Tự luận chương II. Lớp 12 Nâng cao

DAO ẹONG Cễ HOẽC
Bi 1. Mt cht im dao ng iu hũa (dh) trờn trc x'x, cú phng trỡnh: x = 2cos(5t -
4

) (cm ; s)
a) Xỏc nh biờn , chu kỡ, tn s, pha ban u v chiu di qu o ca dao ng.
b) Tớnh pha ca dao ng, li , vn tc, gia tc thi im t =
5
1
s.
c) Tớnh vn tc ca cht im khi nú qua v trớ cú li x = -1cm.
S : a) A = 2cm ; T = 0,4s ; f = 2,5Hz ; =
4

; L = 2A = 4cm.
b) x = -
2
cm ; v -22,2cm/s ; a 349cm/s
2
; c) v 27cm/s.
Bi 2. Mt cht im dh theo phng trỡnh : x = 2,5cos(10t -
2

) (cm).
a) Xỏc nh li v vn tc ca vt lỳc t =
30
1
s.
b) Cht im i qua v trớ x = 1,25cm vo nhng thi im no ? Phõn bit nhng ln i qua theo chiu dng v theo
chiu õm.
c) Tỡm tc trung bỡnh ca cht im trong mt chu kỡ dao ng.

S : a) x = 1,25
3
cm, v = 12,5cm/s ; b) t =
560
1 K
+
vi K = 0,1,2,... qua theo chiu dng ;
t =
512
1 K
+
vi K = 0,1,2,... qua theo chiu õm ; c)
T
A
t
S
V
4
==
= 50cm/s.
Bi 3. Mt cht im dh cú tn s gúc = 4rad/s. Vo thi im no ú cht im cú li x
1
= - 6cm v vn tc v
1
=
32cm/s.
a) Tớnh biờn ca dao ng v vn tc cc i ca cht im
b) Hóy xỏc nh li x v vn tc v ca cht im sau thi im trờn l
16

s.
S : a) A = 10cm ; v
max
= 40cm/s ; b) x =
2
cm ; v = 28
2
cm/s 39,6cm/s.
Bi 4. Mt vt dh thc hin 20 dao ng mt thi gian 31,4s. Biờn dao ng l 8cm. Tớnh giỏ tr ln nht ca vn
tc v gia tc ca vt. S : v
max
= 32 cm/s ; a
max
= 128cm/s
2
.
Bi 5. Mt con lc lũ xo gm mt qu cu cú khi lng m = 0,5kg v lũ xo cú cng k = 50N/m c treo thng
ng. Kộo qu cu ra khi v trớ cõn bng 3cm theo phng thng ng ri nh nhng buụng tay.
1) Vit phng trỡnh dao ng ca qu cu, ly gc thi gian l lỳc bt u buụng tay, chiu dng t trờn xung di.
2) Xỏc nh vn tc v gia tc ca qu cu ti im cú li +2cm.
3) Tớnh c nng ton phn v vn tc cc i ca con lc. ,
S : 1) x = 3cos(10t) (cm) ; 2) a = - 2m/s
2
; v = 10
5
cm/s 22,4cm/s ; 3) E = 0,0225 (J) ; v
max
= 30cm/s.
Bi 6. Mt qu cu nh khi lng m = 0,2kg gn vo u mt lũ xo cú cng k = 80N/m to thnh con lc lũ xo.
Khi lng lũ xo khụng ỏng k.

1) Tớnh chu kỡ dao ng ca qu cu.
2) Vit phng trỡnh dao ng ca qu cu, bit lỳc t = 0 qu cu cú li bng 2cm v ang chuyn ng theo chiu
dng ca trc ta vi vn tc bng 40
3
cm/s.
S : 1) T =
10

s 0,314s ; 2) x = 4cos(20t -
3

) (cm).
Bi 7. Qu cu cú khi lng m treo vo lũ xo khi lng khụng ỏng k cú cng k = 50 N/cm. Kộo vaọt m khi
VTCB 3cm v truyn vn tc 2m/s theo phng thng ng thỡ vt dao ng vi tn s f =

25
Hz.
a) Tớnh m v chu kỡ dao ng.
b) Vit phng trỡnh dao ng ca qu cu. Chn gc thi gian l lỳc qu cu qua im cú ta -2,5cm theo chiu
dng.
S : a) m = 2kg ; T =
25

s ; b) x = 5cos(50t -
3
2

) (cm).
Bi 8. Mt lũ xo khi lng khụng ỏng k cú cng k = 50N/m treo thng ng, u di mang qu cu nh khi
lng m = 100g. Chn trc xx thng ng, chiu dng hng xung, gc ta ti v trớ cõn bng. Qu cu dao ng

iu hũa vi c nng bng 2.10
-2
(J). Chn gc thi gian l lỳc qu cu ang i lờn qua v trớ cú li x = 2cm.
a) Vit phng trỡnh dao ng ca qu cu.
b) nh v trớ ca vt m ti ú ng nng bng 3 ln th nng.
S : a) x = 2
2
cos(10
5
t +
4

