skkn giúp học sinh lớp 12b2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

MỤC LỤC
1. TÓM TẮT ĐỀTÀI ...............................................................................Trang 2
2. GIỚI THIỆU ........................................................................................Trang 2
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu ....................................................................Trang 3
3.2. Thiết kế nghiên cứu .......................................................................Trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu......................................................................Trang 4
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu .........................................................Trang 4
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1 Phân tích dữ liệu và kết quả............................................................Trang 5
4.2 Bàn luận..........................................................................................Trang 6
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.......................................................Trang 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................Trang 7
PHỤ LỤC
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN...............................................................Trang 8
ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG................................................Trang 16
ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG........................................................Trang 18
BẢNG ĐIỂM...........................................................................................Trang 21
PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TỔ.........................Trang 25
PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TRƯỜNG.............Trang 28
PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TỈNH.....................Trang 31

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 1

Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Nguyên hàm và tích phân là một phần rất quan trọng trong chương
trình toán giải tích 12 và là một phần không thể thiếu trong các đề thi tốt nghiệp
THPT, cao đẳng, đại học,…. Tuy nhiên khi làm các bài toán này học sinh gặp
rất nhiều trở ngại, từ trở ngại việc học thuộc công thức, thuộc phương pháp, lựa
chọn phương pháp giải…
Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi nhận thấy việc giúp các em có thể
tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều phương pháp giải khác nhau và
chọn được một phương pháp giải tối ưu nhất là một điều rất quan trọng. Như
vậy theo chúng tôi “việc giúp học sinh làm tốt bài tập tích phân bằng phương
pháp đổi biến” sẽ giúp các em giải quyết được phần nào các trở ngại trên.
Giải pháp này được tiến hành trên hai lớp: Lớp 12B2 (lớp thực nghiệm)
và lớp 12B3 (lớp đối chứng) trường THPT Lộc Hưng. Lớp thực nghiệm dựa
vào tư duy phân tích bài toán tìm ra phương pháp giải tốt nhất. Lớp đối chứng
giải một số dạng quen thuộc, phương pháp thường sử dụng theo hướng dẫn của
sách giáo khoa.
Kết quả cho thấy: Ở lớp đối chứng học sinh chỉ giải được các bài tập
đơn giản, quen thuộc. Lớp thực nghiệm ngoài những bài tập đơn giản, quen
thuộc các em còn giải được các bài tập khó hơn, các em tư duy tốt hơn.
2. GIỚI THIỆU
Khi giải bài toán tìm nguyên hàm hay tính tích phân thì các em còn lúng
túng trong việc lựa chọn phương pháp để làm bài, như sử dụng phương pháp
từng phần hay phương pháp đổi biến số để giải, hay phải kết hợp cả hai
phương pháp.
Khi làm bài tập tìm nguyên hàm hay tính tích phần bằng đổi biến thì các
em còn khó khăn trong việc lựa chọn cách đổi biến số. Phải đổi biến số như thế
nào để bài toán trở nên đơn giải hơn bài toán ban đầu?
Qua việc dự giờ tiết dạy của các giáo viên torng tổ trước tác động, chúng

tôi thấy các giáo viên thường chỉ đưa ra một hướng đặt biến số trong phương
pháp đổi biến làm cho các em nghĩ là chỉ có một cách đặt giống như công thức.
Kết quả là các em chỉ làm được những dạng quen thuộc đã làm, nhưng chưa
hiểu sau được vấn đề để giải quyết những bài toán tích phân khó hơn.
Để cải thiện vấn đề trên, đề tài nghiên cứu này đã đưa ra những hướng đặt
đổi biến khác nhau đối với bài toán tích phân sử dụng phương pháp đổi biến để
giúp học sinh tư duy tốt hơn và làm bài đạt kết quả cao hơn.
Giải pháp thay thế:
Khi dạy phần này trước hết hướng dẫn học sinh cách suy luận phân tích
một bài toán để biết được đối với bài toán đó chúng ta phải chọn phương pháp
nào: dùng định nghĩa, biến đổi, đổi biến số hay tích phân từng phần. Khi xác
định được bài toán làm theo phương pháp đổi biến số giáo viên sẽ hướng dẫn
học sinh cách tư duy, phân tích để đổi biến số như thế nào là tối ưu nhất.
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 2


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Vấn đề nghiên cứu: Việc sử dụng các phương pháp đặt đổi biến số khác
nhau trong phương pháp đổi biến có nâng cao kết quả học tập của học sinh lớp
12B2 trường THPT Lộc Hưng hay không?
Giả thiết nghiên cứu: Bằng tư duy phân tích bài toán tích phân giúp học
sinh làm tốt các bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến. Từ đó nâng cao kết
quả học tập của học sinh lớp 12 trường THPT Lộc Hưng.
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu

