các phương pháp tính tích phân

Chõm Tổ Toán -Trờng THPT Xuân Huy
chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng
Phần I :Nguyên hàm
A .Các kiến thức cần nhớ :
1 .Định nghĩa :
Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) Trên Khoảng (a;b) nếu mọi x thuộc
(a;b) ta có : F(x) = f(x) . Nếu thay khoảng (a;b ) bằng Đoạn [a ;b] thì ta phải có thêm :
F(a
+
) = f(a) và F(b

) = f(b)
2 . Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì :
a , Với mọi hằng số C , F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó
b , Ngợc lại mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dới dạng F(x) +C
với C là hằng số.
Ngời ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
( )f x dx

.Do đó viết
( )f x dx

= F(x)
+C
*Bổ đề : Nếu F(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó
3 .Các tính chất của nguyên hàm :
. (
( )f x dx

) = f(x)

.
( )af x dx

= a
( )f x dx

(a

0)
.
[ ]
( ) ( )f x g x dx+

=
( )f x dx

+
( )g x dx

.
( )f t dt

= F(t) +C
[ ]
,
( ) ( ) ( )f u x u x d x

=
[ ]
( )F u x

+C = F(u) + C (u=u(x))
4 . Bảng các nguyên hàm :
Nguyên hàm của các hàm số sơ
cấp thờng gặp
Nguyên hàm của các hàm số Hợp
(u=u(x))
dx

= x+C
du

= u+C
x dx

=


1
x
C


+
+
(


-1)
u du

=


1
u
C


+
+
(


-1)
dx
x

= ln
x
+C (x

0)
du
u

= ln
u
+C (u=u(x)

0)

x x
e dx e C= +

u u
e du e C= +

(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + <

(0 1)
ln
u
u
a
a du C a
a
= + <

cos sinxdx x C= +


cos sinudu u C= +

sin xdx cosx C= +

sin cosudu u C= +

2
cos
dx
tgx C
x
= +

2
cos
du
tgu C
u
= +

2
s
dx
cotgx C
in x
= +

2
cot
s
dx
gu C
in u

= +

B. các cách xác định nguyên hàm :
Cách 1: xác định nguyên hàm bằng định nghĩa :
*Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc R ta có :
1)
1
cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = + +

2)
1
sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = + +

3)
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +

(a

0)
CM :
1, Thật vậy tacó :(

1
sin( )ax b C
a
+ +
)
,
= cos(ax+b)
Chứng minh tơng tự cho ý 2,và3, .Có thể coi kết quả của ví dụ 1 là các công thức bổ xung để tính
nguyên hàm
* Bài 2 : CMR hàm số F(x)= ln (x+
2
x a+
) với a>0
là một nguyên hàm của f(x)=
2
1
x a+
trên R
Giải :Ta có
F(x)= [ln (x+
2
x a+
)]=
2
2
2
1
2
x
x a

x x a
+
+
+ +
=
2
2
2 2
:
2
x a x
x a
+ +
+
( x+
2
x a+
)=
2
1
x a+
=
=f(x)
* Bài 3 : Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) Biết :
a , f(x) = e
2x+1
Biết F(-
1
2
)=

3
2
b, f(x) =
3
7x
Biết F(8) = 2
c, f(x)=
3 2
2
3 3 7
( 1)
x x x
x
+ +
+
Biết F(0) = 8
Giải : a , Ta có F(x) =
2 1x
e dx
+
=


1
2

2 1
(2 1)
x
e d x

+
+

=
1
2
e
2x+1
+C
Vì F(-
1
2
)=
3
2



1
2
e
2(-
1
2
)+1
+C =
3
2

1

2
+C =
3
2


C =1
Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) =
1
2
e
2x+1
+1
ý b, c Giải tơng tự

Cách 2 : Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Ví dụ : Tìm nguyênhàm của hàm số f(x)=
2
1 3
5
x
x x


Ta có
2
1 3
( 5 )
x
x x

dx

=
2
3 5
x
dx
x dx dx
x



= ln
x
+
3 5
ln5
x
C
x
+

Bài tập tơng t. tìm nguyênhàm của các hàm số
a, f(x)=3x
2
-4x+5 Hớng dẫn : Viết lại f(x)=
2
3 4 5x dx xdx dx +

b,f(x)=(x
3
-2)
2
Hớng dẫn :Viết lại f(x)= x
6
4x+4
c,f(x)=
3
( 1)x
x
+
Hớng dẫn : Viết lại f(x)=
3 3 1x x x x
x
+ + +
Cách 3 :Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm hợp :
Ví dụ : Tìm I=
sin
1 4cos
x
dx
x+

Ta có
(1 4cos )x
d
+
= -4sin x dx

sin xdx= -
1
4
(1 4cos )x
d
+

Vậy I =-
1 (1 4cos )
4 1 4cos
d x
x
+
+

= -
1
4
ln
1 4cos x+
+C
Bài tập t ơng t : Tính
a, J=
7
(3x+5 ) dx

Hớng dẫn : Ta có J=
1
3

7
(3 5)x +

d (3x+5)
b, k=
4
sin .cosx xdx


Hớng dẫn : Ta có k=
4
sin . (sin )x d x

c, m=
2
2 1
3
x
dx
x x

+

Hớng dẫn : Ta có m=
2
2
( 3)
3
d x x
dx

x x
+
+

d , n =
2
(2ln 1)x
dx
x
+

Hớng dẫn : Ta có n=
1
2
2
(2ln 1) (2ln 1)x d x+ +

f , p =
2
1
x
x
e
dx
e +

Hớng dẫn : Ta có p=2
( 1)
1
x

x
d e
e
+
+

g , q =
2
2
xdx
x +

Hớng dẫn : Ta có q=
1
2
1
2 2
2
( 2) ( 2)x d x

+ +

Phần II Tích phân
A . Các kiến thức cần nhớ :
1. Định nghĩa tích phân :
Ta có công thức Nu tơn laipnit

