Một số định lý về sự hội tụ của dãy hàm

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ ANH QUỐC

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI
TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Huế, Khóa học: 2013-2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ ANH QUỐC

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI
TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ngành học: Sư phạm Toán
Cán bộ hướng dẫn: TS. Trương Văn Thương
Huế, Khóa học: 2013-2017


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
đến thầy Trương Văn Thương đã giúp đỡ, hướng dẫn chu đáo để tôi có thể hoàn

thành khóa luận này. Xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn
sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không chỉ trong thời gian làm
khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập.

Tôi xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô giáo đã giảng dạy
lớp Toán B, cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Huế, những người đã truyền tải kiến thức, kinh nghiệm cho bản thân tôi và giúp đỡ
tôi trong thời gian thực hiện đề tài này.

Cuối cùng, xin phép được gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè đã quan tâm
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.

Tôi xin chân thành cám ơn!

Huế, tháng 5 năm 2017
HÀ ANH QUỐC


Mục lục
Danh mục kí hiệu

3

Phần mở đầu

4

1 Kiến thức cần thiết

7

1.1

1.2

1.3

Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Hàm đo được, hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2

Hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Không gian Lp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2

Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Một số định lý về sự hội tụ của các dãy hàm
2.1

2.2

18

Sự hội tụ của các dãy hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1

Sự hội tụ đều của dãy hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2

Sự hội tụ hầu khắp nơi của dãy hàm đo được . . . . . . . . . 21

2.1.3

Sự hội tụ hầu như đều của dãy hàm đo được . . . . . . . . . . 24

2.1.4

Sự hội tụ theo độ đo của dãy hàm đo được . . . . . . . . . . . 25

2.1.5

Sự hội tụ trung bình của dãy hàm khả tích . . . . . . . . . . . 28

Mối liên hệ giữa các sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1

Mối liên hệ giữa sự hội tụ đều và hội tụ hầu khắp nơi . . . . . 31
1


2.2.2

Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo . 33

2.2.3

Mối liên hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và hội tụ trung bình . . 35

2.2.4

Mối liên hệ giữa sự hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi . 37

2.2.5

Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ hầu như đều 40

2.2.6

Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu như đều và hội tụ theo độ đo . 42

2.2.7

Mối liên hệ giữa sự hội tụ hầu như đều và hội tụ trung bình . 44

2.2.8

Mối liên hệ giữa sự hội tụ trung bình và hội tụ đều . . . . . . 45

2.2.9

Lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa các dạng hội tụ . . . . . . . 47

2.2.10 Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ được mở rộng trên không
gian Lp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Phần kết luận

52

Tài liệu tham khảo

53


DANH MỤC KÍ HIỆU
P(X)

Tập tất cả những tập con của X

Rn

Không gian thực n-chiều

R

Không gian R ∪ {+∞, −∞}

F(C)

σ-đại số chứa C

B

σ-đại số Borel

L

Tập tất cả các tập µ∗ -đo được

(X, F)

Không gian đo được

(X, F, µ)

Không gian độ đo

⇒

Hội tụ đều

h.k.n

−−−→

Hội tụ hầu khắp nơi

h.k

⇒
µ

→
−
ρ

→
−

Hội tụ hầu như đều
Hội tụ theo độ đo
Hội tụ trung bình


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHẦN MỞ ĐẦU
Lịch sử vấn đề
Các hàm số liên tục trên một khoảng có nhiều tính chất tốt, nhưng không đóng
kín đối với một phép toán cơ bản của giải tích là phép toán lấy giới hạn, vì vậy cần
một lớp hàm mới có các tính chất tốt của hàm liên tục và đóng kín đối với phép
toán lấy giới hạn, đó là lớp các hàm đo được. Từ cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX,
các nhà toán học đã xây dựng lớp các hàm đo được và các định lý về sự hội tụ của
các dãy hàm đo được, từ đó xây dựng nên các dãy hàm cơ bản và tiếp cận các khái
niệm mới hàm khả tích Lebesgue, chuyển giới hạn qua dấu tích phân. Sự hội tụ của
các dãy hàm có ý nghĩa quan trọng, đáp ứng yêu cầu phát triển trong các vấn đề
liên quan giải tích lồi, không gian Orlicz và các lĩnh vực: lý thuyết xác suất, cơ học
lượng tử.

Lý do chọn đề tài
Lý thuyết Độ đo và Tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm số
thực và cùng với Giải tích hàm tạo nên kiến thức giải tích hiện đại cơ bản, thông
qua nghiên cứu lĩnh vực này người học có thể tiếp cận các kiến thức cao hơn của

giải tích hiện đại. Trong đó, các định lý về sự hội tụ của các dãy hàm đo được hay
dãy hàm khả tích là một phần nhỏ của lý thuyết độ đo và tích phân nhưng rất quan
trọng. Ngoài việc, đọc và hệ thống lại các định nghĩa, định lý về sự hội tụ đề tài còn
làm rõ mối liên hệ giữa chúng thông qua việc lập lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa
các dạng hội tụ và chỉ ra các ví dụ hay phản ví dụ cụ thể.
Đã có nhiều tài liệu hay một số nghiên cứu nói về sự hội tụ của các dãy hàm,
các định lý về sự hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ. Sau đây,
tôi xin hệ thống lại kiến thức về sự hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ giữa các dạng
hội tụ, các mối liên hệ đó thay đổi hay không khi xét trên không gian độ đo vô hạn
hay hữu hạn. Do đó, tôi đã quyết định thực hiện đề tài: "Một số định lý về sự
hội tụ của dãy hàm đo được" để làm rõ các vấn đề trên.
4


