phân dạng phương trình lượng giác

TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011


Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

CHƯƠNG 0

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC –
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

sin

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

tang

I. HỆ THỨC CƠ BẢN

OP = cos a
OQ = sin a
AT = tan a
BT ' = cot a

Q

O

Nhận xét:

B

T

T'

cotang

M
a

p

A

cosin

· "a , - 1 £ cos a £ 1; - 1 £ sin a £ 1
· tana xác định khi a ¹

p
+ kp , k Î Z
2

· cota xác định khi a ¹ kp , k Î Z

2. Dấu của các giá trị lượng giác:
Cung phần tư

I

II

II

IV

sina

+

+

–

–

cosa

+

–

–

+

tana

+

–

+

–

cota

+

–

+

–

Giá trị lượng giác

3. Hệ thức cơ bản:
sin2a + cos2a = 1;
tana.cota = 1
1
1
1 + tan 2 a =
; 1 + cot 2 a =

cos2 a
sin 2 a
4. Cung liên kết:
Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(-a ) = cos a

sin(p - a ) = sin a

sin(-a ) = - sin a

cos(p - a ) = - cos a

tan(-a ) = - tan a

tan(p - a ) = - tan a

cot(-a ) = - cot a

cot(p - a ) = - cot a
Trang 1

Cung phụ nhau
æp
ö
sin ç - a ÷ = cos a
è2
ø

æp
ö
cos ç - a ÷ = sin a
è2
ø
æp
ö
tan ç - a ÷ = cot a
è2
ø
æp
ö
cot ç - a ÷ = tan a
è2
ø


Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

p
2

Cung hơn kém p

Cung hơn kém

sin(p + a ) = - sin a

æp
ö
sin ç + a ÷ = cos a
è2
ø

cos(p + a ) = - cos a

æp
ö
cos ç + a ÷ = - sin a
è2
ø

tan(p + a ) = tan a

æp
ö
tan ç + a ÷ = - cot a
è2
ø

cot(p + a ) = cot a

æp
ö
cot ç + a ÷ = - tan a
è2
ø

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
0

p
6

p
4

p
3

p
2

2p
3

3p
4

p

3p
2

2p

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

–1

0

1

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot

-

-

2
2

- 3

–1

3
3

–1

-

0

1
2

0

0

0

II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng:
sin(a + b) = sin a. cos b + sin b.cos a
sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a
cos(a + b) = cos a. cos b - sin a.sin b

cos(a - b) = cos a. cos b + sin a.sin b
Hệ quả:

tan a + tan b
1 - tan a.tan b
tan a - tan b
tan(a - b) =
1 + tan a.tan b
tan(a + b) =

æp
ö 1 + tan a
tan ç + a ÷ =
,
è4
ø 1 - tan a

æp
ö 1 - tan a
tan ç - a ÷ =
è4
ø 1 + tan a

Trang 2


Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác
III. CÔNG THỨC NHÂN

1. Công thức nhân đôi:
sin 2a = 2 sin a .cos a
cos 2a = cos2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a
tan 2a =

2 tan a
1 - tan 2 a

; cot 2a =

cot 2 a - 1
2 cot a

Công thức hạ bậc

Công thức nhân ba (*)

1 - cos 2a
2
1 + cos 2a
2
cos a =
2
1
cos
2a
tan2 a =
1 + cos 2a

sin 3a = 3sin a - 4sin3 a
cos 3a = 4 cos3 a - 3cos a
3tan a - tan3 a
tan 3a =
1 - 3 tan 2 a

sin 2 a =

2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

a
: (*)
2

a
2t
Đặt: t = tan (a ¹ p + 2 kp ) thì: sin a =
;
2
1 + t2

cos a =

1 - t2
1+ t

2

; tan a =

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin(a + b)
cos a.cos b
sin(a - b)
tan a - tan b =
cos a.cos b
sin(a + b)
cot a + cot b =
sin a.sin b
sin(b - a)
cot a - cot b =
sin a.sin b

a+b
a-b
. cos
2
2
a+b
a-b
cos a - cos b = - 2 sin
.sin
2
2
a+b
a-b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2

2
a+b
a-b
sin a - sin b = 2 cos
.sin
2
2
cos a + cos b = 2 cos

tan a + tan b =

æ
æ
pö
pö
sin a + cos a = 2.sin ç a + ÷ = 2.cos ç a - ÷
4ø
4ø
è
è
æ
æ
pö
pö
sin a - cosa = 2 sin ç a - ÷ = - 2 cos ça + ÷
è
4ø
è
4ø
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:

1
é cos(a - b) + cos(a + b)ùû
2ë
1
sin a.sin b = éë cos(a - b) - cos(a + b)ùû
2
1
sin a.cos b = éësin(a - b) + sin(a + b) ùû
2
cos a.cos b =

Trang 3

2t
1 - t2


Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = éë -1, 1ùû ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2p .
2p
a

*

y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = sin(f(x)) xác định Û f ( x ) xác định.

y = cos x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = éë -1, 1ùû ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2p .
2p
a

*

y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = cos(f(x)) xác định Û f ( x ) xác định.

ìp
ü
y = tan x : Tập xác định D = R \ í + kp , k Î Z ý ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = p .
î2
þ

p
a

*

y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = tan(f(x)) xác định Û f ( x ) ¹

p
+ kp (k Î Z )
2

y = cot x : Tập xác định D = R \ {kp , k Î Z } ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = p .

p
a

*

y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = cot(f(x)) xác định Û f ( x ) ¹ kp (k Î Z ) .

*

y = f1(x) có chu kỳ T1 ;

y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

Trang 4


Trn S Tựng

Phng trỡnh lng giỏc

CHNG I

PHNG TRèNH LNG GIC
I. PHNG TRèNH LNG GIC C BN

1.

Phng trỡnh sinx = sina
ộ x = a + k 2p
a) sin x = sin a ờ
(k ẻ Z )
ở x = p - a + k 2p
b) sin x = a. ẹieu kieọn : - 1 Ê a Ê 1
ộ x = arcsin a + k 2p
sin x = a ờ
(k ẻ Z )
ở x = p - arcsin a + k 2p
c) sin u = - sin v sin u = sin(- v)
ổp
ử
d) sin u = cos v sin u = sin ỗ - v ữ
ố2
ứ

ổ pử
e) sin u = - cos v sin u = sin ỗ v - ữ
ố
2ứ

Cỏc trng hp c bit:
sin x = 0 x = kp (k ẻ Z )
sin x = 1 x =

p
+ k 2p (k ẻ Z )
2

sin x = - 1 x = -

sin x = 1 sin 2 x = 1 cos2 x = 0 cos x = 0 x =
2.

p
+ k 2p (k ẻ Z )
2

p
+ kp (k ẻ Z )
2

Phng trỡnh cosx = cosa
a) cos x
b) cos x
cos x

c) cos u

= cos a x = a + k 2p (k ẻ Z )
= a. ẹieu kieọn : - 1 Ê a Ê 1
= a x = arccos a + k 2p (k ẻ Z )
= - cos v cos u = cos(p - v)

ổp
ử
d) cos u = sin v cos u = cos ỗ - v ữ
ố2
ứ
ổp
ử
e) cos u = - sin v cos u = cos ỗ + v ữ
ố2
ứ
Cỏc trng hp c bit:
p
cos x = 0 x = + kp (k ẻ Z )
2
cos x = 1 x = k 2p (k ẻ Z )

cos x = - 1 x = p + k 2p (k ẻ Z )

cos x = 1 cos2 x = 1 sin 2 x = 0 sin x = 0 x = kp (k ẻ Z )
Trang 5


Phương trình lượng giác

3.

