Ảnh hưởng của sóng điện từ lên hệ số hall và từ trở hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với cơ chế tán xạ điện tử phonon âm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------

ĐOÀN THỊ HẰNG

ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ LÊN HỆ SỐ HALL VÀ
TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã Số

: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Quang Báu

Hà Nội – 2016


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG
TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI. ....................................... 4
1.1 Dây lượng tử. ........................................................................................................ 4
1.1.1 Khái quát dây lượng tử. ...................................................................................... 4
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử. .......................... 4
1.2 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. ..................................... 6
CHƢƠNG II: ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ LÊN HỆ SỐ HALL VÀ

TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT (CƠ CHẾ
TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM ) ................................................................... 17
2.1. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm. ................................. 17
2.2. Hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn với
cơ chế tán xạ điện tử- phonon âm. .............................................................................. 24
CHƢƠNG III: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN CHO DÂY
LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN GaAs/GaAsAl. .... 29
3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử hình chữ nhật theo
phương x khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho trường
hợp tán xạ điện tử phonon âm ................................................................................... 30
3.2 .Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử hình chữ nhật
theo phương y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho
trường hợp tán xạ điện tử phonon âm ....................................................................... 31
3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử hình chữ nhật
theo phương x,y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ cho
trường hợp tán xạ điện tử phonon âm ....................................................................... 32
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 34
PHỤ LỤC ................................................................................................................. 35


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1. Các tham số vật liệu.................................................................................31
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử hình chữ
nhật theo phương x khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ
cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm…………………………………………32
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử hình chữ
nhật theo phương y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ

cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm…………………………………………33
Hình 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào kích thước của dây lượng tử hình chữ
nhật theo phương x,y khi có mặt sóng điện từ tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ
cho trường hợp tán xạ điện tử phonon âm................................................................34

3



MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối
(bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều là đặc trưng cho thành tựu
của khoa học vật lý vào cuối những năm 80 của thế kỷ 20. Đó là, các bán dẫn hai
chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …);
bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn
không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu).
Nếu ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể
(cấu trúc 3 chiều) thì trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ một chiều và hệ
không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên
tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ. Trường điện thế phụ này
cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của
hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần). Tuỳ thuộc vào trường điện thế phụ
tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều
(giếng lượng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây lượng tử).
Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển động của hạt
mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt (hạt chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều
không có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện theo hướng
này bị lượng tử hoá. Chính sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến
sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, tenxơ độ dẫn,

tương tác điện tử với phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng
mới, ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có [1,2]. Việc tạo ra các linh kiện, thiết
bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất
cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử nói riêng là nhờ vào
các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều. Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng
to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ và trong thực tế
cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các
nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước.

1


Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối xem xét dưới sự ảnh hưởng của một sóng
điện từ đã được nghiên cứu rất đầy đủ và cụ thể bằng phương pháp phương trình
động cổ điển Boltzmann và phương trình động lượng tử [10,12,13]. Tuy nhiên, theo
chúng tôi được biết thì các nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng này trong các hệ thấp
chiều ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh vẫn còn bỏ ngỏ. Trong các hệ thấp chiều thì
năng lượng và số sóng của hạt bị lượng tử không chỉ là do thế giam giữ nội tại của
vật liệu mà còn là do trường ngoài, chẳng hạn như do từ trường mạnh (xuất hiện
mức Landau). Trong điều kiện nhiệt độ thấp thì tính lượng tử thể hiện càng mạnh ở
nhiệt độ thấp, đòi hỏi phải sử dụng các lý thuyết lượng tử. Lý thuyết lượng tử về
hiệu ứng Hall trong Hố lượng tử và siêu mạng dưới ảnh hưởng của một sóng điện từ
mạnh đã được nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động lượng tử. Hai
trường hợp được xem xét là: từ trường nằm trong mặt phẳng tự do của electron và
từ trường vuông góc với mặt phẳng tự do của electron với hai loại tương tác là
tương tác electron-phonon quang và electron-phonon âm [5, 6, 7, 8, 9].
Chúng ta biết rằng, trong số các bán dẫn thấp chiều, bán dẫn dây lượng tử với
các dạng thế khác nhau rất được chú ý. Bán dẫn có cấu trúc dây lượng tử là hệ điện
tử một chiều. Tuy nhiên, các nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng này cho hệ thấp
chiều nói chung và hệ một chiều nói riêng dưới ảnh hưởng của sóng điện từ vẫn còn

chưa được đầy đủ. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài: “Ảnh hƣởng của sóng điện từ
lên hệ số Hall và từ trở Hall trong giây lƣợng tử hình chữ nhật với cơ chế tán
xạ điện tử - phonon âm”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử. Viết
Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật, sau đó xây
dựng phương trình động lượng tử cho điện tử và giải phương trình để tìm ra biểu
thức giải tích cho ten xơ độ dẫn Hall và hệ số Hall. Biểu thức này chỉ ra rằng độ
dẫn Hall phụ thuộc vào từ trường, nhiệt độ, tần số và cường độ sóng điện từ cũng
như các đại lượng vật lý đặc trưng cho dây lượng tử hình chữ nhật. Sử dụng
chương trình Matlab để tính toán số cho dây lượng tử hình chữ nhật cụ thể
GaAs/GaAsAl. Đây là phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều.
2


