Bai Giảng Tính Chất Ba Đường Trung Tuyến Của Tam Giác

G

Điểm G là điểm nào trong tam giác thì miếng bìa
hình tam giác nằm thăng bằng trên đầu ngón tay?


Tiết 53. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA
TAM GIÁC
1/ Đường trung tuyến của tam giác.
A

B

x

M

AM là đ­êng trung
tuyÕn

x

Đoạn thẳng AM gọi là đường trung tuyến
xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Mỗi tam giác có nhiều nhất bao
nhiêu đường trung tuyến ?
C

A

xuất phát từ đỉnh A

F

hoặc ứng với cạnh
BC của tam giácABC

* Mỗi tam giỏc cú ba đường trung
tuyến

=
B

=

/

E
/

x

M

x

C


Tiết 53. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA

TAM GIÁC
1/ Đường trung tuyến của tam giác.
A

B

x

M

x

C

* Đoạn AM là
đ­êng trung tuyÕn

xuất phát từ đỉnh A

*Thực hành 1: Cắt gấp giấy
Nhận
xét:
Bagiác
đường
trung
- Cắt
một
tam
bằng
giấy.tuyến của một

tam giác cùng đi qua một điểm.
- Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh
của nó
A
Kẻ đoạn thẳng nối đỉnh này với trung điểm
/ E
cạnh đối diện.
F =

Bằng cách tương tự vẽ tiếp 2 trung tuyến
hoặc ứng với cạnh BC
/
còn lại. =
của tam giác ABC
x
x
* Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
B
C
M
2/ Tính chất ba đường trung tuyến của
tam giác.
?2 Quan sát tam giác vừa cắt. Cho biết
a) Thực hành:

ba đường trung tuyến có đi qua một
điểm hay không?


Tiết 53. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA

TAM GIÁC
1/ Đường trung tuyến của tam giác.

*Thực hành 1: Cắt gấp
A
giấy
Nhận xét: Ba đường trung tuyến của một
tam giác cùng đi qua một điểm.
*Thực hành 2: Vẽ trên giấy kẻ ô
vuông mỗi chiều 10 ô vuông
x M x C
Đếm dòng, đánh dấu các đỉnh A, B, C
B
rồi vẽ ∆ABC như hình sau.
* Đoạn AM là
xuất phát từ đỉnh A
đ­êng trung tuyÕn hoặc ứng với cạnh BC Vẽ 2 đường trung tuyến BE và CF,
chúng
của tam giác ABC
cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.

* Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
2/ Tính chất ba đường trung tuyến của
tam giác.
a) Thực hành:


A

x

/

E
F
x

G
/

C
D
B


?3 Hãy cho biết :
•AD có là đường trung tuyến của tam giác ABC hay không?
AG BG CG
• Các tỉ số
,
,
bằng bao nhiêu?
AD BE CF
GIAỈ :

* AD là đường trung tuyến của tam
giác ABC

x

AG BG CG 2
⇒
=
=
=
AD BE CF 3

x

AG 6 2
= =
AD 9 3
BG 4 2
= =
BE 6 3
CG 4 2
= =
CF 6 3


Tiết 53. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA
TAM GIÁC
A

1/ Đường trung tuyến
của tam giác.
B

x

*Thực hành 1: Cắt gấp giấy

M

x

* Đoạn AM là đ­êng trung tuyÕn

C

* Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
2/ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
a) Thực hành:
b) Tính chất:

Ba đường trung tuyến của tam giác
cùng đi một điểm. Điểm đó cách mỗi
2
đỉnh một khoảng bằng 3 độ dài
đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Nhận xét: Ba đường trung tuyến của một
tam giác cùng đi qua một điểm.
*Thực hành 2: Vẽ trên giấy kẻ ô
vuông mỗi chiều 10 ô vuông

A
/
=
F

G
=
x

E
/

x

C


Tiết 53. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA
TAM GIÁC
1/ Đường trung tuyến của tam giác.
2/ Tính chất ba đường trung tuyến của tam
giác.
a) Thực hành:

b) Tính chất: Định lí (SGK-trang66)

A
/ E
=
F
G
/
=
x D x
B

C

*Ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại G.
⇒

AG BG CG 2
=
=
=
AD BE CF 3

*Điểm G gọi là trọng tâm của ∆ABC.