) (cm) ; b) x =

2
cm.
Trang 1
Bài 9. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục x, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng là 62,8cm/s và gia tốc cực
đại của vật là 2m/s
2
. Lấy π
2
= 10.
a) Xác định biên độ, chu kì và tần số dao động của vật.
b)Viết phương trình dao động của vật nếu gốc thời gian chọn lúc vật qua điểm M
0
có li độ x
0
= - 10
2

cm theo chiều
dương trục tọa độ còn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật.
c) Tìm thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí M
1
có li độ x
1
= 10cm.
ĐS : a) A = 20cm ; ω = π rad/s ( =
π
10
rad/s) ; T = 2s ; f = 0,5Hz ; b) x = 20cos(πt -
4
3
π
) (cm) ; c) t =
6
1
s.
Bài 10. Moät lò xo có khối lượng không đáng kể, chiều dài tự nhiên

0
= 40cm, đầu trên được gắn vào giá cố định. Đầu
dưới gắn với một quả cầu nhỏ có khối lượng m thì khi cân bằng lò xo giãn ra một đoạn ∆

= 10cm. Cho gia tốc trọng
trường g ≈ 10 m/s
2
; π
2
≈ 10.

a) Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc O tại VTCB của quả cầu. Nâng quả cầu lên trên thẳng đứng cách O một
đoạn 2
3
cm. Vào thời điểm t = 0, truyền cho quả cầu một vận tốc 20cm/s có phương thẳng đứng hướng xuoáng. Viết
phương trình dao động của quả cầu.
b) Tính chiều dài của lò xo sau khi quả cầu dao động được một nửa chu kì kể từ lúc bắt đầu dao động.
ÑS: a) x = 4cos(10t -
6
5
π
) (cm) ; b)

≈ 53,46 cm.
Bài 11. Một lò xo (khối lượng không đáng kể), đầu trên cố định, đầu dưới treo một vật có khối lượng 80g. Vật dao động
điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số 4,5Hz. Trong quá trình dao động, độ dài ngắn nhất của lò xo là 40cm và dài
nhất là 56cm.
a) Viết phương trình dao động, chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, t = 0 lúc lò xo ngắn nhất.
b) Tìm độ dài tự nhiên của lò xo, lấy g = 9,8 m/s
2
.
c) Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nó ở vị trí x = 4cm.
ĐS : a/ x = 8cos(9πt + π) (cm) ; b/

0
= 46,8cm ; c/ v =
±
1,96m/s ; a = - 31,95m/s
2
.
Bài 12. Một lò xo có khối lượng không đáng kể có chiều dài tự nhiên

0

= 40cm, độ cứng k = 50N/m. Đầu trên của lò
xo được giữ cố định, đầu dưới treo một vật nhỏ có khối lượng m = 100g. Vật dao động điều hòa theo phương thẳng
đứng và có vận tốc cực đại v
max
= 40
5
cm/s. Lấy g = 10m/s
2
.
a) Viết phương trình dao động của vật. Chọn trục tọa độ x’x thẳng đứng hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng,
gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x = 2cm và đang hướng lên.
b) Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo, lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động.
ĐS : a) x = 4cos(10
5
t +
3
π
) (cm) ; b)
max

= 46cm ;
min

= 38cm ; F
max
= 3N ; F
min
= 0.

Bài 13. Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k được treo thẳng đứng tại một điểm cố định. Khi đầu dưới
mang vật khối lượng m
1
= 160g lò xo dài

1
= 60cm, còn khi mang vật khối lượng
m
2
= 240g lò xo dài

2
= 65cm . Lấy g = 10m/s
2
.
1) Tìm k và độ dài tự nhiên

0
của lò xo.
2) Treo vào lò xo vật có khối lượng m = 360g. Lúc t = 0, vật m ở VTCB thì ta kích thích để tạo cho nó vận tốc ban đầu
v
0
=
3
100
cm/s.
a) Viết phương trình dao động của vật m, chiều dương hướng xuống.
b) Tìm lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật m dao động.
ĐS : 1) k = 16N/m ;
0


= 50cm ; 2) a) x = 5cos(
3
20
t -
2
π
) (cm) ; b) F
max
= 4,4N ; F
min
= 2,8N.
BÀI TẬP VỀ CON LẮC ĐƠN
Bài 14. Con lắc đơn gồm một vật m = 0,1 kg treo bằng một dây có chiều dài

= 1m. Lấy g = π
2
m/s
2
. Kéo con lắc ra
khỏi VTCB để cho dây treo lệch một góc cực đại α
0
= 6
0
so với phương thẳng đứng rồi buông ra không vận tốc đầu.
a) Viết phương trình dao động với gốc thời gian là lúc buông cho con lắc dao động.
b) Xác định vị trí, vận tốc của con lắc ở thời điểm t =
3
1
s và so sánh động năng E

đ
và thế năng E
t
tại thời điểm này.
ĐS : a) S =
30
π
cos(πt) (m) hay α =
30
π
cos(πt) (rad) ; b) S =
60
π
m ; v ≈ - 0,285 m/s ; E
đ
= 3E
t
.
Bài 15. Một con lắc đơn gồm một dây nhẹ, không co giãn, có chiều dài

= 50cm, một đầu cố định, đầu còn lại treo một
vật nặng. Khi con lắc đang đứng yên ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho vật nặng một vận tốc ban đầu v
0
= 31,6cm/s,
theo phương vuông góc với dây treo và hướng theo chiều dương. Tính góc lệch cực đại của con lắc. Viết phương trình
dao động của vật nặng, với gốc thời gian là lúc truyền cho con lắc vận tốc v
0
. Cho g = 10m/s
2
.

