Chủ đề tự chọn 9 trọn bộ (C. N)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (363.19 KB, 35 trang )
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9
MÔN: TOÁN
TÊN CHỦ ĐỀ: CĂN BẬC HAI
LOẠI CHỦ ĐỀ: BÁM SÁT
THỜI LƯNG: 8 TIẾT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ. ( 3 tiết)
1. Căn bậc hai.
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x
2
= a. Khi đó ta kí hiệu: x =
a
Ví dụ 1: -
9
= 3, vì 3
2
= 9;
25
4
5
2
.
5
2
5
2
25
4
==
vì
; …
Số a > 0 có hai căn bậc hai là
0 a- à
<>
va 0
. Ta nói
a
là căn bậc hai số học của số
không âm a.
Ví dụ 2: Trong các số sau thì số nào là căn bậc hai số học của 9:
2222
3;)3(;3;)3(
−−−−
.
Giải
Căn bậc hai số học của 9 là:
22
3;)3(
−
Số a < 0 không có căn bậc hai.
Số a = 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.
Nếu
babthìa
≤≤≤
0
, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Đảo lại, nếu
bathìba
≤≤≤
0
.
Ví dụ 3: So sánh 7 và
47
Giải
Ta có
47 7 vậy
>>=
do,47497
2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
AA
=
2
.
Dưới một dấu căn có thể chứa số, hoặc có thể chứa cả những dấu căn khác, cùng với các phép
toán số học, ta nói đó là một căn thức. Ví dụ
2
2
x
ba
+
. Khi đó ta nói
2
2
x
ba
+
là biểu thức dưới dấu căn
Ta luôn có
AA
=
2
, điều này đúng với mọi số thực A, cũng đúng với mọi biểu thức A, miễn là
biểu thức đó có nghóa. Như vậy :
0 A nếuA và0 A nếu
2
<−=≥=
AAA
2
.
Ví dụ 4:
13)31(31)31(
2
−=−−=−=−
Ví dụ 5: Tìm x để căn thức sau có nghóa:
a)
;43
+−
x
b)
x
+−
2
1
; c)
22
xa
+
Giải
a) Ta phải có: -3x + 4
≥
0 hay x
≤
3
4
b) Căn thức
x
+−
2
1
có nghóa khi
2020
2
1
>⇔>+−⇔>
+−
xx
x
.
c) Căn thức
22
xa
+
luôn có nghóa vì biểu thức dưới dấu căn luôn không âm.
Ví dụ 6: Giải phương trình
3)12(
2
=+−
x
Môït HS tiến hành giải như sau: Ta có:
312)12(
2
=+−=+−
xx
suy ra x = -1.
Lời giải trên đã sót đi một nghiệm, lời giải đúng như sau:
Ta có:
>−
≤+−
=+−=+−
2
1
x khix
khixx
xx
12
2
1
12
12)12(
2
Với x
2
1
≤
, ta có -2x + 1 = 3, suy ra x = -1
Với x >
2
1
, ta có 2x – 1 = 3, suy ra x = 2.
3. Các tính chất.
Tính chất1: Nếu a
≥
0 và b
≥
0 thì
baba ..
=
.
Chứng minh:
Đặt M =
baNba .;.
=
, ta có:
M
2
=
abbbaababa
==
....).)(.(
N
2
=
bababa ....
=
Nên suy ra M
2
= N
2
. Mà M và N là các số không âm nên ta có M = N, suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 7: Tính:
2
81;25,0.100.36;27.3;50.20 aaa
Giải
.101010.10050.2050.20
===
.98127.327.3
2
aaaaaa
===
.9.8181
.305,0.10.625,0.100.3625,0.100.36
22
aaa
==
===
Tính chất 2:
b
a
b
a
=
; a
≥
0, b > 0.
Chứng minh: Tương tự như trên.
Ví du 8ï:
9
4
81
16
81
16
;
25
11
225
121
225
121
;
3
5
9
25
9
25
22
a
aa
======
.
Chú ý:
a) Nói chung ta không có:
.; babababa
−=−+=+
Ví dụ:
5329,1394
=+=+=+
4 ưngnh
1349.7916
=−=−=−
16 ưngnh
.
b) Trong tính chất hai nói trên, có thể giả sử a
≤
0 và b < 0. Lúc đó ta viết:
b
a
b
a
−
−
=
.
Tính chất 3: ( Đưa thừa số ra ngoài dấu căn )
BABA ..
2
=
( B
≥
0)
Ví dụ 9:
28)(2828
22224
abbaba
==
.
Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào trong dấu căn).
