Giao An 11 Giai Tich Chuong III

Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
Phần hai
Ch ơng III : Dãy số - cấp số cộng - cấp số
nhân
Đ1: phơng pháp quy nạp toán học
Tiết theo PPCT :
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nẵm vững bản chất của phép chứng minh quy nạp toán học, các bớc cần tiến
hành khi chứng minh bằng phơng pháp quy nạp.
HS biết vận dụng phơng pháp chứng minh quy nạp toán học khi làm toán.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số .
B - Chuẩn bị kiến thức.
GV hớng dẫn HS đọc SGK.
C - Giảng bài mới:
1. Phép chứng minh quy nạp:
GV yêu cầu HS từ phần mở đầu, chuẩn hoá thành
các bớc cần tiến hành trong phép chứng minh quy
nạp.
GV chính xác hoá.
Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề phụ
thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n

0.
+Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 0.
+Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên
bất kỳ n = k

0 (giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng
với n = k + 1.
GV đặt câu hỏi: Nếu trong chứng minh trên, thay
cho yêu cầu n

0 bằng n

p thì ta phải thay đổi
phép chứng minh nh thế nào ?
GV nêu thành chú ý.
Chú ý: Nếu ta phải chứng minh một mệnh đề phụ
HS đọc phần mở đầu trong SGK
(tr85) và trình bày lại theo ý hiểu
của mình.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
67
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + ... + ab
n-2
+ b
n-1

)
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n

p (p

N
*
).
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
+Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = p.
+Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên
bất kỳ n = k

p (giả thiết quy nạp).
Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng
với n = k + 1.
2. Các ví dụ:
GV nêu các ví dụ.
VD1. Chứng minh rằng n N*, ta có:
(1)
GV có thể gợi ý bằng cách đặt các câu hỏi.
+ Bớc 1 phải kiểm tra với n = ?
+ Nội dung bớc 2 là gì ?
+ Đâu là giả thiết quy nạp ?
+ Sử dụng giả thiết quy nạp nh thế nào ?
GV chính xác hoá phần chứng minh của HS.
GV lu ý HS ghi nhớ kết quả của VD1.
VD2: Chứng minh rằng n

2 ta có:
n n n 1 n 2 n 1 n 1
a b (a b)(a a b ... ab b ) (2)

= + + + +
GV lu ý HS ghi nhớ kết quả của VD2.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trình bày cách giải.
Chứng minh:
* Với n = 1 thì VT = VP = 1
Mệnh đề (1) đúng.
* Giả sử (1) đúng với một số thụ
nhiên bất kỳ n = k

1, tức là:

( 1)
1 2 3 ...
2
k k
k
+
+ + + + =
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n
= k + 1, tức là:
( 1)( 2)
1 2 3 ... ( 1)
2
k k
k k

+ +
+ + + + + + =
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp có:
1 2 3 ... ( 1)k k
+ + + + + + =

( 1) ( 1)( 2)
( 1)
2 2
k k k k
k
+ + +
= + + =
Vậy (1) đúng với mọi n

1.
HS suy nghĩ và trình bày lời giải.
D - Chữa bài tập:
* Xem lại lý thuyết và các ví dụ.
* Ghi nhớ phơng pháp chứng minh quy nạp.
* Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 88).
68
( 1)
1 2 3 ...
2
n n
n
+
+ + + + =
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn

E - Chữa bài tập:
Đề bài Hớng dẫn
Bài 1(88). Chứng minh rằng n N*, ta có:

2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ...
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
Bài 2(88). Chứng minh rằng n N, ta có:

13 1 6
n
n
u
=
M
Bài 3(88). Chứng minh rằng n N, n 3, ta
có:
2 2 1
n
n> +
.
Bài 4(88). Chứng minh rằng n N*, ta có:
1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2n + (2n + 1) = n + 1.
Bài tập bổ sung:
Bài 5. Chứng minh rằng n N*, ta có:

