CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH của một số HÌNH THƯỜNG gặp

Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán

1. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH
CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP
Sưu tầm & biên soạn: CAO VĂN TUẤN
Số điện thoại: 0975 306 275
Công thức

Sxq  4 R2


4
3
V   R
3


R



Chỏm cầu

Hình nón

Hình nón cụt

Hình trụ



Sxq  2 Rh   r 2  h 2


h  h 2
2
h  3r 2
V   h  R   
3 6





h



R

Sđáy   R2

Sxq   Rl

S   R  R  l 
 tp
1

2
V  3  R h

Sxq   l  R  r 


1
2
2
V   h R  r  Rr
3




r

/>
Hình cầu

Hình vẽ

l

h
R

r
h



R

Sxq  2 Rh

2
V   R h

h
R

Hình trụ cụt

Sxq   R  h1  h2 


2  h1  h2 

V   R 
 2 


h2
h1
R

1


Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275

V

2 3
R tan 
3

Hình nêm

/>
 2
V     R3 tan 
 2 3

R

R
Diện tích
Parabol và
Thể tích khối
tròn xoay
sinh bởi
Parabol

Sparabol 

4
Rh
3

h

R

R

1
1
V   R2 h  Vtru
2
2

Diện tích Elip
và Thể tích
khối tròn
xoay sinh bởi
Elip

h


Selip   ab

4

2
Vxoay quanh 2 a   ab
3

4 2

Vxoay quanh 2 b  3  a b

b

a

a
b

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 [Trích đề thi thử THPT Chuyên KHTN HN – lần 4]: Cắt một khối
trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối  H  như hình vẽ bên. Biết rằng
thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 10, khoảng cách từ
điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt
đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (hình vẽ). Tính thể tích của  H  .
A. V H   192 .
C. V H   704 .
2

B. V H   275 .
D. V H   176 .

14
8


Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán
Lời giải:

 AB  8


Ta có:  AE  10
 DE  CE  CD  14  8  6


E
8
D
14

A

 AD  AE2  DE2  102  62  8  R 

AD
 4.
2

8
R

Cách 1: Áp dụng trực tiếp công thức

B

C

 AB  CE 
 8  14 
Thể tích của  H  là: V H    R2 
  .42 


  176  Chọn đáp án D.
2


 2 
Cách 2:
Lấy mặt phẳng  P  vuông góc với đường sinh của hình trụ và đi qua điểm A (điểm thuộc thiết
 Khối 1: Khối trụ có chiều cao h  8 và bán kính r  4  V1   .42.8  128 .
 Khối 2 (khối còn lại): Có thể tích bằng một nửa thể tích của khối trụ có chiều cao h  6 và
1
bán kính r  4  V2   .42.6  48 .
2
Thể tích của  H  là: V H   V1  V2  128  48  176  Chọn đáp án D.
Ví dụ 2 [Trích đề thi thử THPT Tử Đà, Phú Ninh, Phú Thọ]:
Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình
vuông cạnh 10 cm bằng cách khoét bỏ đi bốn phần bằng nhau
có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB  5 cm, OH  4 cm
Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.
40
140
A.
B.
cm2 .
cm2 .
3
3
160
C.
D. 50 cm2 .

cm2 .
3
Lời giải:
Gọi S, Shv , SP lần lượt là diện tích của bề mặt hoa văn, miếng bìa mỏng hình vuông và một
phần hình có hình dạng parabol bị khoét đi.
2
2
140 2
Khi đó: S  Shv  4SP  Shv  4. .OH.AB  102  4. .4.5 
cm  Chọn đáp án A.
3
3
3
Ví dụ 3 [Trích đề thi thử THPT Chuyên Ngoại Ngữ HN]: Học
sinh A sử dụng một xô đựng nước có hình dạng và kích thước
giống như hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính
20 cm , miệng xô là đường tròn bán kính 30 cm , chiều cao xô
là 80 cm . Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả bao
nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20 000 đồng/ 1m

30 cm

80 cm

3

(số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)?
A. 35 279 đồng.
B. 38 905 đồng.
C. 42 116 đồng.

D. 31 835 đồng.

20 cm

Lời giải:
Thể tích của một xô nước là:
1
1
V   h R2  r 2  Rr   .80 302  202  30.20  159174,0278 cm3  0,1591740278 m3 .
3
3
3













 

/>
diện gần mặt đáy nhất). khi đó, ta chia khối  H  thành hai khối:

Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275

 

 Thể tích nước mỗi tháng A dùng hết là: 10V  1,591740278 m3

Vậy số tiền nước mà A phải trả mỗi tháng là: 1,591740278  20000  31 834 đồng.

