HHKG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ph ầ n 1 : HỆ TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
1) Vectơ đơn vò của 2 trục tọa độ là
i
,
j
• O: gốc toạ độ
•
i

j
• 
i
 = 
j
r
 = 1
•
i
= (1, 0): vt đơn vò trên trục ox
•
j
= (0, 1): vt đơn vò trên trục oy
2) Tọa độ của vectơ:

a
= (a
1
, a
2

) ⇔
a
= a
1
i
+ a
2
j

TRONG KHƠNG GIAN
1) Vectơ đơn vò của 3 trục tọa độ là
i
,
j
,
k
•
i

j
,
j

k
,
k

i
(
i

,
j
,
k
đôi 1 vuông góc)
• 
i
 = 
j
r
 = 
k
 = 1
•
i
= (1, 0, 0): vt đơn vò trên trục ox
•
j
= (0, 1, 0): vt đơn vò trên trục oy
•
k
= (0, 0, 1): vt đơn vò trên trục oz
2) Tọa độ của vectơ:

a
= (a
1
, a
2
, a

3
) ⇔
a
= a
1
i
+ a
2
j
+ a
3
k
ph ầ n 2 : CƠNG THỨC LIÊN HỆ ĐẾN VECTƠ
1. Công thức về 1 vectơ :
a
r
= (a
1
, a
2
)
1)k.
a
r
= (ka
1
, ka
2
)
2)



a
r

=
3)
a
r
= 0
⇔

1
2
a 0
a 0
=


=

2. Công thức về 2 vectơ :
a
r
= (a
1
, a
2
)

b
r
= (b
1
, b
2
)
1)
a
r

b
r
= (a
1
 b
1
, a
2
 b
2
)
2)
a
r
=
b
r
⇔
3) m

a
r
+ n
b
r
= (ma
1
+ nb
1
, ma
2
+ nb
2
)
4)
a
r
cùng phương với
b
r
⇔
a
r
= k.
b
r
⇔ =
3. T ích vô hướng
ĐN:
a

r
.
b
r
= 
a
r
.
b
r
.cos(
a
r
,
b
r
)

a
r
.
b
r
= a
1
.b
1
+ a
2
.b

2

a
r

b
r
⇔
a
r
.
b
r
= 0
4. Góc gi ư õa 2 vectơ
 Cos (
a
r
,
b
r
) =
a.b
a . b
r r
r r
Để chứng minh 1 góc của tam giác là góc nhọn (tù)
ta cm cos của góc đó là dương (âm)
1. Công thức về 1 vectơ
a

= (a
1
, a
2
, a
3
)
1) k
a
= (ka
1
, ka
2
, ka
3
), k  R
2) 
a
 =
2
3
2
2
2
1
aaa
++
3)
a
r

=
0
⇔





=
=
=
0a
0a
0a
3
2
1
2. Công thức về 2 vectơ
a
r
= (a
1
, a
2
, a
3
)

b
r

= (b
1
, b
2
, b
3
)
1)
a
r

b
r
= (a
1
 b
1
, a
2
 b
2
, a
3
 b
3
)
2)
a
r
=

b
r
⇔





=
=
=
33
22
11
ba
ba
ba
3) m
a
r
+ n
b
r
= (ma
1
+ nb
1
, ma
2
+ nb

2
, ma
3
+ nb
3
)
4)
a
r
cùng phương với
b
r
⇔
a
r
= k.
b
r
⇔ = =
3
3
b
a
hay [
a
r
,
b
r
] =

0
3. T ích vô hướng
4. Góc giũa 2 vectơ
Tương tự như HHP
5. Tích có hướng
Tích có hướng của
a
và
b
, kí hiệu [
a
,
b
] hoặc
a b∧
r r
là vectơ có tọa độ








−
21
21
31
31

32
32
bb
aa
,
bb
aa
,
bb
aa
17
O
y
x
O
x
y
z
i
r
j
r
ph ầ n 3 : TỌA ĐỘ ĐIỂM
OM
= x
i
+ y
j
⇔ M(x, y)
• M  ox ⇔ M(x, 0)

• M  oy ⇔ M(0, y)
I. Công thức liên hệ 2 điểm : A (x
A;
y
A
)
B (x
B
; y
B
)
1.
AB
= (x
B
– x
A;
y
B
– y
A
)
2. AB =
22
)()(
ABAB
yyxxAB
−+−=
3. M  mp (oxy) ⇔
OM

uuuur
= (x; y)

OM =
1) Toạ độ trung điểm:
M là trung điểm AB ⇔
2) M chia đoạn AB theo tỉ số k:
MA = kMB ⇔
*) L ư u ý : M, A, B phải đđúng thứ tự
II. Công thức liên hệ 3 điểm : A (x
A
;y
A
)
B (x
B;
y
B
)
C (x
C;
y
C
)
1) G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
A B C
G
A B C