Chúng tôi lựa chọn hai lớp 12B2 và 12B3 vì hai lớp có những điều kiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa khoa học ứng dụng.
- Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có tuổi nghề tương đương nhau, đều có
lòng nhiệt tình, có tinh thần trách nhiệm trong công tác giảng dạy và giáo dục học
sinh.
1. Nguyễn Hồng Yến – GV dạy lớp 12B2 (lớp thực nghiệm)
2. Huỳnh Nguyễn Hữu Thanh – GV dạy lớp 12B3 (lớp đối chứng)
- Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm
tương đồng nhau. Cụ thể như sau: các em ở hai lớp ý thức tầm quan trọng của việc
học, tích cực chủ động trong học tập và kết quả học tập ở hai lớp trong học kỳ 1 là
tương đương nhau.
3.2. Thiết kế nghiên cứu
- Chúng tôi chọn hai lớp 12B2 là nhóm thực nghiệm và lớp 12B3 là nhóm đối
chứng.
- Trước tác động chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Kết quả kiểm tra cho
thấy điểm trung bình của hai lớp 12B2 và 12B3 có sự tương đương nhau. Chúng
tôi dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
Kết quả:
 Bảng kiểm chứng để xác định hai nhóm tương đương:
Thực nghiệm (Lớp 12B2)
Trung bình cộng
(TBC)
p=

Đối chứng (lớp 12B3)

6.13514

6.13158

0.99352

p = 0.99352 > 0.05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm
thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
- Chúng tôi sử dụng thiết kế: Kiểm tra trước và sau tác động đối với hai nhóm
tương đương.

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 3


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

 Thiết kế nghiên cứu:
Lớp

Kiểm tra
trước
tác động

Tác động

Kiểm tra
sau
tác động

Dạy học theo phân tích

Thực nghiệm (Lớp 12B2)
O1
tìm lời giải, tìm cách đổi O3
biến thuận lợi nhất.
Dạy học theo hướng dẫn
của sách giáo khoa,
Đối chứng (Lớp 12B3)
O2
không phân tích theo O4
nhiều hướng giải khác
nhau.
Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3.3 Quy trình nghiên cứu:
 Chuẩn bị bài dạy của giáo viên:
- Thầy Thanh dạy lớp 12B3 là lớp đối chứng sửa bài tập trong sách giáo khoa
chỉ dùng công thức và theo hướng dẫn đổi biến của sách giáo khoa.
- Nhóm nghiên cứu và cô Yến dạy lớp 12B2 là lớp thực nghiệm, thiết kế bài
học và dạy học kết hợp công thức, sử dụng cách giải thay thế để học sinh
lựa chọn, sắp xếp bài tập theo dạng từ dễ đến khó, có bài tập tương tự có
hướng dẫn hoặc đáp án giúp học sinh tự luyện.
 Tiến hành dạy thực nghiệm:
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà
trường và thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan.
- Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (theo hướng
dẫn của sách giáo khoa).
- Với lớp thực nghiệm ở phương pháp đổi biến giáo viên dạy sử dụng hai
cách giải với hai cách đặt đổi biến khác nhau, từ đó giúp học sinh phân tích xác
định đặt biến như thế nào, xác định cận tích phân cho biến mới để giải bài toán
nhanh nhất và ít sai sót, sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến khó để học sinh làm
rồi đến tiết tự chọn, tăng tiết giáo viên dạy ôn lại các dạng bài tập và sửa bài tập

cho các em.
3.4 Đo lường và thu thập dữ liệu
- Bài kiểm tra trước tác động do nhóm giáo viên nghiên cứu thống nhất đưa ra.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong bài tích phân và
bài tập ôn chương cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Bài kiểm tra
sau tác động là bài kiểm tự luận gồm 6 bài tập sử dụng phương pháp đổi biến
để tính tích phân trong đó có 2 bài ở mức độ nhận biết, 2 bài thông hiểu và 2
bài ở mức độ vận dụng.
Tiến hành kiểm tra và chấm bài
- Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành bài
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 4


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục).
- Sau đó 2 giáo viên dạy hai lớp tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
 Bảng so sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động:
Thực nghiệm (Lớp 12B2)

Đối chứng (lớp 12B3)

Điểm trung bình

7,67568

6,47368

Độ lệch chuẩn

1,08151

1,50201

Giá trị p của T – test

0,00017

Chênh lệch giá trị trung
0,80025
bình chuẩn(SMD)
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T – test cho kết
quả p = 0.00017, cho thấy: sự chênh lệch giữa điểm trung bình của nhóm thực
nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa, tức là sự chênh lệch kết quả điểm trung
bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không ngẫu
nhiên mà do kết quả của tác động.
7,67568 − 6,47368
SMD =
= 0,80025
1,50201
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
.
Điều đó cho thấy việc tác động của giáo viên tới tư duy của học sinh qua cách phân

tích lựa chọn cách đặt biến số có mức độ ảnh hưởng đến kết quả học tập của nhóm
thực nghiệm là lớn.
Giả thuyết của đề tài “Bằng tư duy phân tích bài toán tích phân giúp học
sinh làm tốt các bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến” đã được kiểm chứng
và kết quả đạt được góp phần làm nâng cao dần chất lượng bộ môn toán của trường
THPT Lộc Hưng.