3.Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
 Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật để làm
rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều.
 Đối tượng nghiên cứu: dây lượng tử hình chữ nhật.
 Phạm vi nghiên cứu: Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử
hình chữ nhật với trường hợp tán xạ điện tử phonon âm.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này được
chia làm ba chương:
CHƢƠNG I: Tổng quan về dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng
Hall trong bán dẫn khối.
CHƢƠNG II: Ảnh hưởng của sóng điện từ lên hệ số Hall và từ trở Hall trong
dây lượng tử hình chữ nhật( Cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm).
CHƢƠNG III: Kết quả tính toán số và thảo luận cho cho dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vô hạn GaAs/GaAsAl.

Các kết quả thu được trong luận văn góp phần vào kết quả gửi công bố một
công trình quốc tế: J.Physics (2016).

3


CHƢƠNG I:
TỔNG QUAN VỀ DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ
HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI.
Trong chương đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lược về dây lượng tử và
hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lượng tử. Từ Hamiltonnian của hệ
điện tử - phonon, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đưa ra công thức
tenxo độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối.
1.1 Dây lƣợng tử.
1.1.1 Khái quát dây lƣợng tử.
Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó,
chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có
một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được
gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên
thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt.
Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa
hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên
một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn
trên hệ khí điện tử hai chiều.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong dây lƣợng tử.
Mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các
công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong
dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình Schrodinger một
điện tử cho hệ một chiều



H   
  V (r )  U (r )    E
 2m *

2

2

(1.1)

Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng giam
giữ điện tử do sự giảm kích thước. Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích
thước ba trục được giả thiết lần lượt là Lx , Ly , Lz ( Lz , Lx , Ly ) . Ta luôn giả thiết z là
chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện

4


tử bị giam giữ trong hai chiều còn lại(x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng
hiệu dụng của điện tử là m*.

0 khi 0  x  Lx ; 0  y  Ly

V 


 khi

x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly

a, Hàm sóng và phổ năng lƣợng của electron trong dây lƣợng tử hình
chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi không có trƣờng ngoài:
Trong phần dưới đây, chúng ta sẽ xét trường hợp đơn giản nhất: hố thế bằng
không ở trong và vô cực ở ngoài dây. Khi đó, hàm sóng và phổ năng lượng điện tử
được viết dưới dạng:
 1 ikz 2
 N y 
 n x  2
e
sin 
sin 



Lx
  Lz
 Lx  Ly
 Ly 

0

 n , N x , y , z 

 

 n ,l k 

(1.2)

k 2  2 2  n2 l 2 

  
2m* 2m*  L2x L2y 
2

Trong đó:
n, l: là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hoá x và y;
k   0, 0, kz  : là véc tơ sóng của điện tử.

Lx, Ly: là các kích thước của dây theo hai phương Ox, Oy.
Thừa số dạng cho bởi
I n ,l , n ' ,l '  q  



32 4  qx Lx nn ' 

1   1

 q L   2 2  q L 
x x
 x x
4

32 4  q y Ly ll ' 

2

1   1

 q L   2 2  q L 
y y
 y y
4

2

2

l

2

l l '

2

n

2

n  n'

cos  qx Lx 



2

 n '2    4  n 2  n '2  


cos  q y Ly 





2
 l '2    4  l 2  l '2  


b, Hàm sóng và phổ năng lƣợng của electron trong dây lƣợng tử hình
chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi có từ trƣờng:
Giả sử dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn đặt trong từ trường


B  (0, B,0) và điện trường không đổi E1  (0,0, E1 ) dưới ảnh hưởng của trường laser có

5






véc tơ điện trường E( t )  E0 sin( t ) vuông góc với phương truyền sóng, trong đó
Eo và  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ.

Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây lượng tử hình chữ nhật
khi có mặt từ trường có dạng:

 n,N x, y , z 

 n ,l

 1 ikz 2
 N y 
 n x  2
e
sin 
sin




Lx
  Lz
 Lx  Ly
 Ly 

0

k2  2 2
k 

2m*
2m*

 

2

khi

0  x  Lx ;0  y  Ly

khi

x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly

 n2 l 2 
1
1  eE1 
 2  2   c ( N  ) 


2
2m*  c 
 Lx Ly 

2

Trong đó m là khối lượng hiệu dụng của điện tử; n, l là các số lượng tử của
hai phương bị lượng tử hóa x và y; k và q lần lượt là véctơ sóng của điện tử và
phonon;
Lx và Ly tương ứng là các kích thước của dây lượng tử theo phương x và y;
C q là thừa số tương tác giữa điện tử – phonon; an,l ,k ( an ,l ,k ) là toán tử sinh (hủy) điện

tử; bq ( bq ) là toán tử sinh (hủy) phonon âm trong; A(t ) 

c
E0 sin(t ) là thế véc tơ


của sóng điện từ, với c là vận tốc ánh sáng trong chân không. I n,l ,n ',l ' (q) là thừa số
dạng của điện tử; c là tần số Cyclotron
1.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu tổng quát về ảnh hưởng của sóng điện từ
lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ trường
theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy. Hiện tượng
này được gọi là Hiệu ứng Hall cổ điển.

6


z

B

y

j

2

v

(- e)
x

b
I

S

EH

1

UH  V2  V1
B
ev
F  ev  B

Hình 1.1. Sơ đồ quan sát hiệu ứng Hall trong một thanh vật dẫn

Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn

khối. ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường E1  (0,0, E1 ) và từ trường không

đổi B  (0, B,0) , vuông góc với nhau. Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng
bởi vecto cường độ điện trường E  (E0sin  t,0,0) (với Eo và  tương ứng là
biên độ và tần số của sóng điện từ).
Trong mục này, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán
dẫn khối khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc với sự có mặt của một
sóng điện từ đặc trưng bởi vectơ cường độ điện trường E  E0sint (với E0 và 
tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ).

Hamiltonian của hệ electron – phonon trong bán dẫn khối trong biểu diễn
lượng tử hóa lần hai khi đó có dạng:

H 


1
2m

C



 (k 

k


q ak  q ak

k ,q

e
A(t ) )ak ak 
c

(bq  bq ) 



q bqbq 

q

 ( q ) a


a
k q k

q

7

(1.3)


Trong công thức (1.3):
ak (ak ) là toán tử sinh (huỷ) điện tử với vectơ xung lượng k , bq (bq ) là toán tử

sinh ( huỷ) phonon với vectơ sóng q ; Cq là hằng số tương tác điện tử - phonon;
m là khối lượng điện tử và e là điện tích của điện tử; A( t ) là thế vectơ và tương
ứng với sóng điện từ (bức xạ laser):

E  E 0 sin t  

1 d A( t )
c dt

(1.4)

3
 (q) là thế vô hướng:  (q)  (2 i) (eE  c [q,h])


 ( q)
q

Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử (hạt fermion) tồn tại các hệ thức giao hoán sau:

a , a   a a  a a  
a , a   a , a   0
i


i


k


k

i


k


k

i

i

i ,k

(1.5)

k

Giữa các toán tử sinh, hủy phonon (hạt boson) tồn tại các hệ thức sau:

b , b   b b  b b  
b , b   b , b   0
i


i


k

i


k


k


k i

i

i ,k

(1.6)

k

Ta có toán tử số hạt của điện tử là: n p  a p a p
Sử dụng phương trình chuyển động của toán tử thống kê hay ma trận trận
mật độ ta được phương trình động lượng tử cho điện tử như sau:

ink (t)
t



i ak ak

  ak ak , H 

t

(1.7)

Tính các giao hoán tử ở vế phải của (1.7) với Hamiltonian H:




* Tính số hạng thứ nhất:  ak ak ,




1
e
 (k ' A(t ) )ak'ak ' 

2m k '
c


Sử dụng (1.5) ta có biến đổi sau









 ak ak , ak'ak '   ak ak ak'ak '  ak'ak 'ak ak  ak  k ,k '  ak'ak ak '  ak'  k ,k '  ak ak ' ak
 ak ak ' k ,k '  ak ak'ak ak '  ak'ak  k ,k '  ak'ak ak 'ak  ak ak ' k ,k '  ak'ak  k ,k '
8

(1.8)






Vậy: ak ak , ak 'ak '   ak ak ' k ,k '  ak 'ak  k ,k '

- Thay kết quả vào số hạng thứ nhất ta có:
 
 1
1
e
e
1
e



 ak ak , 2m   (k ' c A(t ) )ak 'ak '   2m   (k ' c A(t ) )ak ak' k ,k '  2m   (k ' c A(t ) )ak 'ak  k ,k '
k'
k'
k'


1
e
1

e
k=k'
(1.9)

 (k ' A(t ) )ak ak    (k ' A(t ) )ak ak  0;  k ,k '   1,0, khi

khi k  k'
2m k '
c
2m k '
c

 

1
e
 (k ' A(t ) )ak'ak '   0
Vậy ta có:  ak ak ,

2m k '
c


 


* Tính số hạng thứ hai:  ak ak ,  q bq bq 
q



Ta có:

ak ak , bqbq   ak ak bqbq  bqbq ak ak  ak ak bqbq  ak ak bqbq  0
Vậy ta có:

(1.10)

 


 ak ak ,  q bq bq   0
q




* Tính số hạng thứ ba: ak ak ,

C a


q k  q ak (bq

 bq )

k ,q

Sử dụng (1.5) ta có biến đổi sau:












a a , a a   a a a  a  a  a a  a  a  
 k k k 'q k '  k k k 'q k ' k 'q k ' k k k k ,k 'q  ak 'q ak ak '  ak 'q  k ,k '  ak ak ' ak
 ak ak ' k ,k 'q  ak ak'q ak ak '  ak'q ak ak 'ak  ak'q ak  k ,k '  ak ak ' k ,k 'q  ak'q ak  k ,k '
(1.11)

Vậy: ak ak , ak'q ak '   ak ak ' k ,k 'q  ak'q ak  k ,k '


- Thay kết quả vào số hạng thứ 3 ta có:

 






a
a
,

C
a
a
(
b

b
)
 k k  q k q k q  q    Cq ak ak ' k ,k 'q  ak 'q ak  k ,k ' bq  b q 
k ,q

 k ,q



Lấy tổng theo k ' với lưu ý:



 k,k'q  1 khi k  k ' q hay
 k ,k '  1 khi k  k '

9

k ' k q

(1.12)


Thay vào và sử dụng (1.5) ta được:

 



 

 ak ak ,  Cq ak '  q ak '  bq  b q     Cq ak a p  q  ak  q a p
q
k ', q






 C a a

  Cq ak ak q bq  ak ak  q bq  ak q ak bq  ak q ak bq
q


k

q


k q q

b  ak  q akbq  ak q ak bq  ak ak q bq

q



  Cq  ak ak q bq  ak q ak b q

q

 
*

 b

q

 bq 




(1.13)

 

 ak q ak bq  ak ak q b q

 
*

Vậy ta có:

 



*
*
a
a
,
C
a
a
b

b
 k k  q k 'q k '  q  q    Cq  Fk q ,k ,q (t)  Fk ,k q ,q (t)  Fk ,k q ,q (t)  Fk q ,k ,q (t)
k ', q

 t q






Ở đây ta kí hiệu: Fk1 ,k2 ,q (t)  ak1 ak2 bq t

Vì chúng ta đang xét phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn

khối nên tương tác giữa electron – electron là rất nhỏ so với tương tác giữa các hạt
khác loại. tương tác này chỉ được tính đến trong tương tác plasma rắn
Vậy ta có phương trình:

i

nk (t)
t

  Cq  Fk  q ,k ,q (t)  Fk*,k  q , q (t)  Fk ,k q ,q (t)  Fk*q ,k , q (t)  (1.14)
q

Để giải phương trình (1.14) ta tính Fk1 ,k2 ,q (t) theo phương trình:

i

 Fk ,k
1

2 ,q

(t)

t

  ak ak bq , H 
 1 2


(1.15)

t

Tương tự như trên ta có:

i

 Fk ,k ,q (t)
1

2

t

e


 i  (k1 )   (k2 )  q  * (k1  k2 ) A(t)  Fk ,k ,q (t) 
mc

 1 2





 i  Cq1  ak  q ak bq1  bq1 bq
 1 1 2
q

t


k1

 a ak

1

10

2  q1




 q1

bq bq1  b





t

(1.16)


Lưu ý (1.15) là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, không thuần nhất của

hàm Fk1 ,k2 ,q (t) . Để giải phương trình này trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần
nhất:

 Fk ,k ,q (t)

i

1

2

t

e


 i  (k1 )   (k2 )  q  * (k1  k2 ) A(t)  Fk ,k ,q (t)
mc

 1 2

(1.17)

Dùng phương pháp phân li biến số, ta có:
t





 Fk ,k ,q (t1 )

e


 i   (k1 )   (k2 )  q  * (k1  k2 ) A(t)  dt1
Fk ,k ,q (t1 )
mc

 
1 2
1

0

2

t

(1.18)

t

e
ln Fy ,k , y ,k ,q (t1 )  i  (k1 )   (k2 )  q   dt1  *  (k1  k2 ) A(t1 )  dt1
1 1 2 2

m c 

t

Sử dụng điều kiện ban đầu (điều kiện đoạn nhiệt) : lnFk1 ,k2 ,q (t)



(1.19)

0

Ta có nghiệm:
t
t


e


Fk ,k ,q (t)  M exp i  (k1 )   (k2 )  q   dt1  *  (k1  k2 ) A(t1 )  dt1  (1.20)
1 2
m c 




trong đó M là hằng số. Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta giả thiết M
phụ thuộc thời gian M(t) : F (t)  M(t) F(t)


F (t)
 M(t)

F (t)

F(t)  M (t)
t
t
t

(1.21)

