a , MN    7; 3; 1  0  1 / /  2 .



b) Đường thẳng 1 đi qua điểm M  3; 4; 5  và có 1 vectơ chỉ phương a   1; 1; 2  .

Đường thẳng  2 đi qua điểm N  2; 5; 3 và có 1 vectơ chỉ phương b   3; 3; 6  .
 

 
 
Ta có:  a , b   0 , MN   1;1; 2  ,  a , MN   0  1   2 .




c) Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1; 2; 3 và có 1 vectơ chỉ phương a  1; 3; 1 .

Đường thẳng  2 đi qua điểm N  2; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương b   2;1; 3 .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
10
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN




  
Ta có:  a , b   10; 1; 7   0 , MN  1; 4; 4  ,  a , b  .MN  35  0  1 ,  2 chéo nhau.

d)Đường thẳng 1 đi qua điểm M  0; 1; 0  và có 1 vectơ chỉ phương a   2; 3; 1 .

Đường thẳng  2 đi qua điểm N 1; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương b   3; 2; 2  .
 
 
  
Ta có:  a , b    4; 1; 5   0 , MN  1; 1;1 ,  a , b  .MN  0  1 ,  2 cắt nhau.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng

 x  1  mt


sau theo A  4; 2; 2  , B  0; 0; 7  với dm :  y  m  2t
và dm/ :
 z  1  m  3t


 x  m  2t /

/
.
 y  mt
z  1  m  t /


Bài giải:
Đường thẳng d m qua điểm A 1; m;1  m  và có 1 vectơ chỉ phương là d2 .

Đường thẳng d /m qua điểm B  m; 0;1  m  và có 1 vectơ chỉ phương là u2   2; m;1 .


 
Ta có: u1 , u2   2  3m; 6  m; m2  4  0 do ( m2  4  0 m ) và AB   m  1;  m; 0  .
  
Xét u1 , u2  .AB   2  3m  m  1  m  6  m   4m2  7 m  2 .





m  2

  
TH 1: u1 , u2  .AB  0  
 d m và d /m cắt nhau.
1
m  

4
m  2
  

/
TH 2: u1 , u2  .AB  0  
1  d m và d m chéo nhau.
m   4
x  5  t

Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  y  at
và
z  2  t

 x  1  2t /

d2 :  y  a  4t / . Xác định a để:
 z  2  2t /


a) d1 vuông góc với d2 .

b) d1 song song với d2 .

Bài giải:


Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u1   1; a; 1 .

Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là u2   2; 4; 2  .


 
a) d1 vuông góc với d2  u1  u2  u1 .u2  0  2  4a  2  0  a  1.

 
 
b) d1 song song với d2  u1 , u2 cùng phương  u1 , u2    2 a  4; 0; 0   0  a  2.
 x  1  2t /
x  5  t


Kiểm tra lại: Với a  2 thì d1 :  y  2t và d2 :  y  2  4t / .
z  2  t
 z  2  2t /



ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
11
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

5  1  2t /

Chọn A  5; 0; 2   d1 , thấy A  d2 (do hệ phương trình 0  2  4t / vô nghiệm)
 2  2  2t /


Vậy khi a  2 thì d1 song song với d2 .

x  1  t

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :  y  2t
và
z  3  t

 x  2  2t /

 2 :  y  3  4t / .
 z  5  2t /


a) Chứng minh 1 và  2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và  2 .
Bài giải:


Đường thẳng 1 qua điểm A  1; 0; 3  và có 1 vectơ chỉ phương là u1   1; 2; 1 .

Đường thẳng  2 qua điểm B  2; 3; 5  và có 1 vectơ chỉ phương là u2   2; 4; 2  .


 
a) Ta có: u1 , u2   0 và AB   1; 3; 2  .
 

Xét  AB , u1    7; 3; 1  0 . Từ đó suy ra, 1 và  2 song song, tức là 1 và  2 cùng thuộc một


mặt phẳng.


b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

 
n  AB

Ta có:   P   chọn nP   AB , u1    7; 3; 1 .


nP  u1


Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A  1; 0; 3   1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP   7; 3; 1 .
(P): 7  x  1  3  y  0   1  z  3   0  7 x  3 y  z  10  0 .
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai

 x  2  2t
x  2 y  2 z 1

đường thẳng 1 :


và  2 :  y  2  t .
1
3
1
 z  1  3t

Bài giải:

x  2  t

Ta có: 1 :  y  2  3t
z  1  t



Đường thẳng 1 qua điểm A  2; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u1   1; 3; 1 .

