Một số ý tưởng xây dựng câu hỏi trắc nghiệm môn Toán

MỘT SỐ Ý TƯỞNG XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
Nguyễn Minh Nhiên – Phòng KTKĐ Sở GDĐT
1. Liệt kê các tính chất.
Từ một đối tượng ta liệt kê các tính chất theo dạng các mệnh đề đúng sai từ đó chọn 4 hay
nhiều mệnh đề để ghép thành một câu, đảm bảo phải có một phương án đúng. Việc lựa chọn 4
hay nhiều tính chất giúp ta có nhiều câu hỏi ở mức độ khác nhau, hoặc chỉ cần thay thế bằng các
mệnh đề tương tự, ta có thể tạo ra nhưng câu hỏi ở mức độ tương đương. Số lượng câu hỏi càng
nhiều thì mức độ câu hỏi càng tăng.
2x + 1
xuất phát từ những tính chất qua khảo sát sự biến thiên và đồ
x+1
thị hàm số, ta có những mệnh đề sau:
TT
Mệnh đề
Đáp án
1 Tập xác định của hàm số là D = ¡ \ { - 1} .
Đ
2 Tập xác định của hàm số là D = ¡ .
S
3 Hàm số đồng biến trên ( - 1; +¥ ) .
Đ
Ví dụ 1. Cho hàm số y =

4
5
6
7
8
9

Hàm số nghịch biến trên ( - ¥ ;- 1) .

Hàm số đồng biến trên tập xác định.
Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;- 1) .
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = - 1.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = - 1.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2.

10

÷
- ;0÷
ç
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A ç
.
÷
ç
÷
è 2 ø

Đ

11

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A ( - 1;0) .

S

12

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B ( 0;1) .

Đ

13

÷
- ;0÷
ç
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm A ç
÷.
ç
è 2 ÷
ø

æ1 ö

æ1 ö

2x + 1
, hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
x+1
A. Tập xác định của hàm số là D = ¡ .

Câu 1. Cho hàm số y =

B. Hàm số đồng biến trên ( - 1;+¥ ) .
C. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A ( - 1;0) .
D. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = - 1.
Phương án đúng: B.
Câu 2. Cho hàm số y =

2x + 1
và các mệnh đề sau:
x+1

S
S
Đ
Đ
S
Đ

S


1) Tập xác định của hàm số là D = ¡ \ { - 1} .
2) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = - 1.
æ1 ö

÷
- ;0÷
ç
4) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm A ç
÷.
ç
è 2 ÷
ø

5) Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;- 1) .
Mệnh đề đúng là:

A. 1) và 3)
Phương án đúng: C.

B. 2) và 5)

C. 1) và 5)

D. 2) và 4).

Ví dụ 2. Cho số phức z = ( 1- 2i ) ( 4 - 3i ) - 2 + 8i và các mệnh đề sau:
1) Modun của z là một số nguyên tố
2) z có phần thực, phần ảo đều là số âm.
3) z là số thực
4) Số phức liên hợp của z có phần ảo là 3.
Số mệnh đề đúng là:
A. 1
B. 2
C.3
D. 4
2. Dựa vào khái niệm, định lí, tính chất.
Với các khái niệm, định nghĩa, định lí hay tính chất một trong những cách đặt câu hỏi phổ
biến là dựa vào điều kiện của các đối tượng trong ĐN, ĐL.
Với khái niệm lũy thừa ta có
Ví dụ 1. Cho ba hàm số f ( x) = x, g( x) = x2, h ( x) =

( x)

2

, khi đó mệnh đề nào đúng:

A. Đồ thị ba hàm số trùng nhau.
B. Đồ thị ba hàm số khác nhau đôi một.
C. Đồ thị hàm số f ( x) trùng với đồ thị hàm số h ( x) .
D. Đồ thị hàm số g( x) trùng với đồ thị hàm số h ( x) .
Phương án đúng: B.
Với các khái niệm điểm cực trị; hàm số, đồ thị hàm số, tính đơn điệu,…
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a;b) chứa điểm m. Cho các mệnh đề:
1) Nếu m là điểm cực trị của hàm số y = f ( x) thì f '( m) = 0.
2) Nếu f ( x) ³ f ( m) , " x Î ( a;b) thì m là điểm cực tiểu của hàm số f ( x) .
3) Nếu f ( x) < f ( m) , " x Î ( a;b) , x ¹ m thì m là điểm cực đại của hàm số f ( x) .


