MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC

Tên đề tài:
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC
SINH ÔN TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC

1


I. TÊN ĐỀ TÀI :
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN THI TỐT
NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC
II. ĐẶT VẤN ĐỀ :
- Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng động
và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo , đòi hỏi sự nghiệp
giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và
đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố , trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương
pháp dạy học trong đó có phương pháp dạy học môn toán.
- Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học , Cao đẳng, tôi
nghiên cứu và biên soạn nhóm bài tập , đưa ra các phương pháp để học sinh có thể tự ôn
luyện.

III.CƠ SỞ LÝ LUẬN :
Đổi mới phương pháp dạy học là sự thay đổi từ các phương pháp dạy học tiêu cực đến các
phương pháp tích cực, sáng tạo. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những
phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện
đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm
thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương số phức được đưa vào,trong đó gồm
các phần : khái niệm về số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức,phương trình bậc hai với hệ
số thực, phương trình bậc hai với hệ số phức (nâng cao) và biểu diễn số phức dưới dạng
lượng giác(nâng cao ) chiếm vị trí khá quan trọng và thường có trong các đề thi tốt
nghiệp ,Đại học và Cao đẳng. Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đề để

tìm lời giải. Chính vì thế mà tôi đã nghiên cứu, biện soạn vấn đề này nhằm giúp học sinh đi
đúng hướng và tìm ra lời giải .

IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN :
Đây là vấn đề mới đối với học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục đã chuyển tải nội dung này từ
nội dung học đại học năm thứ nhất xuống lớp 12 vừa tròn được hai năm.Với thời lượng cho
phép dạy trên lớp môn toán có hạn . Chất lượng học sinh trong lớp không đồng đều , nếu
dạy cho các học sinh yếu , trung bình hiểu thì học sinh khá giỏi sẽ chán , và nguồn học sinh
thi đậu đại học lại mong manh. Để phát huy tính năng động và sáng tạo của học sinh khá
giỏi tôi đã biên soạn nhóm bài tập này và sắp xếp thứ tự các bài tập từ dễ đến khó ,nhằm
giúp học sinh làm bài tốt phần số phức trong các kỳ thi sắp tới .

2


V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU :
Dạng 1 :
Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phương trình ,hệ phương trình
trên tập số phức
Phương Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b là các số thực
+ Mô đun của số phức z là : z = a 2 + b 2
+Gọi w = x + yi với x,y ∈ R là một căn bậc hai của số phức z
Ta có w = a + bi ⇔ ( x + yi )
2

2

 x2 − y 2 = a
⇔
= a + bi


giải hệ phương trình trên
 2 xy = b

tìm được các căn bậc hai của số phức z
+Việc giải phương trình ,hệ phương trình được giải tương tự như giải trên trường số
thực nhưng chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức.
Bài 1:
3
Tìm môđun của số phức z = 1 + 4i + ( 1 − i )
Lời giải: Vì ( 1 − i ) = 13 − 3i + 3i 2 − i 3 = 1 − 3i − 3 + i = −2 − 2i
3

Suy ra: z = −1 + 2i ⇒ z = ( −1) + 22 = 5
Bài 2:
2

z

z

1
Cho hai số phức: z1 = 3 − 5i ; z2 = 3 − i . Tính z và 1
z2
2

Lời giải:

z1
3 − 5i

=
=
z2
3 −i

(

z1
= 22 + − 3
z2

)

2

(

)(
( 3 − i) (
3 − 5i

3 −i
3 +i

)

) = 8−4

4

3i

= 2 − 3i

= 7

Bài 3:
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 + 2 z + 10 = 0 .
2
2
Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z2
Lời giải: Ta có: ∆ = 12 - 10 = -9 = 9i2
Phương trình có các nghiệm: z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i
2
2
2
2
2
Ta có: z1 + z2 = ( −1) + ( −3) + ( −1) + 32 = 20
Bài 4:
Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25
Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b ∈ ¡ , ta có:
3


 z.z = 25
 a 2 + b 2 = 25
a 2 + b 2 = 25
⇔ 
⇔ 


2
2
a
−
2
+
b
−
1
i
=
10
z
−
2
+
i
=
10
(
)
(
)
(
)


( a − 2 ) + ( b − 1) = 10
 a = 3


a 2 + b 2 = 25
b = 4
⇔
⇔ 
 a = 5
2a + b = 10

 b = 0

Vậy có hai số phức cần tìm : z = 3 + 4i , z = 5 + 0i
Bài 5:
z + z2
z
2
2
Lời giải: z + z = ( 4 − 3i ) + ( 4 + 3i ) = 11 − 27i

Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm

⇒

z + z 2 11 − 27i ( 11 − 27i ) ( 4 − 3i ) −37 − 141i
=
=
=
4 + 3i
42 + 32
25
z

Bài 6:
2
Giải phương trình sau (ẩn z): z + 2 z = ( 1 + 5i )
Lời giải: Giả sử z = a + bi ; z + 2 z = ( 1 + 5i )

2

⇒ (*) ⇔ a + bi + 2 ( a − bi ) = 1 + 10i + 25i 2

3a = −24
 a = −8
⇔ 3a − bi = −24 + 10i ⇔ 
⇔
⇒ z = −8 − 10i
 −b = 10
b = −10

Bài 7:
3 2
3 3
+i
2
2
− 2
3 2
3 3
2
3π
3π 


+i
= 3 
+i
=
3
c
os
+
isin
÷
Lời giải: Ta có: z = −

÷
2
2
2 ÷
4
4 

 2


Tìm căn bậc hai của số phức sau: z = −

Suy ra z có hai căn bậc hai là:
  3π k 2π 
 3π k 2π  
+
w = 3 cos  +

÷+ isin 
÷ ( k = 0;1)
2 
2  
 8
  8

3π
3π 

+ Khi k = 0 ⇒ w = 3  cos + isin ÷
8
8 




3π

3π







+ khi k = 1 ⇒ w = 3 cos  + π ÷+ isin  + π ÷

 8


  8
11π
11π 

+ isin
= 3  cos
÷
8
8 


Bài 8:
Tìm các căn bậc hai của số phức: z = 21 − 20i
Lời giải:
Gọi x + yi ( x, y ∈ ¡ ) là một căn bậc hai của z.
 x 2 − y 2 = 21 (1)
2 xy = −20 (2)

Ta có: 

4


10
x
10
100
Thay y = − vào (1) ta được: x 2 − 2 = 21
x

x
⇔ x 4 − 21x 2 − 100 = 0
⇔ x 2 = 25 ⇔ x = ±5
x = 5 ⇒ y = −2; x = −5 ⇒ y = 2
Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 − 2i và −5 + 2i

