SKKN BĐT Côsi lớp 8 (nên có)

Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Phần thứ nhất: lý do chọn đề tài
I. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức cô si là bất đẳng thức quan trọng bậc nhất trong chơng trình
THPT. Tuy nhiên trong áp dụng nó vào chứng minh các bài toán về bất đẳng
thức tôi nhận thấy các em còn một số hạn chế sau:
+Lúng túng thụ động, không biết bắt dầu từ đâu, phân tích bài toán nh thế
nào?
+Cha nắm kỹ về bất đẳng thức cô si và các hệ quả thờng áp dụng của nó.
+Sử dụng bất đẳng thức cô si một cách máy móc, không linh hoạt hiệu
quả.
Các ứng dụng của bất đẳng thức cô si là rất phong phú đa dạng. Đặc biệt
trong đại số, lợng giác và hình học,..., trong tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, trong
nhận dạng tam giác...
Bất đẳng thức cô si là bất đẳng thức quan trọng, tuy nhiên trong phân phối
chơng trình chỉ có tiết. Số lợng bài tập hạn chế, cha phong phú.
Để khắc phục hạn chế trên và giúp các em có thêm một tập tài liệu tham
khảo. Tôi mạnh dạn đa ra một vài kinh nghiệm trong bài viết nhỏ này. Hy vọng
các em học sinh học tập hiệu quả hơn.
II. Biện pháp thực hiện.
Nh trên đã thấy để thực hiện đợc và có hiệu quả cần có nhiều công việc
phải làm:
Thứ nhất: Yêu cầu học sinh nắm vững lý thuyết về định lý cô si, các hệ quả th-
ờng gặp, trong tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Đặc biệt là một số bất đẳng thức
quen thuộc yêu cầu học sinh nhớ cách chứng minh cũng nh kết quả.
Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hớng các em phân tích một bài
toán:
1
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
+Vai trò các số hạng, nhân tử có bình đẳng không?
+bất dẳng thức có dấu bằng không? Nếu sảy ra thì các số hạng phải thỏa

mãn điều kiện nào? Từ đó định hớng cho phép áp dụng bất đẳng thức cô si cho
các số hạng, nhân tử nh thế nào mới hợp lý, phù hợp với giả thiết bài toán. Làm
đợc nh vậy bài toán coi nh giải đợc 5 phần.
Thứ ba: Khuyến khích các em biến đổi bất đẳng thức đã cho về các bất đẳng
thức quen thuộc đã biết cách giải. Bên cạnh đó sau khi giải toán cho các em so
sánh đối chiếu kết quả và rút ra kết luận.
Ngoài ra với mỗi bài tôi khuyến khích các em tìm tòi giải bài toán theo
cách khác, cách biến đổi khác...có thể là phơng pháp tam thức bậc hai hoặc bất
đẳng thức bunhiacopski. Công việc này rất có lợi cho t duy, cũng nh khả năng
tổng hợp kiến thức của các em.
III. Phạm vi nghiên cứu.
Đề tài đợc nghiên cứu trong phạm vi lớp 10 và 11 ở trờng THPT Triệu
Sơn 4
IV. Phơng pháp nghiên cứu.
1. Phơng pháp quan sát điều tra
2. Phơng pháp thực nghiệm và nghiên cứu sản phẩm hoạt động.
V. Nội dung.
Trong bài này tôi mạnh dạn đa ra các phần sau:
Phần 1: ứ ng dụng bất đẳng thức cô si trong đại số
A. Chứng minh bất đẳng thức đại số
B. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
C. Giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình
Phần 2: ứ ng dụng bất đẳng thức cô si trong l ợng giác
A. Chứng minh bất đẳng thức lợng giác
B.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
C. Nhận dạng tam giác
Phần 3: ứ ng dụng bất đẳng thức cô si trong hình học
VI. Định lý cô si