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các dạng hội tụ quen thuộc của các dãy hàm như hội tụ điểm, hội
tụ đều, hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo. Ngoài ra, đề tài còn tìm hiểu các
kiểu hội tụ khác như hội tụ trung bình, hội tụ hầu như đều, hội tụ đều hầu khắp
nơi và các dãy hàm cơ bản.
Chỉ ra mối liên hệ giữa các dạng hội tụ và các dãy cơ bản thông qua các ví dụ
hay phản ví dụ đồng thời cũng xem xét mối liên hệ đó thay đổi như thế nào khi đặt
trong không gian độ đo hữu hạn hay vô hạn. Chẳng hạn, trong không gian độ đo
hữu hạn và độ đo đang xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu khắp
nơi thì hội tụ theo độ đo.Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác có mối liên
hệ với nhau như thế nào? Và các mối liên hệ này có thay đổi không khi ta xét chúng
trong không gian độ đo hữu hạn? Đề tài sẽ làm rõ vấn đề này.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Cần trình bày các kiến thức bổ trợ cần thiết về đại số tập hợp, không gian độ đo,
định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích Lebesgue và không gian định chuẩn, không
gian Lp .
Hệ thống lại các định nghĩa sự hội tụ của dãy hàm, các dãy cơ bản và thiết lập
mối liên hệ giữa các dạng hội tụ thông qua sơ đồ, tìm hiểu mối liên hệ giữa các dạng
hội tụ và các dãy cơ bản khi xét trên không gian độ đo vô hạn hay hữu hạn với độ
đo đủ. Chọn các ví dụ, phản ví dụ hay bài tập cần thiết để làm rõ các định nghĩa
sự hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ.

Phương pháp nghiên cứu
Trước tiên, khảo sát các tài liệu đã có, các nghiên cứu về chủ đề sự hội tụ của
dãy hàm đã làm được những gì và còn những thiếu sót gì. Sau đó, tìm và chọn lựa
những tài liệu cần thiết, đọc tài liệu và hệ thống lại kiến thức về định nghĩa, các
định lý về sự hội tụ của dãy hàm đo được, dãy hàm khả tích.

5


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Phạm vi của đề tài
Đề tài: "Một số định lý về sự hội tụ của dãy hàm đo được" nghiên cứu
sự hội tụ của dãy hàm đo được, khả tích. Đồng thời, chỉ ra mối liên hệ giữa các sự
hội tụ của dãy hàm và mối liên hệ này thay đổi như thế nào khi xét trên không gian
độ đo vô hạn hay hữu hạn(hoặc khi bổ sung vào các điều kiện cần thiết). Bên cạnh
đó, tôi đã lập ra lược đồ mối liên hệ giữa các dạng hội tụ kèm theo các ví dụ hay

phản ví dụ để minh chứng cho các mối liên hệ trên, đề tài còn mở rộng lên không
gian Lp , tức là chỉ ra mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trên không gian này.

Bố cục đề tài
Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra, đề tài trình bày một cách có hệ thống kiến
thức liên quan và chi tiết các định nghĩa, định lý sự hội tụ của dãy hàm đo được
khả tích và mối liên hệ giữa chúng. Đồng thời, đề tài còn đưa ra các bài tập bổ sung
cho các định lý và mở rộng trình bày các kết quả trên không gian Lp .
Bố cục được sắp xếp như sau:
Ngoài phần mở đầu, phần kết luân, mục lục và danh mục kí hiệu. Nội dung chính
của đề tài gồm hai chương:
Trong chương 1, trình bày các kiến thức cơ bản về đại số, σ-đại số, σ-đại số
Borel. Tiếp theo, định nghĩa độ đo trên đại số, độ đo ngoài và các tính chất, không
gian độ đo và độ đo Lebesgue. Trình bày khái niệm hàm đo được, hàm khả tích và
các tính chất của hai hàm này. Phần cuối, định nghĩa không gian định chuẩn và
không gian Lp .
Chương 2, đưa ra khái niệm như: sự hội tụ đều, hội tụ hầu như đều, hội tụ hầu
khắp nơi, hội tụ theo độ đo và hội tụ trung bình. Lấy các ví dụ về sự hội tụ của dãy
hàm và đưa ra định nghĩa các dãy cơ bản ứng với sự hội tụ đã nêu. Tìm mối liên hệ
giữa các dạng hội tụ và lập sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa các sự hội tụ của dãy
hàm, kèm theo đó là các ví dụ hay phản ví dụ minh chứng cho các mối liên hệ đó.
Các định lý liên quan đến sự hội tụ của dãy hàm cũng được đưa vào và còn mở rộng
các kết quả về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trong không gian Lp .

6


Chương 1
Kiến thức cần thiết
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về đại số, σ-đại số. Định nghĩa độ đo

trên đại số tập hợp, độ đo ngoài và các tính chất quan trọng, cách xây dựng độ đo
Lebesgue. Tiếp theo, đưa ra định nghĩa hàm đo được, hàm khả tích cùng các tính
chất quan trọng và cách kiểm tra tính đo được khả tích của hàm. Phần cuối, trình
bày không gian định chuẩn và không gian Lp .