(2) ⇔ y = −

* Cách khác: z = 25 − 2.5.2i + ( 2i ) = ( 5 − 2i )
Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 − 2i và −5 + 2i
2

2

Bài 9:
2
Giải phương trình: z − 2 ( 2 + i ) z + ( 7 + 4i ) = 0
Lời giải: Ta có: ∆' = −35 − 12i . Ta tìm các căn bậc hai x + yi của ∆ ' :
 x 2 − y 2 = −35
2
x
+
yi
=
−
35
−
12
i
⇔

(
)

2 xy = −12

Do đó ta giải được 2 căn bậc hai là: − ( 1 − 6i ) ;1 − 6i
nên phương trình có hai nghiệm: z1 = 3 − 4i và z2 = 2 + 2i
Bài 10:
Giải phương trình sau trên £ (ẩn z): z 4 + 2 z 3 − z 2 + 2 z + 1 = 0
Lời giải:
z 4 + 2z3 − z 2 + 2z + 1 = 0 ⇔ z 2 +

1
1

+ 2  z + ÷− 1 = 0 (do z ≠ 0)
2
z
z


1
z

1
= w 2 − 2 , ta được:
z2
 w=1
w 2 − 2 + 2w − 1 = 0 ⇔ w 2 + 2 w − 3 = 0 ⇔ 
 w=-3

1
1
Do đó: z + = 1 (1) hay z + = −3 (2)
z
z
2
+ Giải (1) ⇔ z − z + 1 = 0

Đặt w = z+ ⇒ z 2 +

Ta có: ∆ = 1 − 4 = −3 = ( 3i )

2

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 =
+ Giải (2) ⇔ z 2 + 3z + 1 = 0 . Ta có: ∆ = 9 − 4 = 5
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: z3 =

1 + 3i
1 − 3i
; z2 =
2
2
−3 + 5
−3 − 5
; z4 =
2
2

Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm:

z1 =

1 + 3i
1 − 3i
−3 + 5
−3 − 5
; z3 =
; z2 =
; z4 =
2
2
2
2

Bài 11:
Giải phương trình sau trên £ (ẩn z): 2 z 4 − 2 z 3 + z 2 + 2 z + 2 = 0
5


 2
4
3
2
Lời giải: 2 z − 2 z + z + 2 z + 2 = 0 ⇔ 2  z +


1  
1
− 2  z − ÷+ 1 = 0
2 ÷

z  
z

1
1
= w 2 + 2 , ta được:
z
z2
2 ( w 2 + 2 ) − 2 w + 1 = 0 ⇔ 2 w2 − 2 w + 5 = 0

Đặt w = z − ⇒ z 2 +

+ Giải: 2w2 − 2w + 5 = 0 (*)
2
Ta có: ∆' = 1 − 10 = −9 = ( 3i )
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: w1 =

1 + 3i
1 − 3i
; w2 =
2
2

1 + 3i
1 1 − 3i
(1) hay z − =
(2)
2
z
2

 1 + 3i 
2
2
+ Giải (1) ⇔ z − 
÷z − 1 = 0 ⇔ 2 z − ( 1 + 3i ) z − 2 = 0
2


1
z

Do đó: z − =

Ta có: ∆ = ( 1 + 3i ) + 16 = 8 + 6i
Số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) là căn bậc hai của ∆ = 8 + 6i khi và chỉ khi
2

z = 8 + 6i ⇔ ( x + yi )
2

2

 x2 − y2 = 8
= 8 + 6i ⇔ x − y + 2 xyi = 8 + 6i ⇔ 
(**)
2 xy = 6
2

2

 2 9
4
2
 x2 = 9
 x − x 2 = 8  x − 8 x − 9 = 0

⇔
⇔
Giải (**) ⇔ 
3
3
y = 3
y =
y =
x
x



x
 x = ±3
x = 3
 x = −3

⇔
hay 
3 ⇔
y=
y =1
 y = −1


x

Suy ra có hai căn bậc hai của ∆ là 3 + i và 3 − i
1 + 3i + 3 + i
1 + 3i − 3 − i
1 1
= 1 + i; z 2 =
=− + i
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: z1 =
4
4
2 2
 1 − 3i 
2
2
+ Giải (2) ⇔ z − 
÷z − 1 = 0 ⇔ 2 z − ( 1 − 3i ) z − 2 = 0
 2 
2
Ta có: ∆ = ( 1 − 3i ) + 16 = 8 − 6i

Số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) là căn bậc hai của ∆ = 8 − 6i khi và chỉ khi
 x2 − y 2 = 8
2
z 2 = 8 − 6i ⇔ ( x + yi ) = 8 − 6i ⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = 8 − 6i ⇔ 
(***)
 2 xy = −6
 2 9
 x4 − 8x2 − 9 = 0

 x − x 2 = 8

⇔
Giải (***) ⇔ 
3
y = − 3
y = −
x


x
 x = 3

 x2 = 9
 x = ±3


  y = −1
⇔
3⇔
3⇔
 x = −3
y = −
 y = − x

x

  y = 1

6

Suy ra có hai căn bậc hai của ∆ là −3 + i và 3 − i
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: z3 =

1 − 3i + 3 − i
1 − 3i − 3 + i
1 1
= 1 − i; z 4 =
=− − i
4
4
2 2

Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm:
1 1
1 1
z1 = 1 + i; z2 = − + i ; z3 = 1 − i; z4 = − − i
2 2
2 2

Bài 12:
 Z1 + Z 2 = 2 + 3i
2
2
 Z1 + Z 2 = 5 − 4i

Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 
 Z1 + Z 2 = 2 + 3i
 Z1.Z 2 = −5 + 8i

Lời giải: hpt ⇔ 

Z1 và Z2 là 2 nghiệm phương trình: Z2 - (2 + 3i)Z - 5 + 8i = 0
Có ∆ = 15 − 20i =  5 ( 2 − i ) 

2


3− 5
i
 Z1 = 1 + 5 +
2


3+ 5
i
Z2 = 1 − 5 +

2

(

)

(

)

Dạng 2:

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Phương pháp :

+ Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực
+ Dựa vào giả thiết bài toán tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn

phương trình nào .
+ Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho.
Bài 13:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z − ( 3 − 4i ) = 2

Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y ∈ ¡ , ta có:
z − ( 3 − 4i ) = 2 ⇔

⇔

( x − 3)

2

( x − 3) + ( y + 4 ) i

=2 ⇔

( x − 3)

