Thi HSG giỏi Máy tính cầm tay 1

Giải toán theo phơng pháp tính
Sơ đồ Hoóc-ne:
Tính giá trị đa thức P(x) ứng với một giá trị biến số x
Giả sử ta cần tính giá trị đa thức bậc ba
3 2
0 1 2 3
P(x) a x a x a x a= + + +
tại x = k.
Đây là bài toán ta đã biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vào
máy. tuy nhiên cách làm này trở nên cồng kềnh khi bậc đa thức hoặc k có giá
trị lớn. Trong trờng hợp đó phơng pháp tính đóng vai trò hữu hiệu hơn.
Đối với bài toán cụ thể này, ta viết đa thức đã cho dới dạng:
0 1 2 3
P(k) (( a k a )k a )k a= + + +
0 0
b a=
1 o 1
b b k a= +
2 1 2
b b k a= +
3 2 3
b b k a= +
3
P(k) b =
Cách tính này thực chất là qui tắc
i i 1 i
b b k a , i 1

= +
đợc lặp đi lặp lại
nhiều lần.

Cách tính này đợc trình bày dới dạng sơ đồ Hoóc-ne (tên nhà toán học
Anh Horner 1786 -1837), và đợc minh hoạ qua ví dụ sau:
Bài 13. Tính giá trị của
3 2
P(x) 5x 3x 6= +
với x = 4 .
Lời giải
Theo sơ đồ Hoóc-ne ta tính trực tiếp các giá trị của P(x) đợc bảng sau
i 0 1 2 3
i
a
5
3
0 6
i
b
5
5.4 3 = 17
17.4 + 0 = 68 68.4 + 6 = 278
Vậy P(4) =
3
b
= 278.
Nếu ta dùng máy để tính giá trị P(4) theo sơ đồ Hoóc-ne thì ấn dãy phím sau:
4
SHIFT
STO A
5
ì ALPHA A +
() 3

=
ì
ALPHA A +
0
=

ì ALPHA A +
6
=
KQ: 278.
48
Tìm thơng và d trong phép chia đa thức cho (x - )
Khi chia đa thức
3 2
0 1 2 3
P(x) a x a x a x a= + + +
cho nhị thức (x ) thơng sẽ
là một đa thức bậc hai
2
0 1 2
Q(x) b x b x b= + +
và d là hằng số r, cụ thể:
P(x) Q(x) r= +
3 2 2
0 1 2 3 0 1 2
a x a x a x a (x )( b x b x b ) + + + = + +
3 2
0 1 0 2 1 2
b x (b b )x (b b )x (r b )= + + + +

0 0
b a=
1 0 1
b b a= +
2 1 2
b b a= +
2 3
r b a= +
Nh vậy ta lại dùng đợc sơ đồ Hoóc-ne để tìm thơng và d trong phép chia
đa thức P(x) cho (x ).
Bài 14. Tìm thơng và d trong phép chia đa thức
7 5 4
x 2x 3x x 1 cho x 5 + +
.
Lời giải.
Ta có = 5
0 1 2 3 4 5 6 7
a 1, a 0, a 2, a 3, a 0, a 0, a 1, a 1.= = = = = = = =
0 0
b a 1= =
Dùng máy tính tìm các hệ số b và d theo qui trình của sơ đồ Hoóc-ne
ấn () 5
SHIFT
STO A
1
ì
ALPHA A + 0 = Ghi 5

