Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p-nhóm

Header Page 1 of 126.

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

LỚP LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG
VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN
CÁC p-NHÓM

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2011

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

2

Công trình ñược hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 1: TS. Lê HoàngTrí
Phản biện 2: PGS. TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào
ngày 26 tháng 11 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn, là xác ñịnh các nhóm
có cấp cho trước, ñã ñược ñề ra bởi A.Cayley năm 1878. Đây là bài
toán khó và cho ñến nay vẫn chưa có lời giải ñầy ñủ. Năm 1939,
P.Hall ñã ñề xuất một quan ñiểm phân loại nhóm, thô hơn phân loại
ñẳng cấu, như sau:
Hai nhóm G và H ñược gọi là ñồng chất nếu tồn tại hai
ñẳng cấu
ϕ : G / Z (G ) → H / Z ( H ) và ψ : [G , G ] → [H , H ] sao cho biểu ñồ
sau giao hoán

ϕ ×ϕ
G / Z (G ) × G / Z (G )

H / Z (H ) × H / Z (H )

∂G

[G, G ]

∂H

ψ

[H , H ]

trong ñó Z(G) và [G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con
giao hoán tử của G ; ∂ G hoặc ∂ H là hai ánh xạ ñược cho bởi

(x, y ) a [x, y ]; với x, y thuộc G hoặc H.

Cho a, b là hai phần tử của một nhóm G. Ta nói phần tử b
liên hợp với phần tử a nếu ∃ x ∈ G sao cho b = xax −1 . Quan hệ
liên hợp này là một quan hệ tương ñương trên nhóm G, và có vai trò
nhất ñịnh ñối với bài toán phân loại ñồng chất các nhóm hữu hạn.

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

4

Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp trong một nhóm và ứng
dụng của nó vào quan hệ ñồng chất giữa các nhóm, tôi chọn ñề tài
luận văn thạc sỹ của mình là “Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan
hệ ñồng chất trên các p - nhóm”.
2. Mục ñích nghiên cứu
- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và quan hệ liên hợp trên một
nhóm.
- Nghiên cứu quan hệ ñồng chất giữa các nhóm và ứng dụng
của quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nhóm và p - nhóm hữu hạn
- Quan hệ liên hợp trong một nhóm
- Quan hệ ñồng chất giữa các nhóm
- Lớp liên hợp của những nhóm quen biết
- Ứng dụng của quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất
giữa một vài lớp p – nhóm.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan ñến
nội dung luận văn, ñặc biệt là quan hệ liên hợp và quan hệ ñồng chất
trên tập các nhóm.
- Nghiên cứu tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ
dài ñối với quan hệ ñồng chất, từ ñó sẽ ñưa ra ứng dụng cụ thể của
lớp liên hợp.
- Trao ñổi, thảo luận với người hướng dẫn.

Footer Page 4 of 126.

Header Page 5 of 126.

5

5. Cấu trúc luận văn
Mở ñầu
Chương 1. Cấu trúc nhóm và quan hệ liên hợp trong một nhóm
Chương 2. Quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm và ứng dụng
của lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất
Kết luận.

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.

6

Chương I
CẤU TRÚC NHÓM VÀ QUAN HỆ LIÊN HỢP
TRONG MỘT NHÓM
Phần ñầu chương này nhắc lại một cách sơ lược những kiến
thức cơ bản về về cấu trúc nhóm. Phần thứ hai của chương trình bày
quan hệ liên hợp trong một nhóm cùng những tính chất của nó.
1.1. CẤU TRÚC NHÓM
1.1.1. Định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm thương
1.1.1.1. Định nghĩa phép toán hai ngôi
Cho một tập X ≠ ∅ . Một phép toán hai ngôi trên tập X là
một ánh xạ từ bình phương Đềcác X x X ñến tập X
f: XxX → X

( x, y ) a f( x, y

)

Phần tử f( x, y ) ñược gọi là hợp thành của phần tử x với phần
tử y của phép toán ñó, và ñược kí hiệu bằng cách viết x, y theo thứ
tự này và ñặt vào giữa x, y một dấu ñặc trưng cho phép toán, chẳng
hạn xTy, x ⊥ y, x 0 y…
1.1.1.2. Một số tính chất của phép toán hai ngôi
i) Tính kết hợp.
Một phép toán hai ngôi, kí hiệu * , trên tập X gọi là có tính
kết hợp nếu bất kì ba phần tử x, y, z ∈ X, (x * y) * z = x * (y * z).
ii) Tính giao hoán.
Một phép toán hai ngôi * trên X ñược gọi là có tính giao
hoán nếu với mọi x, y ∈ X, x * y = y * x .
iii) Phần tử trung lập.