ĐS : α
0
≈ 0,142rad ≈ 8
0
; S = 7,1cos(2
5
t -
2
π
) (cm).
Trang 2
Bài 16. Con lắc đơn có khối lượng m = 10kg và độ dài

= 2m. Góc lệch cực đại của nó so với đường thẳng đứng là α
0
= 0,175 rad. Tính cơ năng của con lắc và vận tốc của quả nặng khi nó ở vị trí thấp nhất. Cho g = 9,8 m/s
2
.
ĐS : 3J ; 0,77m/s.
Bài 17. Hai con lắc đơn cùng dao động tại một nơi có gia tốc trong trường là g = 9,8 m/s
2
. Chu kì dao động của chúng
lần lượt là 1,2s và 1,6s.
a) Tính chiều dài

1
và

2
của mỗi con lắc.

b) Tìm tỉ số các biên độ góc của hai con lắc trên, biết chúng có cùng năng lượng và các quả cầu của hai con lắc có cùng
khối lượng.
c) Tính chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn có chiều dài

=
1

+
2

.
ĐS : a)
1

≈ 0,358 m ;
2

≈ 0,636 m ; b)
3
4
02
01
=
α
α
≈ 1,33 ; c) T =
2
2
2
1

TT
+
= 2s.
BÀI TẬP VỀ CHU KÌ DAO ĐỘNG :
Bài 18. Một vật nặng có khối lượng m treo bằng một lò xo vào một điểm cố định dao động với tần số
f
1
= 6Hz. Khi treo thêm một vật m' = 44g thì tần số dao động là f
2
= 5Hz. Tính m và độ cứng K của lò xo.
ĐS : m = 100g ; K ≈ 142N/m.
Bài 19. Một con lắc đơn có chu kì bằng 1,5s khi nó dao động ở nơi có gia tốc trọng trường bằng
9,8 m/s
2
. Tính độ dài của nó.
Tính chu kì dao động của con lắc nói trên khi ta đưa nó lên Mặt trăng, biết rằng gia tốc trọng trường của Mặt trăng nhỏ
hơn của Trái đất 5,9 lần.
ĐS : 0,56m ; 3,64s.
Bài 20. Một con lắc đđơn có độ dài bằng

. Trong khoảng thời gian ∆t nó thực hiện 6 dao đđộng. Người ta giảm bớt độ
dài của nó 16cm. Cùng trong khoảng thời gian ∆t như trước, nó thực hiện được 10 dao động. Tính độ dài ban đầu và tần
số ban đầu của con lắc. Cho g = 9,8 m/s
2
.
ĐS :

= 25cm ; f ≈ 1Hz.
TỔNG HỢP DAO ĐỘNG :
Bài 21. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương. Phương trình của hai dao động thành phần là :

x
1
= 10
3
cos(10πt +
2
π
) (cm) và x
2
= 10cos(10πt) (cm).
Xác định phương trình của dao động tổng hợp.
ĐS : x = 20cos(10πt +
3
π
) (cm).
Bài 22. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng 100Hz, và có biên độ bằng
8cm và 6cm. Dao động tổng hợp có tần số và biên độ bằng bao nhiêu trong trường hợp các dao động thành phần là cùng
pha, ngược pha, lệch pha 90
0
? Vẽ giản đồ vectơ của ba trường hợp trên.
ĐS : 100Hz ; 14cm ; 2cm ; 10cm.
Bài 23. Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω = 5π rad/s, với các biên độ
A
1
=
2
3
cm, A
2
=

3
cm và các pha ban đầu ϕ
1
=
2
π
và ϕ
2
=
6
5
π
. Tìm phương trình dao động tổng hợp của hai dao
động trên.
ĐS: x = 2,3cos(5πt + 0,73π) (cm)
Bài 24. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình :
x
1
= 3sin4πt (cm) và x
2
= 3
3
cos4πt (cm).
a) Xác định chu kì, tần số của các dao động thành phần.
b) Viết phương trình và tính vận tốc cực đại của dao động tổng hợp.
ĐS : a) T = 0,5s ; f = 2Hz ; b) x = 6cos(4πt -
6
π
) (cm) ; v
max

= 24π cm/s.
Bài 25. Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Viết biểu thức của dao động tổng
hợp, biết các dao động thành phần có biểu thức sau :
x
1
= 3sint (cm) , x
2
= 3cost (cm) , x
3
= 7sin(t -
2
π
) (cm).
ĐS : x = 5sin(t -
180
53
π
) (cm) = 5cos(t – 0,79π) (cm).
Trang 3