Trần Sĩ Tùng

Phương trình tanx = tana
a) tan x = tan a Û x = a + kp (k Î Z )
b) tan x = a Û x = arctan a + kp (k Î Z )
c) tan u = - tan v Û tan u = tan(- v)
æp
ö
d) tan u = cot v Û tan u = tan ç - v ÷
è2
ø
æp
ö
e) tan u = - cot v Û tan u = tan ç + v ÷
è2
ø

Các trường hợp đặc biệt:
tan x = 0 Û x = kp (k Î Z )
4.

tan x = ± 1 Û x = ±

p
+ kp (k Î Z )
4

Phương trình cotx = cota

cot x = cot a Û x = a + kp (k Î Z )
cot x = a Û x = arccot a + kp (k Î Z )

Các trường hợp đặc biệt:
p
cot x = 0 Û x = + kp (k Î Z )
2
5.

cot x = ± 1 Û x = ±

p
+ kp (k Î Z )
4

Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
p
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ¹ + kp (k Î Z ).
2
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ¹ kp (k Î Z )
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ¹ k

p
(k Î Z )
2

* Phương trình có mẫu số:
· sin x ¹ 0 Û x ¹ kp (k Î Z )

p
+ kp (k Î Z )
2
p
· tan x ¹ 0 Û x ¹ k (k Î Z )
2
p
· cot x ¹ 0 Û x ¹ k
(k Î Z )
2
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.
· cos x ¹ 0 Û x ¹

Trang 6


Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

Baøi 1. Giải các phương trình:

æ
pö
1) cos ç 2 x + ÷ = 0

6ø
è
æ
pö
4) sin ç 3 x + ÷ = 0
3ø
è
7) sin ( 3 x + 1) =

1
2

æ
pö
2) cos ç 4 x - ÷ = 1
3ø
è
æx pö
5) sin ç - ÷ = 1
è2 4ø

(

)

8) cos x - 150 =

æp
ö
3) cos ç - x ÷ = -1

è5
ø
æp
ö
6) sin ç + 2 x ÷ = -1
è6
ø

2
2

æx pö
3
9) sin ç - ÷ = 2
è2 3ø

(

æp
ö
1
10) cos ç - 2 x ÷ = 11) tan ( 2 x - 1) = 3
2
è6
ø
æ
æ
pö
pö
13) tan ç 3 x + ÷ = -1 14) cot ç 2 x - ÷ = 1

6ø
3ø
è
è
Baøi 2. Giải các phương trình:

)

12) cot 3 x + 10 0 =

3
3

15) cos(2x + 250) = -

1) sin(3 x + 1) = sin( x - 2)

æ
æ
pö
pö
2) cos ç x - ÷ = cos ç 2 x + ÷
3ø
6ø
è
è

3) cos3 x = sin 2 x
æ
æ

pö
pö
5) cos ç 2 x + ÷ + cos ç x - ÷ = 0
3ø
3ø
è
è

4) sin( x - 120 0 ) + cos 2 x = 0
æp x ö
6) sin 3 x + sin ç - ÷ = 0
è 4 2ø

æ
æ
pö
pö
7) tan ç 3 x - ÷ = tan ç x + ÷
4ø
6ø
è
è

æ
æ
pö
pö
8) cot ç 2 x - ÷ = cot ç x + ÷
4ø
3ø

è
è

9) tan(2 x + 1) + cot x = 0

10) cos( x 2 + x ) = 0

11) sin( x 2 - 2 x ) = 0

12) tan( x 2 + 2 x + 3) = tan 2

13) cot 2 x = 1

14) sin 2 x =

1
2
æ
pö
16) sin 2 ç x - ÷ = cos2 x
4ø
è

1
2
Baøi 3. Giải các phương trình:
1) cos3 x.tan 5 x = sin 7 x
15) cos x =

2) tan 5 x .tan 2 x = 1

4) 3sin 3 x - 3 cos 9 x = 1 + 4sin3 3 x

3) 4 cos x - 2 cos 2 x - cos 4 x = 1
5) cos3 x.cos3 x + sin 3 x.sin 3 x =
Baøi 4. Giải các phương trình:

2
2

2
4

6)

1) 2 cos x - sin x = 1
1 - cos x
3) tan 2 x =
1 - sin x
Baøi 5. Giải và biện luận các phương trình:
1) (m - 1) sin x + 2 - m = 0

1
3
+
= 8 cos x
cos x sin x

2) sin x + cos 3 x = 0
1
4) cot x = tan x +

sin x
2) sin m. cos x = 1
4) (m + 1)sin 2 x + 1 - m2 = 0

3) (m - 4) tan 2 x - m = 0

Trang 7


Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

Dạng: a.sinx +b.cosx = c (1)

Cách 1:
· Chia hai vế phương trình cho a 2 + b2 ta được:
a
b
c
(1) Û
sin x +
cos x =
a 2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
a
b

· Đặt: sin a =
, cos a =
(a Î éë0, 2p ùû)
2
2
2
2
a +b
a +b
c
(1) trở thành: sin a .sin x + cos a .cos x =
a2 + b2
c
Û cos( x - a ) =
= cos b (2)
a 2 + b2
· Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là:
c
£ 1 Û a 2 + b2 ³ c 2 .
2
2
a +b
· (2) Û x = a ± b + k 2p (k Î Z )
Cách 2:
x p
= + kp có là nghiệm hay không?
2 2
x
b) Xét x ¹ p + k 2p Û cos ¹ 0.
2

x
2t
1 - t2
Đặt: t = tan , thay sin x =
, cos x =
, ta được phương trình bậc hai theo t:
2
1 + t2
1 + t2
a) Xét x = p + k 2p Û

(b + c)t 2 - 2at + c - b = 0 (3)
Vì x ¹ p + k 2p Û b + c ¹ 0, nên (3) có nghiệm khi:

D ' = a 2 - (c 2 - b 2 ) ³ 0 Û a 2 + b 2 ³ c 2 .
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

x
= t0 .
2

Ghi chú:
1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ³ c2 .
3) Bất đẳng thức B.C.S:
y = a.sin x + b.cos x £

a2 + b2 . sin 2 x + cos2 x = a 2 + b2

Û min y = - a2 + b2 vaø max y =

a2 + b2 Û

Trang 8

sin x cos x
a
=
Û tan x =
a
b
b


Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

2) sin x + cos x =

1) cos x + 3 sin x = 2
3 cos3 x + sin 3 x = 2
æp
ö
5) 3 sin 2 x + sin ç + 2 x ÷ = 1
è2
ø
Baøi 2. Giải các phương trình sau:

4) sin x + cos x = 2 sin 5 x

3)

6)

(

3 - 1) sin x - ( 3 + 1) cos x + 3 - 1 = 0

2) sin 8 x - cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x )

1) 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3
3) 8 cos x =

6
2

3
1
+
sin x cos x

æp
ö
4) cos x - 3 sin x = 2 cos ç - x ÷
è3
ø
6) cos 7 x - sin 5 x = 3(cos 5 x - sin 7 x )

5) sin 5 x + cos 5 x = 2 cos13 x
7) sin 8 x - cos 6 x = 3(sin 6 x + cos8 x )
Baøi 3. Giải các phương trình sau:

1) (3 cos x - 4 sin x - 6)2 + 2 + 3(3 cos x - 4 sin x - 6) = 0
2) (4 sin x - 5 cos x ) 2 - 13(4 sin x - 5 cos x ) + 42 = 0
5
+8= 0
3) 12 cos x + 5 sin x +
12 cos x + 5 sin x + 14
6
4) 3 cos x + 4sin x +
=6
3cos x + 4sin x + 1
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) 3sin x - 2 cos x = 2
3) cos x + 4sin x = -1
5) 4 sin x - 3 cos x = 5
7) 2 sin 2 x + 3 cos 2 x = 13 sin 14 x
Baøi 5. Giải các phương trình sau:

2) 3 cos x + 4 sin x - 3 = 0
4) 2sin x - 5 cos x = 5
6) 3 sin 2 x + 2 cos 2 x = 3
9
8) 3 cos x + 2 3 sin x =
2

æ

æ
æ
pö
pö 3 2
pö
1) 2sin ç x + ÷ + sin ç x - ÷ =
2) 3 cos 2 x + sin 2 x + 2 sin ç 2 x - ÷ = 2 2
è
4ø
è
4ø
2
è
6ø
Baøi 6. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) (m + 2)sin x + m cos x = 2
2) (m + 1) cos x + (m - 1)sin x = 2m + 3
1
3 sin 2 x + sin 2 x = m
2
Baøi 7. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm:
1) (2 m –1)sin x + (m – 1) cos x = m – 3 2) sin x + m cos x = 1
3) (m - 1)sin x + 2 m cos x = m 2

4)

1 + sin x
là số nguyên.
2 + cos x
Baøi 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

1) y = (2 - 3 ) sin 2 x + cos 2 x
2) y = (sin x - cos x ) 2 + 2 cos 2 x + 3 sin x cos x
Baøi 8. Tìm x sao cho y =

sin x + 2 cos x + 1
cos x + 2 sin x + 3
4) y =
2 cos x - sin x + 4
sin x + cos x + 2
Baøi 10. Tìm các giá trị của a để phương trình có nghiệm x 0 được chỉ ra:

3) y =

1) (cos a + 3 sin a - 3 ) x 2 + ( 3 cos a - 3 sin a - 2) x + sin a - cos a + 3 = 0 ; x0 = 1 .
2) (2 sin a - cos 2 a + 1) x 2 - ( 3 sin a ) x + 2 cos 2 a - (3 - 3 ) sin a = 0 ; x0 = 3 .
Trang 9


Phng trỡnh lng giỏc

Trn S Tựng

III. PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC
Dng
a sin 2 x + b sin x + c = 0

t
t = sinx

iu kin

-1 Ê t Ê 1

a cos2 x + b cos x + c = 0

t = cosx

-1 Ê t Ê 1

a tan 2 x + b tan x + c = 0

t = tanx

a cot 2 x + b cot x + c = 0

t = cotx

p
+ kp (k ẻ Z )
2
x ạ kp (k ẻ Z )

xạ

Nu t: t = sin 2 x hoaởc t = sin x thỡ ủieu kieọn : 0 Ê t Ê 1. (tng t i vi cosx)
Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:

1)
3)
5)
7)

2sin2x + 5cosx + 1 = 0
3 sin 2 2 x + 7 cos 2 x - 3 = 0
cos 2 x - 5 sin x - 3 = 0
6 sin 2 3 x + cos12 x = 14

2)
4)
6)
8)

4sin2x 4cosx 1 = 0
6 cos 2 x + 5 sin x - 7 = 0
cos 2 x + cos x + 1 = 0
4 sin 4 x + 12 cos 2 x = 7

10) 4sin 2 x - 2 ( 3 + 1) sin x + 3 = 0

9) 4cos5x.sinx 4sin5x.cosx = sin24x
Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) tan 2 x + (1 - 3 ) tan x - 3 = 0

2) cot 2 x + ( 3 - 1) cot x - 3 = 0

3) cot 2 2 x - 4 cot 2 x + 3 = 0

4) 7 tan x - 4 cot x = 12
pử
ổ
6) tan 2 ỗ 2 x - ữ = 3

4ứ
ố

5) tan2x + cot2x = 2
Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau:

1) 4 sin 2 3 x + 2 ( 3 + 1) cos3 x - 3 = 4

2) 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x
1
3) 4cos2(2 6x) + 16cos2(1 3x) = 13
4)
- ( 3 + 3 ) tan x - 3 + 3 = 0
cos2 x
3
4
5)
+ tan2x = 9
6) 9 13cosx +
=0
cos x
1 + tan 2 x
1
1
7)
= cotx + 3
8)
+ 3cot2x = 5
2
2

sin x
cos x
x
4
9) cos2x 3cosx = 4 cos2
10) 2cos2x + tanx =
2
5
ổ
sin 3 x + cos3 x ử 3 + cos 2 x
Baứi 4. Cho phng trỡnh ỗ sin x +
. Tỡm cỏc nghim ca phng
ữ=
1 + 2 sin 2 x ứ
5
ố
trỡnh thuc ( 0; 2p ) .
Baứi 5. Cho phng trỡnh: cos 5 x.cos x = cos 4 x.cos 2 x + 3cos 2 x + 1 . Tỡm cỏc nghim ca
phng trỡnh thuc ( -p ; p ) .
ổ
pử
pử 5
4ổ
ữ + sin ỗ x - ữ = .
ố
4ứ
ố
4ứ 4
Baứi 7. Chng minh phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi m:
1

sin 4 x + cos 4 x + m sin x.cos x =
2
Baứi 6. Gii phng trỡnh : sin 4 x + sin 4 ỗ x +