Thay (1.19) vào (1.21) ta có:
 M(t)
F (t)
e


F(t)  M (t)
 i  (k1 )   (k2 )  q  * (k1  k2 ) A(t)  M (t) F(t) 
t
t
mc







 i  Cq1  ak  q ak bq1  bq1 bq
 1 1 2
q1

Thay

 Fk ,k ,q (t)
1

2

t

t

 ak ak
1

2  q1



bq bq1  bq1



t




(1.22)

từ (1.17) vào số hạng thứ hai ở vế trái ta sẽ giản ước được

số hạng thứ nhất ở vế phải, do đó:

11


M (t)

F (t)
 i  Cq1  ak  q ak bq1  bq1 bq
 1 1 2
t
q1





t

 ak ak
1



bq bq1  bq1

2  q1



t

 (1.23)


Thay F(t) từ (1.19) vào ta có:
t
t


 M(t)
e


exp i  (k1 )   (k2 )  q   dt1  *  (k1  k2 ) A(t1 )  dt1  
t
m c 








 i  Cq1  a p1  q1 a p2 bq1  bq1 bq

q

t

 ak ak
1

2  q1





bq bq1  bq1

1

t




(1.24)

Lấy tích phân hai vế ta được:
t

M(t) 

 i C



q1

q1





 a  a b  b b
 q1
q
 k1  q1 k2 q1

 ak ak
1

t2

2  q1



bq bq1  bq1



t2




t2
t


e 2
 

 exp i  (k1 )   (k2 )  q   dt1  *  (k1  k2 ) A(t1 )  dt1  dt2
m c 






(1.25)

Thay (1.25) vào (1.23) ta thu được biểu thức cho F(t):
t

F (t) 

 i C



q1

q1





 a  a b  b b
 q1
q
 k1  q1 k2 q1

t2

 ak ak
1

2  q1



bq bq1  bq1



t2




t2
t


e 2


 exp i  (k1 )   (k2 )  q   dt1  *  ( k1  k2 ) A(t1 )  dt1  dt2
m c 





t
t


e
 exp i  (k1 )   (k2 )  q   dt1  *  ( k1  k2 ) A(t1 )  dt1 
m c 




t

Fk ,k ,q (t) 
1

2

 i C



q1

q1





 a  a b  b b
 k1  q1 k2 q1  q1 q

t2

 ak ak
1



b bq1  bq1

q
2  q1

t



e
 


 exp i  (k1 )   (k2 )  q   t  t2   *  (k1  k2 ) A(t1 )  dt1  dt2
m c t2





12



(1.26)


t2 


(1.27)


Thay vào (1.14) ta có:
nk (t)
t

t

i

2

 C C  
q

q1

q , q1







ak q  q ak bq1  bq1 bq
1

t2



 ak q ak q bq bq1  bq1
1




t2 


t


ie
 exp i  (k  q )   (k )  q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1  dt2 
m c t2



i 2  Cq Cq*1
q , q1

t







 a a
bq1  bq1 bq
k q k q

 

1

*
t2



 ak ak  q  q bq bq1  bq1
1



*
t2




t


ie
 exp i  (k )   (k  q )   q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1  dt2 
m c t2



t

i

2

 C C  
q

q , q1

q1







ak q ak  q bq1  bq1 bq
1

t2



 ak ak  q  q bq bq1  bq1
1





t2 




*

t


ie


 exp i  (k )   (k  q )  q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1  dt2 
m c t2




t





i  Cq Cq1   ak q  q ak bq1  bq1 bq

1
q , q1
 

2

*


k q

 a

t2




 q1

ak  q bq bq1  b
1


t2 


t


ie


 exp i  (k  q )   (k )  q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1  dt2

m c t2





Suy ra:

nk (t)
t

  Cq
q

2

t

 dt



2



 a  a b  b b
 k k   q q  q

t2

 ak q ak  q bq  b q  bq   
t2 


t


ie
 exp i  (k  q )   (k )  q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1  
m c t2



  ak ak  bq bq  b q bq 


t2

 ak q ak  q  bqbq  bq b q   
t2 


t


ie
 



 exp i  (k )   (k  q )   q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1  
m c t2





13

(1.28)


  ak q ak  q  b q  bq  bq


t2

 ak q ak  q bq  b q  bq 



t2 

t


ie


 exp i  (k )   (k  q )  q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1  

m c t2





  ak ak  bq bq  bq b q 


t2

 ak q ak  q  bq bq  b q bq 



t2 

(1.29)

t


ie


 exp i  (k  q )   ( k )  q  (t  t 2 )  *   k A(t1 )  dt1 
m c t2







Tính :
 ie t

 eE k

 eE k

exp   k  A(t1 )dt1   exp  i 0 2 (sin  t  sin  t2 )   exp i 0 2 (sin  t2  sin( t )) 
 mc t2

 m

 m


Sử dụng: exp(iz sin  ) 