4) Nếu f ( x) ³ M , " x Î ( a;b) thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên ( a;b) .
5) Nếu f '( x) ³ 0, " x Î ( a;b) thì f ( x) đồng biến trên ( a;b) .
6) Nếu m là điểm cực trị của hàm số y = f ( x) thì tại điểm trên đồ thị có hoành độ m tiếp tuyến
tại đó song song với trục Ox.
Số mệnh đề đúng là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải
1) Sai vì hàm số có thể không có đạo hàm tại m.
2) Sai theo ĐN.
3) Đúng.
4) Sai vì thiếu ĐK $x0 Î ( a;b) , f ( x0 ) = M .
5) Sai vì thiếu ĐK f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm.
6) Sai vì tiếp tuyến có thể trùng với Ox.
Vậy phương án đúng là B.

Dựa vào định nghĩa tích phân xác định
Ví dụ 3. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ thỏa mãn các điều kiện
d

d

c

a

b

a

ò f ( x) dx = 10, ò f ( x) dx = 8, ò f ( x) dx = 7
c

Khi đó,

ò f ( x) dx bằng
b

A. - 5

B. 7

C. 5

D. - 7

Từ giả thiết ta có F ( d) - F ( a) = 10, F ( d) - F ( b) = 8, F ( c) - F ( a) = 7
c

ò f ( x) dx = F ( c) - F ( b) = éëêF ( c) - F ( a) ùûú+ éëêF ( d) - F ( b) ùûúb

éF ( d) - F ( a) ù= 5
ê
ú
ë
û

Vậy phương án đúng là C.
3. Dựa vào sai lầm trong giải toán.
a. Dựa vào sai lầm khi giải toán để tạo đáp án nhiễu
Ta có thể dựa vào những lỗi của học sinh khi nhận biết định nghĩa, định lí, tính chất.
Ví dụ 1. Cho hàm số y =

x +1
, mệnh đề nào sau đây là đúng
x- 1

A. Hàm số nghịch biến trên ( - ¥ ;1) È ( 1; +¥ ) .
B. Hàm số có tiệm cận đứng x = 1.
C. Đồ thị hàm số không có cực trị.
D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Phương án đúng: D


b. Da vo li thng gp khi trỡnh by li gii
Ta cú th kim tra hc sinh thụng qua vic tỡm li gii ỳng hoc tỡm li trong li gii

Vớ d 2. Khi gii bt phng trỡnh ( x2 - 3x) x2 - x - 2 0 mt hc sinh lm nh sau:

(x

2

)

- 3x

ỡù x2 - 3x 0
x - x - 2 0 ùớ 2
(bc 1)
ùù x - x - 2 0
ùợ
ỡù ộx 3
ùù ờ
ùù ờx Ê 0
ờ
ùớ ở
(bc 2)
ùù ộx 2
ờ
ùù ờ
xÊ - 1
ùù ờ
ợở
ộx 3
ờ
(bc 3)

ờx Ê - 1
ờ
ở
2

Hóy chn khng nh ỳng:
A. Li gii trờn sai bc 1.
C. Li gii trờn sai bc 3.
Phng ỏn ỳng l A.

B. Li gii trờn sai bc 2.
D. Li gii trờn hon ton ỳng.






Vớ d 3. (Bi tp 5, SGK Gii tớch 12 - Ban c bn). Chng minh rng tan x > x , vi x 0; ữ
2
Cho li gii gm 3 bc nh sau:

p
Bc 1. Xột hm s f x = tan x x , vi x 0; ữ.
2

( )

( )

Ta cú f x =

p
1
1 = tan2 x > 0, x 0; ữ
2
cos x
2

p
Bc 2. Suy ra hm s f x ng bin trờn khong 0; ữ.
2

( )

ổ pữ
ử
Bc 3. T x > 0 ị f ( x) > f ( 0) hay tan x - x > 0 tan x > x, " x ẻ ỗ
ỗ0; ữ
ữ
ỗ
ố 2ữ
ứ
Hóy chn khng nh ỳng:
A. Li gii trờn sai bc 1.
C. Li gii trờn sai bc 3.