Trang 10


Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d (1)

Cách 1:
· Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
p
Lưu ý: cosx = 0 Û x = + kp Û sin 2 x = 1 Û sin x = ± 1.
2
· Khi cos x ¹ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ¹ 0 ta được:
a.tan 2 x + b. tan x + c = d (1 + tan 2 x )
· Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a - d )t 2 + b.t + c - d = 0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 - cos 2 x
sin 2 x
1 + cos 2 x
(1) Û a.
+ b.
+ c.
= d

2
2
2
Û b.sin 2 x + (c - a).cos 2 x = 2 d - a - c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) 5sin 2 x + 2 3 sin x .cos x + 3cos2 x = 2

2) 3sin2 x + 8sin x .cos x + 4 cos2 x = 0

5) 4 sin 2 x + 3 3 sin x .cos x - 2 cos2 x = 4
1
7) sin 2 x + sin 2 x - 2 cos2 x =
2
Baøi 2. Giải các phương trình sau:

6) 3cos 4 x - 4sin 2 x cos2 x + sin 4 x = 0

3) 3sin 2 x + 8sin x .cos x + ( 8 3 - 9 ) cos2 x = 0 4) 2 cos2 x – 3sin x.cos x + sin 2 x = 0

8) cos2 x + 3sin 2 x + sin x.cos x –1 = 0

1) 2sin 2 x + (1 - 3 ) sin x.cos x + (1 - 3 ) cos2 x = 1

3) 2sin 2 x - ( 3 + 3 ) sin x.cos x + ( 3 - 1) cos2 x = -1

(
4) (

3)

2 - 1 ) sin 2 x + sin 2 x + ( 2 + 1) cos2 x = 2

3 + 1) sin 2 x - 2 3 sin x.cos x + ( 3 - 1) cos2 x = 0
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) sin 3 x + 2sin x.cos 2 x – 3cos 3 x = 0

2)

3 sin x .cos x - sin 2 x =

3) sin3 x - 5sin 2 x.cos x - 3sin x .cos2 x + 3cos3 x = 0
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) (m + 1)sin 2 x – sin 2 x + 2 cos2 x = 1
2) (3m – 2)sin 2 x – (5m – 2)sin 2 x + 3(2m + 1) cos2 x = 0
3) m sin 2 x + sin 2 x + 3m cos2 x = 1
4) (m 2 + 2) cos2 x - 2 m sin 2 x + 1 = 0

Trang 11

2 -1
2


Phng trỡnh lng giỏc

Trn S Tựng
V. PHNG TRèNH I XNG

Dng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
ổ
pử
ã t: t = sin x cos x = 2.sin ỗ x ữ ; t Ê 2
ố
4ứ
1
ị t 2 = 1 2sin x. cos x ị sin x. cos x = (t 2 - 1).
2
ã Thay vo phng trỡnh ó cho, ta c phng trỡnh bc hai theo t. Gii phng trỡnh
ny tỡm t tha t Ê 2. Suy ra x.
ổ
ổ
pử
pử
ã sin x + cos x = 2 sin ỗ x + ữ = 2 cos ỗ x - ữ
ố
4ứ
ố
4ứ
ổ
ổ
pử
pử
ã sin x - cos x = 2 sin ỗ x - ữ = - 2 cos ỗ x + ữ
ố
4ứ
ố
4ứ
Dng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

ổ
pử
ã t: t = sin x cos x = 2. sin ỗ x ữ ; ẹk : 0 Ê t Ê 2.
ố
4ứ
Lu ý:

1
ị sin x .cos x = (t 2 - 1).
2
ã Tng t dng trờn. Khi tỡm x cn lu ý phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i.
Dng 3: Phng trỡnh i xng theo tang v cotang.
ổ
ử
p
t t = tan x + cot x ỗ x ạ k ; t 2 ữ
ố
2
ứ
Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh:

1) 2 sin 2 x - 3 3 ( sin x + cos x ) + 8 = 0 2) 2 ( sin x + cos x ) + 3sin 2 x = 2
3) 3 ( sin x + cos x ) + 2 sin 2 x = -3

4) (1 - 2 ) (1 + sin x + cos x ) = sin 2 x

5) sin x + cos x 4sin x .cos x 1 = 0
Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh:
1) sin 2 x - 4 ( cos x - sin x ) = 4

2) 5sin 2 x 12(sin x cos x ) + 12 = 0

3) (1 - 2 ) (1 + sin x - cos x ) = sin 2 x
ổ
pử
5) sin 2 x + 2 sin ỗ x - ữ = 1
ố
4ứ
Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh:

6) (1 + 2 ) ( sin x + cos x ) - sin 2 x = 1 + 2

4) cos x sin x + 3sin 2 x 1 = 0
1
1
6)
=2 2
cos3 x sin 3 x
3
2) 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x
2

1) sin3 x + cos3 x = 1 + ( 2 - 2 ) sin x.cos x

3) 3 tan 2 x + 4 tan x + 3cot 2 x + 4 cot x + 2 = 0 4) 2sin 2 x - 3 6 sin x + cos x + 8 = 0
5) sin x - cos x + 4sin 2 x = 1
6) 1 - sin 2 x = cos x + sin x
Baứi 4. Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim:
1) sin x.cos x = 6(sin x + cos x + m )

2) sin 2 x + 2 2 m(sin x - cos x ) + 1 - 4 m = 0

3) tan 2 x + cot 2 x = m(tan x - cot x )

4)

3
2

sin x

Trang 12

+ 3tan 2 x + m(tan x + cot x ) - 1 = 0


Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

VI. MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
éA = 0
Dạng:
A.B = 0 Û ê
ëB = 0
Một trong các phương pháp thường được sử dụng để giải các phương trình lượng giác
không mẫu mực là biến đổi đưa về dạng phương trình tích.
Các phép biến đổi thường sử dụng:
– Dùng công thức biến đổi từ tổng thành tích.

