51 bài dao động điều hòa hay và khó có lời giải chi tiết

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Câu 1. Hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình dao động là : x 1

= A1 cos(ω1t + φ) cm, x2 = A2 cos( ω2t + φ) cm ( với A1 < A2 , ω1< ω2 và 0<

< /2). Tại thời điểm

3

ban đầu t = 0 khoảng cách giữa hai điểm sáng là a . Tại thời điểm t = Δt hai điểm sáng cách nhau
là 2a, đồng thời chúng vuông pha. Đến thời điểm t = 2Δt thì điểm sáng 1 trở lại vị trí đầu tiên và khi
3

đó hai điểm sáng cách nhau 3 . Tỉ số ω1/ω2 bằng:
A. 4,0
B. 3,5
C. 3,0
D. 2,5
Giả sử ban đầu, A1 (véctơ màu đỏ) và A2 (véctơ màu xanh) (t = 0) biểu diễn như hình vẽ.
Chọn a = 1 (cm) cho đơn giản. Ta có: ∆x1 = A2cosα - A1cosα =
3

3

(A2 – A1)cosα = a =
(cm) (1)
Do sau t = 2∆t điểm sáng 1 quay về vị trí ban đầu lần 1 nên (tại
t = 2∆t và tại t = 0) hai thời điểm đối xứng nhau qua trục Ox.
Suy ra tại t = ∆t, điểm sáng 1 ở vị trí biên âm và do 2 chất điểm
vuông pha nên điểm sáng 2 ở vị trí cân bằng. Suy ra: ∆x2 = A1 = 2a =
2 (cm) (2).

Tại t = 2∆t thì điểm sáng 2 có (t = 2∆t và t = 0) hai thời điểm
đối xứng nhau qua trục Oy (hình vẽ).
Suy ra: ∆x3 = A2cosα + A1cosα = (A2 +
A1)cosα = 3a

3

=3

Từ (1), (2) và (3) ⇒

3

(cm) (3).

A1 = 2

A 2 = 4

0
cos α = 30

. Từ đó suy ra: t =

5T1 T2
T
ω
=
⇒ 2 = 1 = 2,5
12

6
T1 ω2

∆t =
C2 : Vì sau thời gian 2t chất điểm 1 về lại vị trí ban đầu nên xảy ra 2 trường hợp sau:
TH 1: Sau thời gian 2t Vector quay A1 về vị trí ban đầu.
Khi đó tại thời điểm t A1 quay được nửa vòng mà ở thời điểm t A2 vuông góc với A1 nên nó quay
được ¼ vòng. Vậy
ko có đáp án hoặc tính toán góc phi để loại.
TH 2: Sau thời gian 2t Vector quay A1 đến vị trí đối xứng với vị trí ban đầu qua trục ox.
Khi đó ta có giản đồ vector quay như sau:
Từ giản đồ ta có:


từ trên giải được

Do đó sau thời gian t

quay được góc 1500 còn

quay được góc 600

vậy

Câu 2: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng
trung bình cộng của hai biên độ thành phần; có góc lệch pha so với dao động thành phần thứ nhất là
900. Góc lệch pha của hai dao động thành phần đó là
A. 1200.
B. 126,90.
C. 143,10.

D. 1050.
Ta có: A1 + A2 = 2A, dựa vào giản đồ:
A 2 = A 22 − A12 = (A 2 − A1 )(A 2 + A1 ) ⇒ A 2 − A1 =

A
2

Từ đó ⇒ A2 = 5A/4 ⇒ cosα = A/A2 ⇒ α = 36,90 ⇒ độ lệch
pha của 2 dao động là: 900 + 36,90 = 126,90
ω (rad / s)

Câu 3: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số góc là
. Tổng biên độ dao động của hai
vật là 10 cm. Trong quá trình dao động vật một có biên độ A 1 qua vị trí x1 ( cm ) với vận tốc v1
( cm/s ), vật hai có biên độ A2 qua vị trí x2 ( cm ) với vận tốc v2 ( cm/s ). Biết
ω
Giá trị của có thể là:
A. 0,1 rad/s
B. 0,4 rad/s
C. 0,2 rad/s
D. 0,3 rad/s
x1v 2 + x 2 v 1 = 9 ⇔ x1.ω A 22 − x 22 + x 2 .ω A12 − x12 = 9 ⇒ ω =

x1.v2 + x2 .v1 = 9(cm 2 / s)

9
x1. A 22 − x 22 + x 2 . A12 − x12

x1. A 22 − x 22 + x 2 . A12 − x12 ≤ [x12 + ( A12 − x12 ) 2 ].[x 22 + ( A 22 − x 22 ) 2 ]

Ta có:

(BĐT Bunhiacopxki)
x1. A 22 − x 22 + x 2 . A12 − x12 ≤ A1A 2 ≤

Biến đổi:
ω≥

Từ đó suy ra:

(A1 + A 2 )
4

2

(BĐT cosi)

9
36
36
⇔ω≥
⇔ ω ≥ 2 ⇔ ω ≥ 0,36
2
2
(A1 + A 2 )
(A1 + A 2 )
10
4

(rad/s)

⇒

chọn B.

.


Câu 4: Một vật thực hiện một dao động điêu hòa x = Acos(2πt + φ) là kết quả tổng hợp của hai dao
động điều hòa cùng phương có phương trình dao động x 1 = 12cos(2πt + φ1) cm và x2 = A2cos(2πt +
φ2) cm. Khi x1 = - 6 cm thì x = - 5 cm; khi x2 = 0 thì
A. 15,32cm
B. 14,27cm

x = 6 3 ( cm )

.Giá trị của A có thể là :
C. 13,11cm
D. 11,83cm

Ta có: x = x1 + x2.
Tại thời điểm t1: x2 = x – x1 = 1 (cm) và x1 = A1/2.
Trên vòng tròn có 2 vị trí có li độ x1 = -6, chọn 1 vị trí cố định.

Tại thời điểm t2 : x1 = x – x2 =

6 3

(cm) =

A1 3
2
6 3

Trên vòng vòng có 2 vị trí có li độ x 1 =
(chọn 1 vị trí để
giải, nếu có đáp án thì chọn, không có giải trường hợp còn lại là
đúng).
Cung màu đỏ biểu diễn véctơ quay của A1 từ t1 đến t2 là 1500.
Từ đó suy ra véctơ quay của A2 cũng quay 1500 từ t1 đến t2 như hình vẽ.
Dễ dàng suy ra A2 = 2 (cm), tại thời điểm t1, A1 và A2 lệch nhau 600 (độ lệch pha không đổi theo
thời gian).
A = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos600 = 172 ≈ 13,11

Suy ra :

(cm).