Cho n số a
1
,a
2
,...a
n
không âm. Ta có:
n
nn
aaanaaa ......
2121
+++
n=2 ta có:
2121
2 aaaa
+
Hệ quả:- Nếu a
1
+a
2
=const khi đó a
1
a
2
lớn nhất khi và chỉ khi a
1
=a
2
- Nếu a
1

a
2
=const khi đó a
1
+a
2
nhỏ nhất khi và chỉ khi a
1
=a
2
Phần thứ hai: Nội Dung
3
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Phần 1: ứ ng dụng bất đẳng thức cô si trong đại số
A.Chứng minh bất đẳng thức đại số
Bài 1: Cho a,b,c>0 chứng minh rằng:
abccba
9111
++
(1)
Giải:
Bất đẳng thức (1)
( )
9
111

++++
cba
cba
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số a,b,c và
cba
1
,
1
,
1
ta có:
3
3 abccba
++
;
++
3
1
3
111
abccba
( )
9
111

++++
cba
cba
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi:
cba
cba
cba
==





==
==
111
Chú ý: ta có thể phát biểu bài toán trên dới dạng:
Chứng minh rằng
0,,

cba
thì:
222222
9111
cbacba
++
++

Bài 2: Cho 3 số x,y,z không âm
Chứng minh rằng:
zyxzxyzxy 42353
++++
Giải:
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
( ) ( )
2
5
5;
2
3
3;
2
xz
zx
zy
yz
yx
xy
+

+

+

( ) ( )
zyx
xzzyyx
zxyzxy 423

2
5
2
3
2
53
++=
+
+
+
+
+
++
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi: x=y=z.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số dơng a,b,c ta đều có bất đẳng thức:
( )( )( )
( )
3
3
1111 abccba
++++
(1)
4
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Giải:
Bất phơng trình (1) tơng đơng:
3 222
3
3 222
3

33
3311
cbaabccabcabcba
cbaabcabcabccabcabcba
++++++
++++++++++
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số a, b,c và ab,bc,ca ta có:
3 222
3
2
222
3
33
3;3
cbaabccabcabcba
cbacabcababccba
++++++
++++
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi:
cba
cabcab
cba
==



==
==
Bài 4: Cho a,b,c bất kỳ chứng minh rằng
a.

cabcabcba
++++
222
(1)
b.
( ) ( )
cbaabccabcab
++++
3
2
(2)
Giải:
a. ta có:
ababba 22
22
+
tơng tự

bccb 2
22
+
;
caac 2
22
+
suy ra:
cabcabcba 222
222
++++
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi: a=b=c.

Chú ý: Có thể chứng minh bài trên bằng cách biến đổi tơng đơng đa về dạng:
( ) ( ) ( )
0
222
++
accbba
b. bất phơng trình (2) tơng đơng:
(2)
( )
cbaabcaccbba
++++
222222
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
;2
22222
cabcbba
+

;2
22222
abcaccb
+

bcabaac
22222
2
+
Suy ra:
( )
cbaabcaccbba

++++
222222
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Bài 5: Với a,b,c là 3 số dơng bất kì. Chứng minh rằng:
5
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
( )( )( ) ( )( )( )
222333
111111 cabcabcba
++++++
(1)
Giải:
Bất phơng trình (1) tơng đơng:
322323222333333333
333322323222
333333333333
1
1
bcacbacabcabcabaccbbacba
cbabcacbacabcabcab
cbaaccbbacba
++++++++++
+++++++
+++++++
Xét biểu thức vế trái:
A=
333333333
accbbacba
+++++
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

2333
2223332333
2333
3
3
3
caaac
cabcabcbabcccb
abbba
++
++++++
++
Tơng tự:
cbababaac
cbabcacabaccbbabcaacaccb
cabcbcbba
23333333
23322333333332333333
23333333
3
3
3
++
++++++
++
Suy ra:
cbabcacabcabcabaccbbacba
233223222333333333
++++++++++
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi:

cba
accbba
cba
==





==
==
333333
333
Chý ý: Nhiều bất đẳng thức ta cần phải có những phép biến đổi hợp lý, thêm bớt
làm xuất hiện số hạng mong muốn. Đặc biệt chú ý đến giả thiết bài toán, tính
đối xứng của biểu thức. Các ví dụ sau đây minh họa cho nhận xét trên.
Bài 6 : Cho a,b,c thỏa mãn:
1
111
222
=++
cba
.
Chứng minh rằng:
( )( )( )
64111
222
+++
cba
Nhận xét:+ a,b,c bình đẳng nên dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a=b=c