Đường thẳng  2 qua điểm A  2; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u2   2;1; 3  .

 
a) Ta có: u1 , u2    10; 1; 7   0 và 1   2   A .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
12

Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Từ đó suy ra, 1 và  2 cắt nhau.

b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.


nP  u1

 
Ta có:  
  chọn nP  u1 , u2    10; 1; 7  .
nP  u2


Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A  2; 2; 1  1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP   10; 1; 7  .
(P): 10  x  2   1  y  2   7  z  1  0  10 x  y  7 z  29  0 .
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: 1 :

3 x y 1 z 1



7
2
3

x  8  t

và  2 :  y  5  2t .
z  8  t

a) Chứng minh 1 và  2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và song song với  2 .
Bài giải:


Đường thẳng 1 qua điểm A  3;1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u1   7; 2; 3  .

Đường thẳng  2 qua điểm B  8; 5; 8  và có 1 vectơ chỉ phương là u2   1; 2; 1 .


 
a) Ta có: u1 , u2    8; 4; 16   0 và AB   5; 4; 7  .
  
Xét u1 , u2  .AB  40  16  112  168  0 . Từ đó suy ra, 1 và  2 chéo nhau.

b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.


nP  u1

 

Ta có:  
  chọn nP  u1 , u2    8; 4; 16  .
nP  u2

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A  3;1;1  1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP   8; 4; 16  .
(P): 8  x  3   4  y  1  16  z  1  0  2 x  y  4 z  11  0 .

x  8  t

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 đường thẳng d1 :  y  5  2t và
z  8  t

d2 :

3  x y 1 z 1


.
7
2
3
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với d1 và d2 .
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 .
Bài giải:


Đường thẳng d1 qua điểm A  8; 5; 8  và có 1 vectơ chỉ phương là u1   1; 2; 1 .


Đường thẳng d2 qua điểm B  3; 1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u2   7; 2; 3  .


 
a) Ta có: u1 , u2    8; 4;16   0 và AB   5; 4; 7  .
  
Xét u1 , u2  .AB  40  16  112  168  0 . Từ đó suy ra, d1 và d2 chéo nhau.
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
13
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.


nP  u1

 
Ta có:  
  chọn nP  u1 , u2    8; 4; 16  .
nP  u2

Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua O  0; 0; 0  và có 1 vectơ pháp tuyến là nP   8; 4;16  , có phương
trình:

(P): 8  x  0   4  y  0   16  z  0   0  2 x  y  4 z  0 .
c) Gọi d là đường vuông góc chung của d1 và d2 , d  d1  M , d  d2  N .
Ta có: M  d1  M(8  t ; 5  2t ; 8  t), N  d2  N (3  7t ;1  2t ;1  3t ) ,


u2
MN   7t  t  5; 2t  2t  4; 3t  t  7  .
d2
N




u  MN
u .MN




7
t

t

5

4
t

4

t

8

3
t

t

7

0
d
1
   1   

49t  7t  35  4t  4t  8  9t  3t  21  0
u2  MN
u2 .MN
M

6t  6t  6
t  0



 M  7; 3; 9  , N  3;1;1  MN   4; 2; 8  .
d1
u1


62
t

6
t


6
t


1



Vậy đường thẳng d  MN đi qua điểm N  3;1;1 và có 1 vectơ chỉ phương u   2;1; 4  nên có
x  3 y 1 z 1


.
2
1
4
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 đường thẳng:

phương trình chính tắc là d2 :

d1 :

x 1 y  2 z

x2 y2 z
x y z 1
x  2 y z 1


, d2 :


, d3 :
 
, d4 :
 
.
1
2
2
2
4
4
2 1
1
2
2
1

a) CMR: Hai đường thẳng d1 , d2 cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Viết phương trình
mặt phẳng đó.
b) CMR: Tồn tại một đường thẳng  cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết phương trình
chính tắc của đường thẳng  .
Bài giải:


a) Đường thẳng d1 qua điểm A  1; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương là u1   1; 2; 2  .

Đường thẳng d2 qua điểm B  2; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương là u2   2; 4; 4  .