Câu 5: Khi đưa một vật lên một hành tinh, vật ấy chỉ chịu một lực hấp dẫn bằng 0,25 lực hấp dẫn
mà nó chịu trên trái đất. Giả sử một đồng hồ quả lắc chạy rất chính xác trên bề mặt Trái đất được
đưa lên hành tinh đó. Khi kim phút của đồng hồ này quay được một vòng thì thời gian trong thực tế
là:
A. 0.5h
B. 4h
C. 2h
D. 0.25h
Giải: Do P’ = 0,25P nên g’ = 0,25g
l
g

Trên bề mặt rái đất: T = 2π
; Trên hành tinh: T’ = 2π
Do đó khi T’ = 1h thì T = 0,5h. Đáp án A

l
g'

l
0.25 g

= 2π

= 2T

Câu 6: Một ô tô nặng 1000 kg chở 4 người, mỗi người nặng 60 kg đi qua con đường đất gồ ghề, với
những nếp gấp (chỗ gồ ghề) cách đều nhau 4,5m. Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi tốc độ của nó
là 16,2 km/h. Bây giờ ô tô dừng lại và 4 người ra khỏi xe. Lấy g = 10m/s 2, π2 = 10. Thân xe sẽ nâng
cao trên hệ treo của nó một đoạn là
A. 4,8cm
B. 48cm
C. 24cm
D. 2,4cm
Giải: vận tốc v = 16,2 km/h = 4,5 m/ s

Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi chu kỳ dao động của lò xo T =

l
v

4,5

4,5

=

=1s


4π 2 m
T2

m
k

40.1240
1

T = 2π
-- Độ cứng của lò xo k =
=
= 49,6.103 N/m
Khi 4 người xuống xe thân xe sẽ nâng cao trên hệ treo một đoạn

∆l =

∆m.g
k

240.10
49,6.10 3

=

= 0,048m = 4,8 cm. Đáp án A
ω (rad / s)

Câu 7: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số góc là
. Tổng biên độ dao động của hai
vật là 10 cm. Trong quá trình dao động vật một có biên độ A 1 qua vị trí x1 ( cm ) với vận tốc v1
( cm/s ), vật hai có biên độ A2 qua vị trí x2 ( cm ) với vận tốc v2 ( cm/s ). Biết
ω
Giá trị của có thể là:
A. 0,1 rad/s
B. 0,4 rad/s
C. 0,2 rad/s
D. 0,3 rad/s
x1v 2 + x 2 v1 = 9 ⇔ x1.ω A 22 − x 22 + x 2 .ω A12 − x12 = 9 ⇒ ω =

x1.v2 + x2 .v1 = 9(cm 2 / s)

9
x1. A − x + x 2 . A12 − x12
2
2

2
2

x1. A 22 − x 22 + x 2 . A12 − x12 ≤ [x12 + ( A12 − x12 ) 2 ].[x 22 + ( A 22 − x 22 ) 2 ]

Ta có:

(BĐT Bunhiacopxki)
x1. A 22 − x 22 + x 2 . A12 − x12 ≤ A1A 2 ≤

Biến đổi:
ω≥

Từ đó suy ra:

(A1 + A 2 )
4

2

(BĐT cosi)

9
36
36
⇔ ω≥
⇔ ω ≥ 2 ⇔ ω ≥ 0,36
2
2
(A1 + A 2 )
(A1 + A 2 )
10
4

(rad/s)

ϕ

⇒

chọn B.

ω
π = 10
Câu 8: Một vật dao động điều hòa với phương trình x =Acos( t + ) . Lấy
. Vị trí mà
vận tốc tức thời bằng vận tốc trung bình của vật trong một chu kì có tọa độ là :
x=±

A.

A 15
5

ω

x=±

ϕ

B.

2A
3

x=±

C.

2

A 2
2

x=±

D.

A 3
5

Giải : x =Acos( t + ) => v = - ω A sin (ωt + φ)
Trong 1 chu kỳ thì vtb = 4A/T= 2Aω /π
x=±

A 3
5

Thay v = vtb vào phương trình độc lập với thời gian => x2 = A2 – v2/ ω2 = 3A2/5 => x =
=> D và A
Câu 9: Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao
động của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + φ1) và x2 = Acos(4πt + φ2). Tại thời điểm ban đầu,
hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo
chiều âm trục tọa độ. Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:

.

A. 4s.
Giải:

B. 1 s.
C. 2s.
D. 3s.
2π
2π
nT1 = mT2 ↔ n.
= m.
↔ 4 n = 3m → nmin = 3 → ∆t min = 3.T1 = 2 ( s )
3π
4π

Câu 10: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai
đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N
đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8
cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc
thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M
và động năng của N là
A.

4
3

.

B.

3
4

.

C.
Giải:

9
16

.

D.

16
9

.

d = x1 − x 2 = A cos(ωt + ϕ) ⇒ d Max = A = A12 + A 22

Khoảng cách 2 vật:
Suy ra x1. x2 vuông pha
Khi tại M có động năng bằng thế năng :

1 1
2
WđM = . kA M

2 2

1 2 1
A . 2
2
2
WM = 2. kx M
= kA M
⇒ xM = M
= A M .cosϕ;cosϕ =
2
2
2
2
A23

600
300

A12

DoA2N,M dao động vuông pha:

x N = A NđN
.sin ϕ =

AN. 2
1 1
= . kA 2
N ⇒ W

2
2 2

WđM A 2M 9
=
=
WđN A 2N 16

Do đó:
Câu 11: Cho 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 =
A1cos(ωt + φ1); x2 = A2cos(ωt + φ2) và x3 = A3cos(ωt + φ3). Biết A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π. Gọi x12 = x1
+ x2 là dao động tổng hợp của dao động thứ nhất và dao động thứ hai; x23 = x2 + x3 là dao động tổng
hợp của dao động thứ hai và dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ
hai dao động tổng hợp trên là như hình vẽ. Giá trị của A2 là:
A. A2 ≈ 3,17 cm
B. A2 ≈ 6,15 cm
C. A2 ≈ 4,87 cm
D. A2 ≈ 8,25 cm
Theo đồ thị có x23=4cos(πt+π/2) cm=x2+x3 vì x12 sau cực đại âm sau x23 T/6 nên nó chậm pha hơn
A1
A3π/3
=>x12=8cos(πt+π/6) cm=x2+x1
Cách 1: A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π ó x1=-1,5x3
1,5x23=6cos(πt+π/2)=1,5x2+1,5x3
x12=8cos(πt+π/6) cm=
6cos(πt+π/2)+ 8cos(πt+π/6)= 1,5x2+1,5x3 +x2+x1=1,5x2+x2=2,5x2=2√37cos(πt+55,3π/180)cm
óA2=4,866
Cách 2: x12- x23=x1-x3=8cos(πt+π/6) - 4cos(πt+π/2) = 4cos(πt)
vì A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π nên φ1=0 (đồng pha với φ1-3)