A
BAB
2
=
(A
≥
0, B
≥
0 )
A
BAB
2
−=
( A < 0, B
≥
0)
Ví dụ 10: - 0,05
2672288.5.05,028800.)05,0(28800
2
−=−=−=−=
Tính chất 5: ( Trục căn thức ở mẫu)
B
AB
B
AB
=
2
(A
≥
0, B > 0)
BA
BA
BA
B
BA
B
A
−
=
±
=
1
( B > 0)
Chú ý:
)( BABA
+−
được gọi là lương liên hiệp của
)( BABA
−+
, vì ta có
BABABA
−=±
))((
Tổng quát: X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức, nếu XY không còn
dấu căn.
Thông thường, việc nhân chia tử và mẫu của một phân thức cho lượng liên hiệp khiến cho biểu
thức gọn gàng hơn. Chính vì vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng, khi gặp bài toán đòi hỏi phải đơn giản
hoặc tính một biểu thức chứa căn thức ở mẫu, việc đầu tiên, ta nghó đến các lượng liên hiệp.
Ví dụ 11: Trục căn thức ở mẫu của A =
.
632
1
−+
Giải
23
)162)(632(
162
632
)6()32(
632
)632)(632(
632
.
632
1
22
+++
=
−
++
=
−+
++
=
−+−+
++
=
−+
=
A
Chú ý: Trong thực hành tính toán, đôi khi ta cần rút gọn một biểu thức chứa căn thức phức tạp,
hoặc cần phải chứng minh một đẳng thức bằng những biến đổi. Khi đó ta cần biết khôn kheó vận dụng
tổnghợp 5 tính chất trên để biến đổi. Điều này có được bằng kinh nghiệm và kỷ năng tính toán, khi ta
quen dần các bài tóan từ đơn giản đến phức tạp hơn.
Ví dụ 12: Tính M = 10a
2
- 4
a10
+ 4 với a =
2
5
5
2
+
Giải
M = (
a10
-2)
2
. Thay giá trò của a vào biểu thứcnày.
M =
25)2254(2
2
50
5
20
2
2
5
5
2
10
2
2
2
=−+=
−+=
−
+
Ví dụ 13: Cho bểu thức
10
55
55
55
55
−
+
−
+
−
+
=
B
. Rút gọn rồi chứng minh B < 0.
Giải
Ta có:
103
20
)103(20
20
102060
525
10).525(510525510525
)55)(55(
10).55)(55()55()55(
10
55
55
55
55
22
−=
−
=
−
=
−
−−−++++
=
+−
+−−−++
=−
+
−
+
−
+
=
B
Vì 3 <
10
nên 3 -
10
< 0. Vậy B < 0
Ví dụ 14: Tính
53
1
.
33
15
23
3
13
2
+
−
+
−
+
−
=
A
.
Giải
Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta có:
2
1
35
1
).53(
2
1
35
1
.
2
35
2
15
63313
35
1
.
6
)33(15
1
)23(3
2
)13(2
53
1
.
)33)(33(
)33(15
)23)(23(
)23(3
)13)(13(
)13(2
=
+
+=
+
++−−+=
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+−
+
+
−+
+
+
+−
+
=
A
4. Căn bậc ba.
Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x
3
= a, ký hiệu x =
.
3
a
Ta thừa nhận kết quả: Mọi
số thực đều có một căn bậc ba tương ứng.
Ví dụ:
327;327
33
−=−=
Ta công nhận các tính chất sau:
4.1 Nếu a < b thì
33
ba <
.
4.2 Với mọi a, b ta có:
333
.. baba
=
.
4.3 Với mọi a, b và b
≠
0, ta có:
3
3
3
b
a
b
a
=
.
Ví dụ 15: Chứng minh:
).)((
).)((
33
3
2
33
33
3
2
33
bbaababa
bbaababa
+−+=+
++−=−
Hướng dẫn: Sử dụng các hằng đẳng thức A
3
– B
3
= (A –B)( A
2
+ AB +B
2
)
A
3
+ B
3
= (A + B)( A
2
– AB + B
2
)
Và tính chất 2, ở đây A =
3
a
và B =
3
b
.
Ví dụ 16: Theo chú ý ở trên, X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức,
nếu XY không còn dấu căn. Từ đó, theo ví dụ trên, lượng liên nhiệp của
33
ax
−
là (
)
3 2
3
3 2
aaxx
++
.
Ví dụ 17: Trục căn thức ở mẫu cho biểu thức
1
2
3
2
+
+
x
x
với x
≠
-1
Giải
Ta có:
1
2
3
2
+
+
x
x
=
1
)1)(2(
3
3
22
+
+−+
x
xxx
.
