Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 20162017 Phòng GDĐT Lục Nam có đáp án

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
Ngày thi: 6/10/2016
Thời gian làm bài:150 phút

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 (4,0 điểm)


xy  x

 

1) Rút gọn biểu thức A   x  1 
 1 : 1 
 xy  1 1  xy
 

 
x  0; y  0; xy 1 .


2) Cho x 



3  1 . 3 10  6 3
21  4 5  3

xy  x
xy  1





x  1  với

xy  1 



2017

, tính giá trị biểu thức P  x 2  4x  2

.

Câu 2 (5,0 điểm)
1) Cho x 

2 1
2 1

là một nghiệm của phương trình: ax 2  bx  1  0 . Với a, b là các số hữu

tỉ. Tìm a và b.
2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh P 20 – 1 chia hết cho 100.
3) Cho a, b, c là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng:

a4  b4  c 4  2a2b2  2a2c2  2b2c2
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x sao cho x 3 – 3x 2  x  2 là số chính phương.
2) iai phương tr nh:

x 2  3x  2 x  2  2x  x 

6
5
x

Câu 4 (6,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối của
tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. ọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là I và M.
Tia BM cắt ND tại P.
1) Chứng minh IC.CN = IN.CM.
2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD.
3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất.
Câu 5 ( 1, 0 điểm)
1
a

1
b

1
c

Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . Chứng minh rằng a 5  b5  c5     6.
------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .........................................................Số báo danh:..................................
iám thị 1 (Họ tên và ký)......................................................................................................
iám thị 2 (Họ tên và ký)......................................................................................................
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM

Câu
Câu 1

Hướng dẫn giải

1.1

 xy  1   xy  11  xy 
 xy  11  xy 

 xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy 

 xy  11  xy 
 x  1 1  xy    xy  x  xy  1   xy  11  xy 

 xy  11  xy    xy  x  xy  1   x  1 1  xy 






 

x  1 1  xy 

xy  x

1 x  1
x y  xy
xy


x



3  1 . 3 ( 3  1)3
( 20  1)  3

(2.0 điểm)



2
2( 5  2)

0.75

0.5

0.75



( 3  1)( 3  1)

2

1.2

Điểm

với x; y  0, xy 1
A

(2.0 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

0.75

20  4

 5  2.

0.5

 x2  4 x  1  0  P  1

0.5
0.25

Câu 2

Ta có
Vì x 
2.1
(2.0 điểm)

2 x
2 1
2 1

2 1
 3 2 2

2 1

0.25

là một nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + 1 = 0

Nên 17a  12a 2  3b  2b 2  1  0

0.5

 2 12a  2b   17a – 3b – 1
Do a, b là các số hữu tỉ nên - 17a – 3b – 1 và 12a + 2b là các số hữu tỉ
0.5

 2 12a  2b là một số hữu tỉ

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

12a  2b  0
a  1


17a  3b  1  0
b  6

=> 

0.25

Kết luận…
Ta có

p20

1

(p4

1)(p16

p12

p8

p4

1)

Do P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số lẻ
=> p2 + 1 và p2 – 1 là các số chẵn

0.5

=> p4 -1 chia hết cho 4
=> p20 -1 chia hết cho 4
2.2

(1.5 điểm)

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 => p là một số không chia hết cho 5
Lập luận được p4 -1 chia hết cho 5
Lập luận được p16

p12

p8

p4

1 chia hết cho 5

0.75

=> p20 -1 chia hết cho 25
Mà (4 ; 25) = 1
0.25

=> p20 -1 chia hết cho 100
a4  b4  c4  2a2b2  2a2c2  2b2c2
 a4  b4  c4  2a2b2  2a2c2  2b2c2  0

0.75

  a 2  b2  c 2    2b c   0
2

2

  a 2  b2  c 2  2bc   a 2  b2  c 2  2bc   0
2.3

(2.0 điểm)

  a  b  c)( a  b  c  (a  b  c)(a  b  c)  0

0.5

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác nên:
a  b  c  0; a  b  c  0; a  b  c  0; a  b  c  0

  a  b  c)( a  b  c  (a  b  c)(a  b  c)  0

0.75

Kết luận…
Câu 3

Ta có: x3 - 3x2 + x + 2 = (x-2)(x2 – x -1)
* Xét x – 2 = 0  x = 2 thỏa mãn bài toán; x 2 – x -1 = 0 (loại)
3.1
(2.0 điểm)

0.5

* Xét x - 2 = x2 – x -1 Suy ra x = 1
Xét x ≠ 2; x ≠ 1
Với x nguyên ta chứng minh được: (x – 2 ; x2 – x -1) = 1

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0.5

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Nên x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương khi x – 2 và x2 – x -1 cùng là số
chính phương.
Để x2 – x -1 là số chính phương thì x2 – x -1 = y2 với y  Z.

