Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

THÂN THẾ LUÂN

PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNGTRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
TRUNG BÌNH CỘNG - TRUNG BÌNH NHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
----------------------------

THÂN THẾ LUÂN

PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNGTRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
TRUNG BÌNH CỘNG - TRUNG BÌNH NHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI – 2016


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học
Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả
trong khoá học và suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn được
hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Nguyễn Minh
Tuấn. Xin trân trọng gửi tới thầy lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác
giả.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ
Toán - Tin trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3, Bắc Giang đã tạo
điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài.
Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia
đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học bộ
môn Toán khóa 10 trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, trong
suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn
thành nhiệm vụ của mình.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 9 năm 2016
Tác giả

Thân Thế Luân

i


MỤC LỤC
Lời cảm ơn ......................................................................................................... i

Mục lục ............................................................................................................. ii
Danh mục các bảng ........................................................................................... v
Mở đầu .............................................................................................................. 1
1 Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2 Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3
3 Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 3
4 Giả thuyết nghiên cứu ............................................................................... 3
5 Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4
6 Phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 4
7 Cấu trúc luận văn ...................................................................................... 4
Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn ................................................................ 5
1.1 Tư duy .................................................................................................... 5
1.2 Tư duy sáng tạo ...................................................................................... 6
1.2.1 Khái niệm về sáng tạo ..................................................................... 6
1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo......................................................... 8
1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chương trình phổ thông ........................ 11
1.3.1 Chương trình sách giáo khoa ........................................................ 11
1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông
................................................................................................................. 11
1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức
trung bình cộng – trung bình nhân .......................................................... 12
1.4 Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ................... 13
1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh
những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức ....................... 13
1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh .. 13
1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học
sinh .......................................................................................................... 14
ii

1.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình
lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học .......... 15
Kết luận chương 1 ....................................................................................... 16
Chương 2 Rèn luyện tư duy và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ
đề bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân ........................................ 17
2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân ................................ 17
2.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng ........................................................... 19
2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM .................. 19
2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng ......... 24
2.2.3 Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá trung bình nhân sang
trung bình cộng ....................................................................................... 27
2.2.4 Kỹ thuật ghép đối xứng ................................................................. 30
2.2.5 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ....................................................... 32
2.2.6 Kĩ thuật đổi biến số ....................................................................... 34
2.2.7 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu....................................................... 40
2.3 Phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc rèn luyện các thao
tác tư duy cơ bản ......................................................................................... 46
2.4 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển các
yếu tố của tư duy sáng tạo ........................................................................... 50
2.4.1 Phát triển tính mềm dẻo thông qua việc giải bất đẳng thức .......... 50
2.4.2 Phát triển tính nhuần nhuyễn thông qua việc giải bất đẳng thức . 54
2.4.3 Phát triển tính độc đáo thông qua việc giải bất đẳng thức ............ 56
2.4.4 Phát triển tính trau chuốt thông qua việc giải bất đẳng thức ........ 59
2.5 Phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc vận dụng bất đẳng
thức AM-GM để giải các bài toán khác ...................................................... 62
2.5.1 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải
phương trình ............................................................................................ 62
2.5.2 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải
hệ phương trình ....................................................................................... 63
iii

Kết luận chương 2 ....................................................................................... 68
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm .................................................................... 69
3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm .............................................. 69
3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm........................................................ 69
3.4 Đánh giá thực nghiệm .......................................................................... 79
3.5 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm ............................................. 82
Kết luận chương 3 ....................................................................................... 83
Kết luận và kiến nghị ...................................................................................... 84
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 85

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm .................................................. 80
Bảng 3.2 Xử lí số liệu...................................................................................... 80
Bảng 3.3 Tỉ lệ bài kiểm tra .............................................................................. 81
Biểu đồ 3.1 Biểu đồ kết quả tỉ lệ bài kiểm tra ................................................. 81

v


MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống và làm việc ở thế kỷ XXI, cùng với sự phát triển như
vũ bão của khoa học và công nghệ. Có được những thành tựu đó, là sự phấn
đấu học hỏi không ngừng của mỗi cá thể cùng với sự lãnh đạo, quản lý định
hướng đúng đắn của các cấp lãnh đạo. Tri thức là thành tố quan trọng quyết