2

+ ( y + 4) = 2

2

+ ( y + 4) = 2
2

Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều
kiện đã cho là đường tròn tâm I(3; -4); bán kính R = 2
Bài 14:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z − i = z − z + 2i
Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
Ta có: 2 z − i = z − z + 2i
⇔ 2 x + ( y − 1) i = ( 2 + 2 y ) i
⇔ 2 x 2 + ( y − 1) 2 =

( 2 + 2y)

2

7


⇔ y=

1 2
x
4

Bài 15:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z − ( 5i − 2 ) = 2

Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
Ta có: z - 5i + 2 = (x + 2) + (y - 5)i
Suy ra: z − ( 5i − 2 ) = 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 2 ⇔ ( x + 2 ) + ( y − 5 ) = 4
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-2; 5), bán kính R = 2.
2

2

2

2

Dạng 3:
Biểu diễn số phức dưới dạng đại số , dạng lượng giác
Phương pháp : + Nắm vững Acgumen của số phức z ≠ 0

+ Dạng đại số : z = a + bi với a,b ∈ R
+ Dạng lượng giác : z = r ( cosϕ +i.sinϕ ) với r là mô đun của số phức z và
ϕ là một Acgumen của số phức z
+ Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác
n
+ Công thức Moivre :  r ( cosϕ + i.sinϕ )  = r n (cosnϕ + i.sinnϕ )

Bài 16:

(
Viết số phức sau dưới dạng đại số: z =

3 −i

(1+ i)

)

9

5

 3 1 
  π
 π 
− i÷
=
2
c
os
−
+
isin

÷
 − ÷

÷   6
 6 
 2 2 

Lời giải: + Xét z1 = ( 3 − i ) = 2 

  9π 
π
π
 9π  
9
⇒ z19 = 29 cos  −
÷+ isin  −
÷ = 2  cos + isin ÷
2
2
 6 

  6 
1 
π
π
 1

+ Xét z2 = ( 1 + i ) = 2  + i ÷ = 2 cos + isin 
4
4
2 

 2
5
5π
5π 
5π
5π 


⇒ z25 = 2  cos
+ isin
+ isin
÷ = 4 2  cos
÷
4
4 
4
4 


  3π 
z9
1 
 1
 3π  
⇒ z = 15 = 64 2 cos  −
−
i ÷ = −64 − 64i
÷+ isin  − ÷ = 64 2  −
z2
2
2 
 4 

  4 

( )

Bài 17:

Viết dạng lượng giác của số phức z = 1 − 3i
1

Lời giải: z = 1 − 3i = 2  −
2

  π
3 
 π 
i÷
= 2 cos  − ÷+ sin  − ÷i 
÷
2 
 3 
  3

Bài 18:
8


Viết dưới dạng lượng giác rồi tính: ( 1 + i )
Lời giải: ( 1 + i )

2010

=

2010

2010π

2010π 

+ isin
 cos
÷
4
4 

π
π

= 21005  cos + isin ÷
2
2

1005
1005
= 2 ( 0 + i ) = 2 .i

( 2)

2010

Bài 19:
Tìm dạng lượng giác của số phức sau: z =

1− i 3
3 +i

Lời giải:

1
3 
2 −
i÷
2 2 
1− i 3

z=
=
=
 3 1 
3 +i
2
+ i÷
 2 2 

  π
 π 
2  cos  − ÷+ isin  − ÷
  π
 π 
 3 
  3
= 1 cos  − ÷+ isin  − ÷
π
π

 2 
  2
2  cos + isin 

6
6


Bài 20:

(

2 − 6i

)

2008

2009
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: z =  π
5π 
 sin − isin
÷



3

6 

2008

Lời giải: z =

(

2 − 6i

)

2008
2009

5π 
 π
 sin − isin
÷
3
6 




 π
 π  
 2 2  cos  − ÷+ isin  − ÷÷
 3
 3  

=
2009
  π
 π 
cos  − 6 ÷+ isin  − 6 ÷




 


1
3 
i ÷
2 2  −
2
2


 
=
2009
π
π

 cos − isin ÷
6
6


2008

  2008π 
 2008π  
cos  − 3 ÷+ isin  − 3 ÷




 
=
 2009π 
 2009π 
cos  −
÷+ isin  −
÷
6 
6 


2008 
 2008π 2009π 
 2008π 2009π
= 2 2
 cos  − 3 + 6 ÷+ isin  − 3 + 6


 
  669π 
 669π  
3012
= 23012 cos  −
÷+ isin  −
÷ = −2 i
2 
2 


 

( 2 2)

(

2008

)


÷


Do đó: phần thực bằng 0; phần ảo bằng -23012.

Bài 21:
Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) . Hỏi các số sau đây là số thực hay số ảo:
9


a) z 2 − ( z )

2

b)

z2 + ( z )

Lời giải:
2
2
2
a) z 2 − ( z ) = ( a + bi ) − ( a − bi ) = 4abi là số ảo
b)

z2 + ( z )

2

1 + zz

( a + bi ) + ( a − bi )
=
1 + ( a + bi ) ( a − bi )
2

2

=

2 ( a 2 + b2 )

1 + a2 + b2

2

1 + zz

lầ số thực

Bài 22:
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 2010i 2009 + 2009i 2010
Lời giải: z = 2010i 2009 + 2009i 2010 = 2010(i 2 )1004 .i + 2009(i 2 )1005 = 2010i − 2009
⇒ phần thực và phần ảo
Bài 23:
2
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z − 2 ( 1 + 2i ) z + 8i = 0

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC CÓ HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Phần 1: Dạng đại số của số phức
Bài 1: Tính z + z và z . z với :
a) z = 2 + 3i
b) z = -5 + 3i . ĐS: a) 4 và 13
b) -10 và 34
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
b) (1 + i)2 – (1 – i)2
c) (2 + i)3 – (3 – i)3

d)

3 −i
2 +i
−
1+ i
i

ĐS: a) 1 và 1

3 − 3 2 2 −1 − 3
và
2
2

b) 0 và 4

c) -16 và 37

d)

a + bi
b)
a − bi

(1+ i)
c)
7

( 1− i ) −1
d)
5
( 1+ i) +1

Bài 3: Tính :
1 + i t anx
a)
1 − i t anx

ĐS: a) cos2x + isin2x

(1+ i)
Bài 4: Tính: a)
( 1− i)
b)

(1 − i )

b)

a −b
2ab
+ 2
2
2
a + b a + b2
2

2

c) 2

n

n −2

-2in+1

5

9

−1 − 32i
25

d)

3

(với n là số nguyên dương)