A12−3 = A12 + A32 − 2 A1 A3 cos ϕ1−3 ⇔ 3.16 = 1,52 A32 + A32 + 2.1,5 A32
2
8 3 / 5 ⇒ A2 = A32 + A23
= 64.3 / 25 + 16 = 4,866

A3 =

cm

Câu 12: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và
song song với trục Ox có phương trình lần lượt là
x = x1 + x2

và

y = x1 − x2

pha cực đại giữa
A. 36,870

x1

x

. Biết biên độ dao động của
x2

và

x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 )

và

x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
y

gấp 2 lần biên độ dao động của

. Độ lệch

X2

gần với giá trị nào nhất sau đây:
B. 53,140
C. 143,140

D. 126,870

Giải: Đặt ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 . Gọi biên độ của y là A; khi đó biên độ của x là 2A.
Vẽ giãn đồ véc tơ biễu diễn x1, x2, x và y
Ta có:

. Gỉa sử

4A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos∆ϕ (1)

= 0,6 X2

X1

A2 = A12 + A22 - 2A1A2cos∆ϕ (2)
Lấy (1) + (2): 5A2 =2( A12 + A22) (*)
(1) - (2): 3A2 = 4A1A2cos∆ϕ (**)

Từ (*) và (**) cos∆ϕ =

2
2
3 A1 + A2
10 A1 A2

= 0,3( X +

1
X

) với X =

A1
A2

y
>0

Độ lệch pha giữa x1 và x2 ∆ϕ có giá trị cực đại khi cos∆ϕ có giá trị cực tiểu
cos∆ϕ = 0,3( X +

1
X

-X2

) có giá trị cực tiểu khi X = 1 tức khi A1 = A2

----- cos∆ϕmax = 0,6 ----- ∆ϕ max = 53,130 Chọn đáp án B

Câu 13: Cho hai chất điểm dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, có phương trình dao động
tương ứng là :
nhất có li độ
A. 8 cm/s.
Giải:

x1 = A1cos( ωt+ϕ1 ); x2 = A2cos( ωt+ϕ2 ).

x1 = −2cm

Biết rằng

4x12 + 9x 22 = 25.

Khi chất điểm thứ

, vận tốc bằng 9 m/s thì vận tốc của chất điểm thứ hai có độ lớn bằng:
B. 12 cm/s.
C. 6 cm/s.
D. 9 cm/s.

X

4. ( −2 ) + 9 x22 = 25 ⇒ x2 = 1cm
2

lấy đạo hàm

( 4x

2
1

)

+ 9x 22 ' = 25 '

8v x
8.9.2
m
⇔ 8v1 x1 + 18v2 x2 = 0 ⇒ v2 = − 1 1 ⇒ v2 =
=8
18 x2
1.18
s

Câu 14: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với
trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai
vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động

(

x1 = 4cos 4π t + π

3

) cm

của hai vật lần lượt là
cách nhau 2 cm lần thứ 2013 tại thời điểm:
2013

A.

8(

s)

2013

B.

4(

(

x2 = 4 2cos 4π t + π

và

s)

2013

C.

6(

12

) cm

. Tính từ t = 0, hai vật

s)

2013

D.

2(

s)

Giải:
Bấm máy tính để xác định ptdd khoảng cách:

(

d = x 2 − x1 = 4cos 4 πt − π

6

) cm

 x = A cos ϕ = 2 3 ∆t =  x = 2cm
Khi t = 0 ⇔  0
→

∆α
v0 > 0
laàn 2013


+
Trong một chu kỳ thì vật có k/c d=2cm 4 lần(hiển thị trên hình). Kết quả:
t2013 = t1 + t2012 = t1 + 503T = T

4

+ 503T

Câu 15: Một chất điểm dao động điều hoà không ma sát dọc theo trục Ox. Biết rằng trong quá trình
khảo sát chất điểm chưa đổi chiều chuyển động. Khi vừa rời khỏi vị trí cân bằng một đoạn s thì
động năng của chất điểm là 13,95 mJ. Đi tiếp một đoạn s nữa thì động năng của chất điểm chỉ còn
12,60 mJ. Nếu chất điểm đi thêm một đoạn s nữa thì động năng của nó khi đó là:
A. 11,25 mJ.
B. 8,95 mJ.
C. 10,35 mJ.
D. 6,68 mJ.
Giải: Theo định luật bảo toàn cơ năng:

Từ đó suy ra:

1
1
1
W đ1 + ks 2 = W đ 2 + k.4s 2 = W đ3 + k.9s 2
2
2
2

3 2
2
ks = W đ1 − W đ 2 ⇒ ks 2 = ( W đ1 − W đ 2 ) ( 1)
2
3
1
1
W đ3 = W đ1 + ks 2 − k.9s 2 = W đ1 − 4k.s 2
2
2

( 2)


Thay (1) vào (2) được

2
W đ3 = W đ1 − 4. ( W đ1 − W đ 2 ) = 10,35 ( mJ ) .
3

⟹ Chọn C.

Câu 16: Dụng cụ đo khối lượng trong một con tàu vũ trụ có cấu tạo gồm một chiếc ghế có khối
lượng m được gắn vào đầu của một chiếc lò xo có độ cứng k = 480 N/m. Để đo khối lượng của nhà
du hành thì nhà du hành phải ngồi vào ghế rồi cho chiếc ghế dao động. Người ta đo được chu kì dao
động của ghế khi không có người là T0 = 1 s còn khi có nhà du hành là T = 2,5 s. Khối lượng nhà du
hành là
A. 80 kg.
B. 63 kg.
C. 75 kg.
D. 70 kg.
Giải:
- Nhận xét: Chiếc ghế có cấu tạo giống như một con lắc lò xo treo thẳng đứng, ghế ở phía trên, lò
xo ở phía dưới. Gọi khối lượng của ghế là m (kg), của người là m 0 (kg).
- Khi chưa có người ngồi vào ghế:
(1).
T0 = 2π

- Khi có người ngồi vào ghế:

- Từ (1) và (2), ta có:

m
=1
k

m + m0
T = 2π
= 2,5
k

(2).


m + m0
2
2
2π
= 2,5
m0  2,5   1 

k
2
⇒
=

÷ −
÷ ⇒ m0 = 63kg (π = 10)
k
2
π
2
π

 

m

2π k = 1

Câu 17: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là
vị trí cần bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5 πt
+π/2)cm và y =4cos(5πt – π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x =
cm và đang đi theo chiều
− 3

âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là
A.
cm.
B.
cm.
3 3

C.