ì
ALPHA A + ()2 = Ghi 23

ì
ALPHA A + ()3 = Ghi 118

ì
ALPHA A + 0 = Ghi 590

ì

ALPHA A +
0
=
Ghi 2950

ì
ALPHA A +
1
=
Ghi 14751

ì
ALPHA A +()1 = Ghi 73756
Vậy x
7
2x
5
3x
4
+ x 1
= + + + +

6 5 4 3 2
(x 5)( x 5x 23x 118x 590x 2950x 14751) 73756
.
49
Phơng pháp lặp
Nhiều bài toán thờng dẫn đến việc giải một phơng trình f(x) = 0. Có
những phơng trình bằng phơng pháp đồ thị ta có thể thấy ngay rằng nó có
một nghiệm duy nhất, chẳng hạn nh cosx x = 0, nhng ta chỉ có thể tính giá
trị gần đúng của nghiệm đó. Trong tài liệu này giới thiệu một phơng pháp
tính, đó là phơng pháp lặp, cụ thể nh sau:
- Biến đổi tơng đơng phơng trình f(x) = 0 (1) về phơng trình dạng x =
g(x) (2)
- áp dụng phơng pháp lặp vào phơng trình (2):
+ Lấy một giá trị x
1
nào đó, coi nó là nghiệm gần đúng đầu tiên và thay
vào (2); nói chung x
1
khác g(x
1
).
+ Đặt x
2
= g(x
1
) đợc nghiệm gần đúng thứ hai x
2
.
+ Đặt x
3

= g(x
2
) đợc nghiệm gần đúng thứ ba x
3
.
....
+ Tiếp tục lặp nh vậy đến bớc thứ n+1 ta đợc x
n+1
= g(x
n
).
Dãy x
1
, x
2
, x
3
,....., x
n
, x
n+1
,..... là dãy những giá trị gần đúng của nghiệm
phơng trình x = g(x), tức cũng là nghiệm của phơng trình f(x) = 0.
Bài 15. Tìm một nghiệm dơng gần đúng của phơng trình
16
x x 8 0+ =
(1).
Lời giải.
Ta có
16

1
(1) g(x) 8 x, x 2 = =
.
ấn các phím 2
=
16
SHIFT ^
(
8
Ans
)

=
ấn lặp phím
=
cho đến khi nhận đợc các x
n
có giá trị không đổi.
KQ: x 1,128 022 103.
Bài thực hành
8. Giải các phơng trình:
a) 3x
2
- 7x - 1 6 = 0 b) x
2
- 2x + 6 = 0
c) x
4
- 18x
2

+ 32 = 0 d) x
4
- 15x
2
- 7 = 0
9. Giải các phơng trình:
a) 2 - x =
2
2x + x- 2
b)
2+ x-5
=
15- x
50
10. Giải các phơng trình:
a) x
3
- 15x
2
+ 7 = 0 b) x
3
- 3x + 2 = 0
c) x
3
+ x - 5 = 0 d) x
3
+ 3x
2
- x + 1 = 0
11. Giải các hệ phơng trình sau:

a)
6 2
3
x y
3 4
1
x y
+ =
=







b)
x y z 11
2x y z 5
3x 2y z 24
+ + =
+ =
+ + =






12. Dùng sơ đồ Hoóc-ne để tìm giá trị của các đa thức sau:

4 3 2
5 2
6 5 3
P(x) 5x 2x x 7x 5 với x 2
P(x) x 3x 5x 8 với x 5
P(x) 2x 4x 7x 2x 1 với x 3
= + + =
= + =
= + + =

13. Dùng sơ đồ Hoóc-ne để tìm thơng và d trong phép chia đa thức

6 5 2
2x x 3x 1 cho x 7+ +
.
tính số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn
Để giải bài toán thống kê ta vào chơng trình MODE 2
sau đó nhập các mẫu số liệu x
1
, x
2
, ... , x
n
ta ấn phím nh sau:
x
1
DT x
2
DT ... x

n
DT
nếu mỗi mẫu số liệu x
i


có tần số
i
n (i = 1, 2,..., m)
thì ta ấn phím nh sau:
x
1
SHIFT ; n
1
DT x
2
SHIFT ; n
2
DT ... x
m
SHIFT ; n
m
DT
Sau khi nhập số liệu xong ta tính số trung bình x, độ lệch chuẩn s, và ph-
ơng sai s
2
nh sau:
Tính số trung bình
x
ta ấn SHIFT S VAR 1 =

Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S VAR 2 =
Tính phơng sai s
2
bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 1 = s
2
=
51
Ví dụ 1:
Kết quả học tập cuối năm của An và Bình nh sau
Môn Điểm TbN của An Điểm TbN của Bình
Toán 8 8,5
Vật lí 7,5 9,5
Hoá học 7,8 9,5
Sinh học 8,3 8,5
Văn học 7 5
Lịch sử 8 5,5
Địa lí 8,2 6
Anh văn 9 9
Thể dục 8 9
Kĩ thuật 8,3 8.5
GDCD 9 10
Tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm các môn học của An và
Bình; Xác định xem bạn nào học lệch.
Lời giải
Sau khi xoá các số liệu cũ còn lu trong máy.
Ta vào chơng trình MODE 2 để tính số trung bình, phơng sai, độ lệch
chuẩn điểm các môn học của An.
Ta nhập các số liệu về điểm trung bình môn năm của các môn học nh sau:
8 DT 7,5 DT