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.

7

Giả sử trên tập X có một phép toán hai ngôi ký hiệu *. Một
phần tử của X, kí hiệu e, gọi là phần tử trung lập bên trái (tương ứng
trung lập bên phải) ñối với phép toán * nếu ∀ x ∈ X, e * x = x
( tương ứng x * e = x ).
Nếu e vừa là trung lập bên trái, vừa là trung lập bên phải thì
ta nói e là phần tử trung lập ñối với phép toán *.

Nếu phép toán trên X ñược ký hiệu là phép nhân (tương ứng
phép toán cộng) thì phần tử trung lập ñược gọi là phần tử ñơn vị
(tương ứng phần tử không) và ñược ký hiệu là 1X hay 1 (tương ứng
0X hay 0).
iv) Phần tử ñối xứng.
Giả sử trên tập X có phép toán * với phần tử trung lập e
và x là một phần tử của X. Phần tử x’ ∈ X ñược gọi là phần tử ñối
xứng bên trái (tương ứng bên phải) của phần tử x ñối với phép toán
* nếu x’ * x = e (tương ứng x * x’ = e).
Nếu phần tử x’ vừa là phần tử ñối xứng bên trái, vừa là
phần tử ñối xứng bên phải của phần tử x thì ta nói x’ là phần tử ñối
xứng của x ñối với phép toán *.
Từ ñịnh nghĩa trên ta thấy nếu x’ là phần tử ñối xứng của
x ñối với phép toán * thì x cũng là phần tử ñối xứng của x’ ñối
với phép toán ñó, do ñó ta cũng nói x và x’ ñối xứng với nhau ñối
với phép toán *.
Nếu phép toán trên X ñược ký hiệu là phép nhân (tương
ứng phép cộng) thì phần tử ñối xứng của x ñược gọi là phần tử
nghịch ñảo (tương ứng phần tử ñối) và ñược ký hiệu là x - 1 (tương
ứng –x ).

Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.

8

Định nghĩa 1.1.
Cho X là một tập hợp trên ñó có xác ñịnh một phép toán hai

ngôi ký hiệu * ; cặp ( X, * ) ñược gọi là một nhóm nếu:
i) Phép toán * có tính kết hợp .
ii) Phép toán * có phần tử trung lập.
iii) Mọi phần tử thuộc X ñều có phần tử ñối xứng ñối với phép
toán *.
Nếu X là tập vô hạn ta nói X là nhóm vô hạn, nếu tập X là
hữu hạn thì ta nói X là nhóm hữu hạn. Số phần tử của tập X ký
hiệu là: X và gọi là cấp của nhóm X.
Nếu phép toán hai ngôi trong nhóm X có tính giao hoán thi ta
nói X là một nhóm giao hoán hay nhóm aben.
Mệnh ñề 1.1.
Giả sử ( X, ) là một nhóm. Khi ñó:
i) Phần tử trung lập cúa X là duy nhất.
ii) Với mỗi x thuộc X, phần tử nghịch ñảo của x là duy nhất.
Định lý 1.1.
Trong một nhóm, ta có:
i) xy = xz ( yx = zx ) ⇒ y = z.
ii) Phương trình ax = b ( hay xa = b ) có nghiệm duy nhất
x = a-1b ( hay x = ba-1 ).
iii) ( xy )-1 = y-1x-1 , với x, y là hai phần tử bất kỳ của nhóm.
Định nghĩa 1.2.
Giả sử p là một số nguyên tố. Một nhóm có cấp là một lũy
thừa của p ñược gọi là một p – nhóm.

Footer Page 8 of 126.


Header Page 9 of 126.