1.1

Không gian độ đo

1.1.1

Đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1. [1] Cho X là một tập không rỗng.
Xét C ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng những tập con của X, lớp C được gọi là một
đại số trên X nếu:
1. A ∪ B ∈ C với mọi A, B ∈ C;
2. Ac = (X \ A) ∈ C với mọi A ∈ C.
Xét C ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng những tập con của X, lớp C được gọi là một
σ-đại số trên X nếu:
∞

An ∈ C với mọi dãy (An )n ⊂ C;

1.
n=1

2. Ac = (X \ A) ∈ C với mọi A ∈ C.
7

HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Nhận xét:
1. Giả sử C là một đại số trên X. Khi đó, các tập ∅ và X đều thuộc C. Ngoài ra,
nếu A ∈ C và B ∈ C thì A ∩ B ∈ C và A \ B ∈ C.
2. Các lớp C = {∅, X} và C = P(X) là những σ-đại số. Nếu X là tập vô hạn thì
họ C gồm các tập con A của X sao cho A không quá đếm được(hoặc Ac không quá
đếm được) cũng là một σ-đại số.
3. Giả sử C là một σ-đại số trên X thì C là một đại số trên X. Hơn nữa, nếu dãy
∞

(An )n ⊂ C thì

An ∈ C
n=1

Định lý 1.2. [1] Cho C ⊂ P(X) là một lớp khác rỗng. Lúc đó, tồn tại duy nhất
một σ-đại số F(C) chứa C và chứa trong mọi σ-đại số chứa C.
Định nghĩa 1.3. [1] Cho X là một không gian tôpô. Lúc đó, σ-đại số sinh ra bởi
họ các tập mở của X được gọi là σ-đại số Borel trên X, kí hiệu: BX . Mỗi phần tử
của BX được gọi là một tập Borel.
Nhận xét:
Tập Borel là những tập xuất phát từ tập mở và thực hiện một số hữu hạn hay
đếm được các phép toán hợp, giao trên tập đó. Ngoài ra, mỗi tập đóng là phần bù
của một tập mở nên mỗi tập đóng cũng là một tập Borel.

1.1.2

Không gian độ đo

Định nghĩa 1.4 (Độ đo trên đại số tập hợp). [1] Cho C là một đại số trên X. Một
ánh xạ µ : C → R được gọi là một độ đo nếu thỏa các điều kiện sau:
1. µA ≥ 0 với mọi A ∈ C;
2. µ(∅) = 0;
3. µ là σ-cộng được, tức là với bất kỳ dãy (An )n ⊂ C sao cho các An là rời nhau
∞

∞

An ∈ C thì µ(

đôi một và
n=1

∞

An ) =
n=1

µAn .
n=1

Lưu ý:
1. Độ đo µ xác định trên σ-đại số F được định nghĩa tương tự độ đo trên đại số
tập hợp.
8

HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

2. Độ đo µ gọi là hữu hạn nếu µX < +∞. Hơn nữa, độ đo µ gọi là σ-hữu hạn
∞

Xn mà Xn ∈ C và µXn < +∞ với mọi n ∈ N.

nếu X =
n=1

3. Độ đo µ xác định trên σ-đại số F được gọi là độ đo đủ nếu A ∈ F sao cho
µA = 0 thì mọi tập con B ⊂ A cũng thuộc về F và µB = 0.
Khi đó, cặp (X, F) được gọi là một không gian đo được, còn bộ ba (X, F, µ)
được gọi là một không gian độ đo.
Định lý 1.5 (Tính liên tục của độ đo). [1] Cho µ là độ đo trên C.
∞

1. Cho (An )n ⊂ C mà An ⊂ An+1 với mỗi n ∈ N và
∞

µ

An ∈ C. Lúc đó,
n=1

An = lim µAn .
n

n=1

∞

2. Cho (An )n ⊂ C mà An+1 ⊂ An với mỗi n ∈ N và
∞

thì µ

An ∈ C. Nếu µA < +∞
n=1

An = lim µAn .
n

n=1

Định nghĩa 1.6 (Độ đo ngoài). [1] Một ánh xạ µ∗ : P(X) → R được gọi là một độ
đo ngoài nếu thỏa các điều kiện sau:
1. µ∗ (∅) = 0 và µ∗ (A) ≥ 0 với mọi A ∈ P(X);
2. µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) nếu A ⊂ B;
3. µ∗ (

∞

∞

An ) ≤

n=1

µ∗ An với bất kỳ dãy (An )n ⊂ P(X).

n=1

Nhận xét: Tính chất của độ đo và độ đo ngoài.
1. Nếu A, B ∈ C mà A ⊂ B thì µA ≤ µB. Đặc biệt, khi µA < +∞ thì µ(B \A) =
µB − µA.
2. Nếu A, B ∈ C mà µB = 0 thì µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µA.
3. µ là cộng được. Ngoài ra, nếu (An )n ⊂ C mà µAn = 0 với mỗi n ∈ N và
∞

∞

An ∈ C thì µ
n=1

An = 0.
n=1

∞

∞

4. Nếu A ∈ C và (An )n ⊂ C sao cho A ⊂

An thì µA ≤
n=1

∞

là rời nhau đôi một và A ∈ C sao cho

∞

An ⊂ A thì
n=1

5. Nếu A1 , A2 , ..., An là n phần tử của C thì µ∗

n

µAn ≤ µA.
n=1

n

Ai ≤
i=1

9

µAn . Nếu (An )n ⊂ C
n=1

i=1

µ∗ Ai .

HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Định nghĩa 1.7. [1] Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X. Một tập A ⊂ X được gọi
là µ∗ -đo được(hay còn gọi là đo được) nếu thỏa:
µ∗ E = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X.
Mỗi phần tử của σ-đại số F trên X là một tập đo được.
Định lý 1.8 (Định lý Caratheodory). [2] Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X, kí
hiệu L là lớp tất cả các tập µ∗ -đo được. Khi đó, L là một σ-đại số trên X và hàm
µ = µ∗ |L (thu hẹp của µ∗ trên L) là độ đo trên L.