 J (z) e 
il

(1.30)

l

l 

 ie t
    eE k   eE k 
exp  
k  A(t1 ) dt1     J s  o 2 J l  o 2  exp( is  t) exp(il  t 2 ) 
 mc t2
 s  l   m   m 
 eE k
   Js  o 2
s  l 
 m




  eEo k
J l 
2
  m


 exp i (l s) t  il (t  t 2 ) 


(1.31)

Thay (1.30) vào (1.29) và sử dụng:

ak ak  nk (t) , bqbq  Nq (t) , bq bq  Nq (t)  1
t

t
t

(1.32)

Ta có:
nk (t)

 eE1

 (t)
t

nk (t)
k

   Cq
q



2





 J

s  l 

s

 eEo q   eEo q 
J
exp i (l s) t  

2  l 
2 
 m   m 





  dt '  nk (t') N k  nk  q (t')(N q  1)  exp i  (k  q )   ( k )  q  l  i  (t  t')




(t') N  n (t')(N  1)  exp i  (k )   (k  q)    l   i  (t  t')
(t')(N  1)  n (t') N  exp i  (k )   (k  q)    l  i  (t  t')

  nk (t')(N q  1)  nk  k (t') N q  exp i  (k  q )   (k )  q  l   i  (t  t')
  nk  q
  nk  q

q

q

q

k

k

q

q

q

14

(1.33)


Sau đây ta sẽ giả thiết tương tác electron – phonon âm là trội. Nếu tán xạ là
đàn hồi thì ta có thể bỏ qua năng lượng của phonon trong đối số của các hàm delta.
Giải phương trình (1.33) đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối xứng ta sẽ thu
được phương trình:
nk (t)
(t)

 eE1

nk (t)
k



 2  Cq (2 N q  1)  J l2  q (n k  q  n k ) ( k q   k  l)
2

(1.34)

l 

q

Bổ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được:
nk (t)
(t)



 eE1  c  k , h 



nk (t)
k



 2  Cq (2 N q  1)  J l2  q (n k q  n k ) ( k q   k  l)
2

q

(1.35)

l 

Phương trình (1.35) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử
trong bán dẫn khối với trường hợp tán xạ điện tử phonon âm khi có mặt trường
điện, từ trường không đổi và trường bức xạ cao tần.
Nhân hai vế của (1.35) với ek  (   k ) / m và lấy tổng hai vế theo k ta
được phương trình:
R( )

 c 
 h  R( )   Q( )  S ( )
 ( )

(1.36)

trong đó:

R( )  
k

Q( )  
S ( )  

2 (

k q

e
kn δ(ε  ε k );
m k

 n
e
k  F k
m k  k

(1.37)


 δ(ε  ε k )


(1.38)


2
2 e
2
Cq (2 N q  1)  J l2  q  (n k  q  n k )

m q
l 



  k )   ( k  q   k  )   ( k  q   k  )  (   k )

Giải phương trình (1.36) ta thu được:
R   

  
Q     S     c     h , Q     S    


1  c2 2  

 

 c2 2 h h , Q     S   

 

15

(1.39)


Hàm R    có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” được chuyển dời bởi các electron
với năng lượng  . Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức:


j   R    d  ......

(1.40)

0

Hay: J i   ik E1k
Ta rút ra biểu thức của tensor độ dẫn  ik :
 ik 



e2 n 
 ( )
 il  c ( ) ilm hm  c2 2 ( ) hi hl  lj 

  ij 
2 2
m 
1  c  ( )





 ( )
 ( )

 jk  c ( ) jkp hp  c2 2 ( )h j hk   


2 2
2 2
1  c  ( )
 1  c  ( ) 
  il  c ( ) ilm hm  c2 2 ( )hi h j lj  jk  c ( ) jkp hp  c2 2 ( )h j hk 



2

(1.41)

*
3/ 2
Trong đó n  (2m  F )
2

2

Từ biểu thức tổng quát của tensor độ dẫn ta có thể suy ra được biểu thức của
hệ số Hall RH theo các công thức:
 xz (B)
1
RH 
2
B  zz (B)   2  B 
xz

(1.42)

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, ta thu nhận được biểu thức
tenxo độ dẫn Hall từ đó xác định được công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối.
Theo (1.41)và (1.42)ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ số
Hall RH phụ thuộc vào biên độ E0, tần số Ω, bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ thuộc
vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với B2 và phụ thuộc vào điện trường không đổi E1.