7,8 DT 8,3 DT 7 DT 8 DT 8,2 DT 9 DT 8 DT 8,3 DT 9 DT
Tính số trung bình
x
ta ấn SHIFT S VAR 1 =
x
= 8,1
Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S VAR 2 = s 0,555959449
Tính phơng sai s
2
bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 2 = x
2
= s
2
0,309090909
Để tính số trung bình, phơng sai, độ lệch chuẩn điểm các môn học của
Bình. Ta phải xoá các số liệu cũ còn lu trong máy (ấn các phím SHIFT CLR 1
= ) về điểm trung bình môn năm của các môn học của An, sau đó vào chơng
trình MODE 2 và nhập các số liệu về điểm trung bình môn năm của các
môn học của Bình nh sau: 8,5 DT 9,5 DT 9,5 DT 8,5 DT 5 DT 5,5 DT 6
DT 9 DT 9 DT 8,5 DT 10 DT
52
Tính số trung bình
x
ta ấn SHIFT S VAR 1 =
x
= 8,090909091
Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S VAR 2 = s 1,662667378
Tính phơng sai s
2

bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn
SHIFT S VAR 2 = x
2
= s
2
2,76446281
So sánh phơng sai điểm các môn học của An và Bình ta thấy: Bình học
lệch so với An.
toán thống kê
Bài 16. Điểm trung bình môn Toán của 12 học sinh trong một tổ nh sau:
3,4; 3,6; 4,5; 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6,0; 6,3; 6,4; 7,2; 7,8.
a) Tính điểm trung bình môn Toán của tổ đó.
b) Tính độ lệch chuẩn và phơng sai đối với tổ đó.
Lời giải.
a) ấn MODE
2
, 1 3,4
DT
3,6
DT
4,5
DT
4,8
DT
5,1 DT 5,2 DT 5,7 DT 6,0 DT 6,3 DT
6,4
DT
7,2
DT
7,8

DT

SHIFT

S.VAR

1
= KQ:
x
= 5,5.
b) ấn (tiếp)
SHIFT

S.VAR
2
= KQ: s 1,280624847.
ấn (tiếp)
2
x
= KQ: s
2
= 1,64.
Bài 17. Một xạ thủ bắn 60 phát súng với số điểm nh sau:
Loại điểm 5 6 7 8 9 10
Số phát 3 6 6 9 21 15
a) Tính điểm trung bình của xạ thủ đó.
b) Tính độ lệch chuẩn và phơng sai tơng ứng.
Lời giải.
a) ấn MODE
2

, 1 5
SHIFT
; 3
DT
6
SHIFT
; 6
DT
7
SHIFT
; 6
DT
8
SHIFT
; 9
DT
9
SHIFT
; 21
DT
10
SHIFT
; 15
DT

SHIFT

S.VAR
1
= KQ:

x
= 8,4.
b) ấn (tiếp)
SHIFT
S.VAR

2
= KQ: s 1,462873884.
ấn (tiếp)
2
x
= KQ: s
2
= 2,14.
53
Chú ý 14. Đối với bài toán trên, còn có thể tính kích thớc mẫu (tổng tần số),
tổng các số liệu, tổng bình phơng các liệu bằng cách ấn phím tơng ứng sau:
ấn (tiếp)
SHIFT

S.SUM
3
=
KQ: n = 60.
ấn (tiếp)
SHIFT
S.SUM
2
=
KQ:

i i
n x
= 504.
ấn (tiếp)
SHIFT

S.SUM

1
=
KQ:
2
i i
n x

= 4362.
Sau khi đa đủ các số liệu cùng với tần số tơng ứng vào máy, có thể lấy kết
quả của các giá trị thống kê nói trên theo bất cứ thứ tự nào. Chỉ riêng giá trị
của phơng sai phải lấy sau giá trị của độ lệch chuẩn tơng ứng.
Thoát khỏi chơng trình thống kê bằng cách ấn
SHIFT