– Dùng công thức hạ bậc, rồi biến đổi từ tổng thành tích.
– Nếu phương trình có tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà không có nhân tử chung
thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích.
1
Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x.cos 2 x = sin 2 x.cos3 x - sin 5 x
(*)
2
1
1
· (*) Û sin x.cos 2 x = (sin 5 x - sin x ) - sin 5 x Û sin x(2 cos 2 x + 1) = 0
2
2
ésin x = 0
é x = kp
p
ê
Û
Ûx=k
1Ûê
p
ê cos 2 x = ê x = ± + kp
3
ë
ë
2
3
Ví dụ 2: Giải phương trình: cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = 0 (*)
· (*) Û 2 cos 4 x.cos 2 x + cos 4 x = 0 Û cos 4 x(2 cos 2 x + 1) = 0
é
p

p
é cos 4 x = 0
êx = 8 + k 4
Ûê
1Ûê
ê cos 2 x = ê x = ± p + kp
2
ë
3
ë
Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx

2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0

4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x
6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x
1
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sin3 x + cos3 x = 1 - sin 2 x
2
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0
2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1
4) cos 3 x - 2 cos 2 x + cos x = 0
5) cos10 x - cos8 x - cos 6 x + 1 = 0
6) 1 + cos x + cos 2 x + cos3 x = 0
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x

2) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
3) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1
1
5) 4 sin 2 x.sin 5 x.sin 7 x = sin 4 x
6) cos3 x.cos 4 x + sin 2 x .sin 5 x = cos 2 x + cos 4 x
2
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
3
1) sin2x = sin23x
2) sin2x + sin22x + sin23x =
2
3) cos2x + cos22x + cos23x = 1
4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
5) sin7x + cos22x = sin22x + sinx
3) sin3x + cos3x = cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x

Trang 13


Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

Baøi 5. Giải các phương trình sau: (dùng công thức hạ bậc)

1
4
5
3) sin 6 x + cos6 x =

8
1) sin 6 x + cos6 x =

5) sin 4 x + cos4 x - cos2 x +

2) sin8 x + cos8 x =

1
8

4) cos 4 x + 2sin 6 x = cos 2 x
1

-1 = 0
4sin 2 2 x
Baøi 6. Giải các phương trình sau:
æ
1
pö
1) sin3 x + cos3 x +
sin 2 x.sin ç x + ÷ = cos x + sin 3 x
è
4ø
2
2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx ) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

3) sinx + sin2x + sin3x = 2(cosx + cos2x + cos3x )
4) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + 2 cos 2 x = 0
x
x

5) sin 2 x + 2 sin2 - 2 sin x.sin 2 + cot x = 0
2
2
6) sin 2 x.cos x - cos 2 x + sin x - cos2 x.sin x - cos x = 0
7) (2 sin x - 1)(2 cos 2 x + 2 sin x + 1) = 3 - 4 cos2 x
æp
ö
8) sin x.sin 4 x = 2 cos ç - x ÷ - 3 cos x.sin 4 x
è6
ø
Baøi 7. Giải các phương trình sau:
1) sin 3 x.sin 6 x = sin 9 x

2) sin3 x - cos3 x = sin x + cos x

3) sin3 x + cos3 x = sin x - cos x
5) cot x - tan x = sin x + cos x

4) sin x (1 + cos x ) = 1 + cos x + cos2 x
6) 2 cos 2 x - sin 2 x = 2(sin x + cos x )

7) 1 + tan 2 x =

1 - sin 2 x

cos2 2 x
Baøi 8. Giải các phương trình sau:
1)

8) (1 - tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x

Trang 14


Trần Sĩ Tùng

Dạng:

Phương trình lượng giác
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
ì A ³ 0; B ³ 0
ìA = 0
í A + B = 0 Û íB = 0
î
î

Đặc biệt:
ìA = 0
· A2 + B2 = 0 Û í
îB = 0

ì
ì
ìA =1
· í A £ 1, B £ 1 Û í A £ 1, B £ 1
Ûí
îB = 1
îA + B = 2
î(1 - A) + (1 - B) = 0

cos 2 x - cos 6 x + 4(3sin x - 4 sin 3 x + 1) = 0 (*)
ì
p
x = + kp
ï
p
ì
2
(*) Û cos2 x + (sin 3 x + 1)2 = 0 Û ícos x = 0 Û í
Û x = + l 2p
2
îsin 3 x = -1 ï x = - p + k 2p
î
6
3

Ví dụ: Giải phương trình:

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1
1) sin 2 x + sin 2 3 x = sin x.sin 3 x
4

1
2) sin 2 x + sin 2 3 x = sin x.sin 2 3 x
4

3) 4 cos2 x + 3 tan 2 x - 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0
4) cos 2 x - cos 6 x + 4(3sin x - 4 sin 3 x + 1) = 0

Baøi 2. Giải các phương trình sau:
2x
1) sin 2 x + sin
-2 = 0
2) sin 5 x - cos2 x = 1
5
4) sin 2 x.cos8 x = 1
3) sin x(cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x ) = 1
5) sin 7 x + cos 2 x = -2
6) sin3 x + cos3 x = 1
7) sin x + 2 sin 2 x + 3sin 3 x + 4sin 4 x = 10
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1)

Trang 15


Phng trỡnh lng giỏc

Trn S Tựng

VN 3: PHNG PHP I LP
ỡA M
ù
ỡA = M
Dng:
ớB Ê M ớ
ợB = M
ùợ A = B
s dng phng phỏp ny ta cn chng minh 2 bt ng thc: A M v B Ê M.

Chỳ ý: Cỏc bt ng thc thng dựng:

ã Bt ng thc lng giỏc c bn: -1 Ê sin x , cos x Ê 1; 0 Ê sin 2 x, cos2 x Ê 1
ã Bt ng thc Cụsi: Vi mi a, b 0, ta cú: a + b 2 ab .
ã Bt ng thc Bu-nhia-cp-xki: Vi 2 cp s (a, b) v (x, y) ta cú:
(ax + by )2 Ê (a2 + b2 )( x 2 + y 2 )
(a + b)2 Ê 2(a2 + b2 )

c bit:

Vớ d: Gii phng trỡnh:

sin x + cos x = 2(2 - sin 3 x )

(*)

ổ
pử
sin x + cos x = 2 sin ỗ x + ữ Ê 2
ố
4ứ

ã Ta cú:

2(2 - sin 3 x ) = 2 [1 + (1 - sin 3 x )] 2
ỡ
p
ỡ ổ
pử
x = + k 2p

ùsin ỗ x + ữ = 1 ù
4
(*) ớ ố
(vụ nghim)
ớ
4ứ
p
ùợsin 3 x = 1
ù x = + l 2p
6
3
ợ

Do ú:

Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:

1) sin x + cos x = 2(2 - sin 3 x )
5 + sin 2 3 x = sin x + 2 cos x
Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
3)

2) (cos 4 x - cos 2 x )2 = 5 + sin 3 x
4)

2 + cos2 2 x = sin 3 x - cos3 x

1) sin x + 2 - sin 2 x = 2 + 1 + cos 4 x 2) cos3 x + 2 - cos2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x )
3) p sin

x

= cos x

5) 2 x = sin x 2

4) 3 sin

x

6) 2 cos

x
= 2 x + 2- x
3

x2 + x
= 2 x + 2- x
7) 2 cos
6
Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau:
2

