Chuyên đề: PT vô tỉ lớp 9- Bồi dưỡng hs giỏi

Bài tập Toán 9 Chuyên đề: Phương trình có ẩn số trong căn thức
PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN SỐ TRONG CĂN THỨC
1. Một số dạng cơ bản :
Dạng 1:



=
≥
⇔=
2
BA
0B
BA
Ví dụ 1a: Giải phương trình:
11x
−=−
(1) (B là số thực âm)
Ta có
01x
≥−
, ∀x ≥ 1 và − 1 < 0
Do đó phương trình (1) vô nghiệm.
Ví dụ 1b: Giải phương trình:
0x1
2
=−
(2) (B = 0)
(2) ⇔ 1 – x
2
= 0 ⇔ x

2
= 1 ⇔ x = 1 hoặc x = −1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
1;1
−
Ví dụ 1c: Giải phương trình:
1x2
2
=−
(3) (B là số thực dương)
(3) ⇔ 2 – x
2
= 1 (vì 1 > 0)
⇔ x
2
= 1 ⇔ x = 1 hoặc x = −1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
1;1
−
Ví dụ 1d: Giải phương trình:
1xx1
2
−=−
(3) (B là một biểu thức chứa biến)
(3) ⇔




−=−
≥−
22
)1x(x1
01x
⇔



=−
≥
0x2x2
1x
2
⇔



=−
≥
0)2x(x2
1x
⇔









=
=
≥
)nhận(2x
)loại(0x
1x
⇔ x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
2
Dạng 2:



=
≥≥
⇔=
BA
)0Ahay(0B
BA
Ví dụ 2: Giải phương trình:
x459x2
−=+
(4)
(4) ⇔



−=+

≥−
x459x2
0x45
⇔





−=
≤
4x6
4
5
x
⇔







−=
≤
3
2
x
4
5

x
⇔ x =
3
2
−
Gv: Trần Quốc Nghóa Trang 1
Bài tập Toán 9 Chuyên đề: Phương trình có ẩn số trong căn thức
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =






−
3
2
Dạng 3:
( )

⇔







=+
≥

≥
⇔>=+
2
2
mBA
0B
0A
)0m(mBA
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3x1x
=++
(5)
(5) ⇔
( )







=++
≥
≥+
2
2
3x1x
0x
01x
⇔






=++++
≥
−≥
9x)1x(x21x
0x
1x
⇔



−=+
≥
x4)1x(x
0x
⇔





−=+
≥−
≥
2
)x4()1x(x

0x4
0x
⇔



+−=+
≤≤
22
xx816xx
4x0
⇔



=
≤≤
16x9
4x0
⇔





=
≤≤
9
16
x

4x0
⇔ x =
9
16
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =






9
16
Dạng 4:
)dòngcáccảtấtcủachungnghiệmlấy(
0N
0B
0A
0NBA
⇔







=
=
=

⇔=+++


Ví dụ 4: Giải phương trình:
05x6x3x4x
22
=+−++−
(6)
(6) ⇔





=+−
=+−
05x6x
03x4x
2
2
⇔



=−−
=−−
0)5x)(1x(
0)3x)(1x(
Gv: Trần Quốc Nghóa Trang 2
Bài tập Toán 9 Chuyên đề: Phương trình có ẩn số trong căn thức

⇔



==
==
5xhoặc1x
3xhoặc1x
⇔ x = 1 (x = 1 là nghiệm chung)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
1
2. Một số cách giải thường dùng :
a. Nâng hai vế lên lũy thừa. (các dạng cơ bản trên)
b. Đưa về phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
14x4x
=−−
(7)
Ta có: x – 4
4x
−
= (
4x
−
− 2)
2
≥ 0, ∀ x ≥ 4
Do vậy (7) ⇔






=−−
≥−
124x
04x
⇔









−=−−
=−−
≥−
124x
124x
04x
⇔










=−
=−
≥
14x
34x
4x
⇔








=
=
≥
5x
13x
4x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
13;5
c. Đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Giải phương trình:

76x5x
22
=−+−
(8)
(8) ⇔
066x6x
22
=−−+−
ĐKXĐ: x
2
– 6 ≥ 0 ⇔ x
2
≥ 6 ⇔




−≤
≥
6x
6x
Đặt t =
6x
2
−
≥ 0, khi đó:
(8) ⇔ y
2
– y + 6 = 0 ⇔ (t + 3)(t – 2) = 0 ⇔




=
−=
2t
)loại(3t
Khi t = 2 ⇔
6x
2
−
= 2 ⇔ x
2
− 6 = 4 ⇔ x
2
= 10 ⇔ x =
10
±
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
10;10
−
d. Đưa về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình:
x12x3
2x3
x
2
−=−−
−
(9)

ĐKXĐ: 3x – 2 > 0 ⇔ x >
3
2
.
Phương trình tương đương với:
x
2
– (3x – 2) = (1 – x).
2x3
−
⇔ (x – 1)(x – 2) = (1 – x)
2x3
−
⇔ (x – 1)(x – 2 +
2x3
−
) = 0
⇔