II. BÀI TẬP ( 5 tiết, trong đó có một tiết kiểm tra 45 phút)
Bài 1: Tính:
36,0.25.4
;
2
49a
;
16
9
;
5
80
;
)0(
3
75
>
a
a
a
;
121
4
2
a
Bài 2: Tìm hai số a, b sao cho:
babababa
−=−+=+
;
Bài 3: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 là bình phương của một số tự nhiên ( Những số như thế
được gọi là số chính phương ). Em hãy tính thật nhanh các số
15876;3249;4225
mà không dùng
máy tính.
Bài 4: Tính:
2
)12(
1
.1
25
1
25
1
+
+
+
−
−
=
A
.
Bài 5: Tính:
10271027
−−+
Bài 6: Tính: A =
)321)(321(
−+++
;
ba
b
b
ba
B
+
−
=
:
Bài 7: Chứng minh với a > 0, a
≠
1, ta có:
1
1
1
1
1
2
=
−
−
+
−
−
a
a
a
a
aa
Bài 8: Cho biểu thức
−
+
+
−
=
2223
:
1
yxxy
y
yxx
x
yx
N
Với x > 0; y
0
≥
và x
≠
y. Rút gọn biểu thức N.
Bài 9: Thực hiện phép tính:
+
−
+
+
+
+
32
1
:1
12
22
3
323
Bài 10: Tính giá trò của biểu thức sau với x = 8:
)168.(
16
44
2
2
2
+−
−
++
= xx
x
xx
A
Bài 11: Cho biểu thức
−
−
−
−
+
−
−
+
+
=
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
. Với x
0
≥
và x
≠
9.
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P <
3
1
c) Tìm giá trò bé nhất của P.
Bài 12: So sánh: 5
3
6
và 6
3
5
.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP.
Bài 2: b = 0 , a
≥
0 ( Xem thêm chú ý trang 2)
Bài 3: Ta có 60
2
= 3600 < 4225 < 4900 = 70
2
.
Như vậy 60 <
4225
< 70. Mặt khác, trong các số từ 1 đến 9, chỉ có số 5 làcó bình phương tận
cùng bằng 5. Do đó, chỉ có số đó là 65. Thử lại thấy đúng. Vậy
4225
= 65.
Tương tự: 55
2
= 3025 < 3249 < 3600 = 60
2
. Chỉ có số 3 và 7 có tận cùng bằng 9 khi bình phương.
Vậy
3249
= 57.
Bài 4: Ta có:
2
)12(
1
.
)25)(25(
)25)(25()25(25
+−+
−++−−+
=
A
= …=
=
3
1
)12(
1
.
3
)12(
)12(
1
.
3
223
2
2
2
=
+
+
=
+
+
Bài 5: Ta có:
...2525)25()25(10271027
22
=−−+=−−+=−−+
Bài 7: với a > 0, a
≠
1, ta có:
[ ]
1
)1(
)1)(1)(1(
)1(
)1()1()1(
)1(
)1)(1(
)1(
)1(
.
1
)1(1
1
1
1
1
22
22
2
2
=
−
−+−
=
−
−−+−
=
−
−−+−
=
−
−
−
−+−
=
−
−
+
−
−
a
aaa
a
aaaa
a
aaaaa
a
a
a
aaaa
a
a
a
a
aa
Bài 8: Với x > 0; y
0
≥
và x
≠
y thì biểu thức N luôn được xác đònh.
2
...
))((
:
1
)(
1
)(
1
:
1
)()(
:
1
:
1
222223
yx
xyyxx
yxxy
yxxyxyxxyx
xxyy
y
xyxx
x
yx
yxxy
y
yxx
x
yx
N
+
=
−+
++−
−
=
−
+
+−
=
−
+
+
−
=
−
+
+
−
=
Bài 9: Ta có:
2...)23(
)12(
)12(2
3
)23(3
32
1
:1
12
22
3
323
==+−
+
+
+
+
=
+
−
+
+
+
+
Bài 10: Với x = 8 thì x
2
- 16 khác 0. nên biểu thức đã cho xác đònh tại x = 8.Ta có:
3
1
3...
4
)4(2
)4.(
)4)(4(
)2(
)168.(
16
44
2
2
2
2
2
==
+
−+
=−
+−
+
=+−
−
++
=
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
A
Bài 11: a) Rút gọn ta được :
3
3
+
−
=
x
P
b)
9x và ≠≤≤⇔<⇔+>⇔−<
+
−
⇔−< 390639
3
1
3
3
3
1
xxx
x
P
c) Do P < 0 nên P nhỏ nhất khi
3
3
+
x
lớn nhất.