B. Li gii trờn sai bc 2.
D. Li gii trờn hon ton ỳng.

Phng ỏn ỳng C

4. S dng kt qu tng quỏt thay bng trng hp c th.


Ta cú th xõy dng mt s kt qu tng quỏt, t ú ch cn thay bng nhng trng hp
c th. Cỏch lm ny thun tin vi ngi ra .
* th hm s y = ax4 + bx2 + c vi ab < 0 cú ba im cc tr, ta cú th ch ra ta cỏc im
ổ b
ử ổ
ử
Dữ
b
Dữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
A
0
;
c
,
B
;
,
C
;

ữ
ữ
(
)
cc tr l:
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
2a 4a ữ
ữ ố
ữ
ỗ 2a 4a ứ
ỗ
ố
ứ
AB = AC =
SABC =

b4
b
b
b3 + 8a
ã
;
BC
=
2
;cos

BAC
=
2a
16a2 2a
b3 - 8a

1 b2
b
4a
2a

ổc

1

Dử

ữ
ữ
0; + ỗ
Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l I ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố 2 b 8a ứ

Vớ d 1. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho th ca hm s y = x 4 + 2mx 2 + 1 cú
ba im cc tr to thnh mt tam giỏc u.
A. m = 0
B. m = 3 3

C. m = 3 3
D. m = 1
Phng ỏn ỳng: B.
Vớ d 2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m sao cho th ca hm s y = x 4 + 2mx 2 + 1 cú
ba im cc tr to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng 4 2 .
A. m = 1
B. m = 2
C. m = 2
D. m = 4 2
Phng ỏn ỳng: C.
* Ta cú th xõy dng mt s cụng thc tớnh th tớch cho mt lp cỏc khi a din, t ú ỏp dng
cho trng hp c th.
5. T mt t lun cú sn chuyn sang trc nghim.
Vi nhng thi t lun sn cú, ta th chuyn v cỏc cõu hi trc nghim lm phong
phỳ thờm ngõn hng cõu hi. Ta nờn chn nhng bi toỏn phự hp cho cỏch chuyn ny l nhng
bi cú li gii n gin khụng quỏ phc tp, di dũng.
Trong phn ny chỳng ta s a ra mt s cỏch chuyn t bi tp t lun sang bi tp trc
nghim, ly t thi THPT Quc gia nm 2016.
Vớ d 1. (Cõu I.1) Cho s phc z tha món z = 1+ 2i . Tỡm phn thc v phn o ca s phc
w = 2z + z .

Ta cú th chuyn sang cỏch hi sau:
1) Cho s phc z tha món z = 1 + 2i . Phn thc v phn o ca s phc w = 2z + z ln lt l:
A. 2 v 3
B. 1 v 3
C. 3 v 2
D. 3 v 1
Phng ỏn ỳng: C

2) Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i . Mô đun của số phức w = 2z + z bằng
A. 5
B. 13
C. 10
D. 5
Phương án đúng: B
3) Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i . Điểm M biểu diễn số phức w = 2z + z, điểm M ' đối
xứng với M qua gốc tọa độ O có tọa độ:
A. M '( 3;2)

B. M '( - 3;- 2)

C. M '( - 3;2)

D. M '( 3;- 2)

Phương án đúng: B
Ví dụ 2. (Câu III) Tìm m để hàm số f ( x) = x3 − 3 x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị. Gọi x1 , x2 là hai
điểm cực trị đó, tìm m để x12 + x22 = 3 .
1) Cho hàm số f ( x) = x 3 − 3x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 , để x12 + x22 = 3 thì m bằng
A. 3

B. 0

1
2

C.

D.

3
2

Phương án đúng: D
2) Cho hàm số f ( x) = x 3 − 3x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1 , x2 và các giá trị cực trị tương ứng là
y1, y2. Biết x12 + x22 = 3, khi đó y1.y2 bằng

A.

7
4

B. 1

C. 3

D.