=−+−
=−
02x32x
01x
⇔



−=−

=
(*)x22x3
1x
Gv: Trần Quốc Nghóa Trang 3
Bài tập Toán 9 Chuyên đề: Phương trình có ẩn số trong căn thức
Giải (*): (*) ⇔



−=−
≤
2
)x2(2x3
2x
⇔








=
=
≤
)loại(6x
1x
2x
⇔ x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
1
e. Dùng bất đẳng thức.
Ví dụ 7: Giải phương trình:
21x1x
=+−−
(10)
Giải
ĐKXĐ:
1x
1x
1x
01x
01x
≥⇔



−≥
≥
⇔



≥+
≥−
(10) ⇔
1x21x
++=−

(10’)
Do 0 ≤ x – 1 < x + 1, nên vế trái của (10’) nhỏ hơn vế phải.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
3. Chú ý :
a. Phương trình có chứa ẩn trong căn thức bậc hai, phải tìm điều kiện xác đònh của nghiệm
phương trình (điều kiện để các căn thức có nghóa).
b. Quá trình biến đổi tương đương phải đặt điều kiện phát sinh (nếu có). Nếu chỉ dùng phép
biến đổi mà không chú ý đến điều kiện tương đương, thì phải dùng phép thử lại các giá trò
tìm được của ẩn để chọn nghiệm thích hợp.
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
1. a)
645x9
3
4
x5320x4
=+++−+
b)
1x6
9
1x
2
15
25x25
−+=
−
−−
c)
45x45x9
3

1
20x4
=−+−−−
d)
1x164x49x916x16
+−=+++−+
.
e)
29x94x441x2
=−−−+−
f)
x15
3
1
11x15x15
3
5
=+−
2. a)
1xx1
2
−=−
b) x – 3 +
03x
=+

c)
x27x2
2
−=+

d)
2x3x4x
2
−=++
e)
0x24x
2
=−+−
f)
4x2x1
−=+
g)
1x)1x)(4x2(
+=−+
h)
2x1x4x2
2
−=−+
.
3. a)
x4x2
+=−
b)
2x1x2
−=−
c)
x459x2
−=+
d)
1x1x2

−=−
e)
3x3x
+=+
f)
x3xx
2
−=−
Gv: Trần Quốc Nghóa Trang 4
Bài tập Toán 9 Chuyên đề: Phương trình có ẩn số trong căn thức
g)
1x1x3x
2
+=++
h)
3x43x2
2
−=−
i)
3x6xx
2
−=−−
j)
3x2x4x9
2
−=−
k)
7x1x9x94x4
+−=+−+−+
l)

5x18x98x42x
+=+++−+−
m)
x135x2
−=−+
n)
x42x2
−=−+
2. Giải các phương trình sau:
a)
3x21x2
−+=+
b)
22x1x
=+−+
c)
26x512x3
=+−+
d)
27x9x
22
=−−+
e)
14x31x4
=+−+
f)
66x21x
=++−
g)
21x1x

=+−−
h)
1x1xx
=−++
3. Giải các phương trình sau:
a)
02x1x
=−+−
b)
0x469x4
2
=−+−
c)
0x43x2
=−+−
d)
08x9x5x4x
22
=+−+−+
4. Giải các phương trình sau:
1. a)
2x4x4x
2
−=++
b)
1x21x4x4
2
−=+−
c)
x9x6x

2
=+−
d)
2x4x4x
2
−=++
2. a)
09x6x1x2x
22
=+−−+−
b)
09x12x4xx816
22
=++−+−
c)
09x12x41x10x25
22
=+−++−
d)
01x2x1x4x4
22
=+−++−
3. a)
54x4x
=−+
b)
12x67x2x42x
=−−++−−+
e)
21x2x1x2x

=−−+−+
f)
225x232x5x232x
=−+++−−+
g)
13x22x
=−−−
h)
47x1x7x28x
=+−+++++
i)
11x1x2x
=−−−−
j)
51x68x1x43x
=−−++−++
5. Giải các phương trình sau:
a)
4x5x28x5x5
22
++=++
b)
6x3x25x3x22
22
−−=+−
c)
7x3x5x3x
22
=−++−
d)

33x3x29x3x2
22
=++++
e)
27x7x218x21x3
22
=+++++
f)
4x311x3x2x
22
+=+−+
6. Giải các phương trình sau:
a)
4x2x4
2
−=−
b)
09x9x6x
22
=−++−
c)
3x
1x
3x2x
2
+=
−
−+
d)
3x21x

1x
2x3
−=+−
+
−
e)
3x
7
3x
3x
16x
2
+
=++
−
−
f)
16x
10
16xx
2
2
+
=++
7. Giải các phương trình sau:
a)
1x1x21x
+=−−−
b)
2x31x51x

−=−−−
Gv: Trần Quốc Nghóa Trang 5