1) cos(p x ) = x 2 - 4 x + 5

Trang 16

= cos x

Trần Sĩ Tùng

Dạng:

Phương trình lượng giác
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
ì A £ M, B £ N
ìA = M
í A + B = M + N Û íB = N
î
î

Ví dụ: Giải phương trình:
(*)
cos7 x + sin 4 x = 1
ìïcos7 x £ cos2 x
ìïcos7 x = cos2 x
.
Suy
ra:
(*)
· Ta có: í 4
Û
í 4
2
2
ïîsin x £ sin x
ïîsin x = sin x
é cos x = 0
Phương trình (1) cho ta ê

.
ë cos x = 1
– Khi cos x = 0 thì sin x = ±1 : nghiệm đúng phương trình (2)
– Khi cos x = 1 thì sin x = 0 : nghiệm đúng phương trình (2)
é
p
é cos x = 0
x
kp
Vậy (*) Û ê
Ûê = 2+
=
cos
x
1
ê
ë
ë x = k 2p

(1)
(2)

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) sin 4 x + cos15 x = 1

2) sin3 x + cos3 x = 2 - sin 4 x

3) cos13 x + sin14 x = 1
Baøi 2. Giải các phương trình sau:

1)

Trang 17


Phng trỡnh lng giỏc

Trn S Tựng

VN 5: PHNG PHP HM S
ã D oỏn nghim v s dng tớnh n iu ca hm s chng minh phng trỡnh cú
nghim duy nht.
ã Cho hm s y = f(x) ng bin (hoc nghch bin) trờn khong (a; b). Khi ú, vi mi
a, b ẻ (a; b) ta cú: f(a) = f(b) a = b.
Chỳ ý: Trong mt s trng hp, ta cn phi da vo bng bin thiờn nhn xột.
Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:

1) cos x = 1 + x

3) cos x = 1 -

x2
2

2) sin x = x
ộ pự
4) 2sin x = cos x , x ẻ ờ 0; ỳ
ở 2ỷ

p

2
Baứi 2. Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim:
5) sin x + tan x - 2 x = 0, 0 Ê x <

1) cos2 x + (1 - m ) cos x + m - 1, x ẻ (0; p )
ổ pử
1ổ
1
1 ử
2) sin x + cos x + 1 + ỗ tan x + cot x +
+
ữ = m, x ẻ ỗ 0; ữ
2ố
sin x cos x ứ
ố 2ứ
3) sin 2 x + 4(cos x - sin x ) = m
4) sin 6 x + cos6 x = m(sin 4 x + cos 4 x )
Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1)

Trang 18


Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác
VI. BÀI TẬP ÔN

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

sin 6 x
sin x

1) 1 + tan x = tan 3 x (1 - tan x )

2) 8.cos x. cos 2 x .cos 4 x =

3) 4 cos x.cos 2 x.cos 4 x + 1 = 0

4) sin x - 2sin x - sin 3 x = 2 2

5) cos 4 x - cos 2 x + 2 sin 6 x = 0

6) cos2 x - 4 cos x - 2 x.sin x + x 2 + 3 = 0.

p
p
p
p
+k
2) x = + k
8
2
14
7
4) vô nghiệm
5) x = kp
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
ĐS: 1) x =

3) x = p + k 2p ; x =
6) x = 0
2) sin3 x + cos3 x =

1) tan 2 x.tan 7 x = 1

p
+ kp
2

2
2

x
3x
x
3x 1
3 + cos x - sin x
1
x
=
4)
= 1 - tan 2
3) cos x .cos . cos - sin x .sin .sin
2
2
2
2
2
3cos x + 1 - sin x

2
2
x
5cos4
2
5) 3 - sin x + tan x =
6) log
(1 + cos x ) = 2
2 sin x
cos x
p
p
p
p
3 -1
2) x = + k 2p ; x = + a + k 2p , cos a =
ĐS: 1) x = + k
18
9
4
4
4
p
p
p
5p
3) x = - + kp ; x = - + k 2p ; x = + k 2p ; x =
+ k 2p
4
2

6
6
4) x = k 2p ; x = 2a + k 2p (tan a = 5 - 1); x = -2 b + k 2p (tgb = 5 + 1)
6) x =

5) vô nghiệm

Baøi 3. Giải các phương trình sau:

p
+ k2p
3

1) tan x + tan 4 x = 2 tan 3 x

2) 9 cos3 x .cos 5 x + 7 = 9 cos3 x .cos x + 12 cos 4 x

3) sin3 x + cos3 x = 2 - sin 4 x.

x
x
x p
3p
4) sin - cos = 1 - sin x thoûa
- £
.
2
2
2 2
4

5)

1
+ log3 cos x
32

+ 6=

1
+ log 9 sin x
2
9

ĐS: 1) x = kp ; x = ±

6) sin1994 x + cos1994 x = 1

p
p
+k
12
2

2) x = p + k 2p ; x = ±a + l 2p , cos a = 2

p
p
5p
5p

+ k2p
4) x = , p , 2p ,
5) x = + k 2p
2
2
2
12
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
3) x =

1)

3 sin 3 x - 2sin 2 x = 2 3 sin x .cos 2 x

2) 2 cos13 x + 3(cos 5 x + cos3 x ) = 8cos x .cos3 4 x
3)

1 + cos 2 x + cos 5 x + cos3 x
2

2 cos 2 x + cos x - 1

= 2-

2
3

sin x

4) sin x.tan 2 x + 3(sin x - 3. tan 2 x ) = 3 3 thoûa 2 + log 1 x £ 0

2
2

2

5) 3 cot x + 4 cos x - 2 3 cot x - 4 cos x + 2 = 0
Trang 19

6) x = k

p
2

2
-1
3


Phng trỡnh lng giỏc

Trn S Tựng

p
2p
p
+ k 2p ; x =
+ k 2p
2) x = k
3
3

12
p
p
p
5) x = + k2p
4) x = - + k , k 3
6
2
3
Baứi 5. Tỡm m phng trỡnh:
1) sin 5 x = m.sin x cú ớt nht mt nghim x ạ kp (k ẻ Z ) .
S: 1) x = kp ; x =

3) x = k2p

ổ pử
1ổ
1
1 ử
2) sin x + cos x + 1 + ỗ tan x + cot x +
+
ữ = m cú nghim x ẻ ỗ 0; ữ .
2ố
sin x cos x ứ
ố 2ứ

3) 2 sin x - 1)(2 cos 2 x + 2 sin x + m) = 3 - 4 cos2 x cú ỳng 2 nghim thuc [ 0; p ] .
4) cos 4 x + (1 - cos x )4 = m vụ nghim.
5) cos3 x + sin 3 x = m.sin x.cos x cú nghim.
6) sin 2 x + sin 2 3 x - m.cos2 2 x = 0 cú nghim.