 Chọn đáp án D.
Ví dụ 4: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính
30 cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi
qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc
450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa
dưới đ y). Kí hiệuV là thể tích của hình nêm
(Hình 2). Khi đó, giá trị của V là
225
A. V  2250 cm3 . B. V 
cm3 .
4

 
C. V  1250  cm  .
3

 
D. V  1350  cm  .

Hình 1

3

Hình 2

/>
Lời giải:
Cách 1: Giải theo hướng tự luận
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương
trình: y  225  x2 , x  
 15;15 .
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm



có hoành độ x , x  
 15;15



cắt hình nêm theo thiết

diện có diện tích là S  x  (hình vẽ).
MN  NP tan 450  NP
Dễ thấy: NP  y 
 y  225  x2 .

Khi đó: S  x  





1
1
MN.NP  225  x2 suy ra thể tích hình nêm là:
2
2
15

15





 

1
V   S  x  dx   225  x2 dx  2250 cm3  Chọn đáp án A.
2 15
15

Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh

30
 15 cm
R 
.
Hình nêm có dạng như hình vẽ bên với 

2
  450


Vậy thể tích hình nêm là:
2
2
V  R3 tan   .153 tan 450  2250 cm3  Chọn đáp án A.
3
3

 

Ví dụ 5: Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính 4
dm, người ta muốn cắt bỏ một chỏm cầu có diện





tích mặt cắt là 15 dm2 để lấy phần còn lại làm
bể nuôi cá. Hỏi thể tích nước tối đa mà bể cá này
có thể chứa là bao nhiêu?
A.

4





175
 dm3 .
4

B.





175
 dm3 .
3

C.





125
 dm3 .
4

D.





125
 dm3 .
3


Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán
Gọi V , VC , VCh

Lời giải:
lần lượt là thể tích tối đa của bể nuôi cá có thể chứa, thể

tích khối cầu bằng thủy tinh và thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ.
4

h
Khi đó: V  VC  VCh   R3   h2  R   .
3
3


h
r
h'
R


 R  4 dm
.
Ta có: 

S  4 r 2  15 dm2  r 2  15







Khi đó: h  R2  r 2  42  15  1  h  R  h  3 dm.
Vậy thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa là:
4

3  175
V   .43   .32  4   
 dm3  Chọn đáp án C.
3
3
3





Ví dụ 6 [Trích đề thi thử THPT Hà Huy Tập, Hà Tĩnh]:
100 m
Một s n chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100
2m
m và có chiều rộng 60 m. Người ta dự định làm một
con đường nằm trong s n như hình vẽ. Biết rằng viền
ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip. 60 m

Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần
lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều
rộng của mặt đường là 2 m.
Kinh phí cho mỗi m2 làm đường là 600 000 đồng. Số tiền làm con đường đó là
A. 293 904 000 đồng.
C. 293 804 000 đồng.

B. 283 904 000 đồng.
D. 283 604 000 đồng.
Lời giải:

Cách 1: Sử dụng ứng dụng của tích phân
Elip của đường viền ngoài có độ dài trục lớn là
a  50 m
.
100 m và độ dài trục bé là 60 m  
b  30 m

y
30
28
- 50

- 48

48
O
- 28
- 30

50

x

y2
x2
x2


1

y


30
1

.
502 302
502
Elip của đường viền trong có độ dài trục lớn là
a  48 m
.
96 m và độ dài trục bé là 56 m  
b  28 m
  E1  :

y2
x2
x2



1

y


28
1

.
482 282
482
Do tính đối xứng của elip, nên diện tích của mặt đường cần làm là:
48
 50
 MTBT
x2
x2

S  4  30 1  2 dx   28 1  2 dx   156  489,84 m2 .
0

50
48
0


  E2  :

 

 

 Diện tích của mặt đường cần làm là: S  S1  S2  1500  1344  156  489,84 m2 .
Vậy số tiền làm con đường đó là: 489,84  600 000  293 904 000 đồng  Chọn đáp án A.

5

/>



Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275



Cách 2: Sử dụng công thức tính diện tích của elip Selip   ab

a  50 m
 S1   .50.30  1500 m2 .
 Elip của đường viền ngoài có 
b

30
m


 

a  48 m
 S2   .48.28  1344 m2 .
 Elip của đường viền trong có 
b  28 m

 

 

 Diện tích của mặt đường cần làm là: S  S1  S2  1500  1344  156  489,84 m2 .

/>
Vậy số tiền làm con đường đó là: 489,84  600 000  293 904 000 đồng  Chọn đáp án A.

6