3
4

Phương án đúng: A
Hướng dẫn giải
Câu này có thể dùng máy tính nhưng vẫn phải giải để tìm m
2y = y '.( x - 1) - 2x - 1 Þ yi = - xi y1.y2 = x1x2 +

1
, i = 1,2.
2

1
1 1
1 7
x1 + x2 ) + = + 1+ =
(
2
4 2
4 4
3

(

)

2
Ví dụ 3. (Câu IV) Tính tích phân I = ò 3x x + x + 16 dx
0

3

(

)

2
1) Tính tích phân I = ò 3x x + x + 16 dx
0

A. I = 9

B. I = 88

C. I =

61
3

D. I =

82
3

Phương án đúng: B

(

)

2
2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x x + x + 16 , trục hoành, trục tung

và đường thẳng x = 3 bằng
A. 9

B. 88

C.

61

3

D.

82
3


Phương án đúng: B

(

)

2
3) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x x + x + 16

æ2
ö
2 x2 + 16 x2 + 16÷
3x2 ç
x
÷
ç
÷
ç
+
+C
÷
A. ò f ( x) dx =

ç
÷
2 ç
2
3
÷
÷
ç
è
ø

(

B.

ò f ( x) dx = x

C.

ò f ( x) dx = x

D.

ò f ( x) dx = x

(

)

)

3

+ x2 + 16 x2 + 16 + C

3

+

2 2
x + 16 x2 + 16 + C
3

+

3 2
x + 16 x2 + 16 + C
2

3

(

(

)

)

Phương án đúng: B

Ví dụ 4. (Câu V) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) ,
C ( 2;- 1;3) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC . Tìm tọa

độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC .
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) ,C ( 2;- 1;3) . Phương
trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC là
A. x - y - z - 3 = 0
B. 2x - 2y - 2z - 3 = 0
C. x - y + 2z + 3 = 0
D. 2x - 2y + 4z + 3 = 0
Phương án đúng: A
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) ,C ( 2;- 1;3) . Điểm H
là hình chiếu của A đường thẳng BC có tọa độ là:
A. H ( 2;- 1;3)

B. H ( 4;3;- 2)

C. H ( 0;1;- 1)

D. H ( 3;4;- 1)

Phương án đúng: C
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) ,C ( 2;- 1;3) . Điểm
H ( a;b;c) là hình chiếu của A đường thẳng BC . Khi đó, a2 + b2 + c2 bằng
A. 6
B. 2
C. 1
D. 9
Phương án đúng: B
Ví dụ 5. (Câu VII) Cho lăng trụ ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh AC ,

đường thẳng A 'B tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC .A 'B 'C ' và chứng minh A 'B vuông góc với B 'C .


Ta có thể khai thác các kết quả tính toán về thể tích, góc, khoảng cách hoặc khai thác từ
tính chất có được khi làm bài.
1) Cho lăng trụ ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu
vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh AC , đường thẳng A 'B tạo với
mặt phẳng ( ABC ) một góc 450. Thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' bằng
A.

a3
3

B. a3

C. 2 2a3

D. 2a3

Phương án đúng: B
2) Cho lăng trụ ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu
vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh AC , đường thẳng A 'B tạo với
mặt phẳng ( ABC ) một góc 450. Với các mệnh đề
(1) Thể tích khối lăng trụ ABC .A 'B 'C ' bằng a3.
·
(2) ABA
' > 450

(3) A 'B vuông góc với B 'C .
Số mệnh đề đúng là
A. 0
B. 1
Phương án đúng: D

C. 2

D. 3

Ví dụ 6. (Câu IX) Giải phương trình
3log23( 2 + x + 2 - x) + 2log1( 2 + x + 2 - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = 0
3

1)

3

Cho

phương

trình

3log23( 2 + x + 2 - x) + 2log1( 2 + x + 2 - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = 0
3

3

Nghiệm của phương trình là:
A. x = 0

B. x = -

Phương án đúng: D
2)

2 17
9

D. x = 2 17

C. x = 1

Cho

9

phương

trình

3log23( 2 + x + 2 - x) + 2log1( 2 + x + 2 - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = 0
3

Số nghiệm của phương trình là:
A. 0
B. 1
C. 2

Phương án đúng: B

3

D. 3


3) Cho phương trình
3log23( 2 + x + 2 - x) + 2log1( 2 + x + 2 - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = 0 (*)
3

3

và các mệnh đề sau:
(1) Phương trình (*) tương đương với phương trình 2 4 - x2 = 9x2 - 4 .
(2) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

(

(3) Số nghiệm của (*) bằng số nghiệm của phương trình

2 + x + 2- x

)

3

= 3x .