G
x x x
x
y y y
y
+ +

=



+ +

=


2) Diện tích tam giác
Nếu
1 2
1 2
( ; )
( ; )
AB a a
AC b b

=


=



uuur
uuur

thì S
ABC
=
21
21
2
1
bb
aa
=
2
1
a
1
b
2
– b
1
a
2


 1 số công thức tính diện tích
1. S = a.h
a
= b.h

b
= c.h
c
2. S = b.c.sinA ;p =
2
a b c+ +
: nửa chu vi
3. S = p.r r: bk đtròn nội tiếp 
4. S = R: bk đtròn ngoại tiếp 
5. S =
))()(( cpbpapp
−−−
(cthức Hêrông)
3) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
OM
= x
i
+ y
j
+ z
k
⇔ M(x, y, z)
M  (oxy) => M(x, y, 0) M  ox => M(x, 0, 0)
M  (oyz) => M(0, y, z) M  oy => M(0, y, 0
M  (ozx) => M(x, 0, z) M  oz => M(0, 0, z)
I. Công thức liên hệ 2 điểm: A(x
A
, y
A
, z

A
)
B(x
B
, y
B
, z
B
)
1)
AB
= (x
B
- x
A
, y
B
– y
A
, z
B
– z
A
)
2) AB =
2
AB
2
AB
2

AB
)zz()yy()xx(
−+−+−
3) Trung điểm M của AB









+
=
+
=
+
=
2
zz
z
2
yy
y
2
xx
x
BA
M

BA
M
BA
M
4) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
ĐN:
MA
= k
MB










−
−
=
−
−
=
−
−
=
k1
kzz

z
k1
kyy
y
k1
kxx
x
BA
M
BA
M
BA
M
II. Công thức liên hệ 3 điểm A(x
A;
y
A
; z
A
)
B(x
B
; y
B
; z
B
)
C(x
C
; y

C
; z
C
)
G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +

=


+ +

=



+ +

=


MỘT SỐ DẠNG TOÁN
1) Diện tích ABC
S

ABC
=
2
1
AB.AC.sinA =
2
1
[
AC,AB
]
2) Thể tích của 1 tứ diện
18
• 3 điểm A, B, C thẳng ⇔
AB
và
AC
cùng
phương ⇔
AB
= k
AC

, k  R, k ≠ 1
⇔
1 2
1 2
a a
b b
=
(
AB
uuur
= (a
1
, a
2
);
AC
uuur
=(b
1
, b
2
))
• A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác ⇔
AB
và
AC
không cùng phương
V
ABCD
=

6
1
[
AC,AB
].
AD

=
1
S
3
đáy
.chiều cao
3) Thể tích hình hộp
V
ABCD.A’B’C’D’
= [
AD,AB
].
'AA

4) A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện ⇔ [
AC,AB
].
AD
≠ 0
5) AH là đường cao của tứ diện ABCD. Tọa độ
điểm H cho bởi






⊥
⊥
phẳngđồng:BH,BD,BC
BDAH
BCAH
⇔





=
=
=
0BH].BD,BC[
0BD.AH
0BC.AH
6) Tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD cho bởi





=
=
=

22
22
22
IDIA
ICIA
IBIA
R = IA
MẶT PHẲNG
I. Vectơ pháp tuyến (vtpt)
Vectơ
n
≠
0
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu
n
có giá vuông góc với (α ).
*) Chú ý: Nếu
n
là vtpt của (α ) thì k
n
cũng là vtpt của (
α
)
II. Phương trình mặt phẳng
1) Phương trình tồng quát
Phương trình mp qua M(x
0
, y
0
, z

0
) và có vtpt
n
= (A, B, C) là:
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C (z – z
0
)= 0
Phương trình tổng quát của mp là: Ax + By + Cz + D = 0

=


+ + ≠


r
2 2 2
( , , )
0
Vtpt n A B C
A B C
2) Phương trình theo đoạn chắn
Nếu (α) cắt ox, oy, oz lần lượt tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) thì phương trình mp qua A, B, C là
1
c
z

b
y
a
x
=++
phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn
3) Các trường hợp riêng
Trong Không gian oxyz mp (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0
19
α
n
r
Mặt phẳng (α ) Phương trình
Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0)
Song song ox hay vuông góc (oyz) By + Cz + D = 0
Qua (chứa) ox By + Cz = 0
Song song oy hay vuông góc (oxz) Ax + Cz + D = 0
Qua (chứa) oy Ax + Cz = 0
Song song oz hay vuông góc (xoy) Ax + By + D = 0
Qua (chứa) oz Ax + By = 0
Vuông góc oz hay song song (xoy) Cz + D = 0
Trùng (oxy) z = 0
Vuông góc ox hay song song (oyz) Ax + D = 0
Trùng (oyz) x = 0
Vuông góc oy hay song song (oxz) By + D = 0
Trùng (oxz) y = 0
III. Vò trí tương đối giữa 2 mặt phẳng
Cho mặt phẳng (α
1
): A