CLR
2 =.
Giá trị lợng giác
Máy tính cầm tay có thể giúp ta tìm giá trị lợng giác của góc lợng giác và
đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngợc lại.
Ví dụ 1: Tính sin
9

(- )
4

Ta ấn MODE MODE MODE 2 sin ( (-) 9 SHIFT ữ 4 ) = -
0,707106781 (
2
2

)
Ví dụ 2: Tính tg63
0
5241
Ta ấn MODE MODE MODE 1 tan 63
0
52
0
41
0
= 2,039276645
Ví dụ 3: Đổi 33
0
45 ra rađian
Ta ấn MODE MODE MODE 2 33
0
45
0
SHIFT DRG 1 =
0,589048622
Ví dụ 4: Đổi 3/4 rađian ra độ
Ta ấn MODE MODE MODE 1 ( 3 ữ 4 ) SHIFT DRG 2 = 42

0
5819
Bài 18. Đổi các góc sau ra rađian:
a) 7152' b) 4212'.
Lời giải.
a) ấn 71 ab/c 52 ab/c 60
ì
ữ
180
=
MODE
5
, 1, 4 KQ: 1,2543.
b) ấn 42 ab/c 12 ab/c 60
ì
ữ
180
=
MODE
5
, 1, 4 KQ: 0,7365.
Bài 19. Đổi các góc sau ra độ, phút, giây:
54
3 5 3
; ; .
16 7 4

= = =
Lời giải.
a) ấn 3 ab/c 16

ì
180
=
MODE
4
, 1
SHIFT
,,,
ơ
o
KQ: = 3345'.
b) ấn 5ab/c 7
ì
180
=
MODE
4
, 1
SHIFT
,,,
ơ
o
KQ: 12834'17''.
c) ấn 3 ab/c 4
ì
180
ữ =
MODE
4
, 1

SHIFT
,,,
ơ
o
KQ: 4258'18''
Bài 20.
a) Tính sin, côsin và tang của
5
.
12

b) Tính tan
( )
3

+
biết sin
3
5
=
và
.
2

< <
c) Cho sin
4
.
5
=

Tìm các giá trị lợng giác của 2.
Lời giải.
a) ấn MODE
4
, 2 5ab/c12ì SHIFT
=
SHIFT
STO A

sin ALPHA A KQ: sin
5
12

0,9659 (chỉ lấy 4 chữ số thập phân).
ấn
cos ALPHA A
KQ: cos
5
12

0,2588.
ấn
tan

ALPHA A
KQ: tan
5
12

3,7321.

b) ấn
tan
(


SHIFT
-1
sin
(
3ab/c5
)
+ ữ
3
)
=
KQ: 0,4272.
c) ấn
(
SHIFT
-1
sin
(
4ab/c 5
) )
ì2
SHIFT STO A

sin ALPHA A = KQ: sin 2 = 0,96.
ấn
cos ALPHA A

=
KQ: cos 2 = 0,28.
ấn
tan ALPHA A =
KQ: tan 2 3,4286.
ấn (tiếp)
-1
x

=
KQ: cot 2 0,2917.
Trong hai phần đầu của bài toán trên, đơn vị đo góc là rađian. Do đó lúc
55
đầu phải ấn MODE
4
, 2. Vì giá trị ngợc sin
-1
nằm giữa
2


và
2

mà góc ở
phần b) lại nằm giữa
2

và , nên = sin

-1
3
5
. Đối với phần c) có thể tuỳ
chọn đơn vị đo góc là độ hay rađian. Việc xác định dấu của các hàm số lợng
giác của 2 không thể dựa đơn thuần vào máy mà phải dựa vào các công thức
biến đổi lợng giác.
Bài 21. Tính sin 4012'; cos 5254'37''; tan 7842'25''; cot 3810'.
Lời giải.
Vào mode MODE
4
, 1
a) sin 4012' ấn
sin
40
,,,o
12
,,,o
KQ: 0,6455.
b) cos 5254'37'' ấn
cos
52
,,,o
54
,,,o
37
,,,o
KQ: 0,6031.
c) tan 7842'25'' ấn
tan