định nề kinh tế của một đất nước. Con người là yếu tố trung tâm trong xã hội
tri thức, là chủ thể kiến tạo không ngừng. Giáo dục đóng vai trò thên chốt
trong việc đào tạo con người và sự phát triển của xã hội. Trong hiến pháp
nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã khẳng định: “Giáo dục là quốc
sách hàng đầu”.
Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học,
Cao đẳng, chọn Học sinh giỏi Tỉnh, Học sinh giỏi Quốc gia, Học sinh giỏi
khu vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành
được nhiều lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng
như các tạp chí về Toán học.
Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (Arithmetic MeansGeometric Means (AM-GM)), là một phần kiến thức quan trọng không thể
thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như bất đẳng thức. Nó thực sự là một
công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương
pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thức thông thường.
Các tài liệu viết về Bất đẳng thức hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số
chuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức
và giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có tính hệ thống và
tính phân loại cũng như tính sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng
học sinh giỏi và ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết.
Do vậy tôi chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu
trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏi của tỉnh
1


nhà.
Hiê ̣n nay vấn đề “Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo” đang là
một lĩnh vực nghiên cứu mới mẻ và mang tính thực tiễn cao . Nó nhằm tìm ra
các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để rèn
luyện, tăng cường khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộng
đồng làm việc chung về một vấn đề hay lĩnh vực. Do đó, một yêu cầu cấp

thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương
pháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một trong
những vấn đề được quan tâm nhiều. Sư phạm học hiện đại đề cao nguyên lý
học là công việc của từng cá thể, thực chất quá trình tiếp nhận tri thức phải là
quá trình tư duy bên trong của bản thân chủ thể. Vì thế nhiệm vụ của người
giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học sinh chứ
không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có.
Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy
nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực của bản thân mình để giải quyết vấn đề
mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống. Hơn thế nữa
trong thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày càng hiện đại
hóa, con người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật hiện
đại thì năng lực suy luận, tư duy và sáng tạo giải quyết vấn đề càng trở nên
khẩn thiết hơn trước đây. Không có một nhà giáo dục nào lại từ chối việc dạy
cho học sinh chúng ta tư duy. Nhưng làm thế nào để đạt được điều đó? Do
vậy, rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một mục
tiêu mà các nhà giáo dục phải lưu tâm và hướng đến. Bên cạnh đó, thực tiễn
còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những
yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo: Nhìn các đối tượng toán học
một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không
linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy
nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào
hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh
2


chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Từ đó dẫn đến một hệ quả là
nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi phải
có sáng tạo trong lời giải như các bài tập bất đẳng thức. Do vậy, việc rèn
luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh nói chung và năng lực tư duy

sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học toán nói riêng là một yêu cầu
cấp bách.
Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn
đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Nhà toán học nổi tiếng Polya đã đi
sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học và
cho ra mắt tác phẩm Sáng tạo toán học. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của
luận văn này là “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông
trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân”.

2 Mục đích nghiên cứu
Đề xuất phương án dạy và học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình
nhân theo định hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh,
nâng cao hiệu quả quá trình dạy và học.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy.
- Nghiên cứu nội dung dạy học về chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –
trung bình nhân.
- Đề xuất biện pháp dạy học giải bài tập bất đẳng thức theo định hướng bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Thực nghiệm sư phạm để tìm hiểu những khó khăn của giáo viên và học
sinh trong dạy học giải bài tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học
về dạy và học giải bài tập toán bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo ở
trường Trung học phổ thông.

4 Giả thuyết nghiên cứu
Khi tổ chức được hoạt động dạy và hoạt động học bất đẳng thức trung bình
3

cộng trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng
sáng tạo của luận văn thì sẽ rèn luyện được tính sáng tạo của học sinh, qua đó
nâng cao chất lượng dạy và học ở trường Trung học phổ thông.

5 Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1 Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu tài liệu lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học.
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến
thức có liên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân.
5.2 Nghiên cứu thực tiễn
Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này.
Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần
này.
5.3 Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp 10 trường Trung học phổ
thông Lạng Giang số 3 - Bắc Giang.

6 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài tập về bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân
trong chương trình toán Trung học phổ thông và các dạng toán nâng cao.