 1 i 3
b)  − +
÷
2 ÷
 2


3

1 i 3
 −
÷ . ĐS: a)
2 ÷
2


1+ i 3
2

1
2

Bài 5: Giả sử ε = − +

3
i , tính :
2

2
2
a) ( a + bε + cε ) ( a + bε + cε )

2
b) ( a + b ) ( a + bε ) ( a + bε )

2
2
d) ( aε + bε ) ( bε + aε )

HD: Để ý : ε 2 = − −

1
2

c) ( a + bε + cε 2 ) + ( a + bε 2 + cε )
3

3

i 3
vàε 3 = 1
2

a) a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ac)
b) a3 + b3
c) 2(a3 + b3 + c3) – 3(a2b + a2c + b2a + c2a + c2b) + 12abc
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau với x, y, z là số phức :

d) a2 – ab + b2

10


( 3 − i ) x + ( 4 + 2i ) y = 2 + 6i
( 4 + 2i ) x − ( 2 + 3i ) y = 5 + 4i

( 2 + i ) x + (2 − i ) y = 6


(3 + 2i ) x − (3 − 2i ) y = 8

a) 

b) 

ĐS: a) x = 1 + i , y = i
Bài 7: Tìm các số liên hợp với :
a) Bình phương của chính nó.

b) x = 2 + i , y = 2 – i

1
2

ĐS: a) 0; 1; − +

i 3 1 i 3
;− −
2
2
2

b) Lập phương của chính nó.
b) 0; 1; -1; i; -i

Bài 8: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R). Tìm phần thực và phần ảo của các số phức:
z +i
iz − 1
−2xy
y 2 − x2 − 1
2
2
v
à
ĐS: a) x – y – 2x và 2(xy – y + 2); b) 2
x + ( y + 1) 2 x 2 + ( y + 1) 2

a) z2 – 2z + 4i

b)

Bài 9: Giải các phương trình sau (ẩn z) :
2+i
−1 + 3i
z=
1− i
2+i

b) ( ( 2 − i ) z + 3 + i )  iz +

1
22 4

+ i
÷ = 0 . ĐS: a)
2i 
25 25

Bài 10: a) Chứng minh : i 2 k +1 = (−1)k .i, k ∈ N ; i 2 k = (−1) k , k ∈ N .
b) Giả sử zk = i 2 k + i 2 k +1 , k ∈ N . Tính tổng zk + zk+1 .
ĐS: b) 0.

a)

b) -1 + i , ½

Bài 11: Thực hiện các phép tính :
3+i
(1 + 2i )2 − (1 − i )2

(2 + i )3 + (2 − i)3
; b)
;
c
)
; d) (2 – i)6
(1 + i )(1 − 2i )
(3 + 2i) 2 − (2 + i ) 2
(2 + i) 3 − (2 − i) 3
4 3
21 9
2
ĐS: a) + i
b) + i
c) − i
d) -117 – 44i
5 5
34 17
11

a)

Bài 12: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
a) Với điều kiện nào giữa a, b, a’, b’ thì tổng của chúng là số thực ? số ảo?
b) Cũng câu hỏi trên đối với hiệu z – z’ .
ĐS: a) z + z’ là số thực nếu b = -b’ , là số ảo nếu a = -a’ , b ≠ −b′
b) z – z’ là số thực nếu b = b’ , là số ảo nếu a = a’, b ≠ b′ .
Bài 13: a) Với điều kiện nào giữa a, b thì bình phương của z = a + bi là số thực, số ảo?
b) Cũng câu hỏi trên đối với z3.
HD: a) z2 = a2 – b2 + 2abi.

Z2 là số thực nếu a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b = 0 .
Z2 là số thuần ảo nếu a = b ≠ 0
b) z3 = a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i
z3 là số thực nếu b = 0 hoặc b2 = 3a2
z3 là số ảo nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a2 = 3b2, b ≠ 0 .
Bài 14: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z = a + ai, a ∈ R

b)

1
z −i

là số ảo
ĐS: a) Đường thẳng y = x
b) Trục ảo Oy trừ (i)
Bài 15: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z2 là số thực âm
b) z − i + 2 + z + i = 9 . ĐS: a) Trục thực Ox từ gốc O. b) Elip
Bài 16: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R và thỏa mãn :

11


x + y ≤ 1
 x ≥ 0, y ≥ 0

a) 1 ≤ z ≤ 3

b) 

Bài 17: Chứng minh rằng :
a) Bình phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.
b) Lập phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.
c) Lũy thừa bậc n của 2 số phức liên hợp cũng là liên hợp.
Bài 18: Cho z = a + bi. Chứng minh z 2 ≥ a + b . Khi nào thì đẳng thức xảy ra ?

ĐS:

b = ±a

Bài 19: a) Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số
:
1 – i ; 2 + 3i ; 3 + i và 3i ; 3 – 2i ; 3 + 2i. CMR ABC và A’B’C’ là 2 tam giác có cùng trọng
tâm.
b) Biết các số phức biểu diễn bởi ba đỉnh nào đó của một hình bình hành trong mặt phẳng
phức , hãy tìm số biểu diễn bởi đỉnh còn lại.
HD: b) z1 + z2 – z3 , z2 + z3 – z1 , z3 + z1- z2
Bài 20: a) Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x
+ yi

( x, y ∈ R ) thỏa mãn điều kiện

( )

z2 + z

2

=0

2
b) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện : z + ( z ) = 0và
2

HD: a) z 2 + ( z ) = 2 ( x 2 − y 2 ) . Suy ra z 2 + ( z ) = 0 ⇔ x 2 = y 2
2

z −1
=1
z −3

2

Vậy tập hợp cần tìm là hai đường thẳng : y = ± x
b)

z −1
= 1 ⇔ x = 2 nên có hai số phức thỏa mãn đề bài là : z1 = 2(1 + i) và z2 = 2(1 – i)
z −3

Bài 21: A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số :
1 + 2i , 1 + 3 + i,1 + 3 − i,1 − 2i
Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn đó biểu
diễn số phức nào?
HD: vì mỗi cặp số 1 + 2i, 1 – 2i và 1 + 3 + i,1 + 3 − i là cặp số phức liên hiệp nên hai điểm A,
D và hai điểm B, C đối xứng qua Ox; phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số
sau nên ABCD là một hình thang cân . Do đó nó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J
nằm trên trục đối xứng Ox; J biểu diễn số thực x sao cho :
uuu
r uur

JA = JB ⇔ 1 − x + 2i = 1 − x + 3 + i ⇔ x = 1 . Từ đó suy ra tâm đường tròn biểu diễn : z = 1
uuur

uuu
r

* Cách khác: AB biểu diễn số phức 3 − i, DB biểu diễn số phức 3 + 3i . Mà
uuur uuur
AB.DB = 0 .