1.1.3

Độ đo Lebesgue

Một tập con của R được gọi là một gian nếu thuộc một trong các dạng sau:
(a; b), (a; b], [a; b), [a; b], (−∞; a), (−∞; a], (a; +∞), [a; +∞), (−∞; +∞),
với a, b là những số thực và a ≤ b. Kí hiệu: ∆ = (a; b) trong đó a, b ∈ R.
Tập ∅ cũng là mộtgian. Độ dài của một gian ∆ = (a; b) kí hiệu |∆|, được định


0
nếu ∆ = ∅,
nghĩa như sau: |∆| =

b − a nếu ∆ = ∅.
Định nghĩa 1.9. [2] Cho hàm µ∗ : R → R, trong đó:
∞

µ∗ (A) = inf

∞

|∆i | : ∆i là khoảng mở và A ⊂
i=1

∆i

với mỗi A ⊂ R,

i=1

được gọi là độ đo ngoài Lebesgue trên R.
Hàm µ∗ là độ đo ngoài trên R như vậy có thể áp dụng định lý Caratheodory để
xây dựng một độ đo trên R, đó chính là độ đo Lebesgue. Kí hiệu độ đo này là µ.
Một tập A ⊂ R gọi là đo được đối với độ đo Lebesgue nếu
µ∗ E = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ R.
Kí hiệu L là σ-đại số các tập µ∗ -đo được(Lebesgue đo được). Ngoài ra, nếu A ∈ L
thì µA = µ∗ A.

10


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Định lý 1.10. [1] Độ đo Lebesgue là đủ và σ-hữu hạn. Mỗi gian trên R là một tập

đo được và độ đo của một gian bằng độ dài của gian đó.
Mệnh đề 1.11. [1] Mọi tập con hữu hạn hoặc đếm được của R thì đo được và có
độ đo không.
Nhận xét:
Mọi tập Borel đều đo được Lebesgue. Ngoài ra, mỗi tập đo được Lebesgue là
một tập Borel thêm hay bớt một tập có độ đo không.
Định lý 1.12. [1] Cho A ⊂ R. Lúc đó, A là đo được khi và chỉ khi:
1. Với mỗi ε > 0, tồn tại tập mở G mà A ⊂ G sao cho µ∗ (G \ A) < ε.
2. Với mỗi ε > 0, tồn tại tập đóng F mà F ⊂ A sao cho µ∗ (A \ F ) < ε.
Nhận xét:
Độ đo Lebesgue trên Rn cũng xây dựng tương tự từ lớp các gian của Rn và có
tính chất tương tự như độ đo Lebesgue trên R.

1.2
1.2.1

Hàm đo được, hàm khả tích
Hàm đo được

Định nghĩa 1.13. [1] Cho (X, F) là không gian đo được, A ∈ F và f : A −→ R.
Hàm f được gọi là đo được trên A đối với σ-đại số F nếu mỗi a ∈ R, tập {x ∈ A :
f (x) > a} là đo được.
Nếu trên F có một độ đo µ thì ta nói hàm f là đo được đối với độ đo µ.
Nếu xét X = Rn và F là σ-đại số các tập Lebesgue đo được (hoặc F là σ-đại số
Borel ) thì ta nói f là Lebesgue đo được (hoặc f là Borel đo được).
Định lý 1.14. [1] Cho A ∈ F và f : A −→ R. Khi đó, f là đo được nếu và chỉ nếu
nó thỏa mãn một trong các mệnh đề sau đây:
1. Tập {x ∈ A : f (x) ≥ a} là đo được với mỗi a ∈ R.
2. Tập {x ∈ A : f (x) < a} là đo được với mỗi a ∈ R.
11

HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

3. Tập {x ∈ A : f (x) ≤ a} là đo được với mỗi a ∈ R.
Nhận xét:
Nếu f là đo được thì các tập {a < f < b}, {a ≤ f ≤ b}, {a ≤ f < b},
{a < f ≤ b}, {f = +∞}, {f = −∞} là đo được.
Định lý 1.15. [1] Cho A ∈ F và f : A −→ R.
1. Nếu µA = 0 và độ đo µ là đủ thì f là đo được trên A.
2. Nếu f đo được trên A thì f đo được trên B, B là tập con bất kỳ đo được của A.
3. Nếu f và g là đo được trên A thì các hàm k.f với k ∈ R; f + g; f g và

f
với
g

g = 0 cũng đo được trên A.
4. Giả sử (An )n là một dãy những tập đo được. Nếu hàm f đo được trên mỗi An
An và

thì hàm f đo được trên

An .

n

n

Định lý 1.16. [1] Cho A ∈ F và (fn )n là một dãy hàm thực đo được trên A. Lúc đó,
các hàm số sup fn ; inf fn ; lim sup fn ; lim inf fn là đo được. Đặc biệt, nếu lim fn = f
n

n

n

n

n

n

n

thì f cũng đo được.
Cho A ⊂ X. Hàm đặc trưng của A(kí hiệu XA ) là một hàm xác định trên X,
định nghĩa như sau:
XA (x) =



1 nếu x ∈ A,

0 nếu x ∈
/ A.

Một hàm số f xác định trên A được gọi là một hàm đơn giản nếu f là đo được

và chỉ nhận một số hữu hạn những giá trị thực.
Định lý 1.17. [1] Cho A ∈ F và f là một hàm đo được trên A. Lúc đó, tồn tại
một dãy (fn )n những hàm đơn giản trên A sao cho f = lim fn .
n

Nếu f ≥ 0 thì ta có thể chọn dãy (fn )n sao cho 0 ≤ fn ≤ fn+1 với mỗi n ∈ N.

1.2.2

Hàm khả tích

Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, kí hiệu L+ (A) để chỉ tập các hàm đo
được nhận giá trị không âm trên A.
12


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Định nghĩa 1.18 (Tích phân của hàm đơn giản không âm). Cho f là một hàm đơn
giản, không âm. Giả sử rằng f (A) = {a1 , a2 , ..., am } ⊂ R. Đặt Ai = {x ∈ A : f (x) =
m

ai } với i = 1, 2, ..., m. Lúc đó, các tập Ai này là rời nhau đôi một và A =

Ai .
i=1

m

ai X A i .

