CAO TUẤN 18 THỦ THUẬT GIẢI NHANH cực TRỊ số PHỨC

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán

CÔNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH

BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Sưu tầm & biên soạn: CAO VĂN TUẤN
Số điện thoại: 0975 306 275
Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  *  cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất của z .
Phương pháp chung:
 Bước 1: Tìm tập hợp  H  các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện  *  .
 Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M   H  sao cho khoảng cách OM
lớn nhất, nhỏ nhất.

y
Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
1
phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun
lớn nhất của số phức z là
-1
1
O
A. z max  1.
B z max  .
2
2
C. z max  2.
D. z max 
.
2
-1

Lời giải:
z max bằng nửa độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2  Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun
nhỏ nhất của số phức z là
A. z min  0.
B. z min  1.
C. z min  2.

z min

D. z min 

1

x

y
1

-1

1

O

2
.
2

x

-1

Lời giải:
 0 , điểm biểu diễn là điểm O  Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là hình tròn tô đậm như hình vẽ bên. Môđun lớn
nhất của số phức z là
A. z max  1.
B z max  2.
C. z max  3.

y

x
O

1

2

D. z max  3.
Lời giải:

Tam giác OAB có góc OAB là góc tù nên
OA  OB  z  OB  3.
Vậy z max  3  Chọn đáp án C.

y
A
x
O

1

B

2

1

/>
VÍ DỤ MINH HỌA


Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275
Ví dụ 4: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là phần tô đậm (kể cả đường viền). Môđun nhỏ
nhất của số phức z là
1
A. z min  1.
B z min  .
2
2
C. z min  .
D. z min  3.
3

Lời giải:

y

x

A
x

Vậy z min  1  Chọn đáp án A.

O

y
1
x

Elip có độ dài trục nhỏ bằng 2b  2  z min

O

Lời giải:
 1  Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là hình elip tô đậm như hình vẽ bên. Môđun lớn
nhất của số phức z là
A. z max  1.
B z max  2.

y
1
x

Elip có độ dài trục lớn bằng 2a  4  z max

O

Lời giải:
 2  Chọn đáp án B.
y

Ví dụ 7: Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là
đường thẳng  như hình vẽ. Khi đó, z có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 2.

B. 1.
1
.
D.
2

2.

1
d
x
O

Lời giải:

Phương trình d : x  y  1  0.


M  d
Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z  
.
z

OM


Vì M  d : x  y  1  0  M  t ;1  t  .

Vậy z min 
2

1
2

2

3
D. z max  .
2

1
C. z max  .
2

Suy ra z  t   1  t 

2

3
D. z min  .
2

1
C. z min  .
2

2

2

B 1

Ví dụ 5: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt
phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất
của số phức z là
A. z min  1.
B z min  2.

C.

2

y

Tam giác OAB có góc OBA là góc tù nên

OA  OB  z  OB  1.

/>
1

O

2

2


1 1
 1 1
1
 2t  2t  1  2  t 2  t     2  t    
.
4 2
2

 2 2
2

 Chọn đáp án D.

1


Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán

MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z   a  bi   c ,  c  0  , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của z .
Lời giải:
z   a  bi   c ,  c  0   Tập hợp các điểm M biểu diễn số

y

phức z là đường tròn có tâm I  a; b  và bán kính R  c.
max z  OM  OI  R  a 2  b 2  c

2
.

2
2
min
z

OM

OI

R

a

b

c


1


b

I

R

M1

x

Tìm tọa độ điểm M1 , M2 (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ

O

nhất, lớn nhất).

a

 Phương trình đường tròn  C  quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z là:

C  :  x  a    y  b 
2

2

 c2

 Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm O , I là: d : Ax  By  C  0.
Khi đó, M1 , M2 là giao điểm của  C  và d .
2
2

 x  a    y  b   c 2
 hai nghiệm  tọa độ hai điểm.
Giải hệ phương trình: 

 Ax  By  C  0

So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O, khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó
ứng với điểm M1 và điểm còn lại là điểm M2 .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 .z  z2  r ,  r  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z .

max z 

Giải: 
min z 



z2
r

z1
z1
z2
r


z1 z1

.

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Nếu các số phức z thỏa mãn z  2  4i  5 thì z có giá trị lớn nhất bằng
A. 3 5.
Tập hợp các điểm M  z 

C. 5.
D.
Lời giải:
là đường tròn có tâm I  2; 4  và bán

B. 5.

13.
y

kính R  5.

M

Vậy max z  OM  OI  R  22  42  5  3 5.

5

 Chọn đáp án A.
Câu hỏi bổ sung 1: z có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

4

Trả lời: min z  ON  OI  R  22  42  5  5.