7

cm.
2 3

Giải : Chọn D
t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm
y=
, vy >0, chất điểm y đi từ
ra biên.
2 3

* Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí
gian T/6

2 3
x=− 3

hết thời

D.

cm.
15


* Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ

d=

y=2 3

M5

* Vị trí của 2 vật như hình vẽ
Khoảng cách giữa 2 vật là

3
2

( 3) + ( 2 3)
2

ra biên dương rồi về lại đúng

2

M6

M3

y=2 3

M2

cm

= 15

Câu 18: Hai điểm sáng M và N dao động điều hòa trên trục Ox (gốc O là vị trí cân bằng của chúng)
với phương trình lần lượt là x1=5cos(4 t+/2)cm; x2 =10cos(4t + /3) cm. Khoảng cách cực đại giữa
hai điểm sáng là
A. 5 cm.
B. 8,5cm.

C. 5cm.

D. 15,7cm.

Giải : Chọn C
+ Chó ý víi bµi to¸n t×m kho¶ng c¸ch hay thêi gian gÆp nhau th× ta tÝnh ∆x = x1 − x2 hoÆc ∆x = x2 − x1.

+ Quay l¹i bµi to¸n: ∆x = x1 − x 2 = 5cos ( 4π t ) ( cm ) ⇒ dmax = A∆x = 5 ( cm )

Câu 19: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao

động của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + ϕ1) và x2 = Acos(4πt + ϕ2) . Tại thời điểm ban đầu,
hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo
chiều âm trục tọa độ. Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
A. 4s
B. 3s
C. 2s
D. 1s
2π
2
π
2π
2
2π
1
ω
ω
Giải: Chu kì dao động của 2 vật: T1 = 1 = 3π = 3 (s); T2 = 2 = 4π = 2 (s)
Khoảng thời gian để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
2
1
với n1; n2 nguyên dương => 3 n1 = 2 n2 => n1 = 3n; n2 = 4n

t = n1T1 = n2T2
Do đó t = 3nT1 = 4nT2 = 2n (s). n = 0 ứng với t = 0
Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là t = 2 (s) (n = 1)
Đáp án C
Câu 20 : Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đường thẳng mà trên đó có 7 điểm
M1,M2,M3,M4,M5,M6,M7 xung quanh vị trí cân bằng O trùng M4 . . Cho biết trong quá trình dao
động cứ 0,05s thì chất điểm lại đi qua các điểm M1,M2,M3, O(M4), M5,M6,M7 và tốc độ của nó lúc đi
qua các điểm M2 là 20π cm/s. Biên độ A bằng?

A. 4cm
B.6cm
C.12cm
D. 4 cm
3

Cách : Dùng vòng tròn lượng giác :
Theo đề suy ra góc quay ứng 0,05s là 300 hay π/6
Mà chu kỳ T ứng 2π Hay T= 0,05. 2π/ π/6 =0,6s
=>
2π 2π 20π
ω=
=
=
Rad / s
T

0, 6

6


Biên độ:
A2 = x 2 +

v 2 3 A2 (20π ) 2 .36
=
+
ω2
4

(20π ) 2

3 A2
A2
= 36 <=>
= 36
4
4
=> A = 12cm

<=> A2 −

Câu 21: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa
và
, phương trình dao động tổng hợp của vật là
x1 = 10 cos( ωt + ϕ1 )
π

x2 = A2 cos ωt − 


π
x = A cos(ωt − )
3

bao nhiêu?
A. 10

2

. Để vật dao động với biên độ bằng một nửa giá trị cực đại của biên độ thì A2 bằng

cm

B. 20cm

C. 20 /

3

Giải 1:

cm

D. 10/

3

cm
3


A1

−π /3


A

A2

=>Amax =

Mà ta có

A1
= 20
π
cos
3

A2 = 2 A1 sin

π
= 10 3
6



A1
A
A sin α
π
=
⇒ A= 1
Amax ⇔ α = ⇔ A1 ⊥ A2
π sin α
π
2
sin

sin
6
6

. Để A = Amax/2 = 10 thi

uu
r
A1

.

Giải
ur u2:
ur Ta
uurcó: uur ur uur

10cm
O

α

∆

φ
/3

A = A1 + A 2 → A1 = A − A 2 → A = A + A − 2AA 2cos ( ϕ − ϕ 2 )
2
1

2

/6

2
2

/6

→ 102 = A 2 + A 22 − AA 2 3 → A 22 − AA 2 3 + A 2 − 10 2 = 0 ( *)

uuu
r
A2

uu
r
A


Phương trình trên luôn có nghiệm nên:
Khi A=10(cm) từ (*) suy ra:

A 2 = 10 3 ( cm )

Giải 3:
* Định lý hàm số sin trong tam giác

A=

∆ = 3A 2 − 4A 2 − 4.102 ≥ 0 → A ≤ 20 ( cm )

∆OA1 A

 Amax = 20cm khi α = 900

10
.sin α
π
sin
6

* Khi A=Amax/2 =10 cm  Dùng định lý hàm số cos trong

∆OA1 A



A = 10 3 ( cm )

.

Câu 22: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(ωt). Tỉ số giữa tốc độ trung bình và
vận tốc trung bình khi vật đi được sau thời gian 3T/4 đầu tiên kể từ lúc bắt đầu dao động là:
A. 1/3
B. 3
C. 2
D. 1/2
Giải:

v tb =

Vận tốc trung bình:
bằng không

x 2 − x1
t 2 − t1 Δx = x 2 − x1

,

v tb =

Tốc độ trung bình luôn khác 0:
v toc do =

Tốc độ trung bình:
(VTCB theo chiều dương)

S
t 2 − t1

S 3A 4A
=
=
t 3T
T
4

v van toc tb =

là độ dời. Vận tốc trung bình trong một chu kỳ luôn

trong đó S là quãng đường vật đi được từ t1 đến t2.