Làm thế nào để xác định trọng tâm G của tam giác ABC
Cách 1:
Tìm giao
của hai
đường
trung
tuyến

A
F
B

G

Cách 2:Vẽ

một đường
trung tuyến,
vẽ G cách
đỉnh bằng 2/3
độ dài đường
trung tuyến
đó

A

E
G
C

B

D

C


Tiết 53. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA
TAM GIÁC
1/ Đường trung tuyến của tam giác.
2/ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
a) Thực hành:

b) Tính chất: Định lí (SGK-trang66)
*Ba đường trung
tuyến AD, BE, CF

đồng quy tại G.
⇒

AG BG CG 2
=
=
=
AD BE CF 3

A

/ E
=
F
G
/
=
x D x
B

*Điểm G gọi là trọng tâm của ∆ABC.

Bài tập 23/66 sgk: Cho G là trọng
tâm của ∆DEF với đường trung
tuyến DH.
Trong các khẳng định sau,
D khẳng
định nào đúng?
G
E

C

DG 1
=
DH 2

DG
=3
GH

GH 1
=
DH 3

GH 2
=
DG 3

H

F


A
G
B

M

Có thể
em chưa
biết ...
C

Nếu G là trọng tâm của ∆ABC thì :
S∆AGB = S∆AGC = S∆BGC =13 S∆ABC
 Nếu nối ba đỉnh của một tam giác với trọng tâm G
của nó thì ta được ba tam giác có diện tích bằng
nhau.
 Đặt một miếng bìa hình tam giác lên giá nhọn,
điểm đặt làm cho miếng bìa đó nằm thăng bằng
chính là trọng tâm của tam giác.
Hãy thử xem!

.

?.



Bài tập 24/66 SGK: (HOẠT ĐỘNG NHÓM)
Cho hình vẽ sau, hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau?

2
3
1
GR
=
…MR

Nhóm 1
3
1
GR = …MG
2
a, MG = ...MR

3
b, NS = …NG
2
Nhóm 2

3
NS = …GS
2
NG = …GS

c. Nếu NG = 4 thì:
SG = …….
Nhóm 3
6
NS = ……..

2

d. Nếu MR = 9 thì:
3
Nhóm 4

RG = …….

6
GM = ……..


CÁC TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM
A

M

F
N
B

E

G

P

D

C


 Nắm được cách vẽ đường trung tuyến và trọng
tâm của tam giác.
 Học thuộc định lí về ba đường trung tuyến
của tam giác.
 Làm bài tập: 25, 26, 27 – SGK trang 67
B

/

.

G
A

M
/

C


Bài tập 25/ 67 SGK:
Biết rằng : Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền
bằng một nửa cạnh huyền.
Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm; AC = 4 cm.
Hãy tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC?
B
Hướng dẫn bài 25:
+ Tính độ dài cạnh huyền BC.
+ Suy ra độ dài trung tuyến
AM.
+ Tính độ dài AG.
A

G

.

M

C


Chứng minh định lý “Ba đường
trung tuyến của tam giác”
+) Trước hết ta chứng minh giao điểm G của hai
đường trung tuyến AD và BE của tam giác
ABC chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số
2:3 kể từ đỉnh:
*) Bước 1:
Chứng minh DE // AB và DE = 1/2AB:
Kéo dài DE một đoạn EF = ED, ta chứng minh
AF // BD và AF = BD, suy ra DF // AB và DF
= AB.
*) Bước 2:
Gọi I, K là trung điểm của AG, BG, ta chứng
minh IG = GD, KG = GE, suy ra GA = 2GD,
GB = 2GE, do đó GA = 2/3AD, GB = 2/3BE.
+) Lập luận tương tự đường trung tuyến CM và
trung tuyến AD cũng cắt nhau tại điểm G ’
chia mỗi đường trung tuyến này theo tỉ số
2:3 kể từ đỉnh.
Do đó G và G’ trùng nhau.
+) Vậy ba đường trung tuyến của tam giác cùng
đi qua một điểm và điểm đó chia mỗi đường
trung tuyến theo tỉ số 2:3 kể từ đỉnh.

F

A
I
M

B

E

G
K
D

C