Nhóm đối chứng
Nhóm thực nghiệm

Trước tác động

Sau tác động

Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác
động của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 5


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

4.2. BÀN LUẬN
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động: nhóm thực nghiệm có điểm trung
bình là 7,67568 còn nhóm đối chứng có điểm trung bình là 6,47368. Ta tính được
độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,202. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai
lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm

trung bình cao hơn nhiều so với lớp đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,80025.
Điều đó cho thấy việc tác động này có mức độ ảnh hưởng đến kết quả học tập là
lớn.
Phép kiểm chứng T – test điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động của hai
lớp là p = 0,00017< 0,001. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình
của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh hưởng lớn đến
kết quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán hơn, giúp các em có
được tư duy tốt hơn trong toán học và các môn học khác cũng như trong cuộc
sống.
 Hạn chế:
Đề tài “Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp
đổi biến qua cách chọn đổi biến số” là một trong những giải pháp góp phần nâng
cao dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng nhưng để sử dụng
có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên cần có lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh
và tính kiên nhẫn vì đôi khi có những bài học sinh chọn cách đổi biến nào cũng
giải được và mất rất nhiều thời gian để phân tích cho học sinh thấy được lựa chọn
tối ưu nhất.
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1 Kết luận:
Trên đây là giải pháp “Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân
bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số” tiến hành giảng dạy có hiệu
quả đối với học sinh lớp 12B2 của trường THPT Lộc Hưng. Khi áp dụng giải pháp
này học sinh có thể giải được các bài tập với độ chính xác cao và có thể giải được
các bài toán nâng cao từ đó nâng dần kết quả học tập bộ môn Toán.
5.2. Khuyến nghị:
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng các nghiên cứu khoa học sư
phạm ứng dụng, các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để giáo viên các
trường học tập và vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt hơn.

+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các bài toán
nâng cao của tích phân để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn.
- Đối với giáo viên: không ngừng tự học, tự bồi dưỡng về chuyên môn qua
sách tham khảo, mạng internet, đồng nghiệp,…. Và trong quá trình giảng dạy cần
chú ý:
+ Những bài tập đưa ra cho học sinh phải từ dễ đến khó, có hệ thống, phân
dạng để học sinh nắm chắc từng dạng bài.
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 6


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

+ Hướng dẫn học sinh tư duy, phân tích thật kỹ bài toán từ những bài đơn
giản để hình thành thói quen tốt cho học sinh.
+ Chỉ dẫn các em cách tự học qua sách tham khảo, mạng internet và học
nhóm bạn. Kiểm tra thường xuyên, có hiệu quả phần tự học của học sinh qua bài
tập về nhà.
- Với kết quả của đề tài này, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của
quý thầy cô, của Ban giám hiệu nhà trường để đề tài này được hoàn chỉnh hơn và
có thể ứng dụng đề tài này vào dạy học góp phần nâng cao chất lượng bộ môn
Toán, tạo cho học sinh tư duy tốt và nâng cao hơn nữa kết quả học tập của học sinh
qua các kỳ thi.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12 chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách Bài tập giải tích 12 chương trình chuẩn và nâng cao Nhà xuất bản giáo dục.

3. Sách giáo viên Toán 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
4. Nguyễn Anh Trường, Phân loại và phương pháp giải Giải tích 12 tập 2 – nhà xuất
bản tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh
5. Đề thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng các
năm.
6. Mạng Internet: thuvientailieu.bachkim.com, .

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 7


Giỳp hc sinh lp 12B2 lm tt bi tp tớch phõn bng phng phỏp i bin qua cỏch chn i bin s

PH LC
NI DUNG CHUN B CA GIO VIấN
I.

Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin dng 1
b

ũ f [u(x)].u (x)dx
'

DNG 1: Tớnh I =

bng cỏch t t = u(x)

a

b

ũ f ộờởu(x)ựỳỷ.u '(x)dx =

Cụng thc i bin s dng 1:

a

Cỏch thc hin:
Bc 1: t

u(b)

ũ f (t)dt

u(a )

t = u(x) ị dt = u'(x)dx

x =b

t = u(b)

Bc 2: i cn : x = a ị t = u(a)
Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c
b

u(b)

a

u(a)

ự.u '(x)dx =
I = ũf ộ
ờu(x)ỷ
ỳ
ở

II.

ũ f (t)dt

(tip tc tớnh tớch phõn mi)

Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin dng 2
b

ũ f (x)dx

DNG 2: Tớnh I =

bng cỏch t x = f (t)

a

b

a

a

ự '(t)dt
I = ũ f (x)dx = ũ f ộ
ờf(t)ỳ
ở
ỷ

Cụng thc i bin s dng 2:
Cỏch thc hin:
Bc 1: t

b

x = f(t) ị dx = '(t)dt

x =b

t =b

Bc 2: i cn : x = a ị t = a

Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c
b

b

I = ũ f (x)dx = ũ f

a

a

ộf(t)ự '(t)dt (tip tc tớnh tớch phõn mi)
ờ
ở ỳ
ỷ

Lu ý:
ộ p pự
ờ- ; ỳ hoc x = a cost, t ẻ
x
=
a
sin
t
,
t
ẻ
Vi a - x , t
ờ 2 2ỳ
ở
ỷ
ổ p pử
ữ
x = acott, t ẻ
Vi a2 + x2 , t x = a tant, t ẻ ỗỗỗ- ; ữ
ữ
ữhoc

ố 2 2ứ
2

2

ộ

a
p
, t ẻ ờ- ;
Vi x2 - a2 , t x =
ờ 2
sint
ở
.