Khi đó, số mệnh đề đúng là:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Phương án đúng: B
6. Một số cách ra đề tránh việc sử dụng MTCT
Việc học sinh sử dụng MTCT trong quá trình giải toán là không tránh khỏi. Khi đặt câu
hỏi trắc nghiệm, tùy theo mức độ nhận thức mà người ra đề muốn đạt được mà cần lựa chọn cách
hỏi. Với câu hỏi ở mức độ Nhận biết việc học sinh giải trực tiếp hay bấm máy là như nhau. Với
những câu hỏi ở mức độ cao hơn, cần chọn cách hỏi sao cho phù hợp.
Với câu hỏi về phương trình, hệ phương trình, để tránh những khả năng tìm ra đáp án
bằng cách thử trực tiếp, ta nên yêu cầu học sinh cho biết những thông tin gián tiếp có liên
quan đến nghiệm.
2 x+2 1
x
x
9
2.3
3
log
x
1
+
log
27
=
.9 - 9x. Tổng bình phương các
)
Ví dụ 1. Phương trình
3(

1
3
3

(

)

nghiệm của phương trình bằng:
A.

5
4

B.

16
9

C.

25
9

D.

1
3

Hướng dẫn giải

2 x+21
x
x
9
2.3
3
log
x
1
+
log
27
=
.9 - 9x Û 9x - 2.3x - 3 é
log x - 1) + 1ù
)
PT
3(
1
ê
ú= 0
ë 3(
û
3
3

(

)

(

)

éx = 1
ê
Û ê
êx = 4
ê
3
ë

Do đó, phương án đúng là C.
ìï xy ( x + 1) = x3 + y2 + x - y
ï
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình ïíï
2
ïï 3y 2 + 9x + 3 + ( 4y + 2)
î

(

( x;y) = ( a;b) . Tính 5a A. 5a - 10b = - 1
Phương án đúng là B.

)

(

)

1 + x + x2 + 1 = 0

có nghiệm là

10b .

B. 5a - 10b = 1

C. 5a - 10b = 3

D. 5a - 10b = 5


Ví dụ 3. Bất phương trình log2 ( x + 1) - 2log4 ( 5 - x) < 1- log2 ( x - 2) tương đương với bất
phương trình nào?
2

B. 2x + 3 ( 2x - 4) < 6 + 3 2x - 4.

A. x4 - 6x3 + 9x2 + 4x + 12 < 0.
C. 6 x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + 8 -

6

x - 1 < x - 2 - 1.

2

D. 2x ( x2 + 1) ³ 1.

Phương án đúng là C
Hướng dẫn giải
log2 ( x + 1) - 2log4 ( 5 - x) < 1- log2 ( x - 2) có ĐK xác định 2 < x < 5
2
BPT Û log2 ( x + 1) ( x - 2) < log2 2( 5 - x) Û x - 5x + 6 < 0 Û - 4 < x < 3

Từ đó ra nghiệm 2 < x < 3.
ìï 1 < x < 3
2
x4 - 6x3 + 9x2 + 4x + 12 < 0 Û ( x - 2) ( x - 1) ( x - 3) < 0 Û ïí
nên loại phương án A.
ïï x ¹ 2
î
2
1
Nhận xét ( x2 + 1) ³ 1, " x nên chỉ cần x ³
thì BPT luôn thỏa mãn, nên phương án D loại.
2

(

)

2
3
Với BPT 2x + 3 ( 2x - 4) < 6 + 3 2x - 4 đặt t = 3 2x - 4 với x Î ( 2;3) thì t Î 0; 2 ta được

t3 + t2 - t - 2 < 0
3

2
Xét hàm số f ( t ) = t + t - t - 2

ét = - 1
ê
f '( t ) = 0 Û ê 1
êt =
ê
ë 3

BBT

(

)

3
Dễ thấy có khoảng con của khoảng t Î 0; 2 mà f ( t ) > 0 nên phương án B loại.

Ngoài ra, ta có thể giải trực tiếp BPT 6 x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + 8 Với ĐK x ³ 2 ta có

6

x - 1 < x - 2 - 1.