Khi đó, ta có thể biểu diễn f thành một tổ hợp tuyến tính: f =
i=1
m

Ta định nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo µ là tổng

ai µAi và kí hiệu:
i=1

m

f dµ =

ai µAi .
i=1

A

Lưu ý:
f dµ có thể bằng +∞.

1.
A

k

k

ej XEj với các tập Ej là đo được, rời nhau đôi một và A =

2. Nếu f =
j=1

Ej
j=1

nhưng các ej không nhất thiết khác nhau đôi một thì ta vẫn có:
k

f dµ =

ej µEj .
j=1

A

Định nghĩa 1.19 (Tích phân hàm đo được không âm). Cho hàm f ∈ L+ (A), ta
định nghĩa:
ϕdµ : 0 ≤ ϕ ≤ f, ϕ là hàm đơn giản

f dµ = sup
A

.

A

Định lý 1.20. [1] Cho f ∈ L+ (A). Nếu (fn )n là một dãy những hàm đơn giản
không âm sao cho fn

f thì
f dµ = lim

fn dµ.

n

A

A

Định nghĩa 1.21 (Tích phân hàm đo được bất kỳ). Cho hàm f đo được trên A,
f = f + − f − trong đó f + = max{f, 0}, f − = −min{f, 0} và hiệu

f + dµ − f − dµ
A

A

có nghĩa, tức không có dạng ∞ − ∞. Khi đó, hàm f được gọi là khả tích trên A nếu
A

f − dµ là hữu hạn.

f + dµ −

f dµ =

A

A

Nhận xét:
f − dµ là

f + dµ và

1. Hàm f khả tích trên A tương đương cả hai tích phân
A

A

hữu hạn, hay f + và f − là khả tích.
2. Do |f | = f + + f − nên f khả tích trên A khi và chỉ khi |f | là khả tích trên A.
13


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Định lý 1.22. [1] Cho f là hàm đo được trên A.
1. Nếu µA = 0 thì

f dµ = 0.
A

2. Nếu µA < +∞ và f là bị chặn thì f khả tích.

3. Nếu |f | ≤ g hầu khắp A và g là hàm khả tích thì f là khả tích.
4. Nếu f là khả tích và g là bị chặn thì f g là khả tích.
5. Nếu hai hàm h, g khả tích sao cho h ≤ f ≤ g hầu khắp A thì hàm f khả tích.
Định lý 1.23. [1] Cho A, B là hai tập con rời nhau của X.
1. Nếu f có tích phân trên A ∪ B thì f có tích phân trên A và trên B.
2. Nếu f có tích phân trên A và trên B đồng thời tổng

f dµ +
A

thì f có tích phân trên A ∪ B. Hơn nữa,

f dµ =
A∪B

3. Nếu µB = 0 thì

f dµ =
A∪B

f dµ có nghĩa
B

f dµ +
A

f dµ.
B

f dµ.

A

Định lý 1.24. [1] Cho f và g là hai hàm có tích phân trên A.
1. | f dµ| ≤
A

|f |dµ.
A

2. Nếu f ∼ g thì

gdµ. Đặc biệt, nếu f ∼ 0 thì

f dµ =
A

3. Nếu f ≤ g thì

A

f dµ ≤
A

f dµ = 0.
A

gdµ. Đặc biệt, nếu f ≥ 0 thì
A

f dµ ≥ 0.

A

Nhận xét:
1. Nếu hàm f có tích phân trên A thì hàm f có tích phân trên mọi tập con đo
được E của A. Hơn nữa, hàm f khả tích trên A thì hàm f cũng khả tích trên mọi
tập con đo được E của A.
2. Nếu hàm f khả tích trên A thì f nhận giá trị hữu hạn hầu khắp A.
3. Nếu f ≥ 0 và

f dµ = 0 thì f = 0 hầu khắp A.
A

Định lý 1.25. [1] Cho f và g là hai hàm khả tích trên A.
1. Với mọi c ∈ R,

cf dµ = c f dµ.
A

A

14


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

f dµ + gdµ có nghĩa thì hàm f + g khả tích trên A và (f + g)dµ =

2. Nếu tổng

A

f dµ +
A

A

A

gdµ.
A

Lưu ý:
Đẳng thức thứ hai trong định lý trên còn đúng cho n hàm f1 , f2 , ..., fn .
Định lý 1.26 (Tính liên tục tuyệt đối). [1] Cho f là hàm khả tích trên A. Lúc đó,
với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho | f dµ| < ε với mọi E ⊂ A mà µE < δ.
E

Bổ đề 1.27 (Bổ đề Fatou). [1] Nếu (fn )n ⊂ L+ (A) thì
lim inf fn dµ ≤ lim inf
n

fn dµ.

n

A

A

Định lý 1.28 (Định lý Beppo Levi sự hội tụ đơn điệu). Nếu dãy hàm (fn )n đơn
điệu tăng hội tụ về hàm f và fn ≥ 0 với mỗi n ∈ N trên A thì lim fn dµ =
n A

f dµ.
A

Chứng minh. Nếu (fn )n là dãy hàm đơn giản thì đẳng thức trên đúng(theo định lý
1.20, chương 1).
Trong trường hợp tổng quát, theo định lý về cấu trúc của hàm đo được, với mỗi
(n)

(n)

n ∈ N, tồn tại dãy hàm đơn giản (gm )m sao cho 0 ≤ gm đơn điệu tăng hội tụ về
(n)

(n+1)

fn sao cho gm ≤ gm

(k

(n)

với mọi m, n. Do đó, với k ≤ n, ta có: gn ≤ gn ≤ fn .