(1); chu kỳ đầu vật đi từ x 1 = + A (t1 = 0) đến x2 = 0 (t2 = )

x 2 − x1
0 − A 4A
=
=
3T
t 2 − t1
− 0 3T
4

Vận tốc trung bình:
(2). Từ (1) và (2) suy ra kết quả bằng 3.
Câu 23: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ: x = 4cos(8πt –2π/3) cm. Thời gian vật
2

đi được quãng đường S = (2 + 2 ) cm kể từ lúc bắt đầu dao động là:
A. 1/12
B. 5/66
C. 1/45
D. 5/96
Giải:
Vật xuất phát từ M đến N thì đi được quãng đường S = 2 + 2

2

. Thời

gian:


Δt =

T T 5
+ =
(s)
12 8 96

Câu 24: Một chất điểm dao động đh trên trục Ox.Tốc độ trung bình của chất điểm tương ứng với
khoảng thời gian thế năng không vượt quá 3 lần động năng trong 1 nửa chu kì là 300√3 (cm/s)Tốc
độ cực đại của dao động là:
A.400 cm/s
B.200 cm/s
C.2π m/s
D.4π m/s
Giải:
w T ≤ 3w d ⇒ w d ≥

wt
3

A2
4
4 kx 2
= wT + w d ≥ wT =
2

3
3.2
3A
x≤±
2

w=k

Thế năng không vượt quá 3 lần động năng:
Góc quay AOB=

2π
3

∆t =

,thời gian quay:

∆ϕ
ω

Quãng đường trong một nửa chu kì ứng chất điểm quay từ A đến B là:
Tốc độ trung bình:

vtb =

3A

3vmax
S

3A
3 Aω
=
=
=
= 300 3
2π
t ∆ϕ
∆ϕ
ω
3

Suy ra vmax=2π (m/s)
Câu 25: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và chu kì là T = 2s. Biết khoảng thời gian
ngắn nhất để vật đi từ x1 = 1,8cm theo chiều dương đến x2 =
theo chiều âm là 1/6 s. Biên độ của
dao động là:
A. A=
Giải:

cm.

B. A =

gọi pha dao động khi vật có ly độ x2 là

cm.

C. A =

cm.

D.A =

cm

ta có
(sd giải PT bằng máy tính)

Câu 26: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là A = 4cm, khi vật đi qua vị trí cân
bằng thì tốc độ của vật là 40cm/s. Tại thời điểm t1 vật có vận tốc v1 = 10
cm/s và gia tốc có giá
trị âm. Trước đó π/60 s vận tốc của vật có giá trị:


A.

(cm/s).

B.

(cm/s).

C.

(cm/s).

D.

(cm/s).

Giải:

pha ban đầu của vận tốc (trên trục O v) là
trước đó
vận tốc lúc này là

tức là lúc đó pha của vận tốc là
π

x = 2 cos  5πt + ÷+ 1(cm)
6


Câu 27: Một vật dao động điều hòa theo phương trình
. Trong giây đầu
tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có ly độ 2cm theo chiều dương mấy lần?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5
Giải:
T=

Ta có:
Xét

2π
= 0, 4s
ω

π

X = x − 1 = 2 cos  5πt + ÷cm
6


Khi x = 2cm

⇒

X = 1 cm.

 π
t = 0 : X 0 = 2 cos  ÷ = 3cm
6

Khi
theo chiều âm
Trong giây đầu tiên vật thực hiện được 2,5 chu kỳ . Trong mỗi chu kỳ vật qua li độ X = 1cm
theo chiều dương 1 lần.
Do đó trong giây đầu tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có ly độ X = 1cm
hay x = 2cm theo chiều dương 2 lần
Câu 28: Cho một vật dao động điều hòa với chu kì T. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất từ lúc công
suất lực hồi phục cực đại đến lúc động năng vật gấp ba lần thế năng.
A.T/24
Giải

B. T/36

Giả sử x=Acos

C. T/6

ωt

Công suất lực hồi phục là: P=F.v=kA.cos
P max

sin 2ωt = 1 → t =

khi

D. T/12

T
A 2
→x=
8
2

Động năng bằng 3 lân thế năng

ωt

ωA sin ωt =

.A

1

kωA 2 sin 2ωt
2

( lấy một giá trị dương để tính)

1 2
1
1
A
kA = 3. kx 2 + kx 2 → x =
2
2
2
2


ϕ=

Thời gian ngắn nhất góc quét như hình:

π π π
− =
3 4 12

ϕ
T
T=
2π
24

t=

Thời gian :

Câu 29: Một vật có khối lượng m=100g chuyển
(cm;s).Trong đó

A, ω

động

với phương trình

x = (4 + A cos ωt )

là những hằng số. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian ngắn nhất

π
s
30

4 2

thì

vật lại cách vị trí cân bằng
cm. Xác định tốc độ vật và hợp lực tác dụng lên vật tại vị trí x 1= 4cm.
A. 0 cm/s và 1,8N
B. 120cm/s và 0 N
C. 80 cm/s và 0,8N

D. 32cm/s và 0,9N
Giải:
C1: + Vì khoảng thời gian ngắn nhất để vật có cùng khoảng cách tới VTCB ⇒ Góc pha nhỏ nhất
ứng với hai thời điểm đó là 3600/4 = 900 hay ∆t = T/4 ⇒ Vị trí có li độ |x’| =

A 2
2

2π
15

⇒ A = 8cm. và T =
⇒ω = 15(rad/s)
+ Khi x = - 4cm ⇒ li độ x’ = - 8cm
= -A⇒ v = 0
2
2
⇒ Hợp lực Fhl = - mω x’= -0,1.15 .(-0,08) = 1,8N.
C2:
T/4

2

A

-A

*

x = (4 + A cos ωt )

=> y = x – 4 = Acoswt

* cứ sau một khoảng thời gian ngắn nhất
π
+ T/4 =

30
2

π
s
30

thì vật lại cách vị trí cân bằng

4 2

cm :

s

=> T = π/7,5 (s) => w = 15
4 2

+ A/ =
=> A = 8 cm
* tại vị trí x1= -4cm. => y = - 4 – 4 = - 8 cm = - A
+ tốc độ vật : v = 0
+ hợp lực tác dụng lên vat : F = -ky = -22,5.(- 0,08) = 1,8N (k = mw2 = 0,1.152 = 22,5)

ĐÁP ÁN A


Câu 30: Một vật dao động điều hòa theo phương trình
trong

2
3

π
x = 5cos(4π t − ) − 1 (cm)
6

. Tìm thời gian

chu kì đầu để tọa độ của vật không vượt quá -3,5cm.

A. 1/12 s
Giải:

B.1/8 s

C. 1/4s

D. 1/6 s

π
6

+ x là tọa độ, li độ x’ = 5cos(4πt - )cm.

+ x ≤ - 3,5cm ⇒ x’ ≤ - 2,5cm = - A/2.
+ ∆t = 2T/3 ⇒ góc quét 2400 như hình bên
⇒ Góc quét của bán kính thỏa mãn điều kiện bài là: 900⇒∆t = T/4 = 1/8(s) Đáp án B.
x = 6 cos(2πt − π )cm.

Câu 31: Một vật dao động điều hòa với phương trình

Tại thời điểm pha của dao

16

động bằng

lần độ biến thiên pha trong một chu kỳ, tốc độ của vật bằng
12 3π cm / s.

6π cm / s.

A.
Giải:

B.

6 3π cm / s.

12π cm / s.

C.

D.