( ) ( )
b
a

f x dx F x=

b
a
= F(b) F(a)
2 .Các tính chất của tích phân
B Các ph ơng pháp tính tích phân :
1, Phơng pháp đổi biến số :
Dạng 1: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc lẻ
Ví dụ a, I=
2
5
0
sin xdx


b, J =
2
3
0
cos xdx



*Ph ơng pháp chung : Ta tách một sin x (hoặc cosx) ra chuyển phân mũ chẵn còn lại về cos x
(hoặc sin x) nhờ công thức sin
2
x +cos
2
x =1

Giải : a, ta có I =
2
4
0
sin sinx xdx


=
2
2 2
0
(1 cos ) sinx xdx



Đặt t= cos x

dt =- sin x dx
với x= 0

t=1
với x=
2



t=0
Vậy I= -
0
2 2

1
(1 )t dt

=
1
2 4
0
(1 2 )t t dt +

=(t-
3 5
1
0
2
)
3 5
t t
+
=
8
15
b, J =
2
3
0
cos xdx


=
2

2
0
(1 sin )cosx xdx




Đặt t= sin x giải tơng tự ta đợc : J=
2
3
Dạng 2 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc chẵn
Ví dụ a, I=
2
2
0
sin xdx


b, J =
4
2
cos xdx




*Ph ơng pháp chung : Ta dùng công thức hạ bậc
Giải : a, Ta có : I=
2
2

0
sin xdx


=
2
0
1 cos 2
2
x
dx



=
2
0
1 1
( sin 2 )
2 2
x x


=
4


b, Giải tơng tự ta có J=
3
16

Dạng 3 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai có thể đa đợc về dạng f(u) du
Ví dụ 1 : Tính tích phân a, I=
2
2
3
1
2
x dx
x +

c,
2
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x



(đềTN 2006)
b, J=
2
2 3
0
2.x x dx+

Ph ơng pháp chung : Đặt t bằng biểu thức trong căn (hoặc bằng cả căn)
Giải : a, Đặt t= x
3
+2

dt =3x
2
dx

x
2
dx =
1
3
dt
Với x=1

t = 3
x=2

t = 10


I=
2
2
3
1
2

x dx
x +

=
2
3
1
3
dt
t
=


2
1
2
3
1
3
t dt


=
10
3
2
3
t
=
2

( 10 3)
3

b, J=
2
2 3
0
2.x x dx+

=
2
2 2
0
2.x x xdx+

Đặt t= x
2
+2

x
2
= t-2
dt =2xdx

xdx =
1
2
dt
Với x=0

t = 2
Với x=
2


t = 4
Vậy J=
4
2
1
( 2)
2
t t dt

Tính toán ta có J =
8(2 2)
15
+

c, K=
2
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x

HD : Viết K=
2
2
2
0
(4 cos )
4 cos
d x
dx
x




Dạng 4 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai mà biểu thức trong căn là 1- x
2
hoặc a
2
-x
2
(a>0)
Ph ơng pháp chung :
Đặt x= sin t hoặc x= a sin t (Với t
;
2 2

)
Ví dụ : Tính I =
2
2
2
2
0
1
x
dx
x


Đặt x= sin t

dx = cos t dt
Với x=0

t = 0
Với x=
2
2


t =
4

Ta có
2

2
1
x dx
x
=
2
2
sin .cos
1 sin
t tdt
t
=
2
sin .cos
cos
t tdt
t
=
2
sin .cos
cos
t tdt
t
=sin
2
t
Vậy I=
4
2
0

sin tdt


=
1
2
4
0
(1 cos2 )t dt



=
4
0
1 1
( sin 2 )
2 2
t t


=
1
8 4



áp dụng phơng pháp trên ta có thể giải đợc các tích phân sau :
a,
1

2
0
1x x dx


b ,
1
2 2
0
1x x dx

Dạng 5 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức a
2
+x
2
hoặc
căn của

a
2
+x
2
(a>0)
Ph ơng pháp chung :
Đặt x= a tg t (Với t
;
2 2

ữ

)
Ví dụ : Tính tích phân: I=
2
2
0
4
dx
x+


Giải : Đặt x= 2 tg t Với t
;
2 2



ữ

Đổi cận : x= 0

t = 0
x=2

t =
4


Vậy ta Đặt x= 2 tg t Với t

0;
4








I=
4
2 2
0
2
cos (4 4 )
dt
t tg t

+

=
4
0
1
2
dt


=

4
0
1
2
t

=
8

Dạng 6 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử bằng hoặc
cao hơn bậc của mẫu
*Ph ơng pháp chung :
Ta phân tích nó bằng cách chia tử cho mẫu
Ví dụ : Tính các tích phân sau :