3 + 3i
= 3i nên
3 −i

uuur uuur

T/tự (hay vì lí do đ/x qua Ox), DC. AC = 0 .Từ đó suy ra AD là một đ/kính của đ/tròn đi qua
các điểm A, B, C, D.
Phần 2: Căn bậc hai và phương trình
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của số phức: a) z = 200 b) z = - 13. ĐS: a) ±10 2
b)
±i 13

12


Bài 2: Tìm các căn bậc hai của số phức:
a) 3 + 4i
b) 1 − 2i 2 1 − 2i 2 .
ĐS: a) ± ( 2 + i )

b) ± ( 2 − i )
Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a) −1 + 4 3i
b) -8i.
ĐS: a) ± ( 3 + 2i )
b) ± ( 2 − 2i )
Bài 4: Tìm các căn bậc hai của số phức: a) -8 + 6i
b) -8 – 6i
c) 8 – 6i
+ 6i
ĐS: a) ± ( 1 + 3i )
b) ± ( 1 − 3i )
c) ± ( 3 − i )
d) ± ( 3 + i )
Bài 5: Gọi z là căn bậc hai của 4 + i, z’ là căn bậc hai của 4 – i. Tính z + z’.
ĐS: ± 8 + 2 17 , ±i −8 + 2 17

d) 8

3 i
3 i
− ;−
−
2 2
2 2
2
2
Bài 7: Tìm số phức z mà z4 = -1. ĐS: Có 4 số phức :
( 1 ± i ) và ( −1 ± i ) 2
2

2
Bài 8: Cho z = a + bi có các căn bậc hai là ± ( m + ni ) . Tìm các căn bậc hai của –a – bi và a –

Bài 6: Tìm số phức z mà z3 = -i. ĐS: Có 3 số phức : i,

bi
ĐS: ± ( n − mi ) và ± ( m − ni )
Bài 9: Giải các phương trình bậc hai sau đây trong tập hợp các số phức C:
a) z2 – z + 2 = 0
b) 2z2 – 5z + 4 = 0
(Tốt nghiệp THPT 2006)
ĐS: a) z =

1± i 7
2

b) z =

5±i 7
4

Bài 10: Giải các phương trình :
a) z2 + z + 1 = 0

b) z 2 − z 3 + 1 = 0

ĐS: a) z =

−1 ± i 3
2

b)

3 1
± i
2 2

Bài 11: Trong C hãy giải các phương trình sau đây:
a) x2 - (3 – i)x + 4 – 3i = 0
b) 3x 2 2 − 2 x 3 + 2 = 0 . ĐS: a) 2 + i ; 1 – 2i

b)

6
6
±i
6
6

Bài 12: Giải các phương trình sau: a) x2 + 3ix + 4 = 0

b) 2x2 – (4 + i)x = 1

1
593 + 23  1 
593 − 23 
4+
÷+  1 +
÷i
÷ 4

÷
4
2
2




1
593 + 23  1 
593 − 23 
÷+  1 −
÷i
x2 =  4 −
÷ 4
÷
4
2
2




1
Bài 13: Giải các phương trình z + = k trong các trường hợp sau:
z
1± i 3
2
a) k = 1
b) k = 2

ĐS: a) z =
b) z =
( 1± i)
2
2

ĐS: a) x1 = i ; x2 = -4i

b) x1 =

Bài 14: Giải các phương trình trong C:
a) z 2 + z = 0 b) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0
HD: Đặt z = x + yi dẫn đến hệ phương trình hai ẩn x, y:
13


Kết quả: z1 = 0 ; z2 = -1 ; z3 =

1
3
1
3
+i
; z4 = − i
2
2
2
2

−1 + 23i −1 − 23i

,
2
2

b) 1, -2 ,

Bài 15: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm: z1 = 6 – 3i và z2 = i. ĐS: z2 – (6 – 2i)z +
6i + 3 = 0
Bài 16: Chứng minh rằng:
Nếu phương trình: anzn + an-1zn-1 + … a2z2 + a1z + a0 = 0 với các hệ số thực có nghiệm là z0
thì z0 cũng là nghiệm của phương trình.
Bài 17: Giải các phương trình trong tập C:
a) x4 – 3x2 + 4 = 0

b) x4 – 30x2 + 289 = 0

ĐS: a) x = ±

7 i
±
2 2

b) x = ±4 ± i

Bài 18: Giải phương trình trong C: x3 + 8 = 0
 x = −2
 x = −2
2
⇔
x

+
2
x
−
2x
+
4
=
0
⇔
⇔
(
)
HD: Ta có: x + 8 = 0

 2
 x − 2x + 4 = 0
x = 1± i 3

(

3

)

Bài 19: Cho phương trình 3z4 – 5z3 + 3z2 + 4z – 2 = 0
a) Chứng tỏ rằng 1 + i là nghiệm của phương trình.
b) Tìm các nghiệm còn lại.
ĐS: b) z2 = 1 – i ; z3 = -

1 + 13
13 − 1
; z4 =
6
6

Bài 20: Giải phương trình z4 + 4 = 0 và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức.
HD: Ta có : z4 + 4 = (z2 + 2i)(z2 – 2i) = 0
Nghiệm của z2 + 2i = 0 là các căn bậc hai của -2i, đó là: z1 = 1 –i , z2 = -1 + i
Nghiệm của z2 – 2i = 0 là các căn bậc hai của 2i, đó là: z3 = 1 + i, z4 = -1 – i
Vậy z4 + 4 = 0 có 4 nghiệm z1, z2, z3, z4 .
Phần 3: Dạng lượng giác của số phức
Bài 1: Viết dạng đại số của số phức sau:
a)

  π
 π 
2  cos  − ÷+ i.sin  − ÷
 4 
  4

π



3π
3π 

b) 2  cos + i.sin ÷
4

4 


π 

 2

2





HD: a) 2 cos  − ÷+ i.sin  − ÷ = 2  − i. ÷÷ = 1 − i
2 
 4 
  4
 2

b) 2  cos



3π
3π 
2
2
+ i.sin
+i
÷= − 2 + i 2

÷ = 2  −
4
4 
2 ÷
 2

1
2

Bài 2: Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) -1 + i
c)

1
3
−i
2
2


ĐS: a) 2  cos


3π
3π 
+ i sin
÷
4
4 

π

π

b) 8  cos + i sin ÷


2

2

b) − + i

c) cos

3
2

2π
2π
+ i.sin
3
3

Bài 3: Tìm số phức z thỏa : (1 – z)(1 + 2i) + (1 – iz)(3 – 4i) = 1 + 7i . Viết số phức z dưới
dạng lượng giác.
14