+
31
3
222
2
====
cba
a
+áp dụng cô si cho 2 số
aa 21
2
+
có hợp lí?
Giải:
6
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Ta có:
4
6222
2
27
4
333
11
aaaa
a
+++=+
Tơng tự:
4
6222

2
27
4
333
11
bbbb
b
+++=+
;
4
6222
2
27
4
333
11
cccc
c +++=+
Suy ra:
( )( )( )
( )
4
3
666
222
27
64111
cba
cba
+++

Mặt khác:
( )
3
666222
3
222222
2727
1
3
111
1
++=
cbacba
cbacba
Vậy nên:
( )( )( )
64111
222
+++
cba
Dấu bằng sảy ra:

33
111
1
333
222
222
333
======

==
===
cbacba
cba
cba
Chú ý: Bằng cách đặt
0;
1
2
>=
t
t
a
ta có thể phát biểu bài toán nh sau:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 chứng minh rằng:
64
1
1
1
1
1
1

+






+






+
cba
Bài 7: Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện: a
2
+b
2
+c
2
=1
Chứng minh rằng:

2
33
222222

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(1)
Nhận xét: Tơng tự nh trên a,b,c có vai trò bình đẳng. Dấu bằng sảy ra khi và chỉ
khi:
3
1
222
===
cba
Giải:
Bất phơng trình (1)
2
33
222222

+

+
+
+
+

ba
c
ac
b
cb
a
(*)
Xét
( )
( )( ) ( )( )
222
4
22
2
2
2
2
2
2
112
2
11
1
)(
1

)(
aaa
a
aa
a
a
a
af
a
a
af

=

=

=

=
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
7
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
( )( )
27
8
3
112
112
3
222

222
=








++

aaa
aaa
Vậy:
4
27
8
27.2
27
8
2
)(
444
2
aaa
af
==
Hay
2

2
33
)( aaf

Tức là:
2
2
2
33
1
a
a
a


Tơng tự:
2
2
2
33
1
b
b
b


;
2
2
2

33
1
c
c
c


Vậy nên:
( )
2
33
2
33
111
222
222
=++

+

+

cba
c
c
b
b
a
a
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi:

3
1
12
12
12
222
22
22
22
===





=
=
=
cba
cc
bb
aa
Bài 8: Cho
[ ]
1,0,,

cba
. Chứng minh rằng:
( )( )( )
1111

111
+
++
+
++
+
++
cba
ba
c
ca
b
cb
a
Giải:
Do
[ ]
( ) ( ) ( )
01;1;11,0,,
>
cbacba
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
( )( )( )
1
3
111
111
3
=

++++
++
baba
baba
Nên:
( )( )
ba
ba
++

1
1
11
Do a,b,c bình đẳng, không mất tính tổng quát.
Giả sử:
cba

khi đó ta có:
( )( )( )
1
1
1
1
1
1

1
111
111
111
=
++
++
=
++
+++
=
++

+
++
+
++
+
++

+
++
+
++
+
++
ba
ba
ba
ccba

ba
c
ba
c
ba
b
ba
a
cba
ba
c
ca
b
cb
a
Suy ra điều phải chứng minh.
8
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Bài 9: Cho a,b,c nguyên dơng. Chứng minh rằng:
3
cba
cba
cba
c
cba
b
cba
a
++

++++++
Giải : áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
( )
( )
3
3
1
3
1111
...
111
...
111
...
11
11.1
cba
cba
cba
cba
cba
cba
cba
cba
cccbbbaaa
cba
c
cba
b
cba

a
cba cba
cba
cba
cba
cba
c
cso
b
bso
a
aso
++

++
++
+++++++++++++
++++++
++
++
++

Chú ý: Một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức ngoài việc sử dụng bất
đẳng thức cô si ta cần kết hợp thêm việc đánh giá các bất đẳng thức khác,hoặc
sử dụng đạo hàm,..v...v
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x,y,z>0; x+y+z=1 thì:
xyz
xyz
zxyzxy
+

