Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Thạch Hà năm 2017 có đáp án

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1:
a) Tính giá trị của đa thức f ( x )  ( x 4  3x  1)2016 tại x  9 

b) So sánh

20172  1  20162  1 và

1
9
 5
4



1
9
 5
4

2.2016

20172  1  20162  1
sin2 x
cos2 x

c) Tính giá trị biểu thức: sin x .cos x 
với 00  x  900
1  cot x 1  tan x

d) Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:
2
3

 9  20 5
ab 5 ab 5
Câu 2: Giải các phương trình sau:
3
2
x 1 x  3



a)
x  3 x 1
2
3
2
b) x  5x  8  2 x  2
Câu 3:
a) Cho đa thức P  x   ax 3  bx 2  cx  d với a, b, c, d là các hệ số nguyên.
Chứng

minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia
hết cho 5
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 – xy  y2 – 4  0
c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số.
Câu 4:
a4  b4
 ab3  a3b  a2b2
a) Chứng minh rằng
2
b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện

1
1
1
+
+
=2
a+b+1 b+c+1 c+a+1

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).
Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường
vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F
a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC
b) Giả sử HD =

1
AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
3

c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4

điểm E, M, N, F thẳng hàng.

------------------HẾT----------------Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:…………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, học sinh không dùng máy tính bỏ túi )
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

SƠ LƢỢC GIẢI
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu
Câu 1

Ý
a)

Đáp án
2

 2 
 2 
x  9 
 


 5  2
 5  2 

 9

2

2
2
2 5 42 5 4

=9
 9 8 1
2
2
52
52
5 2

 

f ( x)  f (1)  1
b)
Ta có

c)

d)

20152  1  20142  1 

( 20172  1  20162  1)( 20172  1  20162  1)

20172  1  20162  1
(20152  1)  (20142  1)
2017 2  20162
(2017  2016)(2017  2016)



20172  1  20162  1
2017 2  1  20162  1
2017 2  1  2016 2  1
2017  2016
2.2016


2
2
2
2017  1  2016  1
2017  1  20162  1
2.2016
Vậy 20172  1  20162  1 >
20172  1  20162  1
sin2 x
cos2 x
sin x .cos x 

cos x

sin x
1
1
sinx
cos x
3
sin x
cos3 x
 sin x .cos x 

1  cosx 1+sinx
 sinx  cos x  sin2 x  sinx.cos x  cos2 x 
sin3 x  cos3 x
 sin x .cos x 
 sin x.cos x 
sinx  cosx
sinx  cosx
 sin x.cos x  1  sin x.cos x  1
ĐK: a  b 5 (*)
2
ab 5



3
ab 5

 9  20 5

 2(a  b 5)  3(a  b 5)  (9  20 5)(a  b 5)(a  b 5)

 9a2  45b2  a  5(20a2  100b2  5b) (*)

Ta thấy (*) có dạng A  B 5 trong đó A, B Q , nếu B  0 thi 5 

A
 I vô lí vậy B
B

= 0 => A= 0.

Câu 2

a)

W: www.hoc247.net

9a 2  45b2  a  0
9a 2  45b 2  a  0
9a2  45b2  a  0



Do đó (*)  
 2
 9
9
2
2
2


20a  100b  5b  0 9a  45b  b  0 a  b

4
 4
 9
a  9
a  0
a  b
(không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4
 4

hoac 
b

4
b

0
2


b  4b  0

ĐK x  1; x  3 (**)
F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

3
2
x 1 x  3
(2)



x  3 x 1
2
3
x3
x3


( x  3)( x  1)
6
+ Trường hợp: x + 3 = 0  x  3 (TMĐK (**)
+ Trường hợp: x + 3  0  x  3
Ta có (x-3)(x-1) = 6  x2  4 x  3  0
 x2  4 x  4  7  ( x  2)2  7
 x  2  7 hoac x  2  7 (TMĐK (*))

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={-3; 2  7 ; 2  7 }
b)