7 Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương
Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ
đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân.
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

4

Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Tƣ duy
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên
hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực
khách quan mà trước đó ta chưa biết. [29]
Theo từ điển triết học “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong
quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực
tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ
tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời
nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con
người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và kết quả của tư
duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình
như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất
định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý
niệm. Kết quả cuối cùng của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.
Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm của tư duy.
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng
đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con
người nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
5

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì
tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối
liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của sự vật hiện tượng trong
hiện thực khác quan mà trước đó con người chưa biết.

1.2 Tƣ duy sáng tạo
1.2.1 Khái niệm về sáng tạo
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.
Theo tác giả [12] “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều
kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng
tạo của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng
tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” .
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và
có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thề hiện ở chỗ phát hiện ra
vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý
tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất.
Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình: Tư duy
tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền
đề tạo nên mức độ tư duy đi sau.
Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau:
Tư duy sáng ta ̣o
tạo tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực

6


Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo .
Theo [20] “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện
cần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của
của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra
cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn
mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” .
Theo [10] Tư duy sáng tạo là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự sản sinh ra
sản phẩm mới và xác lập các thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằm
tạo ra nó. Các thành phần mới này có lên quan đến miền động cơ, mục đích,
đánh giá, các ý tưởng của chủ thể sáng tạo.
Tư duy sáng tạo được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng sẵn có.
Tâm lý học người Đức Mehlhowcho rằng “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của
sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo ông, tư
duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ
như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác.
Trong khi đó, Tác giả [24] lại cho rằng “Tư duy sáng tạo đó là những năng
lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức
năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách
dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự
khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám
hiểm”.
Trong cuốn “Sáng tạo Toán học”, G.Polya [26] cho rằng: “Một tư duy gọi
là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có
thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài
toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số
lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy
càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những

phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc làm của người giải
có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy
7


không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có
hiệu quả”.
Tác giả [11] Sáng tạo là hoạt động tạo ra bất cứ cái gì có đồng thời tính mới
và tính ích lợi (trong phạm vi áp dụng cụ thể).
- Bất cứ cái gì: ở bất cứ lĩnh vực nào của thế giới vật chất và tinh thần.
- Tính mới: là sự khác biệt của đối tượng cho trước so với đối tượng cùng loại
ra đời trước đó về mặt thời gian.
- Tính ích lợi: như tăng năng suất, tăng hiệu quả, tiết kiệm, giảm giá thành,
thuận tiện khi sử dụng, thân thiện với môi trường…, tính ích lợi có thể mang
đến cho bản thân, cho gia đình, cho cộng đồng, cho nhân loại.
- Phạm vi áp dụng: chỉ đúng trong không gian, thời gian, hoàn cảnh , điều
kiện… cụ thể, nếu vượt ra ngoài thì có thể biến lợi thành hại.
Như vậy, để biết bất cứ cái gì có sáng tạo hay không, bạn phải so sánh cái đó
với cái trước nó, nếu cái đã thay đổi nghĩa là nó mới hơn so với cái cũ đồng
thời mang lại tính ích lợi cho bạn, cho cộng đồng hay cho nhân loại
trong phạm vị áp dụng cụ thể thì bất cứ cái gì đó đã là sáng tạo.
Như vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng tạo,
nhưng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một dạng tư
duy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tư duy tái tạo về bản chất, tư duy
sáng tạo là sự mới mẻ của tư duy (đồng thời đây cũng là điểm phân biệt giữa
tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo). Sự khác biệt giữa tư duy sáng tạo với tư
duy tái tạo là sự sản sinh ra cái mới.
1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo
a) Tính mềm dẻo
Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức,

chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại
sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong
8


mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản chất của sự vật và
nhiều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ
dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người.
Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận
dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,
khái quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự.
Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác. Điều chỉnh kịp thời
hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại...
- Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh nghiệm,
kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu
tố thay đổi. Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những
phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước.
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới
của đối tượng quen biết.
b) Tính nhuần nhuyễn
Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng
lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Là khả
năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện
ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất
lượng.
Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:
- Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều

giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề
cần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề
xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối
ưu.
9


- Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn
sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìn
bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
c) Tính độc đáo
Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức lạ hoặc duy nhất.
Các đặc trưng của tính độc đáo:
- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
- Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên ngoài
tưởng như không có mối liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
d) Tính hoàn thiện
Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý
tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
e) Tính nhạy cảm vấn đề
Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, những sai lầm,
thiếu logic, chưa tối ưu,...và từ đó đưa ra những đề xuất hướng giải quyết, tạo
ra cái mới.
Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính
chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán.
Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho
việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính

nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể
tìm được phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có
mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn
thiện, tính nhạy cảm vấn đề... Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp
phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của
con người.
10


1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chƣơng trình phổ thông
1.3.1 Chương trình sách giáo khoa
Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung bất đẳng thức được dạy trong 3
tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập.
Bài tập chính trong sách gồm có 8 bài, không có bài tập ứng dụng vào thực
tiễn. Bài tập làm thêm gồm 4 bài 14, 15, 16, 17 trang 42 sách bài tập.
Sách giáo khoa nâng cao năm 2007, nội dung bất đẳng thức được dạy trong
5 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 3 tiết bài tập. Bài tập trong sách gồm có 20 bài
tập chính thức và 10 bài tập làm thêm.
Bài tập đã có tính ứng dụng vào thực tiễn nhưng không có nhiều.
Sách giáo khoa năm 2007 có nhiều ví dụ hơn, trình bày dễ hiểu hơn nhằm
khuyến khích học sinh tự học, tuy nhiên có vất vả hơn.
1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông
- Trong chương trình toán Trung học phổ thông, bất đẳng thức là một
chuyên đề khó. Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơ
bản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và những tính chất cơ bản
của bất đẳng thức. Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AMGM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Với lí thuyết như vậy học sinh lớp
10 khó có thể vận dụng linh hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức.
- Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong
trường Trung học phổ thông, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương
pháp điều tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó khăn từ phía

học sinh từ đó điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng.
- Theo bộ sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải
cách giáo dục, phần bất đẳng thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10.
Đây là phần kiến thức khó đối với học sinh thường xuất hiện trong các đề thi
tuyển sinh và chọn học sinh giỏi. Chính vì vậy mà dạy nội dung này trở nên
khó khăn hơn một số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học
11


sinh tìm ra hướng giải quyết mỗi bài toán một cách đơn giản nhất, giúp học
sinh hứng thú và chủ động hơn trong học tập.
- Để tìm hiểu rõ hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường Trung học
phổ thông. Tôi đã tiến hành quan sát, dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp,
sau khi điều tra phân tích tôi thu được kết quả thực tế là nhiều học sinh cho
rằng bất đẳng thức là chủ đề khó, đặc biệt là việc áp dụng trong giải toán.
1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức
trung bình cộng – trung bình nhân
Nhìn chung bất đẳng thức là một phần rất khó đối với học sinh. Thời gian
dành cho việc luyện tập bất đẳng thức còn ít.
Đối với những lớp học sinh đại trà, sức học yếu có khi giáo viên dạy cho có
chứ không hy vọng học sinh làm được loại bài này.
Bất đẳng thức được dạy cho học sinh từ các lớp Trung học cơ sở, nhưng nó
được dạy tập chung nhất ở chương trình đại số lớp 10 Trung học phổ thông.
Các bài tập trong sách giáo khoa chỉ nhằm mục đích giới thiệu một số dạng
toán điển hình trong việc chứng minh bất đẳng thức vì vậy bài tập thì ít nhưng
mỗi bài một dạng gây khó khăn cho học sinh khi làm bài.
Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị một ít phút trước khi
lên lớp sau đó giáo viên gọi học sinh khá lên chữa bài.
Như vậy mô hình chung giáo viên đã bỏ qua lớp học sinh có lực học trung
bình và yếu. Do đó học sinh yếu ngày càng sợ học hơn, ngày càng bị bỏ rơi.