3
5

6
5

ĐS: z = - − i =

1
2
3π
3 5
( cosϕ + i sin ϕ ) trong đó : cosϕ = − 5 ,sin ϕ = − 5 (π < ϕ < 5
5

Bài 4: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
π
8

a) − sin − icos

π
8

π
2

b) 1 − sin ϕ + icosϕ (0 < ϕ < )

ĐS: a) −

5π
8

;

b)

π ϕ
−
4 2

Bài 5: Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a) 1 − i tan

π
5

b) 1 − cosϕ − i sin ϕ (ϕ ≠ k 2π , k ∈ z )

π
sin
π
1
HD: a) Ta có : 1 − i tan = 1 − i π5 =
π
5
cos
cos
5
5
ϕ
ϕ

ϕ
b) 1 − cosϕ − i sin ϕ = 2sin 2 − 2i sin cos
2
2
2

π
π
1

 cos − i sin ÷ =
5
5  cos π

5

  π
 π 
cos  − 5 ÷+ i sin  − 5 ÷



 

Bài 6: a) Với điều kiện nào thì môđun của tổng hai số phức bằng tổng các môđun của hai số
hạng?
b) Khi nào thì môđun của tổng hai số phức bằng hiệu các môđun của hai số hạng ?
ĐS: a) Nếu hiệu hai acgumen bằng 2k π , k là số nguyên.
b) Nếu hiệu hai acgumen bằng π + 2kπ , với k nguyên.
Bài 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai acgumen của 2 số phức z1, z2 : Arg z1 và Arg z2trong

từng trường hợp sau:
a) z1z2 = k , k < 0

b) z1z2 = -i

c) z1 = -3z2

z1
π
π

= 2  cos + i sin ÷
z2
3
3


π
2
π
d) Argz1 + Argz 2 = − + k 2π
3

ĐS: a) Argz1 + Argz 2 = π + k 2π

b) Argz1 − Argz 2 = − + k 2π

c) Argz1 = π + Argz 2 + 2kπ
Bài 8: Tìm số phức z thỏa : z =

d)

1
= 1− z
z

Bài 9: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện : a) z + 1 − i ≤ 1
tìm các số có acgumen dương nhỏ nhất . ĐS: a) z = i

b) z − 5i ≤ 3
b)

12 16
+ i
5 5

z1

Bài 10: Viết z1 và z2 dưới dạng lượng giác rồi tính z1.z2 và z
2
π
π
và sin
12
12
5π
5π
b) z1 = 3 + i và z2 = 1 – i. Suy ra cos
và sin
12

12

a) z1 = 1 + i 3 và z2 = 1 + i. Suy ra : cos

Bài 11: Tìm vị trí của những điểm biểu diễn các số phức có:
a) Môđun bằng 2; 3.

b) Acgumen bằng

π π π 3π
, ,− ,
.
6 3 4 4

ĐS: a) Các đường tròn tâm O và bán kính R = 2, R = 3.
b) Đó là các tia không kể gốc O , lần lượt là : Oz1, Oz2, Oz3, Oz4.
Bài 12: Cho A, B, C D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số :
15


4 + (3 + 3)i; 2 + (3 + 3)i;1 + 3i và 3 + i
Chứng minh rằng bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn.
HD: Cách 1: Đưa về bài toán tọa độ; Cách 2: Dự đoán tâm i(3 + 3i)
Cách 3: Chứng minh góc lượng giác:
Bài 13: Dùng công thức Moivre để tính :
12

1
3
b)  + i ÷÷

2 
2

5

π
π 

a)  cos + i sin ÷
15
15 


c) (1 + i)16. ĐS: a)

1
3
+i
2
2

b) 1

c)

256
Bài 14: Tính gọn:
π
π 5


a)  cos − i sin ÷i 1 + 3i
3
3


(

)

7

b)

ĐS: a) 128i
Bài 15: Tính :
a) (1 + i)
2cos

2nπ
3

10

)

3 +1

b) -1/16
b) ε1n + ε 2n

n

(

( 1+ i)

9

c) z 2000 +

1
z

2000

1
z

biết rằng z + = 1

c) -1

nπ
nπ 

1 i 3
1 i 3
với ε1 = − +
;ε2 = − −
. ĐS: a) 2 2  cos + i sin ÷

4
4 
2
2
2
2

n

1− i
Bài 16: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức: a) 2

b)

3 +i
2

b)

c)

− 3 −i
 π
 π
ĐS: a) z1 = cos  − ÷+ i sin  − ÷

 8
 8
π
π

b) z1 = cos + i sin
12
12
7
π
7π 

c) z1 = 2  cos + i sin ÷
12
12 


 π
 π
và z2 = −cos  − ÷− i sin  − ÷

 8
 8
π
π
và z2 = −cos − i sin
12
12
7
π
7π 

và z2 = − 2  cos + i sin ÷
12
12 



Bài 17: Tìm nghiệm phức của phương trình : z4 – 1 = i

n

 7+i 
Bài 18: Với n nguyên dương nào thì số phức: 
÷ là số thực, số ảo.
 4 − 3i 
n

nπ
nπ 

+ i sin
 cos
÷
4
4 

nπ
Số đó là số thực ⇔ sin = 0 ⇔ n = 4k (k nguyên dương)
4
nπ
Số đó là số ảo ⇔ cos = 0 ⇔ n = 4k + 2 (k là số nguyên không âm)
4
 7+i 
HD: 
÷ =

 4 − 3i 

( 2)

n

Bài 19: Biểu diễn cos5x.cos6x theo coskx.
ĐS: cos5x =

1
1
( cos5x + 5cos3x + 10cosx ) ; cos6x = ( cos6x + 6cos4x + 15cos2x + 10 )
10
32

Bài 20: Chứng minh :
1
3

1
4
7
n
a) Cn + Cn + Cn + ... =  2 + 2cos

( n − 2) π 
3

( n − 4) π 
1 n

2
5
8
÷; b) Cn + Cn + Cn + ... =  2 + 2cos
÷
3
3


16


Bài 21: Cho số phức dạng lượng giác z = r ( cosϕ +i sin ϕ )
Đặt eiϕ = cosϕ + i sin ϕ . Chứng minh :
a) z = r.e

iϕ

i ( ϕ +ϕ )
iϕ
iϕ ′
; z n = r n .einϕ ; c) cosϕ =
; b) ( r.e ) . ( r ′.e ) = rr ′.e
′

eiϕ + e −iϕ
1
;sin 3 ϕ = ( 3sin ϕ − sin 3ϕ )
2
4

Phần 4: Bài tập tổng hợp về số phức
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng đại số:
a) z = 2i10 + i3
b) z = i2007 + i2008
ĐS: a) -2 –i ; b) 1 – i
Bài 2: Viết dưới dạng a + bi các số phức sau:
a) z = (1 + i)2– (1 – i)2
b) z = (2 + i)(-1 + i)(1 + 2i)2
c) z = ( 1 + i 3 )