5
Êm<5
2) m 2( 2 + 1)
4
1
4) m <
m > 17 5) "m ẻ R
18
Baứi 6. Tỡm m phng trỡnh:
S: 1) -

3) m < - 1 hay m > 3 hay m = 0.
6) m 0.

ộ p pự
1) 3 cos2 x + 2 sin x = m cú nghim duy nht thuc on ờ - ; ỳ .
ở 4 4ỷ
2) sin x - cos x + 4sin 2 x = m cú nghim.
3) 1 + 2 cos x + 1 + 2sin x = m cú nghim.
S: 1)

2)

2 -4 Ê m Ê

Baứi 7. Gii cỏc phng trỡnh sau:

65
. 3) 1 + 3 Ê m Ê 2 1 + 2 .
16

1)

Trang 20


Trn S Tựng

Phng trỡnh lng giỏc

THI I HC
Baứi 1. (H 2002A) Tỡm nghim thuc khong (0; 2p ) ca phng trỡnh:

ổ
cos3 x + sin 3 x ử
5 ỗ sin x +
ữ = cos 2 x + 3
1 + 2 sin 2 x ứ
ố
ỡ
ộ
p
p
x
=
ù x ạ - 12 + mp
ờ
1
3 .
. PT 5cos x = 2 cos 2 x + 3 cos x = ờ

HD: iu kin: ớ
7
p
5
2
ùx ạ
ờx = p
+ np
12
ợ
ở
3
Baứi 2. (H 2002B) Gii phng trỡnh: sin 2 3 x - cos2 4 x = sin 2 5 x - cos2 6 x

ộ
p
ờx = k 9
.
HD: PT cos x.sin 9 x.sin 2 x = 0 sin 2 x.sin 9 x = 0 ờ
ờx = k p
ờở
2
Baứi 3. (H 2002D) Tỡm x thuc on [0; 14] nghim ỳng phng trỡnh:
cos 3 x - 4 cos 2 x + 3 cos x - 4 = 0
p
3p
5p
7p
HD: PT 4 cos2 x (cos x - 2) = 0 cos x = 0 x = ; x =
;x =

;x =
.
2
2
2
2
2sin x + cos x + 1
Baứi 4. (H 2002Adb1) Cho phng trỡnh:
= a (a l tham s).
sin x - 2 cos x + 3
1
1. Gii phng trỡnh khi a = .
3
2. Tỡm a phng trỡnh cú nghim.
1
p
HD: 1) x = - + kp
2) - Ê a Ê 2 (a v PT bc 1 i vi sinx v cosx)
4
2
ổ
xử
Baứi 5. (H 2002Adb2) Gii phng trỡnh: tan x + cos x - cos2 x = sin x ỗ 1 + tan x.tan ữ .
ố
2ứ
x
1
ỡcos x ạ 0
HD: x = k2p . Chỳ ý: iu kin: ớ
v 1 + tan x.tan =

.
2 cos x
ợcos x ạ -1
4
Baứi 6. (H 2002Bdb1) Gii phng trỡnh: tan x + 1 =

( 2 - sin2 2 x ) sin 3 x

.
cos 4 x
1
p
2p
5p
2p
HD: iu kin: cosx ạ 0. PT sin 3 x = x = + k
;x=
+k
.
2
18
3
18
3
sin 4 x + cos 4 x 1
1
Baứi 7. (H 2002Bdb2) Gii phng trỡnh:
= cot 2 x .
5sin 2 x
2

8sin 2 x
9
p
HD: iu kin: sin2x ạ 0. PT cos2 2 x - 5 cos 2 x + = 0 x = + kp .
4
6
1
Baứi 8. (H 2002Ddb1) Gii phng trỡnh:
= sin x .
8cos2 x
ỡcos x ạ 0
HD: iu kin: ớ
ợsin x > 0
p
3p
5p
7p
PT x = + k 2p ; x =
+ k 2p ; x =
+ k 2p ; x =
+ k 2p
8
8
8
8
Baứi 9. (H 2002Ddb2) Xỏc nh m phng trỡnh:
Trang 21


Phng trỡnh lng giỏc

Trn S Tựng

2 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos 4 x + 2 sin 2 x - m = 0
(*)
ộ pự
cú ớt nht mt nghim thuc on ờ 0; ỳ .
ở 2ỷ
10
HD: - Ê m Ê -2 .
3
ộ pự
t t = sin2x. (*) cú nghim thuc ờ 0; ỳ f (t ) = 3t 2 - 2t = m + 3 cú nghim tẻ[0;1]
ở 2ỷ
cos 2 x
1
Baứi 10. (H 2003A) Gii phng trỡnh: cot x - 1 =
+ sin 2 x - sin 2 x .
1 + tan x
2
HD: iu kin: sin x ạ 0, cos x ạ 0, tan x ạ -1 .

p
+ kp .
4
2
Baứi 11. (H 2003B) Gii phng trỡnh: cot x - tan x + 4sin 2 x =
.
sin 2 x
p

ỡsin x ạ 0
HD: iu kin: ớ
. PT 2 cos2 2 x - cos 2 x - 1 = 0 x = + kp .
3
ợcos x ạ 0
ổx pử
x
Baứi 12. (H 2003D) Gii phng trỡnh: sin 2 ỗ - ữ tan 2 x - cos2 = 0 .
2
ố2 4ứ
HD: iu kin: cos x ạ 0 .
ộ x = p + k 2p
PT (1 - sin x )(1 + cos x )(sin x + cos x ) = 0 ờ
.
p
ờ x = - + kp
4
ở
PT (cos x - sin x )(1 - sin x.cos x + sin 2 x ) = 0 x =

Baứi 13. (H 2003Adb1) Gii phng trỡnh: cos 2 x + cos x ( 2 tan 2 x - 1) = 2 .

