Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 20162017 Phòng GDĐT Trực Ninh có đáp án

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN TOÁN LỚP 9
Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------

Bài 1 (4,0 điểm).
1) Rút gọn biểu thức: A 
2) Cho A 

x2  x
x  x 1



5 3
2  3 5



3 5
2  3 5

x2  x
x  x 1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình
1) Giải phương trình :

x  2 x 1  x 2 x 1 

x 3
2

2) Giải phương trình: 2x 2  5x  12  2x 2  3x  2  x  5 .
Bài 3 (3,0 điểm).
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số
nguyên.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2  25  y( y  6)
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn
(O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với
A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.
a) Chứng minh CIJ CBH
b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng

a

b
c


2.
bc
c a
ab

-------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GD-ĐT
HUYỆN TRỰC NINH

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi : Toán 9

Câu

Nội dung
5 3

1. Rút gọn biểu thức: A 
Câu 1
(1,75đ)

5 3

A
A

2  3 5

3 5



2( 5  3)
2  ( 5  1)2



2  3 5

2  3 5
2(3  5)

2  ( 5  1) 2



Điểm


3 5
2  3 5

2( 5  3)
2 62 5



2(3  5)
2 62 5

2( 5  3)
2(3  5)

5 3
3 5



0,75
0,5
0,5

A2 2
x2  x
x2  x

x  x 1 x  x 1
a) ĐKXĐ: x  0

2. A 
Bài 1
(4 đ)





0,25
0,5





x x3 1
x x3  1
x2  x
x2  x
A




x  x 1 x  x 1
x  x 1
x  x 1

Câu 2
(2,25)





x

 x





 x





x 1 x  x  1

x 1 x  x 1

x  x 1

x  x 1



x 1  x





0,5

x  1  x  x  x  x  2 x

b) B  A  x – 1  2 x  x  1  x  2 x 1 





2

x  1  2  2

0,25
0,25

Dấu “=” xảy ra  x 1  0  x  1 ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

1) Giải phương trình :

x  2 x 1  x  2 x 1 

x3
2

ĐKXĐ : x  1

0,25

x  2 x 1  x  2 x 1 

Bài 2
(4 đ)

Câu 1
(2đ)

W: www.hoc247.net

x3
2

x3
 x 1  2 x 1 1  x 1  2 x 1 1 
2
2
2
x3


x 1  1 
x 1 1 
2
x3
 x 1  1  x 1 1 
(*)
2
Nếu x  2 phương trình (*)
x3
x3
 x 1  1  x 1 1 
 2 x 1 
 4 x 1  x  3
2
2
 16( x 1)  x2  6 x  9  x2 10 x  25  0  ( x  5)2  0  x  5 (TM)



0,5







F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0,5
0,25
0,25
0,25


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Nếu 1  x  2 phương trình (*)
 x 1  1  1  x 1 

x3
x3
2
 4  x  3  x  1 ( TM)
2
2

0,25

Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5
2) Giải phương trình: 2 x2  5x  12  2 x2  3x  2  x  5 .

0,25

Đặt u  2 x2  5x  12, v  2 x2  3x  2 ( u  0, v  0)

0,25

 u 2  2 x2  5x  12, v2  2 x2  3x  2  u 2  v2  2 x  10  2( x  5)

0,25
0,25
0,25

Từ (1)  2(u  v)  (u  v )  (u  v)(u  v  2)  0 (2)
Vì u  0, v  0 , từ (2) suy ra: u  v  2  0 . Vì vậy
2

2

2 x2  5x  12  2 x 2  3x  2  2 (3)

Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2
Câu 2
(2đ)

2 x 2  3x  2  x  3
 x  3
 x  3
 x  3  0





2
2

2
2 2 x  3x  2  x  3 7 x  6 x  1  0 (7 x  7)  (6 x  6)  0
 x  3

( x  1)(7 x  1)  0
 x  3
1


1  x  1, x   tm 
7
 x  1, x  7

Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x=

Câu 1
(1,5đ)

Bài 3
(3 đ)

1
7

0,25
0,5

0,25

1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là

lập phương của một số nguyên.
Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên.
Suy ra: 2016k = a3 - 3
Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7.