ĐK: x  2 (***)

x 2  6x  9  x  1  2 x  2  0

  x  3  x  2  2 x  2  1  0
2

  x  3 
2





2

x  2 1  0

 x  3  0

 x  3 (thỏa mãn ĐK(***))
 x  2  1  0
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Câu 3

Ta có: P(0) = d 5
a)

P(1) = a + b + c + d

5 => a + b + c

P(-1) = -a + b – c + d

5

(1)

5 => -a + b – c 5

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 2b

5 => b

P(2) = 8a + 4b + 2c + d

5 => 8a + 2c 5 => a 5 => c 5

5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c

5

b)

Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16
 ( 2x – y )2 + 3y2 = 16
 ( 2x – y )2 = 16 – 3y2
Vì ( 2x – y )2  0 nên 16 – 3y2  0  y2  5  y2  { 0; 1; 4 }
- Nếu y2 = 0 thì x2 = 4  x =  2
- Nếu y2 = 1 thì ( 2x – y )2 = 13 không là số chính phương nên loại y2 = 1
- Nếu y2 = 4  y =  2
+ Khi y = 2 thì x = 0 hoặc x = 2

+ Khi y = - 2 thì x = 0 hoặc x = - 2
Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên là (x, y) = ( - 2; 0 ); ( 2; 0 ); ( 0; 2 ); ( 2; 2 ); ( 0;
- 2 ); ( - 2; -2 )

c)

- Nếu n là số chẵn thì n4 + 4n là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số
- Nếu n là số lẻ, đặt n = 2k + 1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0
n4 + 42k + 1 = (n2)2 + (2.4k )2
= (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k
= ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Câu 4
a)

Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k
= (n – 2k)2 + 4k > 4
Suy ra n4 + 42k + 1 là hợp số
Vậy n4 + 4n là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1
a 4  b4
Giả sử ta có

 ab3  a3b  a2b2
2
4
4
3
 a  b  2ab  2a3b  2a2b2
 a4  b4  2ab3  2a3b  2a 2b2  0
 a4  2a3b  a2b2  b4  2ab3  a2b2  0

  a 2  ab    b2  ab   0 luôn đúng với mọi a, b
2

2

a 4  b4
 ab3  a3b  a2b2 với mọi a, b
2
Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z là các số thực dương
1
1
1
+
+
=2
Ta có
x+1 y+1 z+1
1
1
1
1

1
y
z

 2

 1
1


x+1
y+1 z+1
y+1
z+1 y+1 z+1
Vậy

b)



1
y
z
2

x+1
y+1 z+1

(Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số dương
Chứng minh tương tự ta có

y
z
và
)
y+1
z+1

1
x
z
1
y
x
2

và
2

y+1
x+1 z+1
z+1
y+1 x+1

1
1
1
y
z
x

z
x
y


2

2

2

x+1 y+1 z+1
y+1 z+1
x+1 z+1
x+1 y+1
1
1
1
xyz



8
x+1 y+1 z+1
 x  1 y  1 z  1

Suy ra

1
.

8
Dấu “ = ” xẩy ra khi
x
y
z
1


x yz
x+1 y+1 y+1
2
1
abc
4
 xyz 

Vậy giá trị lớn nhất của tích ( a + b )( b + c )( c + a) là

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

1
8

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Câu 5

A

I
K
F
N

H
M
E
B

a)

b)

C
D

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tac có: AE.AB = AD 2 ;
AF.AC = AD2
Suy ra: AE.AB = AF.AC
Biểu thị được : tanB =

AD
AD
AD2
; tanC =

; tanB.tanC =
BD
CD
BD.CD

Biểu thị được:

CD
BD
BD.CD
; tanC = tan DHB 
; tanB.tanC =
HD
HD
HD2
AD
AD 2
Suy ra: (tanB.tanC)2 =
=>
tanB.tanC
=
=3
HD
HD 2
tanB = tan DHC 

c)

Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK

BM BD BE


 ME / /IK  M  EF
MI DC EK
Tương tự chứng minh được N  EF và suy ra 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng
Chứng minh được:

Tổng
Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng vẫn cho điểm tối đa.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807