+ Độ biến thiên pha dao động trong 1 chu kì là ∆ϕ = 2π⇒ (ωt + ϕ) =
+ v = -12πsin(ωt + ϕ) = - 6

3

π (cm/s) ⇒ Tốc độ |v| = 6

3

π (cm/s)

1
π
∆ϕ =
6
3


Câu 32: Một vật dao động điều hoà với phương trình x =
π
6

8cos(2πt- ) cm. Thời điểm thứ 2010 vật qua vị trí có vận tốc v = - 8π cm/s là:
A. 1005,5 s
Giải:

B. 1004,5 s

+ v = x’ = 16πcos(2πt +

+ t 0 = 0 ⇒ v0 =

v max 3
2

+ v = - 8π(cm/s) =

C. 1005 s

D. 1004 s

)cm/s.

và đang giảm.

v
− max
2

(2010 − 2)

⇒ t2010 = t2 +

π
6

T
2

=

7T
+ 1004T
12

=

Câu 33: Hai chất điểm chuyển động trên quỹ đạo song song sát nhau, cùng gốc tọa độ với các
phương trình x1 = 3cos(ωt)(cm) và x2 = 4sin(ωt)(cm). Khi hai vật ở xa nhau nhất thì chất điểm 1 có
li độ bao nhiêu?
A.± 1,8cm

B. 0

C. ± 2,12cm.

D. ± 1,4cm.

Giải:
•Cách 1: Phương pháp giản đồ.

+ Khoảng cách hai chất điểm là hình chiếu của hai đầu
mút A1A2 xuống Ox. Và khoảng cách này cực đại khi A1A2 song song với Ox như hình vẽ.


A12 =| x1 | .d =| x1 | . A12 + A 22

+ Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
•Cách 2: Phương pháp đại số.
+ Khoảng cách hai chất điểm d = |x1 - x2| = 5|cos(ωt +

53π
180

| x1 |=

⇒

A12
A12 + A 22

= 1,8cm.

)|cm.

53π
180

⇒ Khoảng cách này cực đại dmax = 5cm ⇒ (ωt +
) = ± 1 ⇒ωt = + Li độ của chất điểm 1 là: x1 = 3cos(ωt) = 3. (±0,6) = ±1,8cm.

53π
180

+ kπ

Câu 34: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và
song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc
tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là x1 = 10cos2πt (cm) và x2
π

2

3

= 10 cos(2πt + ) (cm) . Hai chất điểm gặp nhau khi chúng đi qua nhau trên đường thẳng vuông
góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp nhau là:
A.16 phút 46,42s.
C. 16 phút 46,92s

B. 16 phút 47,42s
D. 16 phút 45,92s
Giải:

+ Khoảng cách hai chất điểm d = |x1 - x2| = 20|cos(2πt -

π
3

)|
5 k
+
12 2

+ Khi hai chất điểm đi ngang qua nhau thì d = 0
⇒t=
Vậy lần thứ 2013 (k = 2013 - 1) hai chất điểm gặp nhau ở thời điểm: t = 16phút 46,4166s = 16
phút 46,42s Đáp án A
Cách 2: Giải: ta có x2 = 10

3

cos(2πt +

π
2

) cm = - 10

3

sin(2πt )
1

x1 = x2

=> 2πt = -

3

=> 10cos(2πt = - 10

π
6

+ kπ

=> t = -

1
12

+

sin(2πt )

k
2

=> tan(2πt ) = -

3

(s) với k = 1; 2; 3.... hay t =

Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau ứng với k = 0: t1 =

5
12

5
12

Lần thứ 2013 chúng gặp nhau ứng với k = 2012 --> t2013 = 1006
46,42s Đáp án A.

+

k
2

với k = 0, 1,2 ...

s.

5
12

= 16phút 46,4166s = 16 phút


Câu 35: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là
vị trí cần bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt
+π/2)cm và y =4cos(5πt – π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ
theo chiều âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là
A.
Giải:

3 3

cm.

7

B.

cm.

+ Hai dao động lệch pha nhau 2

C.

2 3

cm.

x=

D.

15

− 3

cm và đang đi

cm.

π
3

3

+ Thời điểm t, dao động thứ nhất x = ⇒ góc pha của dao động thứ hai là α2 =

cm và đang giảm thì góc pha là α1 = 5

π
6

π

3

(= α1 - 2 ) ⇒ y = 2

π
6

3

cm.
d = x 2 + y 2 = 15

Vì hai dao động trên hai phương vuông góc nhau nên khoảng cách của chúng là:
cm
Giải
t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm
y=

2 3

, vy>0, chất điểm y đi từ

2 3

* Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí
gian T/6

ra biên.

x=− 3

* Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ

hết thời

y=2 3

ra biên

y=2 3

dương rồi về lại đúng
* Vị trí của 2 vật như hình vẽ
d=

( 3) + ( 2 3)
2

2

= 15

Khoảng cách giữa 2 vật là
Chọn D
Câu 36: Hai vật dao động điều hòa coi như trên cùng 1 trục Ox, cùng tần số và cùng vị trí cân bằng,
có các biên độ lần lượt là 4cm và 2cm. Biết độ lệch pha hai dao động nói trên là 60 0. Tìm khoảng
cách cực đại giữa hai vật?
A.

2 3cm

B.

2 2cm

C.

3 3cm

Giải:
* Hiệu của 2 dđ : x = x1 – x2 = Acos(wt +ϕ)
A2 = A12 + A22 – 2A1A2cos∆ϕ = 42 + 22 – 2.4.2cos600

D.6cm.


=> A = 2

3

cm
3

* Khoảng cách cực đại giữa 2 vật : xmax= A = 2

cm

ĐÁP ÁN A

Câu 37: Hai vật dao động điều hòa quanh gốc tọa độ O (không va chạm nhau) theo các phương

3

trình:x1 = 2cos(4πt)(cm) ; x2 = 2
từ thời điểm ban đầu.
A. 11 lần

cos(4πt +

π
6

)(cm). Tìm số lần hai vật gặp nhau trong 2,013s kể

B. 7 lần

C. 8 lần

Giải:

D. 9 lần

π
3

+ Khoảng cách hai dao động d = |x1 - x2| = 2|cos(4πt - 2 )|cm.
+ Khi hai dao động gặp nhau thì d = 0.
T
T
+ 7 + 0, 4426T
12

2

+ ∆t = 2,013(s) = 4,026T =
= thời điểm lần 1 + k
(Vì hai lần liên tiếp qua vị trí cân bằng hết T/2)
⇒ Số lần gặp nhau là 1 + 7 = 8 lần ⇒Đáp án C.