ộ0; pự
ờ
ở ỳ
ỷ.

( 0; p) .

pự
ỳ\ { 0} hoc x = a ; t ẻ
2ỳ
cost
ỷ

ộ0; pự\

ờ
ở ỳ
ỷ

ùỡù p ùỹ
ớ ùý
ùợù 2ùỵ
ù

Cỏc vớ d :

Trng THPT Lc Hng

Nm hc 2013 2014

Trang 8


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số
e2

Ví dụ 1 : Tính tích phân I = ò
e

dx
.
x ln x

(Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Đặt t = lnx ⇒ dt =

dx
x

Bước 2 : Đổi cận

x = e ⇒ t =1
x = e2 ⇒ t = 2

Bước 3 : Chuyển về tích phân mới
2

I =ò
1

2
dt
= ln t = ln2
1
t

Giải : Đặt t = ln x Þ dt =

x =eÞ t =1

dx
x
2

; Þ I =ò

dt
= ln t
t

2

= ln2 .
1
x = e2 Þ t = 2
1
Vậy I = ln2.
Nhận xét: đối với ví dụ 1 thì chỉ có duy nhất một cách đặt đổi biến. Xét các ví dụ
sau có sự lựa chọn cách đổi biến.

Đổi cận:

5

2
Ví dụ 2. Tính tích phân: I = ∫ 3x x − 9dx
3

(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách đặt đổi biến khác nhau rồi so sánh
rút ra nhận xét cho học sinh)
Giải :
Cách 1: Đặt t = x2-9
⇒dt = 2xdx
Đổi cận x = 3 ⇒ t = 0; x = 5 ⇒ t = 16.
Khi đó

16

3
3 12
2
I = ∫ t dt = t
2
0

16

= 43 = 64
0

Cách 2 : Đặt t = x 2 − 9 ⇔ t 2 = x 2 − 9
⇒ tdt = xdx
Đổi cận x = 3 ⇒ t = 0
x=5⇒t=4
5

4

3

0

2
2
3 4
3

Khi đó : I = ∫ 3 x x − 9dx = ∫ 3t dt = t |0 = 4 − 0 = 64

Nhận xét: Cách 1 khó hơn, phải sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa
với số mũ là số hữu tỷ
Bài tập tương tự:
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 9


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Tính các tích phân sau:
3

∫x

1/ I =

5

1 + x dx

0

1

1

848
ĐS:
105

2

2/ I =

∫
0

3

1 − xdx ĐS:

0

3
4

7
3

4
ĐS:
15

3/I= x 1 − xdx

∫

46
4/ I = x + 1 dx ĐS:
∫0 3 3x + 1
15
4

Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I = ∫

2x + 1

0 1 + 2x + 1

dx

(Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách đặt đổi biến khác nhau rồi so sánh
rút ra nhận xét cho học sinh)
Giải :
Cách 1: Đặt t = 2 x + 1 ⇔ t 2 = 2 x + 1
⇒ tdt = dx
Đổi cận: x = 0⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 3.
3

3

 t2
t
1
Khi đó: I = ∫

dt = ∫ (t − 1 +
)dt =  − t + ln 1 + t
2
1
+
t
1
+
t
1
1

2

3


÷ = 2 + ln 2 .
÷
1

Cách 2: Đặt t = 1 + 2 x + 1 ⇔ (t − 1)2 = 2 x + 1
⇒ (t −1)dt=dx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 2; x = 4 ⇒ t = 4
4
4
4
(t − 1)
1
 t2


(t − 1)dt = ∫ (t − 2 + )dt =  − 2t + ln | t | ÷ = 2 + ln 2
Khi đó : I = ∫
t
t
2
2
2
2
Nhận xét : Cách 1 phải thực hiện phép chia đa thức phức tạp hơn so với cách 2.
Bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau
1

1+ x

1/ I = ∫

0 1+

2

3/ I = ∫

0

x

dx

x 3dx
3

4 + x2

4

11
− 4 ln 2
ĐS:
3
−12 + 183 2
ĐS:
5

π
4

2/ I = ∫

0

e

4. I = ∫
1

x +1

(1+

1 + 2x )

2

dx ĐS: 2 ln 2 − 1
4

(

)