Vậy Min P = -1 Khi x = 0
Bài 12: Ta có:
33
3 3
3
3 3
3
6536.305.6525.306.565
>====
33
56 đó Do 6 và
*****************************************************************************
BGH duyệt
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9
MÔN: TOÁN
TÊN CHỦ ĐỀ: CĂN BẬC HAI
LOẠI CHỦ ĐỀ: NÂNG CAO
THỜI LƯNG: 8 TIẾT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ. ( 3 tiết)
1. Căn bậc hai.
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x
2
= a. Khi đó ta kí hiệu: x =
a
Ví dụ 1: -
9
= 3, vì 3
2
= 9;
25
4
5
2
.
5
2
5
2
25
4
==
vì
; …
Số a > 0 có hai căn bậc hai là
0 a- à
<>
va 0
. Ta nói
a
là căn bậc hai số học của số
không âm a.
Ví dụ 2: Trong các số sau thì số nào là căn bậc hai số học của 9:
2222
3;)3(;3;)3(
−−−−
.
Giải
Căn bậc hai số học của 9 là:
22
3;)3(
−
Số a < 0 không có căn bậc hai.
Số a = 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.
Nếu
babthìa
≤≤≤
0
, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Đảo lại, nếu
bathìba
≤≤≤
0
.
Ví dụ 3: So sánh 7 và
47
Giải
Ta có
47 7 vậy
>>=
do,47497
2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
AA
=
2
.
Dưới một dấu căn có thể chứa số, hoặc có thể chứa cả những dấu căn khác, cùng với các phép
toán số học, ta nói đó là một căn thức. Ví dụ
2
2
x
ba
+
. Khi đó ta nói
2
2
x
ba
+
là biểu thức dưới dấu căn
Ta luôn có
AA
=
2
, điều này đúng với mọi số thực A, cũng đúng với mọi biểu thức A, miễn là
biểu thức đó có nghóa. Như vậy :
0 A nếuA và0 A nếu
2
<−=≥=
AAA
2
.
Ví dụ 4:
13)31(31)31(
2
−=−−=−=−
Ví dụ 5: Tìm x để căn thức sau có nghóa:
a)
;43
+−
x
b)
x
+−
2
1
; c)
22
xa
+
Giải
d) Ta phải có: -3x + 4
≥
0 hay x
≤
3
4
e) Căn thức
x
+−
2
1
có nghóa khi
2020
2
1
>⇔>+−⇔>
+−
xx
x
.
f) Căn thức
22
xa
+
luôn có nghóa vì biểu thức dưới dấu căn luôn không âm.
Ví dụ 6: Giải phương trình
3)12(
2
=+−
x
Môït HS tiến hành giải như sau: Ta có:
312)12(
2
=+−=+−
xx
suy ra x = -1.
Lời giải trên đã sót đi một nghiệm, lời giải đúng như sau:
Ta có:
>−
≤+−
=+−=+−
2
1
x khix
khixx
xx
12
2
1
12
12)12(
2
Với x
2
1
≤
, ta có -2x + 1 = 3, suy ra x = -1
Với x >
2
1
, ta có 2x – 1 = 3, suy ra x = 2.
3. Các tính chất.
Tính chất1: Nếu a
≥
0 và b
≥
0 thì
baba ..
=
.
Chứng minh:
Đặt M =
baNba .;.
=
, ta có:
M
2
=
abbbaababa
==
....).)(.(
N
2
=
bababa ....
=
Nên suy ra M
2
= N
2
. Mà M và N là các số không âm nên ta có M = N, suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 7: Tính:
2
81;25,0.100.36;27.3;50.20 aaa
Giải
.101010.10050.2050.20
===
.98127.327.3
2
aaaaaa
===
.9.8181
.305,0.10.625,0.100.3625,0.100.36
22
aaa
==
===
Tính chất 2:
b
a
b
a
=
; a
≥
0, b > 0.
Chứng minh: Tương tự như trên.
Ví du 8ï:
9
4
81
16
81
16
;
25
11
225
121
225
121
;
3
5
9
25
9
25
22
a
aa
======
.
Chú ý:
c) Nói chung ta không có:
.; babababa
−=−+=+
Ví dụ:
5329,1394
=+=+=+
4 ưngnh
1349.7916
=−=−=−
16 ưngnh
.
d) Trong tính chất hai nói trên, có thể giả sử a
≤
0 và b < 0. Lúc đó ta viết:
b
a
b
a
−
−
=
.