>++
2
18
Nhận xét: Bất đẳng thức không có dấu bằng
Giải:
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
3
222
3 zyxzxyzxy
++
Ta chứng minh:
xyz
xyz
zyx
+
>
2
18
3
3
222
(*)
Đặt
3
1
3
0
3
3
3

=






++
<=
zyx
ttxyz
Vậy:
3
1
0
<
t
Từ (*) suy ra:

0
2
6
130
2
18
3
2
18
3
3

2
3
3
2
3
3
2
>






+
>
+

+
>
t
t
t
t
t
t
t
t
t
( )

026
2
3
3
3
2
>+
+

tt
t
t
Đặt
26)(
3
+=
tttf








3
1
,0t
=
63)('

2
ttf
20)('
==
ttf
Bảng biến thiên:
9
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
t -
2
0
3
1

2
f(t) + 0 - - - 0 +
f(t)
Ta suy ra:
0
27
1
)
3
1
()(
3
1
>=
ftft
Suy ra t

3
- 6t + 2>0. Điều phải chứng minh.
Chú ý: Ví dụ sau đây thể hiện sự kết hợp giữa cô si và bunhiacopski.
Bài11: Cho x,y,z>0 thỏa mãn điều kiện:
4
111
=++
zyx
Chứng minh rằng:
1
2
1
2
1
2
1

++
+
++
+
++
zyxzyxzyx
Nhận xét: x,y,z có vai trò bình đẳng. Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z. Do
đó ta sử dụng cô si cho 2x,y,z là không hợp lí? Tại sao?
Giải:
Ta có:
4
2
42 yzxzyxxzyx

+++=++
Nên
4
2
4
1
2
1
yzx
zyx

++
Tơng tự:
1
2
1
2
1
2
1

++
+
++
+
++
zyxzyxzyx
;
4
2

4
1
2
1
xyz
zyx

++
Suy ra: A=








++
++
+
++
+
++
4
4
4
4
111
4
1

2
1
2
1
2
1
zyxxyz
zyxzyxzyx
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
4
3
4
4
4
4.34.33
111
33
111
3
111
==








++

++++
zyx
zyxzyx
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
3
4
34
3
4
3
3
34
4
4
1
3
4
3
111
1

=












++

xyz
zyx

xyz
10
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Vậy nên:
1
34
3.4.4
3.4
34
4
4
34
33
4
3
4
34
3
==
A
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
B . t ìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Theo phần trên ( lí thuyết), có một số dạng thờng gặp:
+ a+b = cosnt

tìm giá trị lớn nhất ab (a,b
0

) (tổng quát cho n số)
+ ab = cosnt

tìm giá trị nhỏ nhất a+b (a,b
0

)
Các ví dụ sau minh họa nhận xét trên.
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x
x
y
12
3
+=
với
( )
+
,0x
Giải:
( )
+
,0x
ta có
0
12
,
3
>
x
x
. Theo bất đẳng thức cô si ta có:

4
3
12
2
12
3
=+
x
x
Suy ra: Min y = 4. Đạt đợc khi
6
12
3
==
x
x
x
(do
( )
+
,0x
)
Chú ý: Ví dụ trên minh họa cho nhận xét trên. Tuy nhiên trong hầu hết các trờng
hợp ta cần phân tích một cách khôn khéo để có đợc một tích là một hằng số và
đảm bảo dấu bằng sảy ra, để dạt đợc giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
0;
1
2
2

>+=
x
x
xy
Hớng dẫn: Thực hiện cô si cho 2 số
2
1
,2
x
x
có hợp lý?
Giải:
ta có:
313
11
2
3
22
=++=+=
x
xx
x
xy
Suy ra: Min y =3 đạt đợc khi và chỉ khi
11
1
3
2
===
xx

x
x
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
3
2
x
xy
+=
với
( )
+
,0x
Nhận xét: Tích
const
x
x

2
3
2
,
ta phân tích nh sau:
11
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Giải:
Ta có:
5
5
6

6
222
33
2
3
27
2
5
.3.36
.8
5
3
2
3
2
3
2
22
2
=++++=+
x
x
xxx
xx
x
x
Vậy Min y=
5
27
2