 
 
a) Ta có: u1 , u2   0 và AB   1; 0; 0  . Xét u1 , AB    0; 2; 2   0 . Từ đó suy ra, d1 và d2


song song, tức là d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.


nP  u1

  chọn
Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm. Ta có:  
nP  AB

 
nP  u1 , AB    0; 2; 2  .



Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A  1; 2; 0   1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP   0; 2; 2  .
(P): 0  x  1  2  y  2   2  z  0   0  y  z  2  0 .

x  2m
 x  2  2n


b) Ta có d3 :  y  m , d4 :  y  2n
.
z  1  m
z  1  n


ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
14
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

x  2 m

y  m
+ Tọa độ giao điểm C của d3 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình: 
z  1  m
 y  z  2  0

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 2m  1  0  m 

(1)
(2)
(3)
(4)

1
 1 3
 C  1; ;  .
2
 2 2

x  2  2n

 y  2n
+ Tọa độ giao điểm D của d4 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình: 
z  1  n
 y  z  2  0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: n  1  0  n  1  D  4; 2; 0  .
Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng   CD .
 2 
Đường thẳng  qua D  4; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương là u  CD   2;1; 1 , có phương trình
3

 x  4  2t

 : y  2  t .
 z  t

Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  1; 1;1 và 2 đường thẳng


4
x   5  t
x  t

3


d1 :  y  1  2t ; d 2 :  y    2t . Chứng minh A, d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
5
 z  3t


z


5
t



Bài giải:
+ Lập phương trình mp(P) chứa A và d1 :


Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u   1; 2; 3  .

Chọn B  0; 1; 0   d1 . Ta có: AB   1; 0; 1 .

Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

n  AB

 
Ta có:   P   chọn nP  u, AB    2; 4; 2  .


nP  u


Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A  1; 1;1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP   2; 4; 2  .
(P): 2  x  1  4  y  1  2  z  1  0  x  2 y  z  2  0. .
 4 3 
1 7 
+ Chỉ rõ d2  mp  P  . Ta có C   ;  ; 0   d 2  C  mp( P) và D  ; ; 5   d 2  C  mp( P) .
 5 5 
5 5 
Từ đó suy ra d2  mp  P  .
Kết luận: Mặt phẳng (P): x  2 y  z  2  0 là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
15
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LOẠI 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
x  x0  a1t

Cho đường thẳng d :  y  y0  a2t (t  R) và mặt phẳng (P) : Ax  By  Cz  D  0 .
z  z  a t
0
3


Xét hệ phương trình

 x  x0  a1t

 y  y0  a2t

 z  z0  a3t
 Ax  by  Cz  D  0

 A  x0  a1t   B  y0  a2t   C  z0  a3t   D  0 (1)

+Nếu (1) vô nghiệm thì d / /( P) .
+Nếu (1) có nghiệm duy nhất t  t0 thì d cắt ( P) tại M  x0  a1t0 ; y0  a2t0 ; z0  a3t0 

+Nếu (1) có vô số nghiệm thì d  ( P) .
Chú ý: Nếu VTCP của d cùng phương với VTPT của ( P) thì d  ( P) .

x  t

Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , và 3 đường thẳng d1 :  y  1  2t ;
 z  3t

 x  t
x4 y1 z

d 2 :  y  1  2t ; d 3 :


và mặt phẳng ( P) : x  y  z  5  0 .
1
1
2
z  t

Xét vị trí tương đối của:
a) d1 và ( P) .

b) d 2 và ( P) .

c) d 3 và ( P) .
Bài giải:

x  t


 y  1  2t
a)Xét hệ phương trình: 
, ta thấy hệ vô nghiệm. Suy ra d1 / /( P) .
 z  3t
 x  y  x  5  0
 x  t
t  3


 y  1  2t
 x  3
b) Xét hệ phương trình: 
, Suy ra d 2 cắt ( P) tại điểm M  3; 5; 3  .

z  t
 y  5
 x  y  x  5  0
 z  3
 x  4  t

 y  1  t
c) Xét hệ phương trình: 
, ta thấy hệ có vô số nghiệm. Suy ra d 3  ( P ) .
 z  2t
 x  y  x  5  0

Ví dụ 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2 x  y  3 z  4  0 và đường
thẳng  :

x1 y3


z.
2
4

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
16
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[Chuyờn Trc nghim Toỏn 12]

HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN

a) Xỏc nh giao im A ca t v mt phng .
b) Vit phng trỡnh ng thng d qua A nm trong mp v vuụng gúc vi .
Bi gii:

x 1 2t

a) Ta cú: : y 3 4t .
z t

x 1 2t
(1)

(2)

y 3 4t
To giao im A ca v l nghim ca h phng trỡnh:
(3)
z t
2 x y 3 z 4 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vo (4) ta cú:
2 1 2t 3 4t 3t 4 0 3t 3 0 t 1 A 1;1;1

b) Mt phng cú 1 vect phỏp tuyn l n 2; 1; 3 .

ng thng cú 1 vect ch phng l u 2; 4;1 .


ud n



Gi ud l 1 vect ch phng ca D. Ta cú:
chn ud n , u 13; 4;10 .
ud u

ng thng d qua A 1; 1;1 v cú 1 vect ch phng l ud 13; 4;10 , cú phng trỡnh:

x 1 13t

d: y 1 4t .
z 1 10t

Vớ d 22: (D B D-2006) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P):
x y 3 z 1

;
1
2
3

4 x 3 y 11z 26 0 v 2 ng thng d1 :

d2 :

x4 y z3

1
1
2

a) Chng minh: d1 v d2 chộo nhau.
b) Vit phng trỡnh ng thng nm trờn mp(P), ng thi ct d1 v d2 .
Bi gii:
Bước 1: Xác định giao điểm A của d1 và mp(P).
Bước 2: Xác định giao điểm B của d 2 và mp(P).
Kết luận: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB.
Trỡnh by:
x t
x 4 m


Ta cú: d1 : y 3 2t ; d2 : y m
z 1 3t

z 3 2m


+ Ta giao im C ca d1 v mp(P)
x t

y 3 2t

z 1 3t
4 x 3 y 11z 26 0

l

nghim

ca

h

phng

trỡnh:

(1)
(2)
(3)

. Thay (1), (2), (3) vo (4) ta cú: 23t 46 0 t 2 C 2; 7; 5 .

(4)

NG NGC HIN (TP Vng Tu)
17
Cn file Word vui lũng liờn h:

Lấ B BO (TP Hu)
Mó s ti liu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
+ Tọa độ

giao

điểm D

x  4  m

y  m

z  3  2m
4 x  3 y  11z  26  0

của

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
và

d2

mp(P)

là nghiệm của

hệ

phương

trình:

(1)
(2)
(3)

. Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 23m  23  0  m  1  D  3; 1;1 .

(4)

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng   CD .

Đường thẳng  qua C  2; 7; 5  và có 1 vectơ chỉ phương là CD   5; 8; 4  , có phương trình

 x  2  5t

 :  y  7  8t .
 z  5  4t


LOẠI 5: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho điểm A  xA ; y A ; z A 

d

x  x0  a1t

và đường thẳng d :  y  y0  a2t (t  R) .
z  z  a t
0
3


H

A


ud

Cách 1:
Gọi H là hình chiếu của A lên d . Ta c ó H  d  H  x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t  .
  
 
Tính AH ; AH  ud  ud .AH  0  t  ?  H ?
Cách 2:

d

Gọi H là hình chiếu của A lên d .
A

+) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A và vuông góc với d

H

P

+) Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa H  d ( P)



Ví dụ 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0; 0


ud



và đường thẳng

x  2  t

 :  y  1  2t .
z  t

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  .
b)Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng  .
Bài giải:

a)Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương là u   1; 2;1 .



Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  .









Ta có: H    H 2  t ;1  2t ; t ; AH  1  t ;1  2t ; t



A

H


u

A

 
 
1
3
1

u  AH  u.AH  0  t    H  ;0;   .
2
2
2
b)Ta có: A đối xứng với A qua đường thẳng   H là trung điểm của đoạn thẳng AA
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
18
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

 3 1  x A
2  2
 x A  2

0  y A


 0 
  y A  0 .Vậy A  2; 0; 1 .
2

 z  1
 A

 1 0  z A


 2
2


LOẠI 6: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG
Cho điểm M  xM ; y M ; zM  và mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  0 .

d


n( P )

M

Gọi H là hình chiếu của A lên mp( P) .
+)Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mp( P) .

H

P

+)Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa H  d ( P) .



Ví dụ 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 4; 2



và mặt phẳng

( P) : x  y  z  1  0 .
a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( P ) .
b)Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng ( P ) .
Bài giải:

a) Mặt phẳng ( P ) có 1 vectơ pháp tuyến là n   1; 1;1 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng ( P ) .