1 + ln x
2 2 2 −1
dx ĐS :
.
x
3

π

π

dx
4
4
dx
dx
I
=

∫0
5/
HD:
I
=
2
=
2
π

∫0 cos x.(sin x + cos x)
∫0 cos 2 x.(tan x + 1)
cos x.sin  x + ÷
4

đặt t = tanx + 1 ĐS: 2 ln 2
5

Ví dụ 4 : Tính tích phân I = ∫
3

2x + 1
dx
x2 + x − 2

Giải :
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 10


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Cách 1 : ( Sử dụng đồng nhất thức chuyển về hai tích phân nhỏ)
2x +1
A
B
=
+
Đặt 2
x + x − 2 x −1 x + 2
⇒ 2 x + 1 = Ax + 2 A + Bx − B
A + B = 2
⇒
2 A − B = 1
A = 1
⇒
B = 1

Khi đó
5

I =∫
3

5

2x +1

1 
 1
dx = ∫ 
+
÷dx
x2 + x − 2
x
−
1
x
+
2

3
5

= (ln | x − 1| + ln | x + 2 |) 3

=(ln4 + ln7) − (ln2 + ln5)
14
=ln2 + ln7 − ln5 = ln
5
2
Cách 2: Đặt t = x + x -2 ⇒ dt = (2x+1) dx
Đổi cận:
x = 3 ⇒t =10 ; x = 5 ⇒ t = 28.
28

dt
Khi đó I= ∫ = ln t

t
10

28

= ln 28 − ln10 = ln
10

14
5

Nhận xét: Cách 1 sử dụng phương pháp đồng nhất thức mà không hề phát hiện ra
là nếu lấy đạo hàm của đa thức dưới mẫu ta được đa thức ở trên tử.
Bài tập tương tự
Tính các tích phân sau:
1

1/ ∫
0

4x + 2
dx ĐS: 2ln3
x2 + x + 1

2/

1
2

1 1 3

x3
+ ln
ĐS:
∫0 x 2 − 1 dx
8 2 4

π
2

3 2
s in2x
HD: đặt t = 2 + sinx ĐS: 2 ln −
dx
2 3
(2 + sin x) 2
0

3. I =
∫
π
2

4. I = s in2x + sin x dx HD: đặt t =
∫0 1 + 3cos x
π
2

5. I =
∫
0

s in2x
cos 2 x + 4sin 2 x

HD: đặt t =

1 + 3cos x ĐS:

34
27

dx
2

cos 2 x + 4sin 2 x = 1 + 3sin 2 x ĐS: 3

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 11


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số
1

3
4
4
Ví dụ 5: Tính tích phân I = ∫ x ( x + 1) dx

0

Cách 1: Đặt t = x ⇒ dt = 4x3dx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t =1
Khi đó
1
1
1
1
31
4
2
3
4
I= ∫ (1 + t ) dt = ∫ (1 + 4t + 6t + 4t + t )dt =
40
40
20
4

Cách 2: Đặt t = x4 +1 ⇒ dt = 4x3dx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1 ; x=1 ⇒ t = 2
Khi đó
1

2

1 4
1 4
1 5 2 31

I= ∫ t dt = ∫ t dt = t 1 =
40
41
20
20

Nhận xét : Với cách 1 tính toán nhiều hơn so với cách 2 và với cách 1 có thể nhiều
học sinh không khai triển được (1 + t)4.
Bài tập tương tự
Tính các tích phân sau :
1

5
3 6
1/ I = ∫ x (1 − x ) dx
0

0

1
ĐS
168

2/ I =

1

∫ x ( x + 1) dx ĐS : 660
2

9

−1

1

3/ I = ∫ (1 + 3 x)(1 + 2 x + 3x ) dx
2 10

0

1
2

Ví dụ 6. Tính tích phân I = ò
0

1

x
1
dx ĐS :
3
18
(1 + 2 x)
0

611
−1
ĐS :

22
1
1- x2

4/ I = ∫

dx .

Giải
é p pù
- ; úÞ dx = costdt (có thể đặt x = cost)
Đặt x = sint, t Î ê
ê 2 2ú
ë
û
1
p
Đổi cận : x = 0 Þ t = 0, x = Þ t =
2
6
p
6

Þ I =ò
0

Vậy I =

cost
1- sin2 t

p
6

dt = ò
0

cost
cost

p
6

dt = òdt = t
0

p
6
0

=

p
p
- 0= .
6
6

p
.

6
1

Ví dụ 7. Tính tích phân I =

∫

1 − x 2 dx

0

Giải
Đặt x = sint, dx = costdt (có thể đặt x = cost)

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 12


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
2

π
2

0

20

π
2
π
2

Do đó: I = cos 2 tdt = 1 (1 + cos 2t )dt = 1  t + sin 2t ÷ = π
∫
∫
2

1

Ví dụ 8. Tính tích phân I = ò
0

2

0

dx
.
1 + x2

æ p pö
2
÷

Giải: Đặt x = tant, t Î ççç- ; ÷
÷Þ dx = (tan t + 1)dt
2÷
ø

ç
è 2

Đổi cận: x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t =
p
4

Þ I =ò
0

4

(cũng có thể đặt x = cott)

p
4

p
4

tan t + 1
p . Vậy I = p .
dt
=
dt

=
ò
4
4
1 + tan2 t
0
2

Nhận xét: các ví dụ 6, 7, 8 là những bài tập cơ bản của đổi biến dạng 2. Hầu hết
học sinh đều có thể làm được. Ta xét tiếp các ví dụ sau.
π
2