Tính chất 3: ( Đưa thừa số ra ngoài dấu căn )
BABA ..
2
=
( B
≥
0)
Ví dụ 9:
28)(2828
22224
abbaba
==
.
Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào trong dấu căn).
A
BAB
2
=
(A
≥
0, B
≥
0 )
A
BAB
2
−=
( A < 0, B
≥
0)
Ví dụ 10: - 0,05
2672288.5.05,028800.)05,0(28800
2
−=−=−=−=
Tính chất 5: ( Trục căn thức ở mẫu)
B
AB
B
AB
=
2
(A
≥
0, B > 0)
BA
BA
BA
B
BA
B
A
−
=
±
=
1
( B > 0)
Chú ý:
)( BABA
+−
được gọi là lương liên hiệp của
)( BABA
−+
, vì ta có
BABABA
−=±
))((
Tổng quát: X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức, nếu XY không còn
dấu căn.
Thông thường, việc nhân chia tử và mẫu của một phân thức cho lượng liên hiệp khiến cho biểu
thức gọn gàng hơn. Chính vì vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng, khi gặp bài toán đòi hỏi phải đơn giản
hoặc tính một biểu thức chứa căn thức ở mẫu, việc đầu tiên, ta nghó đến các lượng liên hiệp.
Ví dụ 11: Trục căn thức ở mẫu của A =
.
632
1
−+
Giải
23
)162)(632(
162
632
)6()32(
632
)632)(632(
632
.
632
1
22
+++
=
−
++
=
−+
++
=
−+−+
++
=
−+
=
A
Chú ý: Trong thực hành tính toán, đôi khi ta cần rút gọn một biểu thức chứa căn thức phức tạp,
hoặc cần phải chứng minh một đẳng thức bằng những biến đổi. Khi đó ta cần biết khôn kheó vận dụng
tổnghợp 5 tính chất trên để biến đổi. Điều này có được bằng kinh nghiệm và kỷ năng tính toán, khi ta
quen dần các bài tóan từ đơn giản đến phức tạp hơn.
Ví dụ 12: Tính M = 10a
2
- 4
a10
+ 4 với a =
2
5
5
2
+
Giải
M = (
a10
-2)
2
. Thay giá trò của a vào biểu thứcnày.
M =
25)2254(2
2
50
5
20
2
2
5
5
2
10
2
2
2
=−+=
−+=
−
+
Ví dụ 13: Cho bểu thức
10
55
55
55
55
−
+
−
+
−
+
=
B
. Rút gọn rồi chứng minh B < 0.
Giải
Ta có:
103
20
)103(20
20
102060
525
10).525(510525510525
)55)(55(
10).55)(55()55()55(
10
55
55
55
55
22
−=
−
=
−
=
−
−−−++++
=
+−
+−−−++
=−
+
−
+
−
+
=
B
Vì 3 <
10
nên 3 -
10
< 0. Vậy B < 0
Ví dụ 14: Tính
53
1
.
33
15
23
3
13
2
+
−
+
−
+
−
=
A
.
Giải
Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta có:
2
1
35
1
).53(
2
1
35
1
.
2
35
2
15
63313
35
1
.
6
)33(15
1
)23(3
2
)13(2
53
1
.
)33)(33(
)33(15
)23)(23(
)23(3
)13)(13(
)13(2
=
+
+=
+
++−−+=
+
+
+
−
+
+
+
=
+
+−
+
+
−+
+
+
+−
+
=
A
4. Căn bậc ba.
Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x
3
= a, ký hiệu x =
.
3
a
Ta thừa nhận kết quả: Mọi
số thực đều có một căn bậc ba tương ứng.
Ví dụ:
327;327
33
−=−=
Ta công nhận các tính chất sau:
4.1 Nếu a < b thì
33
ba <
.
4.2 Với mọi a, b ta có:
333
.. baba
=
.
4.3 Với mọi a, b và b
≠
0, ta có:
3
3
3
b
a
b
a
=
.
Ví dụ 15: Chứng minh:
).)((
).)((
33
3
2
33
33
3
2
33
bbaababa
bbaababa
+−+=+
++−=−
Hướng dẫn: Sử dụng các hằng đẳng thức A
3
– B
3
= (A –B)( A
2
+ AB +B
2
)
A
3
+ B
3
= (A + B)( A
2
– AB + B
2
)
Và tính chất 2, ở đây A =
3
a
và B =
3
b
.