9

1.1.1.3. Tập con ổn ñịnh
Giả sử trên tập X có phép toán hai ngôi ký hiệu * , và A là
một tập con của X. Tập A gọi là tập con ổn ñịnh của X ñối với
phép toán * nếu : ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A.
Khi A là một tập con ổn ñịnh của X thì trên A có phép toán

∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A; gọi là phép toán cảm sinh từ phép toán
trong X.
Định nghĩa 1.3.
Một tập con ổn ñịnh A của một nhóm X ñược gọi là một
nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm,
và ký hiệu A ≤ X.
Định lý 1.2.
Giả sử A là một tập con khác rỗng của một nhóm X. Các ñiều
kiện sau tương ñương:
i) A là một nhóm con của X.
ii) ∀ x, y ∈ A; xy ∈ A và x-1 ∈ A .
iii) ∀ x, y ∈ A; xy-1 ∈ A.
Định lý 1.3.
Giao của một họ bất kỳ những nhóm con của một nhóm X là
một nhóm con của X .
Định nghĩa 1.4.
Giả sử U là một tập con của một nhóm X. Nhóm con bé nhất
của X chứa U gọi là nhóm con sinh bởi U. Ký hiệu < U >.
Nếu U = { a1, a2,…, an-1, an } thì nhóm sinh ra bởi U và ñược
ký hiệu < a1, a2,…, an-1, an >.

Footer Page 9 of 126.

Header Page 10 of 126.

10

Nếu < U > = X, thì U ñược gọi là một hệ sinh của X , hay
còn nói X ñược sinh ra bởi U.
Định nghĩa 1.5.
Một nhóm X gọi là nhóm xyclic nếu X ñược sinh ra bởi chỉ
một phần tử a ∈ X. Phần tử a gọi là một phần tử sinh của X.
Nhóm xyclic cấp n ñược ký hiệu là Cn.
1.1.1.4. Cấp của một phần tử trong một nhóm
Giả sử a là một phần tử bất kỳ của nhóm X và A là nhóm
con của X sinh bởi a.
Phần tử a có cấp vô hạn nếu A vô hạn, trong trường hợp này
không có một số nguyên dương n nào sao cho an = e. Phần tử a
có cấp m , nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho am = e. Ta
ký hiệu cấp của phần tử a là ord ( a ). Nếu ord ( a ) = m, thì
< a > = { a0 = 1, a1, a2, … , am-1 }, và ta còn viết < a / am = 1 > ,
ord ( a ) = 1 khi và chỉ khi a = e.
1.1.1.5. Định lý Lagrange
Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp của mọi nhóm
con của nó.
Hệ quả 1.1.
Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X là ước
của cấp của nhóm X.
Mệnh ñề 1.2.
Mọi nhóm xyclic ñều là nhóm giao hoán.
Mệnh ñề 1.3.
Giả sử X là nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử a và

Footer Page 10 of 126.


Header Page 11 of 126.

11

b = ak ∈ X. Khi ñó cấp của phần tử b bằng n , trong ñó d là ước
d

chung lớn nhất của k và n.
Định nghĩa 1.6.
Giả sử S là một nhóm con của X. Với mỗi a thuộc X, các tập
hợp aS = { as : s ∈ S } , Sa = { sa : s ∈ S } lần lượt ñược gọi
là lớp kề trái, và lớp kề phải của nhóm con S.
Tập gồm tất cả các lớp kề trái của S trong nhóm X, ñược ký
hiệu X/S và gọi là tập thương của X trên nhóm con S.
Định nghĩa 1.7.
Số các lớp kề trái của S trong X ñược gọi là chỉ số của S
trong X , ký hiệu [ X : S ] = X / S
Nhận xét: Nếu X là nhóm hữu hạn, S ≤ X, thì

X = S.X

S

= S .[ X : S ] .

Định nghĩa 1.8.

Cho ( X,

) là một nhóm, một nhóm con S của X ñược gọi

là nhóm con chuẩn tắc của X nếu aS = Sa, với mọi a ∈ X, ký hiệu
S < X.
Định lý 1.4.
Giả sử S là một nhóm con của X. Các ñiều kiện sau tương
ñương
i) S là chuẩn tắc.
ii) x-1 sx ∈ S với mọi x ∈ X và s ∈ S.
1.1.1.6. Nhóm con tâm
Giả sử X là một nhóm, ký hiệu

