Tải bản đầy đủ (.doc) (11 trang)

Số ổn định và tô màu đồ thị.DOC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (135.95 KB, 11 trang )

Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
Chơng 2
Số ổn định và tô màu đồ thị
I. Số ổn định trong, số ổn định ngoài, nhân đồ thị
1. Số ổn định trong
Cho đồ thị vô hớng G = <X, U> và A X.
a) Tập A gọi là tập ổn định trong của đồ thị nếu hai đỉnh bất kỳ trong A là không
kề nhau, tức là không có một cạnh nào của đồ thị chứa hai đỉnh x và y.
b) Tập A gọi là tập ổn định trong cực đại của đồ thị G nếu:
- A là tập ổn định trong
- Nếu thêm vào A một đỉnh ngoài A thì A không phải là ổn định trong.
Gọi L là tập hợp các tập ổn đỉnh trong của của G = <X,U>. Khi đó ký hiệu (G)
= Max {A / A L} và (G) đợc gọi là số ổn định trong của đồ thị G. Nh vậy
(G) là số phần tử của 1 tập ổn định trong cực đại nào đó.
2. Số ổn định ngoài
Cho đồ thị vô hớng G = <X,U> và B X
a) Tập B đợc gọi là tập ổn định ngoài của đồ thị nếu với mỗi phần tử y X \ B đều
tồn tại x B sao cho có cạnh nối giữa x và y, B còn đợc gọi là tập thống trị của
đồ thị.
b) Tập B đợc gọi là tập ổn định ngoài cực tiểu nếu:
- B là tập ổn định ngoài
- Nếu bớt 1 phần tử bất kỳ của B thị B không còn là tập ổn định ngoài.
Gọi M là tập của tất cả các tập ổn định ngoài của G = <X,U>. Khi đó ký hiệu
(G) = Min { / B M} và (G) đợc gọi là số ổn định ngoài của đồ thị G.
Đối với các tập ổn định ngoài, ta thờng quan tâm đến tập ổn định ngoài có số phần
tử ít nhất vì lực lợng của nó liên quan tới số ổn định ngoài của đồ thị.
3. Nhân đồ thị
Cho đồ thị vô hớng G = <X, U>. Nếu tập A X vừa là tập ổn định trong vừa là
tập ổn định ngoài của đồ thị G thị A đợc gọi là nhân của đồ thị.
Đối với nhân của đồ thị, ta quan tâm tới nhân có số phần tử ít nhất.
24


Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
Hình 1.1
Ví dụ: xét đồ thị hình 1.1 ta có:
Các tập ổn định trong của đồ thị là:
A
1
= {1, 5, 7} A
6
= {2, 6, 7}
A
2
= {1, 6, 7} A
7
= {4, 5, 7}
A
3
= {3, 5, 7} A
8
= {4, 6, 7}
A
4
= {3, 6, 7} A
9
= {2, 4, 5, 7}
A
5
= {2, 5, 7} A
10
= {2, 4, 6, 7}
Tập A

9
và A
10
là các tập ổn định trong cực đại có 4 phần tử vì nếu thêm 1 đỉnh
mới nữa vào các tập đó thì chúng không còn là tập ổn định trong nữa. Số ổn định
trong của đồ thị trên là (G) = 4.
Với đồ thị trên các tập ổn định ngoài cực tiểu là B
1
= A
1
; B
2
= A
2
; B
3
= A
3
; B
4
=
A
4
. Vì các tập này nếu bớt đi 1 trong các phần tử của chúng thì tập còn lại không
là tập ổn định ngoài nữa. Số ổn đỉnh ngoài của đồ thị này là (G) = 3. Nhân của
đồ thị trên là B
1
, B
2
, B

3
, B
4
vì các tập này là tập ổn định trong và đồng thời cũng là
tập ổn định ngoài.
4. Các thuật toán tìm các tập ổn định trong cực đại, ổn định ngoài cực tiểu.
4.1 Thuật toán tìm số ổn định trong
- Bớc 1: Tìm các tập ổn định trong có 2 phần tử bằng cách xét tất cả tổ hợp chập
2 của n phần tử (n số các đỉnh), kiểm tra những tập nào mà phần tử của ma trận kề
tơng ứng bằng 0 thì tập đó là ổn định trong.
- Bớc 2: Duyệt từng tập có 2 phần tử và bổ sung thêm phần tử thứ 3 và kiểm tra
từng cặp nh bớc 1, tập nào thoả ta đợc tập ổn định trong 3 phần tử.
........
- Bớc k: Giả sử đã tìm đợc m tập con ổn định trong có k + 1 phần tử
+ Duyệt từng tập và bổ sung vào các tập đó thêm 1 phần tử
+ Nếu không có tập nào bổ sung đợc nữa thì dừng
4.2 Thuật toán tìm số ổn định ngoài
Xét G = <X,U> với X = {x
1
, x
2
,....,x
n
}
25
4
1
2
3
6 5