5
đạt đợc khi và chỉ khi:
5
5
2
3
3
4
43
2
2
===
xx
x
x
Chú ý: Tiếp theo ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức dạng ab thỏa mãn:
constbaba
=+
;0,
Bài 15:
Cho
40
30


y
x
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
)32)(4)(3(),( yxyxyxf
+=

Chú ý: Ta phân tích sao cho tổng nhận đợc là một hằng số.
Giải:
Do
40
30


y
x
nên
032;4;3
+
yxyx
Ta có:
( ) ( )( )
yxyxyxyx 32312
3
1
26
2
1
)32)(4)(3(
+=+
366
6
1
3
3231226
6
1

3
3
==






+++

yxyx
Vậy Max
36),(
=
yxf
đạt đợc khi và chỉ khi:



=
=




=+
=

+=
=
2
0
634
632
3226
31226
y
x
yx
yx
yxx
yx
Thỏa mãn
Vậy max
36),(
=
yxf
đạt đợc khi x=0, y=2
Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
( )
3
1 xxy
=
với
[ ]
1,0

x
Giải:
Với
[ ]
011,0

xx
12
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Ta có:
( )
)1)(1)(1(3
3
1
)1)(1)(1(1
3
xxxxxxxxxxy
===
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 4 số: 3x,1-x, 1-x, 1-x ta có:
44
4
3
3
1
4
1113
3
1

=






+++

xxxx
y
Vậy max y =
256
27
đạt đợc khi và chỉ khi:
4
1
13
==
xxx
Bài 17: cho
3

a
,

4

b
,
2

c
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
abc
bcaabccab
I
432
++
=
Giải:
b
b
a
a
c
c
I
432

+

+

=
Ta có:

3

a
,
4

b
,
2

c
03,4,2

abc
22
1
2
22
2
1
2
222
=
+


=


c

cc
c
c
c
(áp dụng định lí cô si:
2
22
ba
ab
+

)
Tơng tự:
32
1
2
33
3
1
3
333
=
+


=

a
aa
a

a
a
4
1
2
44
2
1
4
444
=
+


=

b
b
b
b
b
b
Vậy
4
1
32
1
22
1432
++

+

+

=
b
b
a
a
c
c
I
Max
4
1
32
1
22
1
++=
I
đạt đợc khi và chỉ khi:





=
=

=






=
=
=
8
6
4
44
33
22
b
a
c
b
a
c
13
Ng ời thực hiện: Lê Xuân Thắng
Chú ý: Tiếp theo ta xét tới ví dụ phức tạp hơn, ngoài việc sử dụng cô si hợp lí ta
cần có những phép biến đổi và nhận xét tinh tế .
Bài 18: Cho 3 số dơng a, b,c thỏa mãn abc=1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
bcac
ab

abcb
ca
caba
bc
P
222222
+
+
+
+
+
=
Giải:
Ta có:
( ) ( )
cbacba
bc
caba
bc
+
=
+
=
+
3222
1
Do
aacbaabc
=
3

1,1,11
Nên
( )
( )
( )
( )
( )
3323
4
27
3
4
22
4
11
cba
cb
cba
cb
cbcb
a
cb
cba
cb
cba
cba
++
+
=

++
+







+






+
+
=
+
+
=
+

+

Tơng tự:
( )
( )
322
4
27
cba
ca
cbab
ac
++
+

+
;
( )
( )
322
4
27
cba
ba
bcac
ab
++
+

+
Vậy
( )

( ) ( )
22
2
272
4
27
cbacba
cba
P
++
=
++
++
=
Do
( )
931,,
2
++++
cbacbacba
nên
2
3
9
1
2
27
=
P
Suy ra: Min

2
3
=
P
đạt đợc khivà chỉ khi:
1
2
2
2
1
===











+
=
+
=
+
=
===
cba

ba
c
ca
b
cb
a
cba
C. g iải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng trình và hệ bất ph ơng trình.
Bài 19: Giải hệ phơng trình:



=+
=
63
9
3
yx
yx
Giải:
14