T
2

+ ∆t1 (< T/2)

Câu 38: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số, dao động 1 có phương trình
π

x1 = A1 cos  5πt + ÷cm
3


, dao động 2 có phương trình

π

x1 = 8 cos  5πt − ÷cm
2


x = A cos ( 5πt + ϕ ) cm

, phương trình dao động

tổng hợp
, A1 có giá trị thay đổi được. Thay đổi A 1 đến giá trị sao cho biên độ
dao động tổng hợp đạt giá trị nhỏ nhất, tại thời điểm dao động tổng hợp có li độ bằng 2cm hãy xác
định độ lớn li độ của dao động 1?
A. 4cm
B. 3cm
C. 6cm
D. 5cm
Giải:
β=

Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ. Ta có
Theo đinh lý hàm số sin
A
sin β
α=

A = Amin khi

=

π
6

A1

A2
A
⇒ A = 2 .sin β

sin α
sin α

π
⇒ sin α = 1 ⇒ A = A min = 4cm; A1 = 4 3cm / s
2
⇒ϕ=

π π
π
π

− = − ⇒ x = 4 cos  5πt − ÷cm
3 2
6
6


α
A2

β

A


Khi

π 1
π

3


x = 2 ⇔ cos  5πt − ÷ = ⇒ sin  5πt − ÷ = ±
6 2
6
2


π
π π
π
3



cos  5πt + ÷ = cos  5πt − + ÷ = − sin  5πt − ÷ = m
3
6 2
6
2




Do vậy:

π

x1 = 4 3 cos  5πt + ÷ = ±6cm

3


Câu 39: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
phương trình x1 = A1cos(ωt – π/6) cm và x2 = A2cos(ωt –
phương trình dao động tổng hợp là x = 9cos(ωt + φ). Để
có giá trị cực đại thì A1 có giá trị:
A. 18

3

cm

B. 7cm

C. 15

3

cm

số,
biết
π) cm có
biên độ A2
D. 9

3

cm

HD: Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ và theo định lý hàm số sin:
A2
A
Asinα
=
⇒ A2 =
π
sinα sin π
sin
6
6

A2max = 2A = 18cm

⇒

, A2 có giá trị cực đại khi sinα có giá trị cực đại bằng 1

⇒

α = π/2

A − A = 18 − 9 = 9 3
2
2

A1 =

2

2

2

(cm).

Câu 40: Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O là vị trí cân
bằng), có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f1 = 3Hz và f1 = 6Hz. Lúc đầu cả hai chất điểm
đều qua li độ A/2 theo chiều âm. Thời điểm đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau là
A. 2/9s.
B. 1/3s.
C. 1/9s.
D. 2/27s.
Giải:
Nhau đầu tiên khi hai chất điểm M1 và M2 có cùng li độ do tần số vật M2 gấp đôi M1 nên độ dài
2(600 − α ) = 60 0 + α ⇒ α = 200
cung mà M2 chuyển động được sẽ gấp 2 lần M1 nên ta có
như vậy từ
khi bắt đầu chuyển động đến khi gặp nhau chất điểm M1 chuyển động được góc 40 độ .

Khi đó thời gian chất điểm M1 chuyển động đến khi gạp nhau là

1
40.( )
40 .T1
3 = 1
t=
=
360

360
27

đáp án D


Câu 41: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là
vị trí cần bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt
+π/2)cm và y = 4cos(5πt – π/6) cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = chiều âm thì khoảng cách giữa hai chất điểm là
3

7

A.3
cm.
B.
cm.
C. 2
Giải: Giả sử chất điểm M dao động trên trục Ox;
chất điểm N dao động trên trục Oy.
Vẽ giãn đồ vec tơ như hình vẽ:
Ở thời điểm ban đầu M ở O; N ở N0
.Khi M có li độ x = -

3

π
2

cos(5πt +

5πt =

5π π
6 2

)=-

3
2

- + 2kπ =

= cos
π
3

π
6

cm.

D.

15

cm và đang đi theo
cm.

cm và đang đi theo chiều âm;

ta có : x = 2cos(5πt + )cm = π
2

3

3

3

M

O

x

cm

5π
6

+ 2kπ

π
6

3

Khi đó y = 4cos(5πt – ) = 4cos( + 2kπ) = 2 cm
Khoảng cách giữa hai chất điểm MN
3

3
15
MN2 = (- )2 + (2 )2 = 15 ----> MN =
cm . Chọn đáp án D
Câu 42: Hai chất điểm M và N cùng dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox ( O là vị trí
cân bằng của chúng ), coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết


2

phương trình dao động của chúng lần lượt là x1 = 10Cos( 4πt +π/3) và x2 = 10
+π/12)cm. Hai chất điểm cách nhau 5cm ở thời điểm đầu tiên kể từ lúc
18s

19s

A.
Giải :

t=0

là

5 24 s

B.

Cos( 4πt

11 24 s

C.

D.

2

L = x2- x1 = 10 Cos( 4πt +π/12) - 10Cos( 4πt +π/3) = 10Cos( 4πt -π/6) cm
Với L = 5cm
Coi đây là một vật dao động điều hòa.
Thời điểm t1 = 0 vật có li độ x01 = 5
3

3

O

cm

α
β

3

Có Cos β = 5 /10 =
/2 Suy ra β = π/6
Có Cosα = 5/10 = 1/2
Suy ra α = π/3
Thời gian chuyển động t = (β+ α)/ω = π/2.4 π = 1/8 s
Đáp án : A

t0

Câu 43: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với
trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai
vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động
x1 = 4 cos ( 4π t + π 3) cm
x2 = 4 2 cos ( 4π t + π 12 ) cm
của hai vật lần lượt là
và
. Tính từ thời điểm
t1 = 1 24 s

đến thời điểm

t2 = 1 3 s

thì thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không

2 3 cm

nhỏ hơn

là bao nhiêu ?
13s

18s

A.
Giải :

L = x 2 - x1 = 4

16s

B.
2

1 12 s

C.

D.

Cos( 4πt +π/12) - 4 Cos( 4πt +π/3) = 4 Cos( 4πt -π/6) cm

3

α

2 cm
Coi đây là một vật dao động điều hòa.
Thời điểm t1 = 1/24s vật có li độ x01 = 4cm

β
O
t2

3

Thời điểm t2 = 1/3 s vật có li độ x02 = - 2 cm

Khoảng thời gian vật chuyển động Δt = t2 – t1 = 7/24s
Góc quét trong thời gian Δt là α = 4π. 7/24 = 7 π/6
Thời gian khoảng cách giữa hai vật không nhỏ hơn 2

3

cm

Nghĩa là tổng thời gian khoảng cách giữa hai vật lớn hơn hoặc bằng 2

3

cm

t1


3

3

Có Cos β = 2 /4 =
/2 Suy ra β = π/6
Thời gian quét góc β là Δt0 = π/6.4 π = 1/24s Trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 có khoảng thời gian
khoảng cách giữa hai vật lớn hơn 2

3

cm là t = 3. Δt0 = 3.1/24= 1/8 s

Đáp án B

Câu 44: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương trình x1 =
A1cos10t; x2 = A2cos(10t +ϕ2). Phương trình dao động tổng hợp x = A1
ϕ
π
ϕ2
6
ϕ2 - ϕ = . Tỉ số
bằng
1
2

3
4

1
3

2
3

3
4

A. hoặc
B. hoặc
C.
Giải: Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ:
Xét tam giác OA1A

A2
sin ϕ

=

A1
π
sin
6

=> sinϕ =

A2
2A1

sinϕ =

3

=

4
3

A
π/6

(*)

π/6

3

A12cosϕ (**) O

3

A1

cosϕ

cosϕ = 4(1- sin2ϕ) = 4cos2ϕ => 2cosϕ (2cosϕ => cosϕ = 0 hoặc cosϕ =
=> ϕ =

hoặc

cos(10t +ϕ), trong đó có

4 − 2 3 cos ϕ
2

 4sin2ϕ = 4 - 2

2

2
3

D.