7
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
- Bớc 1: Xác định các tập (x
i
) i = 1..n với (x
i
) = {x
i
và các đỉnh kề với x
i
}
- Bớc 2: Từ các tập (x
1
), (x
2
),..., (x
n
) ta tìm tập B
B = {x
k1
, x
k2
,..., x
km
} sao cho (x
k1
) (x
k2
) ... (x
km

) = X
Khi đó B là tập ổn định ngoài cực tiểu
5. ứng dụng đồ thị trong lập trình chơi cờ Ca rô
Ta xét một ứng dụng của đồ thị cho bài toán lập trình chơi cờ Ca rô trên máy
tính. Cờ carô là loại cờ mà rất nhiều bạn trẻ đặc biệt giới sinh viên học sinh a
thích. Quy tắc và cách thức chơi đơn giản, nhng nó thực sự là bài toán tin rất hay,
là bài lập trình thể hiện nhiều t duy thuật toán, cũng nh cơ sở về trí tuệ nhân tạo
cho việc lập trình trò chơi giữa ngời và máy.
Ta xét ứng dụng của đồ thị phục vụ cho bài toán lập trình trò chơi Carô.
Xét một thế cờ Carô nh hình 1.2.a
o
1
x
1
x
2
x
4
x
3
o
2
o
3
a) b)
Hình 1.2
Cấu trúc dữ liệu cho thế cờ này có thể dùng bảng ma trận nh hình 1.2.b, với 0 là
vùng trắng, 1 là quân "o" và 2 là quân "x". Nhng nh vậy việc tính toán sẽ rất khó
khăn, ta có thể dùng đồ thị làm cấu trúc dữ liệu cho thế cờ Carô, khi đó việc tính
toán sẽ dễ dàng đi và tận dụng những tính chất đã nghiên cứu về đồ thị thì bài

toán lập trình trò chơi carô sẽ trở nên thuận lợi hơn nhiều.
a) Mô hình bằng đồ thị theo vị trí liền kề
Ta xây dựng 1 đơn đồ thị theo nguyên tắc sau
- Mỗi 1 quân "x" hoặc quân "o" thì tơng ứng với một đỉnh
- Hai đỉnh là kề nhau nếu tơng ứng với 2 quân ở vị trí liên tiếp nhau
- Mỗi một cạnh đợc gán một nhãn, nhãn cho biết 2 đỉnh kề nhau là kề đứng, kề
chéo hay là kề ngang trong thế cờ. Ta gán tên nhãn nh sau: thẳng ngang nhãn là 1,
thẳng chéo trái là 2, thẳng dọc nhãn là 3, thẳng chéo phải là 4 (xem hình 1.3.a).
26
0 1 0 2
A = 0 0 2 2
0 2 0 0
1 0 0 1
x
1
x
2
x
3
o
2
o
1
x
4
o
3
4
4
4

2
1
3
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
a) b)
Hình 1.3 a) Cách đánh nhãn b) Đồ thị cho thế cờ hình 1.2.a
Ví dụ đồ thị nh hình 1.3.b là thể hiện cho thế cờ hình 1.2.a
Trong luật chơi cờ carô nếu quân "x" đi trớc thì ngay sau đó là quân "o" đi sau,
tiếp tục lại "x" rồi lại "o"... Chính điều này ta có thể coi những quân "x" tơng ứng
là những đỉnh số lẻ, quân "o" tơng ứng những đỉnh số chẵn hoặc ngợc lại.
Trong 1 thế cờ Carô nếu tồn tại 1 dãy 5 quân liên tiếp của "x" hoặc "o" đợc sắp
thẳng hàng ngang, thẳng hàng dọc hoặc thẳng hàng chéo thì thắng. Với đồ thị
nếu tồn tại một đờng đi các cạnh cùng nhãn gồm 5 đỉnh số lẻ, hoặc số chẵn thì thế
cờ thắng cho tơng ứng quân "x" hoặc quân "o".
Xét đồ thị hinh 1.3.b đã có 1 đờng đi cùng nhãn 4 gồm 3 đỉnh cùng quân x
1
, x
2
,
x
3
. Nếu ta thêm 1 đỉnh x
6
kề với đỉnh o
2
sao cho cạnh (o
2
, x
6
) có nhãn 4, sau cùng