78
,,,o
42
,,,o
25
,,,o
KQ: 5,0077.
d) cot 3810' ấn
tan
38
,,,o
10
,,,o

=
-1
x
KQ: 1,2723.
Chú ý 12. Khi cần tính toán với đơn vị đo góc là độ (hoặc rađian), phải ấn
MODE
4
,1 (hoặc MODE
4
, 2). Nếu chỉ muốn để 4 chữ số thập phân ở kết quả
thì ấn thêm MODE
5
, 1, 4.
Bài 22. Tính cos
8

; sin
8

; tan
8

.
Lời giải.
Tính đúng:
2
2
1 cos 1
2 2
2 2
4 2
cos , cos 0 cos
8 2 2 4 8 8 2
sin
2 2
2 2
8
sin tg 3 2 2 2 1
8 2 8
2 2
cos
8

+ +
+
+

= = = > =



= = = = =

+
Tính gần đúng: đơn vị đo là rađian nên chọn kiểu MODE
4
, 2
ấn
ữ
8
SHIFT STO A
cos ALPHA A KQ: 0,9239
sin ALPHA A KQ: 0,3827
tan ALPHA A KQ: 0,4142
Bài thực hành
56
14. Tính các giá trị lợng giác của cung biết:
a) sin = 1/3; cos = và
2

< < 0.
b) tan = 2 và
2

< < .
c) cot = 3 và < < 3
2

.
15. Biết tan
a
2
=
2
3
. Tính
2 3cosa
4 5sin a
+

.
16. Biết sina = 4/5 (00 < a < 900), sinb = 8/17 (90
0
< b < 180
0
). Tính cos(a + b),
sin(a b).
17. Tính
2 0 2 0 2 0 2 0
a) cos 12 cos 78 cos 1 cos 89+ + +
2 0 2 0 2 0 2 0
b) sin 3 sin 15 sin 75 sin 87+ + +
18. Biết cosx =
1
2
, tính
2 2

P 3sin x 4cos x= +
.
19. Cho góc nhọn mà sin =
1
4
. Tính cos và tan.
20. Cho tanx = 2
2
. Tính sinx và cosx.
Hệ thức lợng trong tam giác
Bài 23. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a) Chứng minh rằng ABC vuông. Tính diện tích ABC.
b) Tính các góc B và C.
c) Đờng phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính DB, DC.
Lời giải.
a) AB
2
+ AC
2
= 21
2
+ 28
2
, BC
2
= 35
2
.
ấn 21
2

x

+
28
2
x
=
KQ: 1225.
ấn 35
2
x
=
KQ: 1225.
Vậy AB
2
+ AC
2
= BC
2
nên ABC vuông.
57
DiÖn tÝch ∆ABC =
AB . AC 21 . 28
2 2
=
(cm
2
).
Ên 21 × 28
÷

2
=
KQ: 294 cm
2
.
b) sin B
AC 28 4
.
BC 35 5
= = =

µ
C
= 90° −
µ
B
.
Ên
SHIFT

-1
sin
4 ab/c5
SHIFT
,,,
¬
o
KQ:
µ
B

≈ 53°7'48''.
Ên (tiÕp)
×
(−) 1
+
90
,,,o
=
KQ:
µ
C
≈ 36°52'12''.
c)
DB AB 21 3 DB 3 DB 3 3
DB . 35
DC AC 28 4 DB DC 3 4 BC 7 7
= = = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ +
Ên 3 ab/c7
×
35
=
KQ: DB = 15 cm.
Ên (tiÕp)
÷
3 ab/c4
=
KQ: DC = 20 cm.
Bµi 24. C¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ AB = c = 23cm, AC = b = 24cm, BC = a
= 7cm. TÝnh gãc A vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c.