6

x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + 8 -

6

x - 1 < x - 2- 1

6

( x - 1) ( x - 2)

3

-

6

x - 1< x - 2- 1

ổ6
ử
1
ữ
ữ
( x - 3) ỗ
x
1
<0
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố
x - 2 +1
x - 2 + 1ứ
ổ6
ử
1
1
6
ữ
ỗ
ữ
x
1

x
3
x
1
< 0 2< x < 3
x

2
ỗ
) ỗỗ
Vi
thỡ
nờn (
ữ
ữ
ố

x - 2 +1
x - 2 + 1ứ


6

x- 3

x - 1( x - 3) <

Vi cỏc bi toỏn v hm s, cú th t cỏc cõu hi liờn quan n cỏc hm cha tham s
hoc cõu hi liờn quan n th.
3
Vớ d 1. Cho hm s y = x + ax + b,( a ạ b) . Tip tuyn ca th hm s ti cỏc im cú

honh x = a v x = b song song. Khi ú, f ( 1) bng
A. 2a + 1
Hng dn gii

C. 1

B. 2b+ 1

D. 3

f '( a) = f '( b) 3a2 + a = 3b2 + a ị a = - b ị f ( x) = x3 - bx + b ị f ( 1) = 1

Phng ỏn ỳng: C.
Vớ d 2. Cho hm s y = ax4 + bx2 + 1, hm s cú mt cc tiu v hai cc i thỡ iu kin
ca a,b l:

A. a < 0,b < 0
Hng dn gii

B. a < 0,b > 0

C. a > 0,b < 0

ỡù a < 0
ù

Hm s cú mt cc tiu v hai cc i ùớù b
>
0
ùù
ùợ a

D. a > 0,b > 0

ỡù a < 0
ù
ớ
ùù b > 0
ợ

Phng ỏn ỳng: B.
Vớ d 3. Cho hm s y = f ( x ) cú th nh hỡnh v. Phng trỡnh
f ( x ) = 2 cú bao nhiờu nghim trờn [ 2;1] .

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Phng ỏn ỳng l C.
Vi cỏc bi toỏn v s phc, cú th t cõu giỏn tip hoc cõu hi liờn quan ti biu
din hỡnh hc ca s phc.
Vớ d 1. Tp hp cỏc im biu din hỡnh hc ca s phc z l
ng thng nh hỡnh v. Giỏ tr z nh nht l:
A.

1
2

B. 1

C.

2

D. 2


Phương án đúng là C.
2+ i
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn ( i + 3) z +
= ( 2- i ) z. Mô đun của số phức w = z - i
i

bằng:

26
6
2 5
26
B.
C.
D.
5
5
5
25
Phương án đúng: A.
Với các bài toán về nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân, ta có thể đặt câu hỏi
liên quan đến tính chất, cách biến đổi hay ứng dụng của tích phân với bài toán thực tế.
Ví dụ 1. Cho các mệnh đề sau:
A.

2

2
(1) Diện tích hình tròn tâm I ( 1;0) bán kính 1 là 2ò 2x - x dx .
0

æ 2ö
÷
1; ÷
(2) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm H ç
, bán kính 1 quay quanh trục Ox bằng

ç
÷
ç
÷
è 3ø
thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm K ( 3;4) , bán kính 1 quay quanh trục Ox .
(3) Nếu u ( x) , v ( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a,b Î K thì
b

ò u ( x) v '( x) dx =u ( x) v( x)
a

b
a

b

-

Các mệnh đề đúng là:
A. (1) và (2)
B. (2) và (3)
Phương án đúng là C

ò v( x) u '( x) dx
a

C. (1) và (3)

D. (1), (2) và (3)

1

x4dx
Ví dụ 2. Cho tích phân I = ò
, phép đổi biến t thành x nào chuyển I thành tích phân
x
1
+
2
- 1
1

t 42t dt
1+ 2t
- 1

I =ò

A. t = x
Phương án đúng B

B. t = - x

C. t = 2x

D. t = x2