Ví dụ 9: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x2 dx
0

1 + cos x

Giải:
Cách 1: Đặt t = cos2x ⇒ dt = − s in2 xdx ⇒ s in 2 xdx = −dt
Đổi cận:

x = 0 ⇒ t = 1; x=

π
⇒t = 0
2

π
2

0
1
Khi đó: I = sin 2 x dx = − dt = dt = ( ln 1 + t ) 1 = ln 2.
∫0 1 + cos 2 x
∫1 1 + t ∫0 1 + t
0

Cách 2: Đặt t = 1 + cos2x ⇒ dt = − s in2 xdx ⇒ s in2 xdx = −dt
Đổi cận:

x=0 ⇒t = 2; x =

π
⇒t = 1
2

π
2

1
2
Khi đó: I = sin 2 x2 dx = − dt = dt = ( ln t ) 2 = ln 2
∫
∫ ∫
0

1 + cos x

2

t

1

t

1

Nhận xét: Với đổi biến số theo cách 2 thì học sinh sẽ giải bài toán dễ hơn.
1

x3
dx
Ví dụ 10. Tính tích phân I = ∫
8
1
+
x
0
Giải:
Cách 1 Ta có:
1

1

x3
x3
∫0 1 + x8 dx = ∫0 1 + x 4 2 dx
( )

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 13


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Đặt t = x4 ⇒ dt = 4x3dx
Đổi cận: x=0 ⇒ t = 0 ; x=1⇒ t=1
1
1
1
x3
x3
1
1
I
=
dx
=
dx
=
dt .
Khi đó:
∫0 1 + x8
∫0 1 + x 4 2
4 ∫0 1 + t 2

( )

 π π
2
Đặt t = tan u với u ∈  − ; ÷⇒ dt = ( 1 + tan u ) du
 2 2

Đổi cận: t = 0 ⇒ u = 0 ; t = 1 ⇒ u =
π
4

π
4

π
4

π
1
1
1 1 + tan u
1
1
π
dt
=
du
=
du
=

u
=
.
Khi đó: I = ∫
4
4 0 1+ t2
4 ∫0 1 + tan 2 u
4 ∫0
4
16
0
1

1

2

1

x3
x3
dx
Cách 2: : Ta có: ∫ 1 + x8 dx = ∫
4 2
0
0 1+ ( x )

1
 π π
3

2
Đặt x 4 = tan t với t ∈  − ; ÷⇒ x dx = 1 + tan t dt
4
 2 2

(

Đổi cận:

x=0⇒t=0;x=1⇒t=

)

π
4

π
4

π
4

π
x
x
1 1 + tan t
1
1
π
dx = ∫

dx = ∫
dt = ∫ dt = t 4 = .
Khi đó: I = ∫
2
8
2
4
1+ x
4 0 1 + tan t
40
4
16
0
0 1+ ( x )
0
Nhận xét: với cách 1 học sinh phải đổi biến hai lần, nếu tư duy hơn thì học sinh
làm theo cách 2 chỉ đổi biến một lần.
1

3

π
2

Ví dụ 11. Tính I = ∫
π
3

1

3

2

1
dx
sin x

Giải:
Cách 1 Đặt t = tan

x
1
x
2dt
⇒ dt = 1 + tan 2 ÷dx ⇒ dx =
2
2
2
1+ t2

1
1
dx =
2t
Ta tính: sin x
1+ t2
π
Đổi cận: x = ⇒ t =

.

2tdt 1
= dt
1+ t2 t

3
π
;x = ⇒ t =1
3
3
2
π
1
1
2
1
1
3 1
Khi đó: I = ∫ sin x dx = ∫ t dt = ( ln t ) 3 = − ln 3 = 2 ln 3.
π
3
3
3
3

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 14


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số
π
2

Cách 2 I = ∫
π
3

π
2

π
2

3

3

1
sin x
sin x
dx = ∫ 2 dx = ∫
dx
2
sin x
π sin x
π 1 − cos x

Đặt t = cosx ⇒ dt = −sinxdx
π
1
π
Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0
3
2
2
Khi đó
1
2

0

1
2

−1
1  1
1 
1 1+ t
I =∫
dx = ∫ 
+
÷dx = ln
2
2 0  1− t 1+ t 
2 1− t
1 1− t

=

0

1
ln 3
2

2

Nhận xét: Với cách 1 sử dụng tích phân theo cách đặt đã giảm tải nên nhiều học
sinh không biết, còn cách 2 thì học sinh dễ sử dụng hơn.
Bài tập tương tự
Tính tích phân sau:
1
1
1
tan t
dx HD: đặt x =
1. I = ∫
2 2
(1
+
3
x
)
3
0
I=