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

12

Z(X) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X }. Khi ñó Z(X) là một nhóm
con chuẩn tắc của X. Ta gọi Z ( X ) là nhóm con tâm hay là tâm
của nhóm X.
Rõ ràng Z( X ) là nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm
con của Z( X ) ñều là nhóm con chuẩn tắc của X.
Định lý 1.5.
Nếu S < X thì
i) Quy tắc cho tương ứng cặp ( aS, bS ) với lớp kề trái abS là
một ánh xạ từ X/S × X/S ñến X/S

ii) X/S cùng với phép toán hai ngôi ( aS, bS ) a abS là
một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên S.
1.1.1.7. Nhóm tâm hóa
Cho một nhóm X và a ∈ X. Khi ñó tập con
CX (a) = { ∀x ∈ X / x−1ax = a, ∀a ∈ X } là một nhóm con của nhóm

X và ñược gọi là nhóm tâm hóa của phần tử a trong nhóm X.
Rõ ràng Z ( X ) ≤ C X ( a ) .

Định nghĩa 1.9.
Cho X là một nhóm. Với mọi x, y ∈ X , phần tử
[ x, y ] = x-1y-1xy ñược gọi là giao hoán tử của cặp phần tử x, y.
Nhóm con của X ñược sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử
[x, y], ∀ x, y ∈ X ñược gọi là nhóm con giao hoán tử (hay nhóm
dẫn xuất ) của X, ký hiệu [ X, X ].
Mệnh ñề 1.4.
Cho nhóm X. Ta có: [ X, X ] < X.
Định lý 1.6.
Giả sử X là một nhóm và A ≤ Z ( X ) . Nếu X/A là nhóm

Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.

13

cyclic thì X là một nhóm Aben.
Chứng minh
Vì X/A là nhóm cyclic nên ∃ a ∈ X sao cho X/A = [aA]

Lúc ñó,
∀ x ∈ X , xA ∈ X ⇒ ∃ m ∈ Z : xA = a m A . Suy ra tồn tại
A
h1 ∈ A : x = a m h1
∀ y ∈ X , yA ∈ X

A

⇒ ∃ k ∈ Z : yA = a k A . Suy ra tồn tại

h2 ∈ A : y = a k h2

Vì A ≤ Z ( X ) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X } do ñó
xy = a m h1a k h2 = a m+k h1h2 = a k h2 a m h1 = yx
Vậy X là một nhóm Aben.
1.1.2. Đồng cấu nhóm
Định nghĩa 1.10.
Giả sử X và Y là hai nhóm. Một ánh xạ f : X → Y ñược
gọi là một ñồng cấu nhóm nếu f ( xy ) = f( x )f( y ), ∀ x, y ∈ X.
Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của nhóm
X.
Một ñồng cấu nhóm f với f là một ñơn ánh, (tương ứng toàn
ánh, song ánh) thì ñược gọi là một ñơn cấu, (tương ứng toàn cấu,
ñẳng cấu). Một tự ñồng cấu mà song ánh gọi là một tự ñẳng cấu. Nếu
có một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y thì ta nói hai nhóm X và
Y ñẳng cấu nhau, ký hiệu X ≅ Y.
Định nghĩa 1.11.
Giả sử f : X → Y là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y,
các phần tử trung lập của X và Y ñược kí hiệu theo thứ tự là eX và
eY . Ta kí hiệu

Footer Page 13 of 126.


Header Page 14 of 126.

14

Im f = f ( X )
Kerf = { x ∈ X / f ( x) = eY } = f −1 (eY )

và gọi Imf là ảnh của ñồng cấu f, Kerf là hạt nhân của ñồng cấu f.
Định lí 1.7.
Giả sử X, Y, Z là những nhóm và f : X → Y và g : Y → X
là những ñồng cấu. Thế thì ánh xạ tích gf : X → Z cũng là một ñồng
cấu.
Định lý 1.8.
Nếu f : X → Y là một ñồng cấu nhóm, ta có:
i) f( eX ) = eY
ii) f( x-1 ) = [ f( x ) ]-1 , với mọi x ∈ X.
1.2. QUAN HỆ LIÊN HỢP
1.2.1. Định nghĩa quan hệ liên hợp trong một nhóm
Cho nhóm X và a, x thuộc X. Phần tử xax-1 ∈ X, ñược gọi
là liên hợp của a bởi phần tử x, và ký hiệu ax = xax-1 .
Trong nhóm X ta xác ñịnh một quan hệ hai ngôi R như sau:
a, b ∈ X, a R b nếu ∃ x ∈ X sao cho b = ax.
1.2.2. Những tính chất của quan hệ liên hợp
Mệnh ñề 1.5.
Quan hệ liên hợp ñược xác ñịnh như trên là một quan hệ tương
ñương trên nhóm X.