A2

A22 = A12 + A2 – 2AA1cosϕ = 4A12 - 2
A2
2A1

hoặc

2
5

3

π
2

hoặc ϕ =

=> ϕ 2 =
π
6

π
2

=> ϕ 2 =

+
π
6

3

) = 0 (***)

3
2

π
6

+

=
π
6

2π
3

=

=>
π
3

=>

ϕ
ϕ2

ϕ
ϕ2

=
=

3
4
1
2

Chọn đáp án A
5π
6

Câu 45: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(πt1 ) (cm) Tại thời điểm
t1 gia tốc của chất điểm có giá trị cực tiểu. Tại thời điểm t 2 = t1 + ∆t (trong đó t2 < 2013T) thì tốc độ
của chất điểm là 10π
A. 4024,75s.

2

cm/s. Giá trị lớn nhất của ∆t là
B. 4024,25s.
C. 4025,25s.

D. 4025,75s.


2π

ω

Giải: Chu kì dao động T =
= 2s
Gia tốc có giá trị cực tiểu : a = 0 khi vật qua VTCB => x = 0
x = 20cos(πt1 -

5π
6

v = - 20πsin(πt2 t2 =
t2 =

7
12
7
12

t2max =

) = 0 => (πt1 5π
6

+ 2k và t’2 =

2

) = 10π
19
12

5π
6

)=±

+ 4024 =

π
2

+ k => t1 =

=> sin(πt2 -

5π
6

)=-

2
2

5
6

±

1
2

+

k
2

1
3

t1min = s

=>

+ 2k. từ t2 < 2013T = 4026 (s)

+ 2k < 4026 => k ≤ 2012; t’2 =
19
12

π
2

48307
12

19
12

+ 2k < 4026 => k ≤ 2012

(s)

Do đó giá trị lớn nhất của ∆t là ∆tmax = t2max – t1min =

48307
12

-

1
3

= 4025,25 (s). Đáp án C

Câu 46: Một vật dao động với biên độ 10cm. Trong một chu kì, thời gian vật có tốc độ lớn hơn một
giá trị vo nào đó là 1s. Tốc độ trung bình khi đi một chiều giữa hai vị trí có cùng tốc độ v o ở trên là
20 cm/s. Tốc độ vo là:
A. 10,47cm/s
B. 14,8cm/s
C. 11,54cm/s
D. 18,14cm/s
Giải :
* Vị trí vật có tốc độ v0 là –x0 và +x0, trong 1 chu kỳ vật có tốc độ lớn hơn v 0 khi vật đi từ -x0+x0
và ngược lại (khoảng thời gian là 1s)  Nếu chỉ xét 1 chiều thì khoảng thời gian là 0,5s
* Tốc độ TB khi đi 1 chiều giữa 2 điểm đó là VTB=2x0/0,5 = 20 cm/s  x0=5cm
* Dùng đường trong biểu diễn chuyển động nói trên  ω=2π/3
ω A2 − x02 = 18,13789 cm / s

 Đáp án D

* v0=

Câu 47: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình:
x1 = A1 cos(2πt )(cm)
x 2 = 2,5 3 cos(2πt + ϕ 2 )( cm)
và
. Phương trình dao động tổng hợp thu được là:
x = 2,5 cos(2πt + ϕ )(cm)
ϕ < ϕ2
. Biết
và A1 đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của φ2 và φ là:
π π
π 2π
π π
5π π
,
6 3

A.
Giải :
*

−

B.

6

,

3

uu
r
A2

C.

3

,−

2
u
r
A

β

2,5√3

O

D.

2,5
φ2

2,5√3

φ

α

uu
r
A1

6

,

3


A1
2,5 2,5 3
2,5
=
=
→ A1 =
sin β
sin β sin α
sin ϕ
sin α

* Áp dụng ĐL hàm số sin trong tam giác OAA1 ta được
 A1max khi β=900  Tam giác OAA1 vuông tại A  tan φ=2,5√3 / 2,5 = √3  φ= π/3 
φ2=5π/6
 Đáp án D

π /3

Câu 48: Vật nặng khối lượng m thực hiện dao động điều hòa với phương trình x 1 =A1cos(ωt +
)
cm thì cơ năng là W1, khi thực hiện dao động điều hòa với phương trình x 2 = A2cos(ωt )cm thì cơ
năng là W2 = 4W1. Khi vật thực hiện dao động tổng hợp của hai dao động trên thì cơ năng là W. Hệ
thức đúng là:
A. W = 5W2
B. W = 3W1
C. W = 7W1
D. W = 2,5W1
Giải :
W1 =

* Khi thực hiện dao động 1:
4W1A2=2A1

mω 2 A12
2

W2 =

khi thực hiện dao động 1 thì

A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos∆ϕ =

A12 + (2 A1 ) 2 + 2 A1.2 A1cos

mω 2 A22
2

mà W2 =

π
= 7 A1
3

* Dao động tổng hợp có biên độ
 W = 7W1  Đáp án C
Câu 49: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần
lượt là

π
x1 = A1cos(ωt + ) (cm)
6

x1 = A 2 cos(ωt +

và

x = 3 3 cos(ωt + φ)(cm)

. Để biên độ
3 2 cm

A.
Giải :

.

A2

5π
) (cm)
6

. Phương trình dao động của vật có dạng

có giá trị lớn nhất thì giá trị của biên độ

B. 3 cm.
A
A
3 3
= 1 = 2
0
sin α sin β
sin 60

* Xét tam giác OAA1:
(*)
3 3
A2 =
sin β
sin 600

 (A2)max khi β=900
Lúc đó α=1800-600-β = 300 thay vào biểu thức (*)
 A1=3cm  Đáp án B

C.

6 2 cm

.

A1

bằng

D. 6 cm.

uu
r
A
α

uu
r
A2

β

π/6
O

uu
r
A1

π/6
π/6

3√3
π/6

x