Khi đó,
gn(k dµ ≤
A

Ta có,

(n)
gn

≤

(n+1)
gn+1

gn(n) dµ ≤
A

fn dµ.
A

với mọi n ∈ N.

Cho n → ∞, ta được:
fk ≤ lim gn(n) ≤ f,

gn(n) dµ ≤ lim

fk dµ ≤ lim

n

n

fn dµ.

n

A

A

A

f ≤ lim gn(n) ≤ f, lim

fk dµ ≤ lim

gn(n) dµ ≤ lim

Cho k → ∞, ta được:
n

n

k

A

A

A

(n)

(n)

fn dµ.

n

(n)

Do đó, lim gn = f và lim gn = lim fn dµ. Nhưng, mỗi hàm gn là đơn giản và
n

n A

n A

(n)

0 ≤ gn đơn điệu tăng nên
gn(n) dµ =

lim
n

A

lim gn(n) dµ =

f dµ.

n

A

A

15


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Như vậy, lim fn dµ =

f dµ.

n A

A

Định lý 1.29 (Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn). Cho dãy hàm (fn )n và
hàm f là những hàm đo được trên A sao cho |fn | ≤ g với mọi n, trong đó g là
µ

h.k.n

một hàm khả tích trên A. Nếu fn −−→ f (hoặc fn →
− f ) thì f khả tích trên A và
lim fn dµ =

n A

f dµ.
A

Chứng minh.
• Trường hợp (fn )n hội tụ hầu khắp nơi về hàm f trên A.
Vì |fn | ≤ g nên |f | < g hầu khắp A. Do đó, f khả tích trên A.
Ngoài ra, −g ≤ fn ≤ g với mọi n nên
lim inf fn dµ ≤ lim inf
n

n

fn dµ.

n

A

A

A

A

lim sup fn dµ ≥ lim sup

fn dµ và

n

Suy ra,
lim inf fn dµ ≤ lim inf
n

fn dµ ≤ lim sup

n

A

fn dµ ≤

n

A

lim sup fn dµ.
n

A

A

Nhưng lim inf fn = lim sup fn = f hầu khắp A nên
n

n

f dµ ≤ lim inf

fn dµ ≤ lim sup

n

A

A

Như vậy, lim fn dµ =
n A

fn dµ ≤

n

A

f dµ.
A

f dµ.
A

• Trường hợp (fn )n hội tụ theo độ đo về hàm f trên A.
Theo định nghĩa giới hạn, tồn tại dãy con (fnk )k của (fn )n sao cho
lim

fnk dµ = lim sup

fn dµ và lim

n

k

A

fnk dµ = lim inf

A

fn dµ.

n

k

A

A

Dãy con (fnk )k cũng hội tụ theo độ đo về hàm f nên tồn tại một dãy con (fnki )i sao
h.k.n

cho fnki −−→ f trên A.
Theo chứng minh như trên f khả tích trên A và
lim sup

A

Lập luận tương tự, lim inf
n

Như vậy, lim fn dµ =

A

fn dµ =
A

fnki dµ =

i

k

A

n A

fnk dµ = lim

fn dµ = lim

n

f dµ.
A

f dµ.
A

16

f dµ.
A


HÀ ANH QUỐC

1.3
1.3.1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Không gian Lp
Không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường thực R.
Định nghĩa 1.30. [3] Một chuẩn trên không gian tuyến tính X(kí hiệu . ) là một
ánh xạ: . : X → R thỏa mãn các tiên đề sau:
1. x ≥ 0 với mọi x ∈ X và x = 0 ⇔ x = 0;
2. αx = |α|. x với mọi x ∈ X và α ∈ R;
3. x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Khi đó, (X, . ) là không gian tuyến tính định chuẩn(hay gọi tắt là không gian
định chuẩn). Không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy
Cauchy chứa trong nó đều hội tụ.

1.3.2

Không gian Lp

Giả sử (X, B, µ) là không gian độ đo, A ∈ B.
Định nghĩa 1.31 (Không gian Lp ). [2] Cho 1 ≤ p < +∞, gọi Lp (A) là tập tất
|f |p dµ < +∞.

cả các hàm đo được trên A sao cho
A
n

Nếu A = R và µ là độ đo Lebesgue thì ta kí hiệu Lp .
Hàm f (x) đo được trên A được gọi là bị chặn cốt yếu nếu tồn tại tập B có độ
đo 0 sao cho f (x) bị chặn trên tập A \ B, tức là tồn tại K > 0 mà
|f (x)| ≤ K với mọi x ∈ A \ B.
Cận dưới đúng của tập hợp tất cả các số K thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là
cận trên đúng cốt yếu của hàm f (x), kí hiệu: ess. sup |f (x)|.
A

Định nghĩa 1.32. [3] Họ tất cả các hàm bị f (x) chặn cốt yếu trên A được gọi là
không gian L∞ (A).

17


Chương 2
Một số định lý về sự hội tụ của
các dãy hàm
Chương này trình bày định nghĩa sự hội tụ đều, hội tụ hầu như đều, hội tụ hầu

khắp nơi, hội tụ theo độ đo, hội tụ trung bình và lấy các ví dụ về sự hội tụ của dãy
hàm, đưa ra khái niệm các dãy cơ bản ứng với sự hội tụ đã nêu. Tiếp theo, tìm hiểu
mối liên hệ giữa các dạng hội tụ và lập sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa các sự hội tụ
của dãy hàm. Trong đó, chỉ rõ mối liên hệ này thay đổi như thế nào khi ta bổ sung
các điều kiện cần thiết hay khi xét trên không gian độ đo hữu hạn, kèm theo đó là
các ví dụ hay phản ví dụ minh chứng cho các mối liên hệ. Phần cuối, mở rộng các
kết quả về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trong không gian Lp .
Trong chương này, ta xét tập A ⊂ Rn là tập đo được Lebesgue.