Mệnh ñề 1.6.
Cho một nhóm X, a ∈ X . Lớp tương ñương chứa phần tử a ,
theo quan hệ liên hợp, ký hiệu Ca . Ta có a ∈ Z ( X ) ⇔ Ca = {a}.

Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.

15

Bổ ñề
Cho X là một nhóm, và a ∈ X khi ñó
i) Tồn tại một song ánh X/CX( a ) → Ca
ii) Z( X ) ≤ CX( a ).
Nếu X là nhóm không giao hoán thì Z( X ) ≤ CX( a )
Mệnh ñề 1.7.
Cho một nhóm X hữu hạn. Với mọi a ∈ X, ta có:
Ca = [ X : C X (a )]

i)

Ca ≤ [ X , X ]
iii) Ca ≤ X / Z( X ) .

ii)

Nếu nhóm X không giao hoán thì

Ca < X / Z ( X ) .

Hệ quả 1.2.
Giả sử X là p – nhóm hữu hạn, a ∈ X ,

k
Ca = p ,

h
t
X / Z( X ) = p , [ X,X ] = p . Lúc ñó, ta có  k ≤ h .

k ≤ t

Khi X là một p – nhóm hữu hạn không giao hoán, ta ký hiệu
jk là số lớp liên hợp gồm pk phần tử.
Nếu X / Z ( X ) = ph và [X, X] = pt , ta có k < h, k ≤ t và
j0 = Z ( X ) .

1.2.3. Lớp liên hợp của một số nhóm quen biết
Như một ví dụ minh họa, phần này sẽ tính lớp liên hợp của một
số nhóm quen biết.
n−1

1/ D 2n = < x, y / x 2 = y2 = 1 , y-1xy = x-1 > ; n ≥ 4
2/ Q2n = < x, y / x

2 n −2
n−1

= y2 ; y-1xy = x −1 > ; n ≥ 4

3/ M 2 = < x, y / x 2 = y2 = 1 ; y-1xy = x1+ 2
n

Footer Page 15 of 126.

n−2

>; n ≥ 4


Header Page 16 of 126.

16
n−1

4/ S 2n = < x, y / x 2 = y2 = 1 ; y-1xy = x 2

n−2

−1

>; n ≥ 4

5/ (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 >
= { xs yt  0 ≤ s, t < 4 }
6/ (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1,
ux = uv >

= { xs vtuh  0 ≤ s, t ≤ 1, 0 ≤ h < 4 }

Bốn nhóm D 2n , Q2n , M 2n , S 2n là nhóm không giao hoán có
cấp 2n, hai nhóm (C1) và (C2) là nhóm không giao hoán cấp 16.
Mệnh ñề 1.8.
Nhóm D 2n , n ≥ 4, ñược chia thành 2n-2 + 3 lớp liên hợp
như sau
•

Ce = { e } ,

•

Cy =

2k

•

Cxy

2k + 1

•

C x j = { x j , x2

•

j0 = 2 ;

{x
= {x

C

= { x2 }
n-2

x

2n-2

}
− 1}

y / k = 0; 2n-2 − 1
y / k = 0; 2n-2
n−1

−j

} ; j = 1; 2n-2 −1

j1 = 2n − 2 − 1 ;

jn − 2 = 2

Mệnh ñề 1.9.
Nhóm Q 2 , n ≥ 4 ñược chia thành 2n-2 + 3 lớp liên hợp như
n

sau

= { x2 }
n-2

•

Ce = { e } , C

•

Cxj = { x j, x2

•

C y = { x 2k y / k = 0; 2n-2 − 1 }

•

Cxy = { x 2k + 1 y / k = 0; 2n-2 − 1 }

Footer Page 16 of 126.

x

2n-2
n −1

−j

}, j = 1; 2 n-2 − 1


Header Page 17 of 126.

