Một số bài toán về đồ thị

Giáo án: Giải tích 12A Giáo viên: Lê Minh Hiền
Tiết 18-19 NS :
ND :
§ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Mục tiêu :
- Kiến thức : Nắm vững PP giải một số dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, cách
giải biện luận pt bậc nhất, bậc hai( dùng đồ thò biện luận số nghiẹâm) để xét sự tương
giao giữa hai đường, cách viết pt tt với đồ thò hàm số trong trường hợp biết tiếp điểm,
trường hợp biết hệ số góc, điều kiện tiếp xúc của hai đường cong.
- Kó năng: Vận dụng để giải tốt các bài toán về tương giao, tiếp tuyến, sự tiếp xúc.
- Tư duy: Vận dụng linh hoạt để giải các dạng toán khác về hàm số (thường phức tạp)
- Thái độ: Chuẩn bò bài ở nhà, tích cực xây dựng bài, nghiêm túc, cẩn thận, chính xác.
II/ Trọng tâm : Sự tương giao của hai đồ thò, cách viết pt tiếp tuyến với đồ thò.
III/ Phương pháp :
PP mở vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh.
IV/ Chuẩn bò :
- Thực tiễn : Học sinh đã học giải biện luận pt, viết pttt ở lớp 11, cách dùng đồ thò biện
luận số nghiệm
- Phương tiện : Hình ảnh hai đường cong tiếp xúc để học sinh dễ quan sát, đồ thò để
biện luận số nghiệm của pt.
V/ Tiến trình lên lớp :
- Ổn đònh:
- Bài cũ :
- Bài mới:
HOẠT ĐỘNG TRÒ HOẠT ĐỘNG THẦY
I-Sự tương giao của các đồ thò:
Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x); (C
2
): y = g(x)

Để xét tương giao của hai đường , ta lập pt
hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai
đường (C
1
) & (C
2
)
ˆ(1) vn
0

⇔
(C
1
) & (C
2
) không có gđ
ˆ(1) có n
0
đơn x
0

⇔
(C
1
) & (C
2
) cắt nhau tại
M(x
0

,y
0
)
ˆ(1) có n
0
kép x
0

⇔
(C
1
) & (C
2
) tiếp xúc nhau
tại M(x
0
,y
0
)
VD:BL theo m số nghiệm của (C):
-Để tìm giao điểmcủa (C
1
) & (C
2
), hoặc
những bài toán khác về tương giao giữa 2
đường thì ta làm như thế nào?
-Mỗi n
0
của pthđgđ là hoành độ của 1 giao

điểm của 2 đường, từ đó suy ra số nghiệm
của (1) bằng số giao điểm của hai đường
(C
1
) & (C
2
)
-Gv nêu số n
0
, cho hs nhận xét về số giao
điểm của (C
1
) & (C
2
)
- 1 -
Giáo án: Giải tích 12A Giáo viên: Lê Minh Hiền
2
6 3
2
x x
y
x
− +
=
+
& d: y = x – m
Giải
Pthđgđ của (C) & d:
2

6 3
2
x x
x m
x
− +
= −
+
(1)
2
6 3 ( )( 2) ;( : 2)x x x m x dk x⇔ − + = − + ≠ −
(8 ) 2 3m x m⇔ − = +
(2)
Ta thấy x = -2 không thể là nghiệm của (2)
ˆNếu
8 0 8m m
− ≠ ⇔ ≠
thì (2) có n
0
x # -2
⇒
(1) có 1 n
0

⇒
(C) & d có 1 gđ
ˆ Nếu
8 0 8m m
− = ⇔ =
thì (2) thành 0.x = 19 :

vn
0

⇒
(1) vn
0

⇒
(C) & d kg có gđ
VD:
a)KSVĐT (C):
3 2
3 2y x x= + −
b)BL bằng đồ thò số nghiệm của pt
3 2
3 2 0x x m+ − − = (1)
Giải
b) (1)
3 2
3 2x x m⇔ + − =
Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai
đøng (C):
3 2
3 2y x x= + −
& d: y = m
Dựa vào đồ thò , ta có
ˆ
2 2m Vm
< − >
thì (1) có 1 n

0
ˆ
2 2m Vm
= − =
thì (1) có 2 n
0
(1 n
0
đơn + 1 n
0
kép)
ˆ
2 2m
− < <
thì (1) có 3 n
0
II-Sự tiếp xúc của các đường cong:
1/Đònh nghóa:
Nếu tại điểm chung A, 2 đường cong (C
1
) &
(C
2
) có tiếp tuyến chung thì ta nói (C
1
) & (C
2
)
tx với nhau tại A
2/Đk tiếp xúc:

Đònh lí: Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x); (C
2
): y =
g(x)
Đk cần và đủ để (C
1
) tx (C
2
) là hệ pt sau phải
có nghiệm
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

VD: Cho hai đồ thò (C
1
):
3 2
5y x x= − +
; (C
2
):
2

2y x b= +
. Tìm b để (C
1
) tiếp xúc (C
2
), tìm
tọa độ tiếp điểm?
-Gv cho hs nhắc lại cách giải biện luận pt
bậc nhất và pt bậc hai?
-Gv hướng dẫn hs cách trình bày, có thể ghi
đk rời ra để khỏi mất công viết nhiều lần
-Nên chốt ngay từ đầu x = -2 không phải là
nghiệm, thì trong mỗi trường hợp nhỏ ở
dưới, mỗi khi pt (2) có nghiệm ta luôn chắc
chắn rằng nghiệm đó khác -2
-Có thể chuyển m về VP rồi dùng đồ thò để
biện luận số nghiệm…
-Gv nói rõ về đt y = m sẽ di chuyển như thế
nào khi m thay đổi, từ đó biện luận được số
nghiệm của pt (1)
f(x)=x^3 +3x ^2-2
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5

2
x
y
-Gv dựa vào hình vẽ để giải thích cho hs
thế nào là 2 đường cong tiếp xúc nhau
- Gv dựa vào hình vẽ để giải thích cho hs
tại tiếp điểm thì 2 hs có giá trò bằng nhau,
mặt khác tại đó có tiếp tuyến chung nên hệ
số góc của tiếp tuyến cả 2 đường bằng nhau
- 2 -
(C
1
)
(C
2
)
Giáo án: Giải tích 12A Giáo viên: Lê Minh Hiền
Giải
Để (C
1
) tiếp xúc (C
2
) thì hpt sau phải có n
0
3 2 2
2
5 2 (1)
3 2 4 (2)
x x x b
x x x


− + = +


− =


Giải (2)
2
0, 0, 5
(2) 3 6 0
2, 9, 17
x b y
x x
x b y
= = =

⇔ − = ⇔

= = =

Vậy b = 0 V b = 9 thì thỏa ycbt, tọa độ tiếp
điểm là A(0;5); B(2;17)
III-Cách viết pttt với đồ thò (C): y = f(x)
Pttt có dạng: y – y
0
= f’(x
0
).(x – x
0

) (1)
Chỉ cần biết 1 trong 3 số x
0
, y
0
, f’(x
0
) là tính
được 2 số còn lại và viết được pttt
TH1: Nếu biết x
0
hoặc y
0
thì tìm được tiếp
điểm M
0
(x
0
;y
0
) , viết pttt theo dạng (1)
TH2: Nếu biết tt có hệ số góc k
Cách 1: Giải pt f’(x
0
) = k để tìm tiếp điểm
M
0
(x
0
;y

0
) , viết pttt theo dạng (1)
Cách 2: Xét đt d: y = kx + m(m : ẩn)
Để d tiếp xúc (C) thì hpt sau phải có n
0
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=

, giải hệ tìm x và m.
VD: Viết pttt với (C):
sin( )
4
y x
π
= −
tại điểm
có hoành độ
0
2
x
π
=
-Gv cho hs giải, hs khác nhận xét, bổ sung,
gv sửa chữa, củng cố.

-Sau khi giải (2) cần thay vào (1) để tính b
và cả y để suy ra tiếp điểm.
-Pttt có dạng gì?Để viết được pttt ta cần
biết những yếu tố nào?
-Nếu biết x
0
hoặc y
0
thì ta làm như thế nào?
Có thể tính được tiếp điểm ngay không?
- Nếu biết tt có hệ số góc k thì có mấy cách
làm?
VD: Viết pttt với (C):
3 2
3 2y x x= + −
tại
điểm có tung độ y
0
= 2
VD: Viết pttt với (C):
3 2
3 2y x x= + −
biết
tiếp tuyến đó vuông góc với đt
3
1
5
y x= +
Củng cố: Cho hs nhắc lại các trường hợp khi xét tương giao của 2 đường cong, điều
kiện tiếp xúc, cách viết pttt với đồ thò hàm số.

Dặn dò: BTVN 1->8 / 60
Rút kinh nghiệm: Nên đưa phần điều kiện tiếp xúc ra trước để dạy phần pttt có thêm
cách làm dùng điều kiện tiếp xúc.
- 3 -