16


CHƢƠNG II:
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ LÊN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ
HALL TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT (CƠ CHẾ TÁN
XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM )
Trong chương này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng
tử cho hàm phân bố điện tử trong sự lượng tử hóa lần thứ hai để nghiên cứu hiệu
ứng Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Cụ thể chúng tôi
tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế
cao vô hạn trong trường hợp có cơ chế tương tác giữa điện tử - phonnon âm dưới
sự ảnh hưởng của sóng điện từ. Chúng tôi nhận được biểu thức giải tích cho hệ số
Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Hệ số
Hall và từ trở Hall này không những phụ thuộc phi tuyến vào các thông số của dây
lượng tử như: chiều dài dây L, kích thước dây (Lx và Ly) mà còn phụ thuộc phi
tuyến mạnh vào số sóng q, tần số sóng điện từ, từ trường và nhiệt độ của hệ T. Sự
phụ thuộc của hệ số Hall và từ trở Hall vào độ lớn của từ trường ngoài trong vùng
từ trường yếu tại nhiệt độ cao và vùng từ trường mạnh tại nhiệt độ thấp cũng đã
được xem xét.
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong dây lƣợng tử hình
chữ nhật hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm.
Giả sử dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn đặt trong từ trường


B  (0, B,0) và điện trường không đổi E1  (0,0, E1 ) dưới ảnh hưởng của trường laser có




véc tơ điện trường E( t )  E0 sin( t ) vuông góc với phương truyền sóng, trong đó
Eo và  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ.

Khi đó, hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây lượng tử hình
chữ nhật khi có mặt từ trường có dạng:

17


khi

 1 ikz 2
 N y 
 n x  2
e
sin 
sin 


 Ly 
Lx
  Lz
 Lx  Ly



0
0  x  Lx ;0  y  Ly

khi

x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly

 n ,N x , y , z 

(2.1)

k x2  2 2  n2 l 2 
1
1  eE1 
 n ,l ( k ) 

 2  2   c ( N  ) 


2m
2m  Lx Ly 
2
2m  c 
2

2

(2.2)

Halmintonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với
hố thế cao vô hạn được viết như sau

H


n ,l , k



e
 n,l (k  A(t ) )an,l , k an,l , k 
c



Cq

2

 b b


q q q



q

2

I n,l , n ',l ' (q ) an,l ,k  q an ',l ',k (bq  bq ) 

 ( q ) a


a
n,l , k  q n ',l ', k

(2.3)

q

n,l , n ',l ', k , q

ở đây m là khối lượng hiệu dụng của điện tử; n, l là các số lượng tử của hai
phương bị lượng tử hóa x và y; k và q lần lượt là véctơ sóng của điện tử và
phonon; Lx và Ly tương ứng là các kích thước của dây lượng tử theo phương x và y;
C q là thừa số tương tác giữa điện tử – phonon; an,l ,k ( an ,l ,k ) là toán tử sinh (hủy)

điện tử; bq ( bq ) là toán tử sinh (hủy) phonon âm trong; A(t ) 

c
E0 sin(t ) là thế


véc tơ của sóng điện từ, với c là vận tốc ánh sáng trong chân không. I n,l ,n ',l ' (q) là
thừa số dạng của điện tử .  (q ) là thế vô hướng, được xác định bởi công thức:
 (q )  (2 i)3 (eE  c [q,h])


 (q ).
q

Để xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây
lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi có sóng điện từ ngoài, chúng tôi
sử dụng phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt

nn,l ,k (t )  an,l ,k an,l ,k

t

18


 an,l ,k an ,l ,k

i

t

t

  an,l ,k an ,l ,k , H 

(2.4)

t

Thay Hamiltonian (2.3) vào (2.4), ta có các tính toán sau:








n ,n ',k '

n ',l

'





* SH1:  an,l ,k an,l ,k ,

n ,n ',k '

n ',l

'


 ' e
 
 k  A(t )  an' ,l ' ,k an' ,l ' ,k ' 
c




 ' e
 
 k  A(t ) an' ,l ' ,k an' ,l ' ,k '  n,n ',l ,l '  k ,k '
c



(2.5)

e


   n ',l '  k '  A(t ) an' ,l ' ,k an' ,l ' ,k '  n,n ',l ,l '  k ,k '  0
c


n , n ', k '


* SH2:  an,l ,k an,l ,k ,  q bqbq    q an,l ,k an,l ,k bqbq  bqbq an,l ,k an,l ,k  0
q

 q





(2.6)

(Vì a, b là các toán tử độc lập)



* SH3:  an,l ,k an,l ,k ,  Cq I n,l ,n' ,l ' an' ,l ' ,k ' q' an' ,l ' ,k ' (bq  bq ) 


n ,n' ,l ,l ' , k ' , q '





n , n' ,l ,l ' , k ' , q '



n , n' ,l ,l ' , k ' , q '

n , n' ,l ,l ' , k ' , q '


a





Cq I n ,l ,n' ,l ' an,l ,k an' ,l ' ,k q

  a
*

 a  n' ,l ' ,k q an ,l ,k b q

n ,l , k





Cq I n ,l ,n' ,l ' a  n' ,l ' ,k  q an ,l ,k bq  a  n' ,l ' ,k  q an ,l ,k b q







Cq I n ,l ,n' ,l ' an,l ,k an' ,l ' ,k q bq  an,l ,k an' ,l ' ,k q b q 








a

b

n' ,l ' , k  q n ,l , k q



*

an' ,l ' ,k  q b q



n ,n' ,l ,l ' ,k ' ,q '