( 1)( 2)
1.2 2.3 3.4 ... ( 1)
3
n n n
n n
+ +
+ + + + + =
Bài 6. Chứng minh rằng n N*, a là hằng
số và a > -1, ta có: (1 + a)
n
1 + na.
Bài 7. Chứng minh rằng n N*, ta có:

3 2
3 5 3 3
n
u n n n
= + + +
M
Bài 8. Chứng minh rằng n N, n 5 , ta có:
2
2
n
n
>
.
69
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
Đ2: dãy số

Tiết theo PPCT :
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nắm đợc định nghĩa dãy số và các khái niệm: dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số
bị chặn.
HS biết cách chứng minh một dãy số là tăng, giảm hoặc bị chặn.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số .
B - Kiểm tra bài cũ.
GV yêu cầu HS: Nêu phơng pháp chứng minh quy
nạp toán học.
C - Giảng bài mới:
GV đa ra các khái niệm: dãy núi, dãy số, dãy nhà,... và
yêu cầu HS nêu điểm chung của các khái niệm đó.
GV đa ra dãy số: 1, 5, 3, 2, 4, 7, ... . Đặt u
1
= 1, u
2
=
5, u
3
= 3, u
4
= 2, u
5
= 4, u
6
= 7, ....
* Cách đánh số nh trên có sự tơng ứng giống nh khái

niệm nào đã học ?
* Hàm số đó đi từ tập hợp nào vào tập hợp nào ?
GV chính xác hoá thành định nghĩa.
1. Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác 0
đầu tiên M = {1, 2, ..., m}. Hàm số u : M

R
i
#
u(i) = u
i
cho ta tập hợp {u
1
, u
2
, ..., u
m
} gọi là một dãy số hữu hạn
và viết dới dạng: u
1
, u
2
, ..., u
m
.
Định nghĩa 2: Hàm số u : N*

R
n

u(n) = u
n
cho ta dãy
số vô hạn : u
1
, u
2
, ..., u
n
, ... Trong đó u
n
gọi là số hạng
thứ n hay số hạng tổng quát.
Kí hiệu: dãy số (u
n
) hay u
n
.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và trả lời. (khái
niệm hàm số)
70
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
GV nêu ví dụ.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Ví dụ:
a) Cho dãy số
1

2n



. Viết dạng khai triển và tìm số
hạng tổng quát.
b) Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 3. Viết dạng khai triển.
GV khẳng định: Dãy số trên đợc gọi là dãy hằng.
2. Các cách cho dãy số:
GV nêu các cách cho và kèm theo ví dụ.
a) Cho số hạng tổng quát của dãy u
n
bằng công thức.
Ví dụ: Cho dãy số (u
n
) với
2 1
2 1
n
n
u
n

=
+
. Viết dạng khai

triển.
b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng của dãy số.
Ví dụ: Cho dãy số (u
n
) với u
n
là số nguyên tố thứ n.
c) Cho bằng phơng pháp truy hồi, tức là:
+ Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
+ Cho hệ thức truy hồi (là hệ thức biểu thị số hạng
thứ n qua số hạng hay vài số hạng đứng trớc nó).
Ví dụ 1: Cho dãy số
1
1
3
2 ( 2)
n n
u
u u n

=


= +

.
Tìm các số hạng của dãy.
Ví dụ 2: Cho dãy số
1 2
2 1

1, 1
( 3)
n n n
u u
u u u n

= =


= +

Tìm các số hạng của dãy.
GV: Dãy số cho trong ví dụ 2 gọi là dãy số Fibônaxi.
3. Cách biểu diễn hình học dãy số:
GV hớng dẫn HS biểu diễn dãy số trên trục số thông
qua ví dụ cụ thể.
Ví dụ. Biểu diễn hình học của dãy số
1
n



nh sau:
4. Dãy số tăng, dãy số giảm:
GV yêu cầu HS: Nhận xét về dãy số vừa biểu diễn. Từ
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
a) Dạng khai triển:

1 1 1 1
, , , ..., , ...