2

Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Trả lời: Phương trình đường thẳng OI là y  2x.

1

3

O

I
5
N
5
x
1

2

3

4

3

/>
z  OM
Khi đó: 


M2
R


Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:

 y  2 x
 y  2 x



2
2
2
2
 x  2    y  4   5
 x  2    2 x  4 

x  1
 N  1; 2 

y


2
 y  2 x

 2
 
.
x  3
5
 x  4 x  3  0

 M  3; 6 
  y  6

 Số phức z có môđun lớn nhất là z  3  6i ứng với điểm M  3; 6  .
 Số phức z có môđun nhỏ nhất là z  1  2i ứng với điểm N  1; 2  .
Ví dụ 2 [Trích đề thi thử chuyên KHTN – Lần 1]:

Nếu các số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  7 i  2 thì z có giá trị lớn nhất bằng

/>
A. 4.

B. 3.

C. 7.
Lời giải:

1  7i 
 2
Ta có:  1  i  z  1  7 i  2  1  i   z 

1  i 


D. 6.

 1  i z   3  4i   2  2 z   3  4i   2  z   3  4i   1
Tập hợp các điểm M  z  là đường tròn có tâm I  3; 4  và bán kính R  1.
Vậy max z  OI  R  32  42  1  6  Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Nếu các số phức z thỏa mãn
A. 1.

2  3i
z  1  1 thì z có giá trị nhỏ nhất bằng
3  2i

B. 2.

C. 2.
D. 3.
Lời giải:
2  3i
1
z  1  1  iz  1  1  i z 
 1  z  i  1  z   i   1.
Ta có:
3  2i
i
Tập hợp các điểm M  z  là đường tròn có tâm I  0; 1 và bán kính R  1.
Vậy max z  OI  R  02   1  1  2  Chọn đáp án B.
2

Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn z  z1  r1 ,  r1  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P  z  z2 .

Gọi I  z1  , A  z2  , M  z  .

Lời giải:


max P  AM1  r1  r2
Khi đó: IA  z1  z2  r2  
.

min P  AM2  r1  r2

y
A
M2

Muốn tìm các số phức sao cho Pmax , Pmin thì ta đi tìm hai giao
điểm M1 , M2 của đường tròn  I , r1  với đường thẳng AI .

I

M1 x

O

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 .z  z2  r1 ,  r1  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P  z  z3 .

Giải: max P 
4

z
r
z2
r
 z3  1 và min P  2  z3  1
z1
z1
z1
z1


Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  3  2i  2 . Giá trị nhỏ nhất của z  1  i lần lượt là
A. 7.

B. 3.

C. 2.
Lời giải:

D. 5.

Ta có: z  3  2i  z   3  2i   2  r1 và z  1  i  z   1  i 
z1

z2

 z1  z2   3  2i    1  i   5  r2  min z  1  i  5  2  3  Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa mãn z  5i  3 , số phức có z nhỏ nhất thì có phần ảo bằng
B. 0.

Tập hợp các điểm M  z 

C. 3.
Lời giải:
là đường tròn có tâm

D. 2.
y M
2
8

I  0; 5  và bán kính R  3.

7
6

Vì z  OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là

I

5

z  2i ứng với điểm M1  0; 2  .

4
3

 Chọn đáp án C.

2
1

M1
x

-4 -3 -2 -1 O

1

2

3

4

Ví dụ 3 [Trích đề thi HK 2 – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất cả các số phức z thỏa
mãn z  2  2i  1 , gọi z  a  bi ,  a, b   là số phức có z  4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị
biểu thức P  a  b  2  .
1
A. P  2  .
2

1
B. P   2  .
2

C. P 

1
 2.
2

D. P 

1
 2.
2

Lời giải:
Ta có: z  2  2i  z   2  2i   1  I  2; 2  và z  4i  z   4i   A  0; 4  .
z1

z2

Tập hợp các điểm M  z  là đường tròn có tâm I  2; 2  và bán kính r1  1.
Phương trình đường thẳng IA là: x  y  4  0.
Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình:
y  x  4
 x  y  4  0
 y  x  4

1 


2

2
2
2
2
1
 x  2    y  2   5
 x  2    x  4  2   1  x  2   2

1

1
y  x  4
x  2 
x  2 


1
1 
1
1 



2
2



 M1  2 
; 2 
; M2  2 
; 2 
1 

.
2
2
2
2


x  2  
 y  2  1
 y  2  1
2



2
2

5

/>
bao nhiêu?
A. 4.

Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275



 AM1   2 


Khi đó: 
 AM   2 

2




1 

2
2
 AM1  AM2  M2 là điểm biểu diễn số phức cần tìm.
1
1 
;2

2
2

1
a  2


1 
1 
1
z  a  bi 
2
 z  2
  2 

 P  a  b  2   2   Chọn đáp án A.
 i 
2
2 
2
b  2  1

2

1

;2

Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2  k ,  k  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

/>
của P  z .
Lời giải:

Gọi M  z  , M1  z1  , M2  z2  .

Khi đó: z  z1  z  z2  k  MM1  MM2  k  M  elip  E nhận M1 , M2 làm tiêu điểm và có

độ dài trục lớn bằng k  2a.
Vì ở chương trình Toán 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là F1  c; 0  , F1  c; 0  nên thường
đề bài sẽ cho dưới dạng: z  c  z  c  k ,  0  c , k 



 M  elip  E  nhận F1  c; 0  , F1  c; 0  làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k  2a

k
 z max  a  2
 
k 2  4c 2
z

b

 min
2

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 .z  z2  z1 .z  z2  k ,  k  0  . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất của P  z .

k 2  4 z2
k
Giải: max z 
và min z 
2 z1
2 z1

2

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 , gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất z . Khi đó, giá trị biểu thức P  M  m2 bằng
A. P  6.

B. P  13.

C. P  5.
Lời giải:
10

5
2

D. P  4.


 M  z max
Áp dụng công thức trên, ta có: 
 P  M  m2  5  32  4.
2
2
10  4.4
m  z

3
min

2

 Chọn đáp án D.

6


Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán
Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  m  ni và z1  z2  p  0. Tìm giá trị lớn
nhất của P  z1  z2 .
Lời giải:

 z  a  bi
a  c  m
 z1  z2  a  c   b  d  i  m  ni  
.
Giả sử:  1
c  d  n
 z2  c  di
Ta có: z1  z2  a  c   b  d  i  z1  z2   a  c    b  d   p.
2

2

Khi đó: P  z1  z2  a2  b2  c 2  d2 
Mà a  b  c  d
2

2



2

2



2

2

2



 







 12  a2  b2  c 2  d2   2 a2  b2  c 2  d2 .



 a  c  b  d  a  c   b  d

2

2

1

2

2

m2  n2  p2

2

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ [Trích đề thi thử chuyên KHTN – Lần 4]: Với hai số phức phức z1 , z2 thỏa mãn
z1  z2  8  6i và z1  z2  2. Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2 .

A. 4 6.

B. 5  3 5.

C. 2 26.
Lời giải:

D. 34  3 2.

Áp dụng công thức trên ta được: P  z1  z2  82  62  22  2 26  Chọn đáp án C.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt
là

A. 2 2  1; 2 2  1. B.

2  1; 2  1.

C. 2; 1.

D.

3  1; 3  1.

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là
A. 5.
B. 3 5.
C. 5 5.
D. 5 3.
Câu 3. Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  4i  z thì số phức z có modul nhỏ nhất là
11
3
5
1
B. z   2i.
C. z  5  i.
D. z  3  i.
 i.
2
2
2
6
Câu 4. Trong các số phức z thỏa mãn: z  2  4i  z  2i thì số phức z có modul nhỏ nhất là

A. z 

A. z  2  2i.
B. z  2  2i.
C. z  2  2i.
D. z  2  2i.
Câu 5. Trong các số phức z thỏa mãn: z  3  4i  z , biết rằng số phức z  a  bi ,  a, b 



có

modul nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của P  a2  b là
1
1
1
1
A. P  .
B. P  .
C. P   .
D. P   .
4
2
4
2
Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn: z  1  5i  z  3  i , biết rằng số phức z  a  bi ,  a, b 



có modul nhỏ nhất. Khi đó, tỉ số

A. 3.

B.

1
.
3

a
bằng
b

C.

2
.
3

D. P   2.

7

/>
Suy ra: 2 a2  b2  c 2  d2  m2  n2  p2  P  m2  n2  p2  max P  m2  n2  p2 .


Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1 là
A. 2  1.
B. 2  1.

C. 2.
D. 1.
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  i
bằng
A. 5.
B. 2.
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn

C. 1.
D. 3.
 2  i  z  1  1 . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

z  1 bằng

A. 3.

B. 2 2.

C.

2
5

.

D. 2 3.

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  10 . Giá trị lớn nhất của z  1  4i bằng

/>

A. 10.
B. 10 3.
C. 3 10.
D. 4 10.
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của z  2  i . Giá trị của T  M 2  m2 là
A. T  50.

8

B. T  64.

C. T  68.

D. T  16.