Cq I n,l ,n' ,l ' Fn,l ,k ,n ',l ' ,k q ,q (t )  Fn*',l ' ,k q ,n,l ,k ,q (t )  Fn ',l ' ,k q ,n,l ,k ,q (t )  Fn*,l ,k ,n ',l ' ,k q ,  q (t )


*


Với Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,m,q  an1 , p1 an2 , p2 bm,q ; Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,m,q  an2 , p2 an1 , p1 bm ,q
t

an,l ,k an,l ,k
 



*SH4:  an,l ,k an,l ,k ,   q  an,l ,k '  q an,l ,k '   i eE1  c q , h 
k
q





Thay (2.5),(2.6),(2.7),(2.8) vào (2.4) ta được:

19

t

(2.7)



(2.8)




i

nn,l ,k t 
t



n , n ' ,l ,l ' , k ' , q '





Cq I n,l ,n' ,l ' Fn,l ,k ,n ',l ' ,k q ,q (t )  Fn*',l ' ,k q ,n,l ,k , q (t )  Fn ',l ' ,k q ,n ,l ,k ,q (t )  Fn*,l ,k ,n ',l ' ,k q , q (t )



i eE1  c  q , h 



an,l ,k an ,l ,k


(2.9)

k

Để đơn giản ta kí hiệu  bao gồm (n,l) và  ' bao gồm ( n' , l ' )
Ta thiết lập phương trình động lượng tử cho F1k1 2k2q (t )
i

F1k1 2k2 (t )
t

  a1k1 a 2k2 bq , H 

(2.10)
t

*  a1k1 a 2k2 bq , H  

e
e




    3  k3  A(t )  a1k1 a 3 ,k3 bq 1 3 k2k3     3  k3  A(t )  a3k3 a 2 ,k2 bq k1k3
c
c




 3k3
 3k3
 
e
e



   2  k2  A(t )    1  k1  A(t )   F1k1 2k2q (t )
c
c




 

(2.11)




*  a1k1 a 2k2 bq , bq bq   a1k1 a 2k2 bq1 q ,q1
1
1 


Suy ra:
 

 a1k1 a 2k2 bq ,  q1 bq1 bq1

q1



  q a1k1 a 2k2 bq1  q F1k1 2k2q (t )


(2.12)

 




*  a1k1 a 2k2 bq ,  Cq1 I   ' a 3 ,k3  q1 a ' ,k ' (bq1  b q1 ) 
3 3
3 3


 3 3' k3q1
  a1k1 a ' k
 3q1

3 2  q1

bq (bq1  bq1 )Cq1 I     Cq1 I   ' a ,k  q a

  Cq I  ' a k a


 3 3' k3

3 3

1 1

2 3



a

1 3

 3q1

a

 3 ,k3  q  2 k2  3' ,k 3'

3

1

2 ,k 2

(bq1  bq1 )
(2.13)

20


Thay (2.11), (2.12), (2.13) vào (2.10) ta được:
i

F 1k1 2 k2 q (t )

 

e
e




   2  k 2  A(t )    1  k 1  A(t )   q  F1k1 2 k2 q (t ) 
c
c



 


t

  C q I   ' a k a  
3 3

 3 3' k3

1 1

  Cq1 I   ' a 1k1 a ' k

3

, k3  q



3 2  q1

2 3

 '3q '1

a 2 k2 a ' ,k '   Cq1 I   ' a ,k  q a
3

3


 q1

bq (bq1  b

1 3

 3q1

3

1

2 ,k 2

(bq1  bq1 ) 

)

Suy ra
F k 

1 1 2 k2 q

(t )

e


 i  1k1    2k2  q  (k1  k2 )
A(t )  F k  k q (t )  iA
m*c

 112 2

t
iB  iC

(2.14)

Giải phương trình (2.14): Giải phương trình thuần nhất
F 1

1k1 2 k2 q

(t )

t



e


i   1k1    2 k2  q ( k1  k 2 )
A(t )  F 1 k  k q (t )
1 1 2 2
m
*
c



Đặt F(t)=M(t)*F1(t):
F (t )
e


 i   k    k  q 
(k1  k2 ) A(t1 )  F (t ) 
2 2
t
m*c
 11


+ M ' (t ) exp 
i    k   
t







1 1

2 k2

 q 

e

(k1  k2 ) A(t1 )  dt1
m*c


(2.15)

So sánh (2.14) và (2.15) ta thấy:
M ' (t )  i  Cq1
 3q1



 I  2 3 a k a
1 1

3 k2  q1

t

  I 



1 3

a3 , k1  q1a

2 k2

(bq1  b   q1 )bq

t2




(2.16)

bq (bq1  b   q1 )

t


e
 2

*exp i  [  k    k  q 

( k1  k2 ) A(t1 )]dt1  dt2
1 1
2 2
m*c
 




21