+) Đường thẳng d qua M 1; 4; 2 và vuông góc với ( P ) nhận n   1; 1;1 làm vectơ chỉ phương





x  1  t

nên có phương trình  y  4  t .
z  2  t




d
M
P



+) H  d  H 1  t ; 4  t ; 2  t ;


n( P )

H

M

H  ( P )  1  t  4  t  2  t  1  0  t  2 .



Vậy H 1; 2; 0



b)Ta có: M đối xứng với M qua ( P )  H là trung điểm của đoạn thẳng MM .





Áp dụng công thức tọa độ trung điểm  M  3;0; 2 .
Ví dụ 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x  y  z  5  0 và mặt cầu

(S) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 x  10  0 .
a) Chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C ) .

b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C ) .
Bài giải:
a) Mặt cầu (S) có tâm I  1; 2; 1 , bán kính R  4 .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
19
Cần file Word vui lòng liên hệ:

(S )

R

I

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
r H
Mã số tài(Cliệu:
OXYZ-DT-BH
)


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]



HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN



d I ;  P   3  R   P  cắt (S) theo một đường tròn (C ) .
b) Gọi H , r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C ) .





2

+) Áp ụng định lý Pitago ta được r  R 2   d I ,  P    13 .


+) Tìm tọa độ tâm H của đường tròn (C ) .
Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( P) .
Trình bày:


Đường thẳng IH đi qua I  1; 2; 1 và nhận VTPT của  P  là n   1; 1; 1 làm vectơ chỉ

x  1  t

phương nên có phương trình tham số là:  y  2  t .
z  1  t


H  IH  H  1  t ; 2  t ;1  t  ; H  ( P)  1  t  2  t  1  t  5  0  t  1 . Vậy H  0; 3; 2  .
Ví dụ 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x  y  z  1  0 và mặt cầu

(S) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 x  10  0 .
a) Chứng minh mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu (S)
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng ( P ) và mặt cầu (S) .
Bài giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I  1; 2; 1 , bán kính R  4 .





Ta có: d I ;  P   3  R    cắt (S) theo một đường tròn (C ) .

(S )

I

b) Gọi H tiếp điểm của mặt phẳng ( P ) và mặt cầu (S) .
Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng ( P) .
H
P
Trình bày:

Đường thẳng IH đi qua I  1; 2; 1 và nhận VTPT của  P  là n   1; 1; 1 làm vectơ chỉ phương

x  1  t

nên có phương trình tham số là:  y  2  t .
z  1  t


H  IH  H  1  t ; 2  t ;1  t  ; H  ( P)  1  t  2  t  1  t  1  0  t  1 . Vậy H  2; 1; 0  .
Ví dụ 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết các phương trình hình chiếu vuông góc của
x1 y  2
đường thẳng d :


 z  3 trên mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và
2
3
  : x  y  z  7  0 .
Bài giải:

 x  1  2t

Ta có: d :  y  2  3t
z  3  t

* Trên mặt phẳng (Oxy):
+ Ta chọn A  1; 2; 3   d , B  3;1; 4   d .
+ Hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) là A1  1; 2; 0  .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
20
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Hình chiếu vuông góc của B trên mp(Oxy) là B1  3;1; 0  .
Lúc đó, hình chiếu d / của d trên mp(Oxy) là đường thẳng A1 B1 .


Đường thẳng d / qua A1  1; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương là A1 B1   2; 3; 0  , có phương trình:

 x  1  2t

d :  y  2  3t .
z  0

/

Hoàn toàn tương tự, độc giả tự giải quyết yêu cầu đối với mp(Oxz), mp(Oyz).
* Trên mặt phẳng   : x  y  z  7  0 :
- Ta chọn A  1; 2; 3   d . (Sử dụng thuật toán hình chiếu vuông góc điểm trên mặt phẳng)

+ Đường thẳng d đi qua A  1; 2; 3  , vuông góc với   nên d nhận n   1;1;1 làm 1 vectơ chỉ

x  1  t

phương, có phương trình d :  y  2  t .
z  3  t

x  1  t

 y  2  t
/
+ Tọa độ hình chiếu A của A là nghiệm của hệ phương trình: 
z  3  t
x  y  z  7  0

(1)
(2)