Ví dụ 16: Theo chú ý ở trên, X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức,
nếu XY không còn dấu căn. Từ đó, theo ví dụ trên, lượng liên nhiệp của
33
ax
−
là (
)
3 2
3
3 2
aaxx
++
.
Ví dụ 17: Trục căn thức ở mẫu cho biểu thức
1
2
3
2
+
+
x
x
với x
≠
-1
Giải
Ta có:
1
2
3
2
+
+
x
x
=
1
)1)(2(
3
3
22
+
+−+
x
xxx
.
5. Kiến thức mở rộng.
5.1 Căn bậc n.
A được gọi là căn bậc n của B nếu A
n
= B.
Một số A
0
≥
có hai căn bậc 2n, kí hiệu
n
A
2
và -
n
A
2
.
Một số A bất kỳ có một căn bậc hai bậc 2n + 1, ký hiệu
12
+
n
A
.
Như vậy, đối với số thực, căn bậc hai lẻ luôn tồn tại, trường hợp căn bậc ba đã học chính là đặt
biệt của một căn bậc lẻ. Còn đối với căn bậc chẵn ( còn căn bậc hai là trường hợp đặt biệt) chỉ tồn tại
cho số không âm. Đối với số A
0
≥
, ta cũng gọi
n
A
2
là căn bậc 2n số học của A.
5.2 Tính chất căn thức: Trong các công thức sau đây, ta qui ước rằng biểu thức dưới dấu căn
làm cho căn thức có nghóa.
AA
B
A
B
A
BABA
n
n
n
n
n
n
nn
===
)(;;..
( các tính chất này đúng cho mọi số nguyên n
2
≥
miễn
A, B thích hợp để căn thức có nghóa),
AA
m
m
=
( m chẵn).
Qui tắc khai căn một căn thức:
nk
k
n
AA
=
.
Qui tắc nâng một căn thức lên một lũy thừa: (
n kk
n
AA
=
)
(Hai công thức trên đúng cho mọi n
2
≥
và k
1
≥
).
Ví dụ 18:
20
5
4
xx
=
;
3 44
3
)( aa
=
Ví dụ 19: Tính giá trò của biểu thức:
824
22
824
22
22
++
+
−
+−
−
=
xx
x
xx
x
C
Khi x =3
Giải
Ta có:
22
)22(
22
)22(
22
+
+
−
−
−
=
x
x
x
x
C
Với x =3 > 2
2
, các căn thức bậc hai đều có nghóa và các mẫu thức đều khác 0. Do đó:
22
1
22
1
+
−
−
=
xx
C
Thay x = 3 ta được:
2
)12)(12(
)12()12(
12
1
12
1
)12(
1
)12(
1
223
1
223
1
22
=
−+
−−+
=
+
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
C
Ví dụ 20: Với a < b < 0, rút gọn biểu thức:
.)(.
1
24
baa
ba
A
−
−
=
Giải
Với a < b < 0, ta có:
[ ]
2
22
2424
)(.)(..
1
)(.
1
aba
ba
a
ba
ba
a
baa
ba
baa
ba
A
−=−−
−
=−
−
=−
−
=−
−
=
Ví dụ 21: Chứng minh rằng:
5724057240
+−−
là số nguyên.
Giải
Ta có:
57240
<
( vì 3200 < 3249) nên:
A=
5724057240
+−−
=
5724024057
+−−
100)24057)(24057(22405724057
2
=+−−++−=
A
Vậy A = 10 hay A = -10. Nhưng kết quả là A = -10. Vì 57 - 40
240572
+<
.
II. BÀI TẬP ( 5 tiết)
Bài 1: Tính:
36,0.25.4
;
2
49a
;
16
9
;
5
80
;
)0(
3
75
>
a
a
a
;
121
4
2
a
Bài 2: Tìm hai số a, b sao cho:
babababa
−=−+=+
;
Bài 3: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 là bình phương của một số tự nhiên ( Những số như thế
được gọi là số chính phương ). Em hãy tính thật nhanh các số
15876;3249;4225
mà không dùng
máy tính.
Bài 4: Tính:
2
)12(
1
.1
25
1
25
1
+
+
+
−
−
=
A
.
Bài 5: Tính:
10271027
−−+
Bài 6: Tính: A =
)321)(321(
−+++
;
ba
b
b
ba
B
+
−
=
:
Bài 7: Chứng minh với a > 0, a
≠
1, ta có:
1
1
1
1
1
2
=
−
−
+
−
−
a
a
a
a
aa
Bài 8: Cho biểu thức
−
+
+
−
=
2223
.