0,5

Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1;2; 2;3; 3 .

0,25

Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết
cho 7

0,5

Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3  2016k. ĐPCM
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

0,25

x2  25  y( y  6)

Câu 2
(1,5đ)

W: www.hoc247.net

Từ x2  25  y( y  6)
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16

Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó
ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.
Khi đó: y+3+x  y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích
của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn.
F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0,25

0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
-16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị
(y+3+x).
Khi y

3

Khi y

3 x

Khi y

3 x

3

x

2 ta có x = 5 , y = 0.

4,y

3

x

2,y

3

x

4 ta có x = 4 , y = -3.
8 ta có x = 5 , y = -6.

x

8,y

0,25

0,5

Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm:

 x, y   5,0 ;  5, 6 ;  4, 3 .

D

Bài 4
(7 đ)

C

E

I

A

J

H

B

O

+ Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC  BC
Suy ra BC  CD (1)
Câu a (1,5 + Lập luận để chỉ ra IJ // CD (2)
đ)

+ Từ (1) và (2) suy ra IJ BC
+ Suy ra CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) (3)
+) Trong  vuông CBH ta có: tan CBH

Câu b
(2 đ)

0,5

+ Lập luận chứng minh được CJ // AB
+ Mà CH  AB (gt)
+ Suy ra CJ  CH

+ Từ (3), (4), (5) 
+ Xét
+ Nên

0,5

CJ
CI

CJ
CI
HI

HI (5)

0,5

CH CJ

HB HI

CJH và HIB có HCJ  BHI  900 và
CJH đồng dạng với

CH CJ

(cmt)
HB HI

F: www.facebook.com/hoc247.net

0,5

HIB

Câu c (1,5
đ)
+ Lập luận để chứng minh được HEI  900
W: www.hoc247.net

0,5
0,5

CH
(4)
BH

+) Trong tam giác vuông CIJ ta có tan CIJ

0,5

T: 098 1821 807

0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

+ Chứng minh được HEI đồng dạng với HCJ
+ Suy ra

0,5

HE HI

HC HJ

+ Suy ra HE.HJ = HI.HC
1
2

0,5

1
2

+ Mà HJ  HD; HI  HC

+ Suy ra HE.HD = HC2
C
M

450
A

Câu d
(2 đ)

H

O

K

N

B

+ Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho BOM 450
+ Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N. Ta có M và
N cố định.
+ Kẻ MK  AB tại K
+ Chứng minh được MON vuông cân tại M và KM = KN
Suy ra ANC  450
Xét C M
Ta có C M nên H K
Do đó AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi)

0,5

+ Xét C khác M.
Tia NC nằm giữa hai tia NA và NM
Do đó ANC ANM 450
+ HNC có NHC 900
nên HNC HCN 900
Mà HNC 450 nên HCN 450
Suy ra HNC HCN
Suy ra HC < HN

0,5

0,5

0,5
+ Do đó AH + CH < AH + HN = AN
+ Vậy Khi C ở trên nửa đường tròn (O) sao cho BOC
+ CH đạt giá trị lớn nhất
Chứng minh rằng
Bài 5
(2 đ)

W: www.hoc247.net

450 thì AH

a
b
c



 2.
bc
ca
ab

Áp dụng BĐT Cauchy ta có a  b  c  2 a  b  c  

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

a
2a

bc abc

0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chứng minh tương tự ta được

0,5

b
2b
c

2c

;

ca abc ab abc
2a  b  c
a
b
c
Suy ra



2
bc
ca
ab
abc
a  b  c

Dấu bằng xảy ra  b  c  a  a  b  c  0 (Trái với giả thiết)
c  a  b


Vậy dấu = không xảy ra suy ra đpcm.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0,5
0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807