2 4 6 2n
và
1
2
n
u
n
=
.
b) Dạng khai triển: 3,3,3,..., 3,...
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
HS theo dõi ví dụ.
71
.. ..
.
.
u
5
u
3
u
2
u
1
u
4
0

1
1
2
1
4
1
5
1
3
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
đó nêu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm và cho ví
dụ?
HS suy nghĩ và trả lời.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV chính xác hoá.
Định nghĩa 1: Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy số tăng
nếu

n

N* ta có : u
n
< u
n +1
.
Vậy trong dãy số tăng thì: u
1
< u

2
< ... < u
n
< ...
Định nghĩa 2: Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy số giảm
nếu

n

N* ta có : u
n
> u
n +1
.
Vậy trong dãy số tăng thì: u
1
> u
2
> ... > u
n
> ...
Định nghĩa 3: Dãy số tăng và dãy số giảm đợc gọi
chung là dãy số đơn điệu.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

( )
1

)
1
)
3
1
)
n
n
n
n
a u
n
n
b u
c u
n
=

=

=
GV hớng dẫn HS nêu chú ý.
Chú ý:
1
0
) Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
2
0
) Dãy số u
n

tăng

u
n
- u
n -1
< 0 ,

n

N*.
Dãy số u
n
giảm

u
n
- u
n -1
> 0 ,

n

N*.
3
0
) Dãy số u
n
gọi là dãy số dơng nếu u
n

> 0,


n

N*.
Xét dãy số dơng u
n
, ta có:
+ Dãy số u
n
tăng


1
1
n
n
u
u
+
>
,

n

N*.
+ Dãy số u
n
giảm

1
1
n
n
u
u
+
<
,

n

N*.
GV nêu ví dụ.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của dãy số
1
n
n
u
n
=
+
.
GV yêu cầu HS nêu cách để nhận biết một dãy số là
tăng hay giảm.
HS theo dõi và ghi chép.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.

a) Dãy số giảm.
b) Dãy số tăng.
c) Dãy số này không là dãy số tăng,
không là dãy số giảm.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
ĐS: Dãy số tăng.
HS suy nghĩ và trả lời. (viết dạng
khai triển)
72
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn Sơn
5. Dãy số bị chặn:
GV yêu cầu HS nêu miền giá trị của các dãy số sau:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS

1 1 1 1
) , , , ..., , ...
2 4 6 2
) 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
a
n
b
GV nêu định nghĩa.
Định nghĩa:
+ Dãy số u
n
đợc gọi là bị chặn trên, nếu :


M sao cho

n

N*, u
n

[
M.
+ Dãy số u
n
đợc gọi là bị chặn dới, nếu :


m sao cho

n

N*, u
n


m.
+ Dãy số u
n
đợc gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn
trên vừa bị chặn dới, tức là:


m, M sao cho

n

N*, m
[
u
n

[
M.
GV đặt câu hỏi: Các số m, M nới trong định nghĩa
trên có phải là duy nhất không ?
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của dãy số
1
n
u
n
=
.
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của dãy số
2
1
n
n
u
n

= .
1
) 0 , *

2
) 1 , *
n
n
a u n N
b u n N
<

HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS suy nghĩ và giải ví dụ.
ĐS: dãy số bị chặn.
ĐS: dãy số bị chặn dới nhng
không bị chặn trên.
D - Chữa bài tập:
* Xem lại lý thuyết và các ví dụ.
* Ghi nhớ phơng pháp chứng minh một dãy số là tăng, giảm, bị chặn.
* Làm các bài tập 1 - 7 (SGK trang 94, 95).
E - Chữa bài tập:
Đề bài Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1(94). Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:

1
) ;
2
3 1
) ;
2 3
=

=
+
n
n
n
a u
n
b u
n

) ( 1) 2 ;
n
n
c u n=


nếu n chẵn

1 1 1 1 1
) , , , ,
2 4 8 16 32
2 5 8 11 14
) , , , ,
5 7 9 11 13
a
b
) 2, 4, 6, 8, 10 c
73
1
)

1
n
n
d u
n
n
ỡ
ù
ù
ù
ù
ù
=
ớ
ù
-
ù
ù
ù
ù
ợ