ta thay đỉnh o
2
bằng đỉnh x
5
thì bây giờ ta có 1 đờng đi cùng nhãn 4 gồm 5 đỉnh
quân "x" (x
1
, x
2
, x
3
, x
5
, x
6
) và ta có 1 thế cờ thắng cho quân x.
Nhận xét:
- Với mô hình này ta sẽ không thể thấy đợc đầy đủ mối quan hệ giữa các đỉnh,
nh đồ thị hình 1.3.b đỉnh o
3
là đỉnh cô lập, trong thế cờ hình 1.2.a o
1
có mối quan
hệ thẳng hàng với x
1
và x
3
nhng trong đồ thị tơng ứng ta không nhìn thấy đợc mối
quan hệ này nên khó tính toán đợc nớc đi cho lần sau. Mà mối quan hệ "thẳng
hàng" giữa các quân là quan trọng trong bài toán lập trình trò chơi carô.

- Mô hình này chỉ thích hợp cho việc lập trình khi mà chỉ chơi giữa ngời với ngời,
lúc này bài toán chỉ là tìm đờng đi cùng nhãn gồm 5 đỉnh cùng quân, không phải
là bài toán tính nớc đi cho các bớc tiếp theo.
b) Mô hình bằng đồ thị theo mối quan hệ thẳng hàng.
Cách xây dựng này tơng tự nh cách thứ nhất nhng có những đặc điểm sau:
- Hai đỉnh x và o là kề nhau nếu tơng ứng với 2 quân x và o mà chúng có mối
quan hệ là thẳng hàng với nhau.
27
4
1
2 3
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
- Trên mỗi cạnh ngoài nhãn thể hiện mối quan hệ thẳng hàng, ta thêm 1 trọng số
đờng đi, trọng số của cạnh (x, o) là số ô đi thẳng hàng từ quân x đến quân o trong
thế cờ.
- Hai đỉnh x và o chỉ đợc kề nhau khi trọng số cạnh (x, o) không quá 4.
x
1
o
1
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3

x
4
o
2
o
3
x
5
a) b)
Hình 1.4
Ví dụ xét thế cờ nh hình 1.4.a và hình 1.4.b thì đồ thị tơng ứng của nó nh hình
1.5.a và hình 1.5.b
a) b)
Hình 1.5
Mỗi cạnh của đồ thị, nhãn đặt trớc trọng số, trọng số đứng sau cách nhãn bởi dấu
phẩy. Xét thế cờ 1.4.a từ quân x
1
đến quân x
2
cách nhau 1 ô nếu tính từ x
1
nên
trọng số cạnh (x
1
, x
2
) là 1, quân x
1
cách x
3

2 ô nên trọng số (x
1
, x
3
) là 2. Ta thấy
x
1
, x
2
, x
3
đều thẳng hàng dọc nên nhãn là 3, và tơng tự đánh nhãn và trọng số cho
các cạnh còn lại ta có đồ thị nh hình 1.5.a. Nh vậy nếu tồn tại 1 đờng đi cùng nhãn
và có trọng số 1 gồm 5 đỉnh cùng quân thì thế cờ thắng, ở đồ thị hình 4.a đờng đi
thắng cho quân x là (x
1
, x
2
, x
3
,

x
4
, x
5
)
Trong kỹ thuật chơi cờ Ca rô, nớc đi có lợi nhất là nớc có tạo đợc nhiều khả
năng dẫn đến thế cờ thắng, ví dụ thế cờ nh hình 1.4.b thì ví trí của o
1

là 1 trong
những nớc có lợi nhất, vì nếu ta thay o
1
bằng x
4
thì quân x có thêm 3 khả năng
phát triển nớc dẫn đến thế cờ thắng nh (x
4
, x
2
); (x
4
, x
1
); ( x
4
, x
3
), nếu với đồ thị t-
28
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5

o
1
x
1
x
2
x
3
o
2
o
3

×