π
3

π
3

π
3

1
1
1
1 cos 2t + 1
1 π 3
dt =
cos 2 tdt =
dt = ... = +
2
∫
∫
∫
2
8 18
3 0 (1 + tan t )
30
30
1

2

2
2. I = ∫ x 4 − 3 x dx HD: đặt x =
0

I=

π
3

4
3 3

3. I =

2
2
∫ 4sin t cos tdt =
0

π
3

1
∫0 cos x dx

0

4. I =

∫

−1
1

5. I = ∫
0

1

6. I = ∫
0

(x

+ 2x + 2)

dx
x + x +1
2

xdx
3 + 2 x − x2

3 3 ∫0

(1 − cos 4t )dt

1
ln(7 + 4 3)
2

ĐS:

0

dx

2

2

π
3

2

HD: I =
ĐS:

2
sin t
3

∫

−1

dx

( ( x + 1)

2

+ 1)

2

Đặt x + 1 = tant

ĐS:

π+2
8

π 3
9
1

HD: I = ∫
0

xdx
4 − ( x − 1)

2

Đặt x – 1 = 2sint ĐS: 3 − 2 +

π
6

ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 15


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

1) Giải phương trình: 22x+1 - 3.2x - 2 = 0

(1 điểm)

2) Giải phương trình: 7x + 2.71- x - 9 = 0

(1,5 điểm)

3) Giải phương trình: 2log2(x - 2) + log0,5(2x - 1) = 0

(1,5 điểm)

4) Giải phương trình: log22 x - log4(4x2) - 5 = 0
2x2- x

5) Giải bất phương trình: 9

(1,5 điểm)

2+x

2x
æö
1
÷
÷
< 3.ç
ç
÷
ç
è3ø

(1,5 điểm)

6) Giải bất phương trình: 2log2(x – 1) > log2(5 – x) + 1
7) Tính đạo hàm các hàm số sau:
 x−4
2
x
a. y = x − 2 x + 2 e
b. y = log 2 
÷
 x+4

(

)

HƯỚNG DẪN CHẤM

1/ 22x+1 - 3.2x - 2 = 0 Û 2.22x - 3.2x - 2 = 0 (*)
 Đặt t = 2x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành

2t2 - 3t - 2 = 0 Û t = -

1
2

(loại) hoặc t = 2 (nhận)

 Với t = 2: 2x = 2 Û x = 1
 Vậy, phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 1.
2/ 7x + 2.71- x - 9 = 0 Û 7x + 2.

7
7x

(1,5 điểm)

(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)

- 9 = 0 (*)

 Đặt t = 7x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành

t+

(1,5 điểm)

14
- 9 = 0 Û t2 + 14- 9t = 0 Û t2 - 9t + 14 = 0 Û
t

(0,25 điểm)

ét = 2
ê
êt = 7 (nhận cả hai giá trị t)
ê
ë

7x = 2 Û x = log7 2

 Với t = 2:
 Với t = 7 : 7x = 7 Û x = 1
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm : x = 1 và x = log7 2

(0,5 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)

3/ 2log2(x - 2) + log0,5(2x - 1) = 0 (*)

ìï x - 2 > 0
ï
Û

 Điều kiện: í
ï 2x - 1> 0
ïî

ìï x > 2
ï
ïí
Û x >2
ïï x > 1
ïïî
2

(0,5 điểm)

 Khi đó, (*) Û log2(x - 2)2 - log2(2x - 1) = 0 Û log2(x - 2)2 = log2(2x - 1)
(0,25 điểm)
Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 16


Giỳp hc sinh lp 12B2 lm tt bi tp tớch phõn bng phng phỏp i bin qua cỏch chn i bin s

(x - 2)2 = (2x - 1) x2 - 6x + 5 = 0 x = 1(loi) hoc x = 5 (nhn)
(0,5 im)
Vy phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht: x = 5
(0,25 im)
4/ iu kin: x > 0.

(0,25 im)
Khi ú phng trỡnh ó cho tng ng vi

log22 x - (log4 4 + log4 x2) - 5 = 0 log22 x - log2 x - 6 = 0 (*)

(0,25 im)

t t = log2 x , phng trỡnh (*) tr thnh
ột = 3
ộlog x = 3
ờ 2
t2 - t - 6 = 0 ờ

ờt = - 2
ờlog x = - 2
ờ
ờ
ở
ở 2

ộx = 23
ờ
(nhn c hai nghim)
ờ
x = 2- 2
ờ
ở
(0,75 im)
1
Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim : x = 8 v x =

(0,25 im)
4
2x2- x

5/ Ta cú: 9

2+x

2x
ổử
1ữ
ỗ
< 3.ỗỗ ữ
ố3ữ
ứ

2

2- x

92x - x < 3.3- 2x

2

2

34x - 2x < 31- 2x - x

4x2 - 2x < 1- 2x2 - x 6x2 - x - 1 < 0
Cho 6x2 - x - 1 = 0 x =

Bng xột du:

x

-

+

6x2 - x - 1

(0,5 im)

1
1
hoc x = 2
3

- Ơ

1
3

(0,25 im)

1
2

0

(0,5 im)