3

d) z =

1
1
+
1+ i 1− i

ĐS: a) 4i
b) 5 – 15i
c) -8
6
7
Bài 3: Tính : a) (1 + 2i)
b) (2 + i) + (2 – i)7
Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn số thực:
(1 + i ) x + (1 + 2i ) y + (1 + 3i ) z + (1 + 4i)t = 1 + 5i


(3 − i ) x + (4 − 2i ) y + (1 + i ) z + 4it = 2 − i

d) 1
ĐS: a) 117 + 44i ; b) -556

ĐS: x = -2; y = 3/2; z = 2 ; t = -1/2

Bài 5: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Với điều kiện nào giữa a, b, a’ ,b’ thì tích z.z’ của chúng là số thực ?số ảo?
ĐS: ab’ + a’b = 0 và aa’ – bb’ = 0 ; ab’ + a’b ≠ 0

(

Bài 6: Tính: a)
c)

HD: a) 4 3i

(

3 +i −

) (

3 −i

) (

)

2

3

3 +i −

3 −i

)

2

3

b) 2(3 + i2) = 4

b)
d)

(
(
(

) (
3 + i)
3 − i)
2

3 +i +

3 −i

)

2

2

2

(
d)
(

c) 2i.8 = 16i

)
3 − i)

3 +i

2
2

=

1 + 3i −1 + 3i
=
2
1 − 3i

Bài 7: Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (x, y ∈ R)
Với x, y nào thì số phức đó là số thực?
z

2
Bài 8: Cho các số phức: z1 = 1 + i , z2 = 1 – 2i. Hãy tính: z12 .z1 z2 ; 2z1 − z2 ; z1 z2 và z
1

Bài 9: Thực hiện phép tính: a)

3
1 + 2i

b)

1+ i
1− i

c)

m
i m

d)

a+i a
a −i a

e)

a+i b
i a

Bài 10: Phân tích ra thừa số phức : a) a2 + 1
b) 2a2 + 3
c) 4a2 + 9b2
d) 3a2 + 5b2
Bài 11: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện :
2
2
a) z + 1 + 2i ≤ 0
b) ( 1 − i ) z = ( 1 + i ) z
c) lg z + i ≤ 1
d) z − 2 + z + 2 = 26
Bài 12: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z : z =

1
= 1− z
z

Bài 13: Cho số phức z = a + bi . Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O, các cạnh song song
với các trục tọa độ có độ dài bằng 4. Hãy xác định điều kiện của a và b để điểm biểu diễn
của z:
a) Nằm trong hình vuông
b) Nằm trên đường chéo hình vuông.
17


Bài 14: X/định tập hợp các điểm M trên mphẳng phức biểu diễn các số phức ( 1 + i 3 ) z + 2 ,

trong đó z − 1 ≤ 2 .
Bài 15: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
từng điều kiện sau: a) 2i − 2 z = 2z − 1
b) 2iz − 1 = 2 z + 3
Bài 16: Tìm các căn bậc hai của số phức : a) 6
b) -2
ĐS: a) ± 6
b) ± 2i
Bài 17: Tìm các căn bậc hai của số phức : a) -5 + 12i
b) −17 − 20 2i
2
Bài 18: Giải các phương trình trong tập số phức: a) x + 81 = 0
b) x2 – x + 2 = 0
Bài 19: Giải các phương trình: a) z2 – (3 – i)z + (4 – 3i) = 0
b) 3ix2 – 2x – 4+ i = 0
Bài 20: Tìm số phức B để pt bậc hai z2 + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng
8.
Bài 21: Lập phương trình có ẩn số x mà x phải thỏa mãn: Nếu số phức z = x + iy là một
nghiệm của phương trình z2 + pz + q = 0, trong đó p, q là những số thực.
Bài 22: Giải phương trình: a) z4 – z3 +

z2
+z+1=0
2

b) (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2 = 0
Bài 23: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực p,q để phương trình: z4 + pz2 + q = 0
a) Chỉ có nghiệm thực.
b) Không có nghiệm thực.
c) Có cả nghiệm thực và nghiệm

không thực.
Bài 24: Gọi j là số phức có hệ số ảo dương và thỏa mãn j3 = 1.Chứng minh rằng mọi số
phức
z = a + bi đều viết được dưới dạng z = x + yj với x và y thực. Nêu qui tắc cộng và
nhân hai số phức dưới dạng đó.Viết số

1
dưới dạng đó.
z

Bài 25: Định a để phươnh trình z3 – az2 + 3az + 37 = 0 có một nghiệm bằng -1. Tính các
nghiệm z1 và z2 còn lại trong C. Vẽ ảnh A, M, N của -1, z1,z2. Tính chất của tam giác AMN?
Bài 26: Viết dạng đại số của số phức:
4π
4π 
5π
5ππ 


+ i sin
c) 2  cos + i sin
÷
÷
3
3 
3
3 


π

π
3π
3π 


Bài 27: Cho z1 = 5  cos + i sin ÷, z2 = 2  cos + i sin ÷ . Tính z1, z2; z1.z2 và arg(z1.z2).
7
7
7
7 


Bài 28: Viết dạng lượng giác của số phức: − 3 − i; 3 + i; 4; −3i
Bài 29: Cho số phức z1,z2 có một acgumen tương ứng là ϕ1,ϕ2 . Tìm quan hệ ϕ1,ϕ2 để:

a) cos π + isin π

a) z1z2 = k, k > 0

b) 2  cos

b) z1z2 = 2i

c) z1 = 3. z2
1

Bài 30: Viết các số sau đây dưới dạng lượng giác: a) z = 1 + i tan ϕ

b) z =

1 + cosϕ + i sin ϕ

Bài 31: Chứng minh mọi số phức z ≠ -1 mà môđun bằng 1, đều có thể đặt dưới dạng : z =
1 + ti
,trong đó t là một số thực nào đó.
1 − ti

Bài 32: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết rằng một acgumen của
π
.
3

z +i
bằng
z −i

18


Bài 33: a) Xét các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số 2 + i, 3 + i để chứng minh rằng
nếu tan a =
tan b =