(3)
(4)

5
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 1  t   2  t   3  t  7  0  3t  5  0  t  .
3
 8 1 14 
 A/  ;  ;  .
3 3 3 

- Để ý rằng, d không song song với mp   nên tọa độ giao điểm B/ là nghiệm của hệ phương
 x  1  2t

 y  2  3t
trình: 
z  3  t
x  y  z  7  0

(1)
(2)
(3)
(4)

5
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 1  2t   2  3t   3  t  7  0  6t  5  0  t  .
6
 8 1 23 
 B/  ; ;  .
3 2 6 

Lúc đó, hình chiếu d / của d trên mp   là đường thẳng A / B/ .
  5 5 
 8 1 14 
Đường thẳng d / qua A /  ;  ;  và có 1 vectơ chỉ phương là A / B/   0; ;   , có phương
3 3 3 
 6 6


8
x  3

1 5
/ 
trình d :  y    t .
3 6

14 5

z  3  6 t


ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
21
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Nhận xét: Trong cách giải trên, chúng tôi lấy thêm giao điểm (trong trường hợp cắt nhau) của d và  
cho nhanh gọn, còn nếu thông thường (và dễ hiểu) thì chọn 2 điểm và nếu như vậy thì bài giải tương đối
dài dòng! Thuật toán như sau:
+ Xác định A’ là hình chiếu của A trên   .

B
A

+ Xác định B’ là hình chiếu của B trên   .

d

+ Đường thẳng d /  A / B/
d'


A'

B'

Ví dụ 28: (HVBCVT-2000) (Bài toán hình chiếu theo phương bất kì)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : x  y  z  3  0 và hai đường thẳng:
1 :

x  3 y 1 z 1
x7 y3 z9



và  2 :


7
2
3
1
2
1

Viết phương trình hình chiếu của  2 theo phương 1 lên mặt phẳng   .
Bài giải:
Phân tích: Thực hiện hoàn toàn như bài tập trên, chỉ khác là dựng đường thẳng d song song với 1 mà
thôi!

x  3  7t
x  7  t


Ta có: 1 :  y  1  2t và  2 :  y  3  2t
 z  1  3t
z  9  t


+ Chọn A  7; 3; 9    2 , B  5; 1; 11   2 .


- Đường thẳng d đi qua A  7; 3; 9  , song song với 1 nên d nhận u1   7; 2; 3  làm 1 vectơ chỉ
x  7  7t


phương, có phương trình d :  y  3  2t .
 z  9  3t

x  7  7 t

 y  3  2t
- Tọa độ hình chiếu A / của A là nghiệm của hệ phương trình: 
 z  9  3t
x  y  z  3  0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 7  7t   3  2t   9  3t  3  0  2t  22  0  t  11.

 A /  70; 25; 42  .

- Đường thẳng d đi qua B  5; 1;11 , song song với 1 nên d nhận u1   7; 2; 3  làm 1 vectơ chỉ
x  5  7t

phương, có phương trình d :  y  1  2t .
 z  11  3t


ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
22
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

x  5  7 t

 y  1  2t
/
- Tọa độ hình chiếu A của A là nghiệm của hệ phương trình: 
z  11  3t
x  y  z  3  0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5  7t   1  2t   11  3t  3  0  2t  18  0  t  9.

 B/  58;17; 38  .
Lúc đó, hình chiếu d / của  2 trên mp   là đường thẳng A / B/ .


Đường thẳng d qua A  70; 25; 42  và có 1 vectơ chỉ phương là A / B/   12; 8; 4  , có phương
/

/

 x  70  12t

trình d :  y  25  8t .
 z  42  4t

/

LOẠI 7: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. 
 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Cho điểm A và đường thẳng 

u , AM 


Ta có: d  A;   

u



A

A   đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u .
M



M


u

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau d , d .

d


+) d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u .

+) d đi qua điểm M  và có 1 vectơ chỉ phương u .

Ta có:

M

  
u, u  .MM 
d  d ; d  
 
u , u







 Đặc biệt: Nếu  / /  ' thì d ;  '  d A;  '




u




u

d



; A .

Ví dụ 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  3;1; 2  hai đường thẳng:

x  1  t
 x  1  t


d :  y  2  2t và d :  y  3  2t
 z  3t
z  1



a) Chứng minh 2 đường thẳng d và d chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d .
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d .
Bài giải:
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
23
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

a)Đường thẳng d đi qua điểm M  1; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 2; 3  .