HD: iu kin: cosx ạ 0.

p
+ k 2p
3
Baứi 14. (H 2003Adb2) Gii phng trỡnh: 3 - tan x ( tan x + 2 sin x ) + 6 cos x = 0 .
p
HD: iu kin: cosx ạ 0. PT (1 + cos 2 x )(3 cos2 x - sin 2 x ) = 0 x = + kp

3
PT (1 + cos x )(2 cos2 x - 5cos x + 2) = 0 x = (2k + 1)p , x =

Baứi 15. (H 2003Bdb1) Gii phng trỡnh: 3 cos 4 x - 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0 .

p
p
+ k , x = kp
4
2
( 2 - 3 ) cos x - 2sin2 ổỗ x - p ửữ
ố 2 4 ứ = 1.
Baứi 16. (H 2003Bdb2) Gii phng trỡnh:
2 cos x - 1
1
p
HD: iu kin: cos x ạ . PT - 3 cos x + sin x = 0 x = + (2k + 1)p
2
3
2 (
cos x cos x - 1)
Baứi 17. (H 2003Ddb1) Gii phng trỡnh:
= 2(1 + sin x ) .
sin x + cos x
ổ
pử
HD: iu kin: sin ỗ x + ữ ạ 0 .
ố
4ứ
p

PT (1 + sin x )2 (1 + cos x ) = 0 x = - + kp , x = p + k 2p
2
HD: PT cos 2 x (-2 cos 4 x + 5cos2 x - 3) = 0 x =

Trang 22


Trn S Tựng

Phng trỡnh lng giỏc

Baứi 18. (H 2003Ddb2) Gii phng trỡnh: cot x = tan x +

2 cos 4 x
.
sin 2 x

HD: iu kin: sin2x ạ 0. PT 2 cos2 2 x - cos 2 x - 1 = 0 x =

p
+ kp .
3

Baứi 19. (H 2004B) Gii phng trỡnh: 5sin x - 2 = 3(1 - sin x ) tan 2 x .

ộ
p
x = + k 2p
ờ
6

.
HD: iu kin: cos x ạ 0 . PT 2sin 2 x + 3sin x - 2 = 0 ờ
5
ờ x = p + k 2p
ở
6
Baứi 20. (H 2004D) Gii phng trỡnh: (2 cos x - 1)(2sin x + cos x ) = sin 2 x - sin x .
ộ
p
ờ x = 3 + k 2p
.
HD: PT (2 cos x - 1)(sin x + cos x ) = 0 ờ
ờ x = - p + kp
ở
4
Baứi 21. (H 2004Adb1) Gii phng trỡnh: 4 ( sin3 x + cos3 x ) = cos x + 3sin x .

HD: PT tan3 x - tan 2 x - 3tan x + 3 = 0 x =
Baứi 22. (H 2004Adb2) Gii phng trỡnh:

ỡùu = 1 - sin x
HD: t ớ
. PT
ùợv = 1 - cos x
p
x = + k 2p ; x = k 2p .
2

p
p

+ kp ; x = + kp .
4
3

1 - sin x + 1 - cos x = 1 .

ỡu + v = 1
ỡu = 0
ỡu = 1
ớ
hoc ớ
ớ
2 2
2 2
ợv = 1
ợv = 0
ợ(1 - u ) + (1 - v ) = 1

ổ
ố

Baứi 23. (H 2004Bdb1) Gii phng trỡnh: 2 2 cos ỗ x +

pử
1
1
=
.
ữ+
4 ứ sin x cos x

p
ỡsin x ạ 0
HD: iu kin: ớ
. PT (cos x - sin x )(1 + sin 2 x ) = 0 x = + kp .
4
ợcos x ạ 0
Baứi 24. (H 2004Bdb2) Gii phng trỡnh: sin 4 x .sin 7 x = cos3 x .cos 6 x .
p
p
p
HD: x =
+ k ; x = + kp .
20
10
2
Baứi 25. (H 2004Ddb1) Gii phng trỡnh: 2sin x. cos 2 x + sin 2 x.cos x = sin 4 x. cos x .
p
HD: PT sin 3 x (cos 2 x - 1) = 0 x = k .
3
Baứi 26. (H 2004Ddb2) Gii phng trỡnh: sin x + sin 2 x = 3(cos x + cos 2 x ) .

HD: PT x = p + k 2p ; x =

2p
2p
+k
9
3

Baứi 27. (H 2005A) Gii phng trỡnh: cos2 3 x.cos 2 x - cos2 x = 0 .

p
.
2
Baứi 28. (H 2005B) Gii phng trỡnh: 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 .
p
2p
HD: PT (sin x + cos x )(2 cos x + 1) = 0 x = - + kp ; x =
+ k 2p .
4
3
ổ
pử ổ
pử 3
Baứi 29. (H 2005D) Gii phng trỡnh: cos 4 x + sin 4 x + cos ỗ x - ữ sin ỗ 3 x - ữ - = 0 .
ố
4ứ ố
4ứ 2
HD: PT 2 cos2 4 x + cos 4 x - 3 = 0 x = k

Trang 23


Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

p
+ kp .

4
Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình:
æ
x
3p ö
4sin 2 - 3 cos 2 x = 1 + 2 cos2 ç x ÷.
2
è
4 ø
æ
pö
5p
17p
5p
HD: PT Û cos ç 2 x + ÷ = cos(p - x ) Û x =
;x=
; x=
.
è
6ø
18
18
6
pö
3æ
Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos ç x - ÷ - 3 cos x - sin x = 0 .
è
4ø
HD: PT Û sin 2 2 x + sin 2 x - 2 = 0 Û x =

HD: PT Û cos3 x + sin 3 x + 3cos2 x.sin x + 3cos x.sin 2 x - 3cos x - sin x = 0
Xét 2 trường hợp:
ìcos x = 0
p
a) Nếu cos x = 0 thì PT Û í 3
Û x = + kp .
2
îsin x - sin x = 0
b) Nếu cos x ¹ 0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3 x .
p
ìcos x ¹ 0
Khi đó: PT Û í
Û x = + kp .
4
îtan x = 1
p
p
Vậy: PT có nghiệm: x = + kp hoặc x = + kp .
2
4

Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : sin x.cos 2 x + cos2 x ( tan 2 x - 1) + 2sin3 x = 0 .

é
p
x = + k 2p
ê
6
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û 2sin 2 x + sin x - 1 = 0 Û ê
.

5
p
êx =
+ k 2p
ë
6
æp
ö
cos 2 x - 1
Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : tan ç + x ÷ - 3tan 2 x =
è2
ø
cos2 x
p
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û tan3 x = -1 Û x = - + kp .
4
æ 3p
ö
sin x
Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: tan ç
- x÷+
=2 .
è 2
ø 1 + cos x
é
p
ê x = 6 + k 2p
HD: Điều kiện: sin x ¹ 0 . PT Û 2sin x = 1 Û ê
.
5

p
êx =
+ k 2p
ë
6
Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2 x + cos 2 x + 3sin x - cos x - 2 = 0 .
é
p
ê x = 6 + k 2p
é
1
ê
5p
êsin x = 2
ê
HD: PT Û (2 sin x - 1)(sin x - cos x - 1) = 0 Û ê
Û ê x = 6 + k 2p .
êsin æ x - p ö = 2
ê
p
÷
êë çè
4ø 2
ê x = 2 + k 2p
ê x = p + k 2p
ë
Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình:

2 ( cos6 x + sin 6 x ) - sin x. cos x
2 - 2sin x

Trang 24

=0.