Lêi gi¶i.
a) cos A
2 2 2 2 2 2
b c a 24 23 7
.
2 b c 2 . 24 . 23
+ − + −
= =
Ên
SHIFT

-1
cos

( (
24
2
x
+
23
2
x
−
7
2
x
)
÷
2
÷

24
÷
23
)
= SHIFT
,,,
¬
o
KQ:
µ
A
≈ 16°57'27''.
S
1 1
b c sin A . 24 . 23 sin A 12 . 23 sin A.
2 2
= = =

Ên (tiÕp)
SHIFT STO A

sin ALPHA A

=
×12
x
23 MODE
5
, 1, 0
KQ: S ≈ 80cm

2
.
b) S =
p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )
víi
a b c 7 24 23
p .
2 2
+ + + +
= =
Ên: 7
SHIFT
STO A
24
SHIFT STO
B
23
SHIFT STO
C

(
ALPHA A + ALPHA
B
+ ALPHA
C
)
÷
2
SHIFT STO D

(
ALPHA D
×
(
ALPHA
D −
ALPHA
A
) (
ALPHA D

−

ALPHA
B
) (
ALPHA

D −

ALPHA
C
)

)
MODE
5
, 1, 0
58
KQ: S 80 cm

2
.
Bài thực hành
19. Đối với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A = (1; 1), B = (2; 4), C = (10; 2).
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. Tính tích vô hớng
BA.BC
uuur uuur
, cosB
và cosC.
20. a) Tam giác ABC, có b = 7; c = 5; cosA = 3/5. Tính h
a
và bán kính đờng
tròn ngoại tiếp R.
b) Tam giác ABC có a = 7; b = 8; c = 6. Tính h
a
và m
a
.
21. Giải tam giác ABC biết:
a) c = 14; A = 600; B = 400.
b) a = 6,3; b = 6,3; C = 540.
c) a = 4; b = 5; c = 7.
22. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
S
ABC
=
2 2
2
1
AB . AC (AB. AC)

2


áp dụng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các điểm A(1; 2), B( 2; 3)
và C(0; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng
Bài 27. Tìm phơng trình của đờng tròn đi qua ba điểm A(5; 0), B(1; 2),
C(3; 2).
Lời giải.
Đờng tròn có phơng trình x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0. Đờng tròn đó đi qua ba
điểm A, B, C nên ta có:
5
2
+ 0
2
+ a.5 + b.0 + c = 0
1
2
+ 2
2
+ a.1 + b.2 + c = 0
(3)
2
+ (2)
2
+ a.(3) + b.(2) + c = 0

Từ đó ta có hệ phơng trình:
59
5a 0b c 25
a 2b c 5
3a 2b c 13
+ + =


+ + =


+ =

ấn MODE
3
, 1, 3, 5 = 0 = 1 = () 25 = 1 = 2 = 1 = () 5 = () 3 = ()2 = 1 =
() 13 = SHIFT d/c KQ: a =
8
3
.
ấn (tiếp) = SHIFT d/c KQ: b =
14
3
.
ấn (tiếp) = SHIFT d/c KQ: c =
35
3
.
Vậy đờng tròn đi qua ba điểm A, B, C đã cho có phơng trình
x

2
+ y
2
+
8
3
x +
14
3
y
35
3
= 0.
Bài 28. Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng 3x + 4y = 5 và elip
2 2
x y
1
9 4
+ =
.
Lời giải.
Rút y từ phơng trình đờng thẳng ta có y =
5-3x
4
.
Thay biểu thức của y vào phơng trình elip ta đợc phơng trình xác định
hoành độ giao điểm: 145x
2
- 270x - 351 = 0.
ấn MODE

3
,1, 2 145 = () 270 = () 351 = KQ: x
1


2,744185018.
ấn (tiếp) = KQ: x
2


- 0,882116052.
ấn ( 5 - 3 ì ALPHA X )
ữ
4
ấn (tiếp) CALC 2,744185018 = KQ: y
1


- 0,808138763.
ấn (tiếp) CALC () 0,882116052 = KQ: y
2


1,911587039.
Vậy hai giao điểm có toạ độ gần đúng là A(2,744185018; - 0,808138763)
và B(- 0,882116052; 1,911587039).
60
Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
Bµi 29. Gi¶i ph¬ng tr×nh cos (2x + 15
0

) =
2
.
2
−
Lêi gi¶i.
Chän kiÓu MODE
4
, 1
Ên
SHIFT
-1
cos

(
(−) 2
÷
2
)

