Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 20162017 Phòng GDĐT Tư Nghĩa có đáp án

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (3,0 điểm)
x2  2 x 1
1
1
 .(

)
3
x 1 2 1 x  2 1 x  2

Cho biểu thức A 

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2: (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2  2015x  2014  2 2017 x  2016 .
b) Chứng minh rằng:

1 1
  2 biết x 3  y 3  3(x 2  y 2 )  4(x  y )  4  0 và x.y > 0.

x y
1

c)Cho x, y, z thỏa mãn  
x


1 1 
1
 :
 1.
y z   x  y  z 









Tính giá trị của biểu thức B  x21  y 21 y11  z11 z 2017  x2017 .
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: 20n  16n – 3n – 1 323





b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: ( y  2) x2017  y 2  2 y 1  0

Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
b) Chứng minh

HD
AD

HE
BE

HF
CF

1

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó
sao cho góc CAB 450 , góc DAB 300 . AC cắt BD tại M. Tính diện tích tam giác ABM theo R

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài

Nội dung

1a
(1,0đ)

x  2  0
 x  2

a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa :  x3  1  0  
 x  1

x

2

1


Điể
m

1,0đ

b) Rút gọn biểu thức A
A

1b
(1,0đ)

x2  2 x 1
1
1
x( x  2)
1
2
 .(

)
 .
3
2
x 1 2 1 x  2 1 x  2
( x  1)( x  x  1) 2 1  ( x  2)

x( x  2)
1
x( x  2)  ( x  x  1)


2
( x  1)( x  x  1) x  1
( x  1)( x 2  x  1)
( x  1)
1

 2

2
( x  1)( x  x  1) x  x  1

1,0đ

2



a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

1
1

x  x  1 ( x  1 )2  3
2
4
1
3
Ta có A nhỏ nhất khi ( x  )2  đạt giá trị nhỏ nhất
2
4
4
1
1
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là
khi x  = 0  x 
3
2
2

Ta có A 
1c
(1,0đ)

2

a) Giai phương tr nh: x2  2015x  2014  2 2017 x  2016
2016
Điều kiện x 
2017
Phương trình đã cho tương đương với
x2  2 x  1  2017 x  2016  2 2017 x  2016  1  0

  x  1 
2

2a
(2,0đ)





1,0đ

1,0đ

2

2017 x  2016  1  0


x 1  0


 2017 x  2016  1  0
x  1

2017 x  2016  1
 x  1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x  1 là nghiệm của phương trình đã cho.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

1,0đ


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

b) Chứng minh:

1 1
  2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y >
x y

0.
Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0
 (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0
 ( x2 – xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0
 ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0

1,0đ

1
.( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0
2
1
 .( x + y + 2). ( x  y)2  ( x  1)2  ( y  1)2  2 = 0
2
 x+y+2=0
 x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0


2b
(2,0đ)

( x)  ( y) ( x  y) 2

 1
2
2
2
1
2
1 1 x  y 2

 -2 Mà M   
Do đó xy  1 suy ra 1 
hay

xy
xy
x y
xy
xy
1 1
Vậy M    2 (đpcm)
x y

Áp dụng BĐT CauChy ta có ( x)( y) 


1 1 
1
 :
  1.
x
y
z
x

y

z

 


21
21
11
Tính giá trị của biểu thức B  x  y
y  z11 z 2017  x2017

1,0đ

1

Cho x, y, z thỏa mãn  



2c
(2,0đ)





1 1 1 

1 1 1
1
Ta có:     : 
 1     x  y  z  1
 x y z   x y z 
x y z

 (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
 xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
 (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
 x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = 0
x   y
2
 (yz + zx + y + yx)( x+ z) = 0  ( x  y)( y  z)( x  z)  0   y   z
 z   x

Thay vào B tính được B = 0
Với n chẵn (n  N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 1 323
Ta có: 323 = 17.19
3a  20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)
(2,0đ) 20n – 1 19
16n – 3n 19 (n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n – 1 19
(1)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807



1,0đ

1,0đ

1,0đ


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1)
20n – 3n 17
16n –1n 17 (n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n – 1 17
(2)
Mà (17; 19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1 323
b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: ( y  2) x2017  y 2  2 y 1  0
Nếu y + 2 = 0  y  2 lúc đó phương trình có dạng 0 x2017 1  0 (vô
nghiệm).
3b
(2,0đ)

Nếu y  2 thì ta có x 2017 

1,0đ

1,0đ

y2  2 y 1
1
 y
y2
y2

1

nguyên y  2  Ư(1)  1;1 .
y2
Với y  2  1  y  3  x2017  4 (loại)
Với y  2  1  y  1  x2017  0  x  0

Vì x,y nguyên nên

Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là: x = 0,y = -1

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

1,0đ


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a) Chứng minh SAHG = 2SAGO
 Tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK
Nên KC vuông góc với AC
Mà BE vuông góc với AC (gt)
A
Suy ra KC // BE hay KC // BH
Chứng minh tương tự ta có KB // CH
Nên tứ giác BHCK là hình bình hành
F

E

H
G

B

1,0đ

O

D M

C
K

Gọi M giao điểm của BC và HK nên
 M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG =
AM
 M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của tam giác
AHK.
4
(4,0đ) Mà G thuộc đoạn AM và AG = 2 AM nên G là trọng tâm của tam giác

2
3

1,0đ

3

AHK
Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của tam giác
AHK
Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO
 Tam giác AHG và tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và
HG = 2GO
Do đó SAHG = 2SAGO
HF
1
CF
1
HD.BC
HD HE HF 2
Ta có:
AD BE CF 1 AD.BC
2
S
S
S
HBC
HAC SHAB
HBC
S
S
S
ABC
ABC
ABC

b) Chứng minh

HD
AD

HE
BE

1
1
HE.AC
HF.AB
2
2
1
1
BE.A C
CF.AB
2
2
S
S
S
HAC
HAB = ABC = 1
S
S
ABC
ABC

Tính diện tích tam giác ABM theo R

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

2,0đ


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

M
C
D
N

5
(3,0đ)

1,0đ
A

B

H

O

Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB
Chứng minh góc AHM 900 ; mà góc CAB 450 (gt) nên tam giác AHM
vuông cân
 MH = AH
(1)
 MH + HB = AH + HB = 2R
* Tam giác MHB vuông tại H
 HB = MB.cos MBH  MB =

HB
HB
=
= 2HB
cos MBH cos 600

 MH = MB.sinMBH  MH

MB.sin 600

MH
3

3.MH
3

W: www.hoc247.net

AB.MH
2

HB. 3

 HB =

2,0đ

(2)

Từ (1) và (2) ta có MH +
Vậy: S

MB. 3
2

1
.2R.(3
2

3.MH
3
3) R

2R
(3

F: www.facebook.com/hoc247.net

MH

6R

3

3

3) R 2

T: 098 1821 807

(3

3).R


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807