Đường thẳng d đi qua điểm M   1; 3;1 và có 1 vectơ chỉ phương u   1; 2; 0  .
 
 
  
u , u    6; 3; 0   0 ; MM    0; 1;1 ; u, u .MM   3  0 .
Suy ra: d và d chéo nhau.
  
u , u .MM 
5
b) d  d; d  


.
 
5
u, u 


u , AM 




122
427


c)Ta có: AM   2;1; 2  ; u, AM    7; 8; 3   d  A; d  


.



14
u
14
Ví dụ 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng d , d và mặt cầu (S) có

x  1  t
 x  1  2t
20



phương trình d :  y  2  2t ; d :  y  1  2t và (S) :( x  1)2  y 2  z 2 
.
9
 z  2t
 z  t


a) Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H . Tìm tọa độ
điểm H .
b) Chứng minh đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A , B . Tính độ dài
đoạn AB và tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB .
Bài giải:


Đường thẳng d đi qua điểm M  1; 2; 0  và có 1 vectơ chỉ phương u  1; 2; 2  .

Đường thẳng d đi qua điểm M   1;1; 0  và có 1 vectơ chỉ phương u   2; 2;1 .
Mặt cầu (S) có tâm I  1; 0; 0  và bán kính R 

2 5
.
3

(S )


 
20 2 5

a) +) IM   0; 2; 0  ; u , IM    4; 0; 2   d  I ; d  

 R.


3
3
Suy ra d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H .

+) H  d  H  1  t; 2  2t ; 2t  ; IH   t; 2  2t ; 2t  .
 
 
4
 4 10 8 
Ta có: u  IH  u.IH  0  t   . Vậy H  ; ;   .
9
9
9 9

 
5
b) +) IM    0;1; 0  ; u, IM    1; 0; 2   d  I ; d  
 R.


3
Suy ra d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm A , B .
2 15
3
+)Gọi K là trung điểm của đoạn AB  IK  d .


K  d  K  1  2t; 1  2t; t  ; IK   2t;1  2t; t  .
AB  2 AK  2 R 2  IK 2 

I
R
H

d

(S )

I
R

d

A

K

B

 
 
2
 13 5 2 
Ta có: u  IK  u.IK  0  t  . Vậy K  ; ;  .
9
 9 9 9

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
24
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH


[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

LOẠI 8: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
 Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng d , d có các vectơ chỉ phương lần lượt


là u   a; b; c  , u   a; b; c  .

 
Ta có: cos  d; d '   cos  u, u  

a.a  b.b  c.c 
2

2

2

2

2

a  b  c . a  b  c


u

d

d1
d1

, 0   d; d '   900

2

d


u

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng


Cho đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u   a; b; c  .

Mặt phẳng ( P) có 1 vectơ pháp tuyến n   A; B; C 

 
Ta có: sin d;  P   cos  u, n  





d

n

a. A  b.B  c.C
2

2

2

2

2

a  b  c . A  B C

2





, 0  d;  P   90 0 .


u

P

Ví dụ 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng d , d và mặt phẳng ( P) có

x  1  t
 x  1  2t


phương trình d :  y  2  t ; d :  y  1  t và ( P) :2 x  3 y  z  4  0
z  t
 z  t


a) Tính góc giữa hai đường thẳng d , d .
b) Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( P) .
Bài giải:

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u  1;1;1 .

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u   2; 1;1 .

Mặt phẳng ( P) có 1 vectơ pháp tuyến n   2; 3;1 .
 
a) cos  d; d '   cos  u, u  

1.2  1.( 1)  1.1
( 1)2  12  12 . 2 2  ( 1)2  12



2
  d; d '   610 52 .
3

2  3  1
 
42
b) sin d;  P   cos  u, n  

 d;  P   17 0 59 .
21
3. 14









Ví dụ 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng d , d và mặt phẳng ( P) có
x  1
x  1  t



phương trình d :  y  2  t ; d :  y  1  2t . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm
z  t


 z  2t

A  3; 2; 2  , vuông góc với đường thẳng d và tạo với đường thẳng d một góc 600 .
Bài giải:

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương u   1; 1; 1 .

ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
25
Cần file Word vui lòng liên hệ:

LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
Mã số tài liệu: OXYZ-DT-BH