1
yxxy
y
yxx
x
yx
N
Với x > 0; y
0
≥
và x
≠
y. Rút gọn biểu thức N.
Bài 9: Thực hiện phép tính:
+
−
+
+
+
+
32
1
:1
12
22
3
323
Bài 10: Tính giá trò của biểu thức sau với x = 8:
)168.(
16
44
2
2
2
+−
−
++
= xx
x
xx
A
Bài 11: Cho biểu thức
−
−
−
−
+
−
−
+
+
=
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
. Với x
0
≥
và x
≠
9.
d) Rút gọn P.
e) Tính x để P <
3
1
f) Tìm giá trò bé nhất của P.
Bài 12: So sánh: 5
3
6
và 6
3
5
.
Bài 13: Trục căn thức ở mẫu:
a)
3
3
3
1311
2734
+
−
b)
33
65
14
−
Bài 14: Nếu (-2 +x
2
)
5
= 1 thì x bằng bao nhiêu?
Bài 15: Cho biểu thức:
+
−
−+
+
=
1
1
3
:1
1
3
2
x
x
x
Q
với -1 < x < 1
a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trò của Q khi x = 4
2
-5.
Bài 16: Cho biểu thức: P =
x
x
x
x
xx
xx
−
−
+
+
+
−
−+
−+
1
2
2
1
2
393
, với x
0
≥
và x
1
≠
a) Rút gọn P.
b) Tìm gía trò nguyên của x sao cho P có giá trò nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức:
3
1
2
1
:)1(
22
2
22
−
++
+−+−=
x
x
x
xxxA
, với x
0
≠
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A có giá trò nhỏ nhất. Tính giá trò đó.
Bài 18: Cho:
−
−
+
++
+
−
+
=
2
1
:
1
1
11
2 x
xxx
x
xx
x
A
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng A > 0 với mọi điều kiện của x để A có nghóa.
Bài 19: Cho biểu thức:
3
32
1
23
32
1115
+
+
−
−
−
+
−+
−
=
x
x
x
x
xx
x
Q
a) Rút gọn Q.
b) Tìm gía trò của x để Q = 0,5.
c) Tìm x để Q nhận giá trò lớn nhất. Tìm gía trò lớn nhất đó.
Bài 20: Chứng minh rằng:
a)
1
21
1
2
12
2
−
=
+
−
−
−
++
+
a
a
a
a
a
aa
a
, với a > 0, a
1
≠
.
b)
1
3242
32
3242
32
=
−−
−
+
++
+
c)
x
x
xx
x
xx
−=
−
−
−
+
+
+
1
1
1
1
1
, với x > 0, x
0
≠
.
d)
17
2
3111
2
2
2
2
2
2
≥+++++
z
z
y
y
x
x
, Với x, y, x > 0 và x + y + z
≤
2
3
Bài 21: Rút gọn biểu thức:
a)
.5122935
−−−=
A
b)
26
4813532
−
+−+
=
B
III. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP. ( Xem trong tài liệu )
BGH duyệt
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9
MÔN: TOÁN
TÊN CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT – ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b ( a
≠
0)
LOẠI CHỦ ĐỀ: NÂNG CAO
THỜI LƯNG: 8 TIẾT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ. ( 3tiết)
1. Hàm số bậc nhất.
Hàm số bậc nhất là hàm số được nho bỡi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các hệ số, a
≠
0.
Trong trường hợp b = 0 ta được hàm số y = ax đã học ở lớp 7. Rõ ràng là hàm số bậc nhất xác
đònh với mọi giá trò thực của x.
Từ tính chất trên, thường xuất hiện dạng toán sau: Cho hàm số bậc nhất y = ax + b mà a phụ
thuộc vào tham số m( hay chữ số nào đó). Vấn đề là xác đònh m để hàm số đồng biến hay nghòch biến.
Với dạng này ta chỉ cần nhớ rằng: a > 0 thì hàm số đồng biến; a < 0 thì hàm số nghòch biến.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m-2)x + 1. Với giá trò nào của m thì hàm số đồng biến trên R? Nghòch
biến trên R?
Giải
+ Hàm số đồng biến khi a > 0
⇔
m -2 > 0
⇒
m > 2
+ Hàm số nghòch biến khi a < 0
⇔
m -2 < 0
⇒
m < 2
2. Đồ thò hàm số bậc nhất.
Đồ thò hàm số bậc nhất y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm. Để vẽ đồ thò của hàm số này,
ta chỉ cần xác đònh hai điểm nó đi qua. Có thể sử dụng một trong hai cách sau đây:
Cách1: Xét y = ax + b.