2.1

Sự hội tụ của các dãy hàm

Với mỗi n ∈ N∗ có một hàm fn : A → R. Khi đó, (fn )n được gọi là một dãy hàm
xác định trên A. Nếu tại x0 ∈ A, dãy số (fn (x0 ))n hội tụ thì x0 được gọi là điểm
hội tụ của dãy hàm đã cho và tập tất cả các điểm hội tụ gọi là miền hội tụ của dãy
hàm đó.
Dãy hàm (fn )n được gọi là hội tụ điểm về hàm f trên A nếu với mỗi x ∈ A, với
mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N(n0 phụ thuộc vào ε và mỗi điểm x ∈ A) sao cho với mọi
n ∈ N mà n ≥ n0 thì |fn (x) − f (x)| < ε. Ta viết: lim fn (x) = f (x) với mọi x ∈ A.
n

18


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

2n2 x3

hội tụ đến hàm f (x) = 2x trên R.
1 + n 2 x2
Thật vậy, với mọi ε > 0, tồn tại n0 = 1ε + 1 sao cho với mọi n ≥ n0 , ta có:

Chẳng hạn, dãy hàm (fn )n với fn (x) =

|fn (x)−f (x)| =

1
1
2n2 x3
|2x|
|2x|
= ≤
=
−2x =
≤
2
2
2
2
1+n x
1+n x
2|nx|
n
n0

1
1
ε

+1

<

1
1
ε

= ε.

Sau đây, ta xét các dạng hội tụ khác của dãy hàm đo được hay khả tích trên A,
gồm các sự hội tụ sau:

2.1.1

Sự hội tụ đều của dãy hàm đo được

Định nghĩa 2.1. Cho dãy hàm (fn )n và hàm f đo được trên A. Dãy hàm (fn )n
được gọi là hội tụ đều (converges uniformly) về hàm f trên A nếu với mọi ε > 0,
tồn tại no ∈ N, với mọi n ∈ N sao cho n ≥ no thì |fn (x) − f (x)| < ε với mọi x ∈ A.
Kí hiệu: fn ⇒ f trên A.
Như vậy, dãy hàm fn ⇒ f trên A khi và chỉ khi:
• ∀ε > 0, ∃no ∈ N, ∀n ∈ N sao cho n ≥ no ⇒ sup |fn (x) − f (x)| < ε.
x∈A

• lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n

x∈A

Ví dụ:
xn
với mọi x ∈ [0; 1].
n
Hàm fn (x) liên tục trên [0; 1] nên fn (x) đo được trên A = [0; 1].
xn
Với mỗi x ∈ [0; 1], lim fn (x) = lim
= 0. Ta có:
n
n n
1. Xét A = [0; 1], cho dãy hàm (fn )n : fn (x) =

xn
xn
1
sup |fn (x) − 0| = sup
= max
= .
x∈A
n
n
x∈A
x∈A n
Suy ra, lim sup |fn (x) − f (x)| = lim
n

x∈A

n

1
= 0.
n

Vậy, dãy hàm fn ⇒ f trên A.
√
2. Dãy hàm fn (x) = sin π x2 + n2 hội tụ điểm đến hàm f (x) = 0 trên R nhưng
không hội tụ đều trên đó.
Thật vậy, dãy hàm fn (x) hội tụ điểm đến hàm f (x) = 0 vì với mỗi ε > 0, tồn tại

19


HÀ ANH QUỐC

n0 =

πx2
ε

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

+ 1 sao cho với mọi n ≥ n0 , ta có:

√
|fn (x) − f (x)| = | sin(π x2 + n2 ) − sin(πn)|
√
√
π( x2 + n2 − n)

π( x2 + n2 + n)
= 2 sin
. cos
2
2
πx2
πx2
√
≤ 2 sin
≤ 2. √
2( x2 + n2 + n)
2( x2 + n2 + n)
2
2
πx
πx
≤
<
< ε.
n
n0
Tuy nhiên, dãy hàm fn (x) không hội tụ đều trên R vì tồn tại ε =
mọi n0 ∈ N∗ luôn tồn tại n = 2n0 > n0 và x =
|fn (x) − f (x)| = sin π

4n20 + 2n0 +

2n0 +
1
4

1
4

1
sao cho với
2

mà:

= sin(2n0 π +

π
) = 1 > ε.
2

Định nghĩa 2.2 (Dãy cơ bản đều). Cho dãy hàm (fn )n đo được trên A. Dãy hàm
(fn )n được gọi là dãy cơ bản đều (fundamental uniformly hoặc Cauchy uniformly)
trên A nếu với mọi ε > 0, tồn tại no ∈ N, với mọi m, n ∈ N sao cho m, n ≥ no thì
|fm (x) − fn (x)| < ε với mọi x ∈ A.
Nghĩa là, ∀ε > 0, ∃no ∈ N, ∀m, n ≥ no ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε, ∀x ∈ A.
Định lý 2.3.
1. Cho dãy hàm (fn )n và hàm f đo được trên A. Nếu fn ⇒ f thì dãy (fn )n là
dãy cơ bản đều trên A.
2. Ngược lại, nếu dãy (fn )n là dãy cơ bản đều thì tồn tại hàm f đo được trên A
sao cho fn ⇒ f trên A.
Chứng minh.
1. Do fn ⇒ f trên A nên với mỗi ε > 0 tùy ý, với mọi x ∈ A:
ε
tồn tại n1 ∈ N, với mọi m ∈ N sao cho m ≥ n1 ⇒ |fm (x) − f (x)| < ;