17
j1 = 2n − 2 − 1 ;

j0 = 2 ;

•

jn− 2 = 2

Mệnh ñề 1.10.
Nhóm M 2 , n ≥ 4 có Z ( M 2n ) = x 2 và ñược chia thành
n

5.2n-3 lớp liên hợp như sau
•

Cx 2t = { x 2t }, t = 0, 2n-2 − 1

•

C x 2k + 1 =

•

C x k y = { x k y , x k + 2 y / k = 0; 2n-2 − 1}

•

j0 = 2n −2 ;

{x

2k + 1

, x2k

+ 1+ 2n-2

}

/ k = 0, 2 n-3 − 1

n− 2

j1 = 2 n − 2 + 2n −3 = 3.2n −3

Mệnh ñề 1.11.
Nhóm S 2n , n ≥ 4 ñược chia thành 2n-2 + 3 lớp liên hợp như
sau
•

Ce = { e } , C

•

C x 2k = { x 2 k , x 2

•

C x 2k+1 =

•

C 2n-2+ 2k +1 = x2

•

Cy =

•

C xy

•

j0 = 2 ;

{x

{

x

Footer Page 17 of 126.

{x
= {x

2k

= { x2 }
n-2

x

2n-2

n −1

2 k +1

n-2

−2k

, x2

+ 2k +1

}

y , k = 1; 2n - 3 − 1
n−2

− ( 2 k +1)

n−1

, x2

k = 0; 2 n -3 − 1

},
−1} .

−(2k+1)

y / k = 0; 2n-2

2k + 1

},

y / k = 0; 2n-2 − 1

j1 = 2n− 2 − 1 ;

k = 0; 2n-4 −1

}

jn− 2 = 2

Header Page 18 of 126.

18

Mệnh ñề 1.12.
Nhóm (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 >
= { xs yt  0 ≤ s, t < 4 } , ñược chia thành 10
lớp liên hợp như sau
• Ce = { e };

C x 2 = { x 2 };

C y 2 = { y 2 };

•

C x2 y 2 = { x 2 y 2 }

Cx = { x, x 3 }; C y3 = { y 3 , x 2 y 3 };

Cxy = { xy , x3 y }

C xy 2 = { xy 2 , x 3 y 2 }; C xy 3 = { xy 3 , x 3 y 3 }; C y = { y , x 2 y }

•

j0 = 4,

j1 = 6 .

Mệnh ñề 1.13.
Nhóm (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ]
= [ u, v ] = 1, ux = uv >
= { xs vtuh  0 ≤ s, t ≤ 1, 0 ≤ h < 4 }, có 10
lớp liên hợp trong ñó
•

Ce ={e}; Cu2 = { u2 }; Cv ={v};

•

Cx = { x, xv } ;

Cu = {u, vu } ;

Cvu2 = { vu2 }
Cu3 = {u3 , vu3}

Cxu = {xv, xvu}; Cxu2 = {xu2 , xvu2}; Cxu3 = {xu3, xvu3}
•

j0 = 4,

Footer Page 18 of 126.

j1 = 6


Header Page 19 of 126.

19

Chương II
QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC NHÓM
VÀ ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP VÀO QUAN
HỆ ĐỒNG CHẤT
Chương này trình bày quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm,
tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ dài ñối với quan hệ
ñồng chất. Phần cuối của chương minh họa một ứng dụng của lớp
liên hợp vào quan hệ ñồng chất.
2.1. QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC NHÓM
Định nghĩa quan hệ ñồng chất
Cho X là một nhóm, ký hiệu X’ = [ X, X ], X = X/Z( X )
Định nghĩa ánh xạ ∂X: X × X → [ X, X ]
( x , y ) a [ x, y ]
Hai nhóm X và Y ñược gọi là ñồng chất nếu tồn tại hai ñẳng
cấu:
ϕ:

X →Y ,

ψ: X’ → Y’

sao cho biểu ñồ sau giao hoán

ϕ ×ϕ

X ×X

Y ×Y

∂X

[ X, X ]

Footer Page 19 of 126.

∂Y

ψ

[ Y, Y ]


Header Page 20 of 126.

20

nghĩa là ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X .
Mệnh ñề 2.1.
Quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm là một quan hệ tương ñương
Xét ba nhóm không giao hoán sau (xem 1.2.3)
D16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 >
= { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 }
S16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x3 >
= { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 }
Q16 = < x, y  x4 = y2 , y-1xy = x-1 >
= { xs yt  0 ≤ s < 8, 0 ≤ t ≤ 1 }
Mệnh ñề 2.2.
Ba nhóm S16 , Q16 , D16 quan hệ ñồng chất với nhau.