1
,
2

1
π
 π

với a, b ∈  0; ÷ thì a + b = .
5
4
 2

b) Xét các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số 2 + i, 5 + i, 8 + i để chứng
minh rằng nếu
tan a =

1
1
1
π
 π
,tan b = , tan c = với a, b, c ∈  0; ÷thì a + b + c = .
2
3
8
4
 2

Bài 34: Tính gọn : a) (1 + i)

25

b)
20

(

3 −i

)

6

c) 1 + cos π + i sin π ÷
12
12 


n

( −1 + i 3 )
c)

24

 1+ 2 3 
Bài 35:Tính gọn: a) 
÷
÷
 1− i 


3 −i 
b) 1 −
÷
2 ÷




( 1− i)

Bài 36: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức:
Bài 37: Tìm nghiệm phức của phương trình: a) x3 + 2i = 2
1+ i 3
.Tìm n ∈ N* để : a) zn là số thực.
1− i
1
1
1
Bài 39: Tìm tổng hữu hạn: a) Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + −...
3
9
27

Bài 38: Cho z =

15

( −1 − i 3 )
+
( 1+ i)

20

a) 1 + i 3

15

20

b)

−1 + i
2

b) (x + 2)5 + 1 = 0.
b) zn là số ảo.
b) Cn3 + Cn7 + Cn11 + −...

Bài 40: Biểu thị:
a) sin 7x theo sinx, cosx.
b) tan 6x theo tan x
Bài 41 :( Đại học KA 2010) Tìm phần ảo của số phức z biết :

z=

(

2 +i

) ( 1 − 2i )
2

−

Bài 41: ( Đại học KA 2010) Tim modun của số phức z + iz
− (1 −

3i )3
z= 1− i

Biết số phức z thỏa mãn

Bài 42: :( Đại học KB 2010) Trong mp tọa độ Oxy tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z thỏa mãn :
z − i = (1 + i ) z

VI. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2008 - 2009 ,tôi đã
chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp

Giỏi

Khá

Trung
Yếu
bình
12/A1
2
6,7%
8
26,7% 5
16,7% 15
50%
12/A2
1
3,3%

5
16,7% 6
20%
18
60%
Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2009 - 2010 ,tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh
dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
19


Lớp

Giỏi

12/A2
12/A3

10
8

Khá
33,3%
26,7%

12
10

40 %
33,3%

Trung
bình
6
5

Yếu
20 %
16,6%

2
7

6,7%
23,3%

Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2010 - 2011 ,tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh
dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp

Giỏi

12/A2
12/A3

12
9

Khá
36,6%
29,7%

12
10

40 %
33,3%

Trung
bình
4
4

Yếu
17 %
13,6%

2
7

6,7%
23,3%

Rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần số phức có tiến bộ rõ
rệt.
VII. KẾT LUẬN:
Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian đoạn hiện
nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước đang phát triển như
Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở
mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp
dụng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được. Có

như vậy, tình trạng hỏng kiến thức cơ bản mới hạn chế và dần khắc phục được.Hy vọng
rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần số phức .
VIII. ĐỀ NGHỊ:
Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12. Tuy
nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc giả chắc chắn đề tài sẽ
đem lại nhiều lợi ích . Ngoài ra phương pháp giải các ví dụ có thể chưa tối ưu cần sự góp ý
bổ sung của bạn đọc.
\

20


IX. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1.Báo toán học và tuổi trẻ.
2.Phân dạng và phương pháp giải toán số phức ( Lê Hoành Phò - NXB Đại học quốc
gia Hà Nội - xuất bản 2008)
3.Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc năm 2008 -2009
4.Bộ tài liệu ôn thi đại học ( TS. Vũ Thế Hựu - NXB đại học sư phạm - xuất bản năm
2010 )

21


X. MỤC LỤC:

NỘI DUNG

TRANG

1.Tên đề tài ………………………1

2. Đặt vấn đề: …………………… 2
3. Cơ sở lý luận:

……………… 2

4.Cơ sở thực tiễn:

………………2

5. Nội dung nghiên cứu: ........... 3 - 18
6. Kết quả nghiên cứu

………… 19

7. Kết luận:

………………… 19

8. Đề nghị:

………………… 20

9. Tài liệu tham khảo:
10. Mục lục:

………… 21

………………… 22

11. Phiếu đánh giá xếp loại SKKN: …23-24

22


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
PHIẾU ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2010 - 2011
I. Đánh giá xếp loại của HĐKH Trường THPT LÊ QUÝ ĐÔN
1: Tên đề tài : MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN THI TỐT NGHIỆP
VÀ ĐẠI HỌC
2. Họ và tên tác giả: Lê Xuân Phương
3. Chức vụ: giáo viên - Tổ: toán
4. Nhận xét của Chủ tịch HĐKH về đề tài:
a) Ưu điểm: ......................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
b) Hạn chế: ......................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
5. Đánh giá, xếp loại:
Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường THPT Lê Quý Đôn
thống nhất xếp loại : .....................
Thư ký HĐKH:
(Ký, ghi rõ họ tên)

Chủ tịch HĐKH
(Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)

I. Đánh giá, xếp loại của HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam

Sau khi thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam thống nhất xếp
loại: ...............
Những người thẩm định:
Chủ tịch HĐKH
(Ký, ghi rõ họ tên)
(Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên)
............................................................
............................................................
............................................................

23


PHIẾU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2010- 2011
----------------------------------(Dành cho người tham gia đánh giá xếp loại SKKN)
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
Trường THPT Lê Quý Đôn
- Đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN THI TỐT NGHIỆP VÀ
ĐẠI HỌC

- Họ và tên tác giả: Lê Xuân Phương
- Đơn vị: Tổ Toán
- Điểm cụ thể:
Phần

Nhận xét
Điểm
của người đánh giá xếp loại đề tài tối đa

1. Tên đề tài
2. Đặt vấn đề

1

3. Cơ sở lý luận

1

4. Cơ sở thực tiễn

2

5. Nội dung nghiên cứu

9

6. Kết quả nghiên cứu

3

7. Kết luận

1

8.Đề nghị
9.Phụ lục
10.Tài liệu tham khảo
11.Mục lục
12.Phiếu đánh giá xếp loại

Điểm
đạt
được

1
1
24


Thể thức văn bản, chính tả
Tổng cộng

1
20đ

Căn cứ số điểm đạt được, đề tài trên được xếp loại : A
Người đánh giá xếp loại đề tài:
(Ký, ghi rõ họ tên)

25