0.5

Tìm được x = 2 (không thỏa mãn x ≠ 2); x = -1
Thử lại x = - 1 ta có x3 - 3x2 + x + 2 có giá trị là -1 không phải là số chính
phương => x = - 1 loại

0.5

Vây x = 2 hoặc x = 1 thì x3 - 3x2 + x + 2 là số chính phương.
iai phương tr nh:
Đieu kien: x
x x

x

3.2
(2.0 điểm)

x 2  3x  2 x  2  2x  x 

6
 5 (*)
x

0.25

0.

3

x 3

x

2 x

2 2x

 x  2 x  3  2



x

 

x2

5x
x

6

0

x  2  2x  0
1.0



x 3

x  x 2 2 x  x 2 0
x

 x 3


 x  x 2 
 2  0


x







x  x  2  0 hoặc

x 3
20
x

Nếu x  x  2  0 Tìm được x = 2 thỏa mãn
x 3
 2  0 Tìm được x = 1 thỏa mãn
Nếu
x

0.75

Câu 4

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

B

A

C
I
M

N
D

P

K

+ Do ABCD là hình thoi => AB =BC = CD = AD = a

+ BI là đường phân giác của tam giác BNC =>

IC BC
a



IN BN BN

0.75

+ AM // BC, Áp dụng định lý Ta lét trong tam giác NBC ta có:
4.1

(2.0 điểm)

0.75

MC AB
a


CN BN BN

Nên

MC IC  a 


  IC.CN  IN .CM .
CN IN  BN 

0.5

+ Chứng minh được hai tam giác BNC và DCM đồng dạng (g.g)



1.5

BC BN

 DM.BN = a2
DM DC

Ta có AB = AD = a và BD = a => tam giác ABD đều  ABD  BDM  600 (1)
4.2.

(2.5 điểm)

Lại có DM.BN = a2 

a
BN
BD BN



(2)
DM
a
DM BD

Từ (1) và (2) => Hai tam giác MDB và DBN đồng dạng (c.g.c)
 BND  DBM

Xét hai tam giác DBP và DNB có góc D chung và BND  DBM
=> Hai tam giác DBP và DNB đồng dạng (g.g)  NBD  BPD  600

0.5
0.25
0.25

Vì S(ABD) không đổi => S(ADKN) lớn nhất khi S(ADKN) + S(ABD) lớn nhất hay
S(NBK) lớn nhất
4.3.
(2.0 điểm)

Thật vấy: S(NBK) =

1
NB.BK .Sin600 (HS phải chứng minh công thức này)
2

1
=> S(NBK) = NB.BK . 3
4

 NB  BK 
2
Lại có NB.BK  
 =4a
2



0.5

2

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

0.5
T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

=> S(NBK)  a 2 3
Dấu “ =” xảy ra khi BN =BK = 2a, mà AN + DK = 2a, BA = BD = a. Vậy N, K cách A,
D một khoảng là a.

Áp dụng bất đẳng thức cô si: a5 +
Suy ra a5 + b5 + c5 +
Câu 5

0.5

1
1
1
≥ 2a² ; b5 + ≥ 2b² ; c5 + ≥ 2c².

a
b
c

1 1 1
  ≥ 2(a² + b² + c²)
a b c

0.5

(1.0 điểm)

Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c
Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0.5

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về
kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng.
I. Luyện Thi Online

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
- Luyên thi ĐH, THPT Q với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
II. Lớp Học Ảo VCLASS

Học Online như Học ở lớp Offline
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
Các chương trình VCLASS:
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam
Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành
tích cao HS Quốc ia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH- Đ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng
TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
III. Uber Toán Học

Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, iáo viên Toán và iảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra độc
lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 7