Chứng minh
Từ quan hệ cơ bản trong 3 nhóm S16, Q16, D16 . Ta tính ñược,
Z ( S16 ) ≅ Z ( Q16 ) ≅ Z ( D16 ) = < x 4 > ≅ C2
S16 /Z( S16 ) ≅ Q16 /Z( Q16 ) ≅ D16 / Z( D16 )
4

2

= < x, y | x = y = [ x, y ] = 1 > ≅ D8
[ S16, S16 ] = < [ x, y ] > = < x2 > ≅ C4
[ D16, D16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4
[ Q16, Q16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4
Với X và Y là hai trong ba nhóm trên ta dễ dàng kiểm chứng
ñược biểu ñồ sau giao hoán
ϕ ×ϕ

Y ×Y

X×X
∂X

[ X, X ]

Footer Page 20 of 126.

∂Y

ψ

[ Y, Y ]

Header Page 21 of 126.

21

nghĩa là ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X .
Chẳng hạn, ta xét X = D16 = < x, y x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 >
= { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 } ,
và Y = Q16 = < a, b  a4 = b2 , b-1ab = a-1 >
= { as bt  0 ≤ s < 8, 0 ≤ t ≤ 1 }
Ta có:

Q16 /Z ( Q16 ) ≅ D16 / Z ( D16 ) ≅ D8

và

[D16, D16] ≅ [Q16, Q16]

Ta xét hai ñẳng cấu như sau
ϕ : D16 / Z ( D16 ) → Q16 / Z (Q16 )

ψ:

x

a a

y

a b

[ D16 , D16 ]
[ x, y ]

(

 ∂ o (ϕ × ϕ )  x, y

(ψ o ∂ ) ( x,

→
a

)

)

[ Q16 , Q16 ]
[ a, b ]

(

)

( )

= ∂ (ϕ × ϕ ) x, y  = ∂ a, b = [ a, b ]



(

)

y = ψ  ∂ x, y  = ψ ( [ x, y ] ) = [ a , b ]



⇒ ∂ o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂

nghĩa là biểu ñồ sau giao hoán
ϕ ×ϕ
D16 Z ( D16 ) × D16 Z ( D16 )

Q16 Z ( Q16 ) × Q16 Z ( Q16 )

∂

[ D16, D16 ]

Footer Page 21 of 126.

∂

ψ

[ Q16, Q16]

Header Page 22 of 126.

22

Vậy hai nhóm D16 và Q16 ñồng chất với nhau.
Định lý (Tính bất biến của số lớp liên hợp ñối với quan hệ ñồng
chất)
Giả sử X và Y là hai p-nhóm hữu hạn có cùng cấp, và ñồng
chất với nhau. Kí hiệu jk (X) là số lớp liên hợp có pk phần tử của
nhóm X. Khi ñó jk( X ) = jk( Y ), k = 0, 1, 2, …
Chứng minh
Giả sử X và Y là hai p-nhóm hữu hạn ñồng chất với nhau,
khi ñó tồn tại hai ñẳng cấu ϕ : X → Y , ψ : X ' → Y ' sao cho
ϕ ×ϕ

Y ×Y

X×X

∂X

∂Y
X’

Y’

ψ

, ta có C X ( x) ≤ X
∀x ∈ X , ký hiệu C X ( x) = C X ( x )

Z (X )
a ∈ X , ñặt b = ϕ ( a ) ∈ Y , b ∈ Y . ∀x ∈ C X ( a ) , y =

và Y ñồng chất nên

[ x, a ]

= 1X ⇒

[ y, b ]

Footer Page 22 of 126.

)

= 1 ⇒ y ∈ CY (b) ⇒ ϕ C X (a) ⊂ CY (b) .

Ngược lại, với v ∈ CY (b) . Khi ñó ∀u ∈ ϕ
sao cho ϕ (u ) = v

(

ϕ ( x ) . Do X

−1

(v )

⇒ u ∈ CX ( a )

Header Page 23 of 126.