Một số bài toán được phát triển theo hướng khái quát hoá và đặc biệt hoá
cho đối tượng học sinh khá và học sinh giỏi.
Việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh chưa đầy đủ, thường các thầy cô
chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, chưa chú ý đến khả năng quy nạp
cho học sinh. Thời gian không cho phép dạy học toán nói chung và dạy học
bất đẳng thức nói riêng bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi có
dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa các ý kiến trái ngược hay các tình
huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các
12


giải pháp.
Hình thức học nói chung còn chưa đa dạng, phong phú, cách truyền đạt đôi
lúc chưa cuốn hút học sinh vào bài học. Học sinh tiếp nhận kiến thức còn thụ
động.
Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức, cao hơn nữa cũng
chỉ là dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một số kĩ năng nhất định chứ
chưa làm được vai trò của người khơi nguồn sáng tạo, kích thích học sinh tìm
tòi.
Thuận lợi cho việc dạy học bất đẳng thức là ở chỗ đây là một bài toán có
mặt rất thường xuyên trong các đề thi đại học vì vậy một phần lớn học sinh
vẫn muốn tìm hiểu và nắm chắc kiến thức về bất đẳng thức.

1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh
1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh
những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức
Quan điểm này cho rằng để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học
sinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các tư duy, phân tích, tổng
hợp, so sánh, quy nạp, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát
hóa,…

Trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm.
Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho
học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình
phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải
của một bài toán, hướng chứng minh một định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắc
các khái niệm các mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng
minh, từ đó mà nhớ lâu các công thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại
được.
1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo
13


cho học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn và tính nhậy cảm vấn đề.
Trên cơ sở đó để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình
dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo. Có
thể khai thác từng nội dung giảng dạy, có thể đề xuất các câu hỏi sư phạm
nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học
sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học
thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo.
Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo
viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư
duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng
công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù
hợp với điều kiện mới; những bài có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh
phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập
trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp
cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng thời với việc hình
thành các liên tưởng thuận.

1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh
Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu
trong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm
tòi, khám phá kiến thức mới. Nói cách khác là vận dụng tối đa phương pháp
dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp.
Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải
chứng minh, bài tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để phát hiện vấn đề và
giải quyết vấn đề. Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quả
mới từ các bài toán đã giải.

14


1.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu
dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học
Phát triển năng lực tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành
thường xuyên hết các tiết học này sang các tiết học khác, năm này sang năm
khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các
hoạt động ngoại khóa. Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện
khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống trong thực tế,
trong việc viết báo toán với những đề toán tương tự sáng tác, những cách giải
mới khai thác từ các bài toán đã giải.

15


Kết luận chƣơng 1
Luận văn đã nêu ra được các khái niệm về tư duy, tư duy sáng tạo. Đưa ra
thực trạng về việc học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông, từ đó
luận văn đưa ra một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

16


Chƣơng 2 RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN
2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân
a) Các đại lượng trung bình của hai số không âm
Với hai số không âm a, b. Kí hiệu
A

ab
2

là trung bình cộng của hai số a, b.

G  ab
là trung bình nhân của hai số a, b.
Q

a 2  b2
2

là trung bình toàn phương của hai số a, b.

H

2
1 1


a b

là trung bình điều hòa của hai số dương a, b.
Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H .
Chứng minh. Từ



a b



2

 0 ta suy ra

ab
ab
 ab , a  2 ab  b  0 ,
 ab .
2
2

hay A  G.

(1)

Từ  a  b   0  a 2  2ab  b 2  0  a 2  b 2  2ab hay
2

a 2  b2 a  b
2 a  b    a  b 

2
2
2

2

2

hay Q  A.

(2)

17


Mặt khác
2

 1
1
1 1
2
2

 ab 


 0  
1 1
b
a b
ab
 a

a b

hay G  H .

(3)

Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q  A  G  H .
Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a  b.
- Mở rộng ra cho n số không âm a1, a2 , a3 ,..., an ta cũng có
A

a1  a2  a3  ...  an
n

là trung bình cộng của n số a1, a2 , a3 ,..., an .
G  n a1a2a3...an

là trung bình nhân của n số a1, a2 , a3 ,..., an .
Q

a12  a2 2  a32  ...an 2
n

là trung bình toàn phương của n số a1, a2 , a3 ,..., an .
H

n
1 1 1
1
    
a1 a2 a3
an

là trung bình điều hòa của n số dương a1, a2 , a3 ,..., an .
Ta cũng có bất đẳng thức Q  A  G  H . Dấu “=” xảy ra khi
a1  a2  a3  ...  an .

Chú ý. A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung
bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình
toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa).
b) Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân
Cho n số thực không âm a1, a2 , a3 ,..., an , n   , n  2 ta luôn có

18