Cho x = 0
⇒
y = b A(0; b)
Cho y = 0
⇒
x =
a
b
−
B(
a
b
−
; 0)
Đồ thò là đường thẳng AB.
Cách 2: Cho x bằng hai giá trò tùy ý ( nhưng phải thích hợp) để tìm hai giá trò y tương ứng. Chú ý
rằng giá trò x mà ta cho phải khôn khéo( hợp lý) để giá trò y tính được thật nhanh, đồng thời số tính được
phải là số biểu diễn dễ dàng trên đồ thò.
3. Phương trình hoành độ để xác đònh giao điểm.
Cho hai đường thẳng y = ax + b và y = cx + d. Hai đường thẳng này có thể trùng nhau, song song
nhau hoặc cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, gọi M( x
0
; y
0
) là giao điểm. Khi đó, M nằm trên
đường thẳng y = ax + b nên ta phải có y
0
= ax
0
+ b. Mặt khác, M cũng nằm trên đường thẳng y = cx + d
nên ta cũng có y
0
= ax
0
+ d. Như vậy:
ax
0
+ b = cx
0
+ d
Nói cách khác, x
0
chính là nghiệm của phương trình bậc nhất
ax + b = cx + d
⇔
(a – c)x + (b – d) = 0 (1)
Vì vậy, ta thường nói rằng (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho.
4. Hệ số góc của đường thẳng, đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc, đường cắt
nhau.
Cho đường thẳng y = ax + b. Khi đó, ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng này.
Xét hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b':
Nếu a
≠
a' thì hai đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm.
Nếu a = a'( Hệ số góc hai đường thẳng bằng nhau):
Khi b = b' thì hai đường thẳng đó trùng nhau.
Khi b
≠
b' thì hai đường thẳng song song.
Nếu a. a' = -1 thì hai đường thẳng vuông góc nhau.
5. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b. Ta đã biết, đường thẳng đi qua điểm nào thì tọa
độ của nó thõa mãn phương trình đã cho. Nếu biết trước rằng đồ thò đường thẳng đi qua hai điểm thì ta
sẽ xác lập được hai phương trình cho phép giải ra a và b.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
1
; y
1
) và B( x
2
; y
2
).
Giải
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng y = ax + b. Ta cần xác đònh a, b khi biết rằng
đường thẳng này đi qua A, B.
Vì đường thẳng đi qua A nên nta có: y
1
= ax
1
+ b (1)
Vì đường thẳng đi qua nên nta có: y
2
= ax
2
+ b (2)
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được:
y
2
- y
1
= a(x
2
– x
1
)
⇒
a =
12
12
xx
yy
−
−
(3)
Thay a ở (3) vào (1) ta được:
y
1
=
−
−
12
12
xx
yy
x
1
+ b
⇒
b = y
1
-
−
−
12
12
xx
yy
x
1
=
12
1221
xx
xyxy
−
−
Vậy phương trình của đường thẳng là: y =
12
12
xx
yy
−
−
x +
12
1221
xx
xyxy
−
−
6. Ba đường thẳng đồng qui.
Để xét ba đường thẵng có đồng qui hay không, cách thông thướng là tìm giao điểm hai trong ba
đường thẳng đó. Sau đó xét xem toạ độ điểm này có thõa mãn phương trình thứ ba hay không. Tuy
nhiên, trong một số trường hợp, chỉ cần tinh ý để nêu lên nhận xét mà không cần tính toán.
Ví dụ 3: Xét xem ba đường thẳng sau đây có đồng qui hay không ?
a)
)3(1732);2(293);1(29
−+=−=+=
xyxyxy
b) y = 2x + 1 (4) ; y = -2x + 1 (5); y = 3x - 2 (6)
Giải
a) Hệ số góc của hai đường thẳng (1) và ( 3) bằng nhau ( bằng 1), trong khi đó hệ số b của hai
đường thẳng này khác nhau. Như vậy, hai đường thẳng (1) và (3) song song. Do đó, ba đường thẳng đã
cho không đồng qui.
b) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng (5) và( 6) là nghiệm của phương trình: (- 2 – 3)x +
[1 – ( - 2)]= 0
⇔
- 5x + 3 = 0
⇒
x =
5
3
⇒
y = -2.
5
3
+ 1 =
5
1
5
56
−=
+−
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (5) và( 6) làM(
5
3
;
5
1
−
)
Mà: 2.
5
3
+ 1 =
5
1
5
11
−≠
Do đó tọa độ của điểm M không thõa mãn đường thẳng (4)