1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
1) (α
1
) // (α
2
) ⇔
2
1
2
1
2
1

2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
2) (α
1
)  (α
2
) ⇔
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B

A
A
===
3) (α
1
) cắt (α
2
) ⇔ A
1
: B
1
: C
1
≠ A
2
: B
2
: C
2
4) (α
1
)  (α
2
) ⇔ A
1
A
2
+ B
1
B

2
+ C
1
C
2
= 0 (2 mặt phẳng này có 2 vtpt vuông góc nhau)
IV. Vấn đề liên quan đến phương trình mặt phẳng
1) Nguyên tắc chung để viết phương trình mặt phẳng
- Tìm 1 điểm M và 1 vtpt
- Tìm 1 điểm M và 1 cặp vtcp (
a
,
b
) = > vtpt
n
= [
a
,
b
]
2) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
(α )



=
ABnVtpt
ABthẳngđoạncủaIđiểmtrungQua
3) Chứng minh rằng: ABCD là tứ diện
B

1
: viết phương trình (ABC)
B
2
: Thế tọa độ của điểm D vào phương trình (ABC)
• Nếu tọa độ điểm D nghiệm đúng phương trình (ABC) => ABCD không là tứ diện
• Nếu tọa độ điểm D không nghiệm đúng phương trình (ABC) => ABCD là tứ diện
V. Một số cách tìm vtpt của mặt phẳng ( α )
1) (α )  AB =>
α
n
=
AB
2) (α ) // (): Ax + By + Cz + D = 0 = >
α
n
=
β
n
= (A, B, C)
3) (α) có cặp vtcp
a
,
b
=>
α
n
= [
a
,

b
]
4) (α ) qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng => (α ) có cặp vtcp là
AB
,
AC
=>
α
n
= [
AB
,
AC
]
5) (α ) qua 2 điểm A, B và vuông góc () =>
α
n
= [
AB
,
β
n
]
6) (α ) qua M và chứa đường thẳng (d) => (α ) có cặp vtcp là
0
MM
(M
0
 d) và
d

a
=>
α
n
= [
0
MM
,
d
a
]
7) (α ) qua M và chứa trục ox => (α ) có cặp vtcp là
OM
và
i
= (1, 0, 0) =>
α
n
= [
OM
,
i
]
20
8)



β⊥α
α

)()(
ox//)(
=> (α ) có cặp vtcp là
i
= (1, 0, 0) và
β
n
=>
α
n
= [
i
,
β
n
]
9) (α ) 



=+++
=+++
0DzCyBxA:)P(
0DzCyBxA:)P(
22222
11111
=> (α ) có cặp vtcp là






=
=
)C,B,A(n
)C,B,A(n
2222
1111
= >
α
n
= [
1
n
,
2
n
]
Vấn đề 5 ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình của đường thẳng
Qua điểm Vtcp Phương trình Ghi chú
Đường thẳng  M(x
0
, y
0
, z
0
)
)a,a,a(a
321

=
1 ) Phương trình tham số





+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
30
20
10
(t  R)
2) Phương trình chính tắc
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx

−
=
−
=
−
Trong phương trình chính
tắc nếu mẫu số bằng 0 ta
vẫn viết ptct như dạng
bên với qui ước tử số cũng
bằng 0
I. Cách tìm vtcp của đường thẳng
a)  qua 2 điểm A, B =>
∆
a
=
AB
b)  // ’=>
∆
a
=
'
a
∆
c)   mp(α) =>
∆
a
=
α
n
d)  




'd
d
=>
∆
a
= [
d
a
,
'd
a
]
VỊ TRÍ TNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
I. Vò trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Cho 2 đường thẳng (d
1
)



1
1
avtcpCó
MđiểmQua
(d
2
)




2
2
avtcpCó
MđiểmQua
1) d
1
và d
2
đồng phẳng ⇔ [
1
a
,
2
a
].
21
MM
= 0
2) d
1
cắt d
2
⇔






=
phươngcùngkhôngavàa
0MM].a,a[
21
2121
3) d
1
// d
2

⇔





211
21
MMphươngcùngkhônga
aphươngcùnga
4) d
1
 d
2
⇔






211
21
MMphươngcùnga
aphươngcùnga
5) d
1
chéo d
2
⇔ [
1
a
,
2
a
].
21
MM
≠ 0
6) d
1
 d
2
⇔
1
a
.
2
a
= 0

*) Phương pháp xét vò trí tương đối giữa 2 đường thẳng
B
1
: - Tìm điểm M
1
 d
1
và vtcp
1
a
21