=

SHIFT

,,,o


SHIFT

STO A

(
ALPHA A -15
)
÷ 2 = KQ: 60
0
+ k.180
0

(
(−)
ALPHA A
-15
)
÷
2
=
KQ: − 75
0
+ k.180
0
Bµi 30. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3sinx +
3
cosx = 1.
Lêi gi¶i.
Chän kiÓu MODE
4
, 2
Ta cã:
3 1 3

3sin x 3 cos x 1 sin x cosx , Thay tg
3 3 3 6
π
+ = ⇔ + = =
1
cos .sin x sin .cosx cos
6 6 3 6
π π π
⇔ + =
3
sin(x )
6 6
π
⇔ + =
Ên
SHIFT
-1
sin
(
3
÷
6
)
= SHIFT STO A

ALPHA A
-
π

÷

6
=
KQ: x
1
≈ −0,2308 + k.2π
(
(−)
ALPHA A + π
)
−
π ÷
6
=
KQ: x
2
≈ 2,3252 + k.2π.
BµI thùc hµnh
29. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
61
2 2
a) 3tg2x 3 0
b) 2sin x 2cosx 2
c) sin x cosx 4sin x cosx 1 0
d) 4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 4
=
=
+ + =
+ =
chỉnh hợp, tổ hợp
Bài 29. Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số với 3 chữ số đợc tạo

nên từ 5 chữ số đã cho, biết rằng
a) Các chữ số đều khác nhau?
b) Các chữ số không nhất thiết khác nhau?
Lời giải.
a) Số các số với 3 chữ số khác nhau đợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho là
3
5
A .
ấn 5
SHIFT

nPr
3
=
KQ: 60.
b) Có
1
5
C
cách chọn mỗi chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm mà
các cách chọn đó độc lập với nhau. Do đó có (
1
5
C
)
3
số với 3 chữ số không nhất
thiết khác nhau đợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho.
ấn 5
SHIFT

nCr
1
= ^
3
=
KQ: 125.
Bài 30. Có 18 đội bóng đá tham gia tranh giải vô địch. Hỏi có bao nhiêu
cách trao huy chơng vàng, bạc, đồng, nếu mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất
một huy chơng?
Lời giải.
Số cách trao huy chơng là
3
18
C
.
ấn 18
SHIFT
nCr
3
=
KQ: 816.
Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
Bài 31. Tính 6 số hạng đầu của dãy số u
n
nếu u
1
= 1, u
n + 1
=

2
n
u
+ 3u
n
- 2
với mọi n nguyên dơng.
Lời giải.
Đã biết u
1
= 1.
ấn 1 = Ans x
2
+ 3 ì Ans 2 = KQ: u
2
= 2.
62
Ên (tiÕp) = KQ: u
3
= 8.
Ên (tiÕp) = KQ: u
4
= 86.
Ên (tiÕp) = KQ: u
5
= 7652.
Ên (tiÕp) = KQ: u
6
= 58576058 .
Bµi 32. TÝnh tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè céng nÕu u

1
+ u
6
= 15,
u
10
+ u
100
= 4.
Lêi gi¶i.
Thay u
6
, u
10
, u
100
theo u
1
vµ d, ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh
1
1
2u +d =15
2u +108d = 4.



Ên MODE
3
, 1, 2, 2 = 1 = 15 = SHIFT d/c KQ: u
1

=
800
103
.
Ên (tiÕp) = SHIFT d/c KQ: d = -
11
103
.
Ên 50 × ( 2 × 800 ab/c 103 - 99 × 11 ab/c 103 ) = KQ: S
100
= 248
6
103
.
Bµi 33. TÝnh tæng cña 20 sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n nÕu u
1
+ u
3
= 15,
u
4
- u
2
= 18.
Lêi gi¶i.
Thay u
2
, u
3
, u

6
theo u
1
vµ d, ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh
2
1
3
1
u (1+q ) = 15
u (q -q) = 18.





Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh 5q
3
- 6q
2
- 5q - 6 = 0.
Ên MODE
3
, 1,
>
, 3 5 = (-) 6 = (-) 5 = (-) 6 = KQ: q = 2.
Ên 15
÷
( 1 + 2 x
2
) = KQ: u

1
= 3.
Ên 3 × (2 ^ 19 - 1 ) = KQ: S
50
= 1572861.
®¹o hµm
63