23

(

Suy ra CY (b) ⊂ ϕ (CX (a)) . Vậy
⇒ C X (a ) = CY (b)

⇒ CX (a) = CY (b)

)

ϕ C X (a) = CY (b)

vì X, Y hữu hạn và ϕ là song ánh
vì Z ( X ) = Z (Y ) ⇒ Ca = Cb

Do X và Y là p-nhóm hữu hạn nên jk( X ) = jk( Y ), k = 0,1,2,…
2.2. ỨNG DỤNG CỦA CÁC LỚP LIÊN HỢP ĐỐI VỚI QUAN
HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC p-NHÓM HỮU HẠN
Xét hai nhóm không giao hoán cấp 26 sau ñây ( xem [4] )
X1 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, 4 , [ x1, x2 ] = a,
[ x3, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [ a, xi ] = 1,
i = 1, 4 , [ xi, xj ] = 1, ∀(i, j ) ≠ (1, 2), (3, 4) >

= { as bt x1i x2j x3k x4h / 0 ≤ s, t, i, j, k, h ≤ 1 }
X2 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, 4 , [ x1, x2 ] = a,
[ x1, x3 ] = [ x2, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [a, xi] = 1,

i = 1, 4 , [ xi, xj ] = 1, ∀(i , j ) ≠ (1, 2), (1, 3), (2, 4) >

= { as bt x1i x2j x3k x4h / 0 ≤ s, t, i, j, k, h ≤ 1 }.
Mệnh ñề 2.4.
i) Nhóm X1 ñược chia thành 25 lớp liên hợp như sau
• Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab }

• C xm = { xm , axm }, m = 1, 2 , C xn = { xn , bxn }, n = 3, 4 ,

C x1x2 = { x1 x2 , ax1 x2 } , C x x = { x3 x4 , bx3 x4 } ,
3 4

Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Cbx1 x2 = { bx1 x2 , abx1 x2 } ,

Footer Page 23 of 126.


Header Page 24 of 126.

24

Caxn = { axn , abxn } , Cbxm = { bxm , abxm }

• Cxm xn = { xm xn , axm xn , bxm xn , abxm xn } , ∀( m, n) ≠ (1, 2), (3, 4)

Cxu xv x j = {xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j };

C x1 x2 x3 x4

1 ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j.

= { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 }

• j0 = 4 , j1 = 12 , j2 = 9
ii) Nhóm X2 ñược chia thành 22 lớp liên hợp như sau
• Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab }
• C xn = { xn , bxn }, n = 3, 4 , Cx3x4 = { x3 x4 , bx3 x4 } ,
Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Caxn = { axn , abxn }

• C xm = { xm , axm , bxm , abxm }, m = 1, 2
• C x x = { xu xv , axu xv , bxu xv , abxu xv } u = 1, 2 , v = 2, 4 , u ≠ v
u v

Cxu xv x j = { xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j },
1 ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j

Cx1x2 x3 x4 = { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 }
• j0 = 4,

j1 = 6,

j2 = 12

Từ Mệnh ñề trên ta thấy j0(X1) = j0(X2) = 4,
j1(X1) = 12 ≠ j1(X2) = 6 , j2(X1) = 9 ≠ j2(X2) = 12 do ñó theo
Định lý 2.1.2 ta có hệ quả sau
Hệ quả
Hai nhóm X1 và X2 không ñồng chất với nhau.

Footer Page 24 of 126.

Header Page 25 of 126.

25
KẾT LUẬN
----

----

Luận văn “Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ ñồng chất trên
các p - nhóm” ñã thực hiện ñược các nội dung sau:
1. Khảo sát các tính chất của quan hệ liên hợp trong một
nhóm, và xác ñịnh ñược lớp liên hợp của một số p-nhóm, cụ thể là
các nhóm: D 2n , Q2n , M 2n , S 2n , ( C1 ) và ( C2 )
2. Khảo sát quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm, và cho một
số ví dụ minh họa.
3. Chứng minh tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ
dài ñối với quan hệ ñồng chất trên tập các p-nhóm hữu hạn.
4. Đưa ra một ví dụ thể hiện ứng dụng của quan hệ liên hợp
ñối với quan hệ ñồng chất trên tập các p-nhóm hữu hạn.
Hy vọng rằng nội dung của ñề tài còn tiếp tục ñược hoàn
thiện và mở rộng nhiều hơn nữa, nhằm giải quyết bài toán phân loại
ñồng chất các p-nhóm hữu hạn.

Footer Page 25 of 126.