ε2
tồn tại n2 ∈ N, với mọi n ∈ N sao cho n ≥ n2 ⇒ |fn (x) − f (x)| < .
2
Đặt: no = max{n1 , n2 }.
Khi đó, với mọi m, n ∈ N sao cho m, n ≥ no , với mọi x ∈ A, ta có:
|fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| <
20

ε ε
+ = ε.
2 2


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Vậy, (fn )n là dãy cơ bản đều trên A.
2. Giả sử (fn )n là dãy cơ bản đều. Khi đó, với mỗi x ∈ A thì lim |fm (x) − fn (x)| = 0,
m,n

nghĩa là (fn (x))n là một dãy cơ bản trong R với mỗi x ∈ A. Vậy (fn (x))n hội tụ,
đặt: lim fn (x) = f (x) với mỗi x ∈ A thì f đo được trên A.
n

Do (fn )n là dãy cơ bản đều nên với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho |fm (x) −
fn (x)| < ε với mọi x ∈ A và m, n ≥ n0 .
Giả sử m ≥ n0 và cho n → ∞, ta được |fm (x) − f (x)| < ε với mọi x ∈ A, tức là
fn ⇒ f trên A.
Định lý 2.4. Cho (fn )n là một dãy những hàm khả tích A với µA < +∞. Giả sử

(fn )n hội tụ đều về hàm f trên A. Khi đó, f khả tích và lim fn dµ =
n A

f dµ.
A

Chứng minh. Trường hợp µA = 0, rõ ràng kết quả cần chứng minh là đúng.
Trường hợp µA = 0, xét ε > 0 tùy ý. Do (fn )n hội tụ đều về hàm f trên A nên
ε
tồn tại n0 ∈ N, với mọi n ≥ n0 ta có: |fn (x) − f (x)| <
, ∀x ∈ A. Suy ra,
µA
ε
ε
dµ =
.µA = ε, ∀n ≥ n0 .
µA
µA

|fn − f |dµ ≤
A

A

Suy ra, hàm f − fn0 là hàm khả tích, do hàm f = (f − fn0 ) + fn0 nên hàm f là
hàm khả tích. Hơn nữa,
fn dµ −
A

A

n

A

fn dµ −

Suy ra, lim
A

f dµ

|fn − f |dµ ≤ ε, ∀n ≥ n0 .
A

= 0.

A

Như vậy, lim fn dµ =
n A

2.1.2

(fn − f )dµ ≤

f dµ =

f dµ.
A

Sự hội tụ hầu khắp nơi của dãy hàm đo được

Định nghĩa 2.5. Cho dãy hàm (fn )n và hàm f đo được trên A. Dãy hàm (fn )n
được gọi là hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) về hàm f trên A
nếu tồn tại B ⊂ A sao cho µB = 0 và fn (x) −→ f (x) với mỗi x ∈ A \ B.
h.k.n

Kí hiệu: fn −−→ f trên A.
h.k.n

Như vậy, dãy hàm fn −−→ f trên A tương đương: ∃B ⊂ A mà µB = 0 và với
mỗi x ∈ A \ B, ∀ε > 0, ∃no ∈ N, ∀n ≥ no ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε.
21


HÀ ANH QUỐC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ví dụ:
1. Xét A = [0; 1], cho dãy hàm (fn )n : fn (x) = xn với mọi x ∈ [0; 1].
Hàm fn (x) liên tục trên [0; 1] nên fn (x) đo được trên A = [0; 1]. Khi đó, với mỗi
x ∈ [0; 1), lim fn (x) = lim xn = 0.
n

n
h.k.n

Vậy, dãy hàm fn −−→ f trên A.

2. Cho dãy hàm (fn )n xác định trên A = [0; 1] như sau:


n nếu x ∈ [0; 1 ],
n
fn (x) =
1

0 nếu x ∈ ( ; 1].
n
Với mỗi x ∈ (0; 1], với ε > 0 tùy ý, tồn tại n0 =
1
=
n0

1
x

1
x

sao cho:

1
1
<
= x.
1/x
+1

1
1
≤
< x, suy ra fn (x) = 0.
n
n0
Như vậy, (fn )n hội tụ hầu khắp nơi về hàm 0 trên [0; 1].

Khi đó, với mọi n ∈ N mà n ≥ n0 thì

Định nghĩa 2.6 (Dãy cơ bản hầu khắp nơi). Cho dãy hàm (fn )n đo được trên
A. Dãy hàm (fn )n được gọi là dãy cơ bản hầu khắp nơi (fundamental almost
everywhere hoặc Cauchy almost everywhere) trên A nếu tồn tại B ⊂ A sao cho
µB = 0 và (fn )n là dãy cơ bản trên A \ B.
Nghĩa là, ∃B ⊂ A mà µB = 0 và với mỗi x ∈ A \ B, ∀ε > 0, ∃no ∈ N, ∀m, n ≥ no ⇒
|fm (x) − fn (x)| < ε.
Định lý 2.7.
h.k.n

1. Cho dãy hàm (fn )n và hàm f đo được trên A. Nếu fn −−→ f thì dãy (fn )n là
dãy cơ bản hầu khắp nơi trên A.
2. Ngược lại, nếu (fn )n là dãy cơ bản hầu khắp nơi thì tồn tại hàm f đo được
h.k.n

trên A sao cho fn −−−→ f trên A.
Chứng minh.
h.k.n

1. Do fn −−→ f trên A nên tồn tại B ⊂ A mà µB = 0 và fn (x) −→ f (x) với mỗi
x ∈ A \ B. Do đó, với mỗi x ∈ A \ B, với mọi ε > 0 tùy ý:

22