+Ơ

0

+

Vy tp nghim ca bt phng trỡnh l khong: S=(- 1;1)
32
6/ 2log2(x 1) > log2(5 x) + 1
ỡù x - 1 > 0
ỡù x > 1
ù
ùớ
1 < x < 5 (1)
iu kin: ớ
ùù 5 - x > 0 ùù x < 5
ợ
ợ

(0,25 im)

(0,25 im)

2log2(x 1) > log2(5 x) + 1 log2(x 1)2 > log2[2.(5 x)]

Khi ú

(0,25 im)

ộx < - 3
(x - 1) > 2(5 - x) x - 2x + 1> 10 - 2x x - 9 > 0 ờờ
(0,5 im)
x
>
3
ờở
2

2

2

i chiu vi iu kin (1) ta nhn: 3 < x < 5
Vy tp nghim ca bt phng trỡnh l: S = (3;5)

(0,25 im)
(0,25 im)

7/ a/ y = x 2 x + 2 e y ' = ( 2 x 2 ) e + x 2 x + 2 e = x e

(0,75 im)

(

2

)

Trng THPT Lc Hng

x

x

(

2

)

x

( )

Nm hc 2013 2014

2

x

Trang 17


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

 8
  x − 4 ' 

2


÷
1  ( x + 4)
1   x + 4 ÷ ÷
=
b/ y ' =
ln 2  x − 4 ÷ ln 2  x − 4
 x+ 4 ÷
 x+4





÷
8
÷=
÷ x 2 − 16 ln 2
÷


(

)

(0,75 điểm)

ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG

1

Bài 1: ( 1,5 điểm) Tính I = ∫
0

x

( 2 x + 1)

2

dx

π
2

cosx
dx
2
1
+
sin
x
0

Bài 2: ( 2 điểm) Tính I =
∫

1

∫

Bài 3: ( 2 điểm) Tính I = x

33

1 − x 4 dx

0

π
2

Bài 4: ( 2 điểm) Tính I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) dx
∫
3

0

e

Bài 5: ( 1,5 điểm) Tính I = ∫
1

1
dx
x ( 1 + ln x )

0

Bài 6: ( 1 điểm) Tính I =

1
∫−1 x 2 + 2 x + 4 dx

HƯỚNG DẪN CHẤM
1

Bài 1: ( 1,5 điểm) Tính I =

x

∫ ( 2 x + 1)

2

dx

0

Giải:

t −1
dt
⇒ dx =
2
2
x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1⇒ t = 3

Đặt t = 2 x + 1 ⇔ x =

Đổi cận:
(0,25 điểm)

t −1
3
x
dt 1  1 1 
2
Khi đó: I =
∫0 ( 2 x + 1) 2 dx = ∫1 t 2 . 2 = 4 ∫1  t − t 2 ÷ dt
1

Trường THPT Lộc Hưng

3

Năm học 2013 – 2014

(0,25 điểm)

(0,5 điểm)

Trang 18


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

1
1 3
=  ln t + ÷ =

4
t1
Bài 2: ( 2 điểm) Tính I =
Giải:

1
2
 ln 3 − ÷
4
3

(0,5 điểm)

π
2

cosx
∫0 1 + sin 2 x dx

 π π
2
Đặt sin x = tan t với t ∈  − ; ÷⇒ cosxdx = ( 1 + tan t ) dt
 2 2
π
π
Đổi cận:x=0 ⇒ t=0; x = ⇒ t =
2
4
π
2

π
4

cosx
1 + tan 2 t
dx = ∫
dt
1 + sin 2 x
1 + tan 2 t
0
0

Khi đó: I =
∫

π
4

= ∫ dt = t

π
4
0

=

π
4

33

1 − x 4 dx

0

(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

1

Bài 3: ( 2 điểm) Tính I =

∫x
0

Giải:

3 2
3
4
3
4
3
Đặt t = 1 − x ⇒ t = 1 − x ⇒ x dx = − t dt
4
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0

1
1
3 3
33
4
Khi đó: I = ∫ x 1 − x dx = ∫ t dt
40
0
=
π
2

3 41 3
t =
16 0 16

(

∫

Bài 4: ( 2 điểm) Tính I = sin 2 x 1 + sin 2 x
0

Giải:

Đặt

)

3

t = 1 + sin x + 2 ⇒ dt = 2sin xcosxdx = sin 2 xdx
π
2

π
⇒t=2
2

∫

(

)

3

0

2

∫

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

1

t4 2
1 15
=
= 4− =
41
4 4

Trường THPT Lộc Hưng

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

Khi đó: I = sin 2 x 1 + sin x dx = t 3 dt
2

(0,5 điểm)

dx

2

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =

(0,5 điểm)

Năm học 2013 – 2014

(0,5 điểm)

Trang 19


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số
e

Bài 5: ( 1,5 điểm) Tính I =
Giải:

1
∫1 x ( 1 + ln x ) dx

dx
x
Đổi cận: x=1 ⇒ t=1; x = e ⇒ t = 2
e
2
2
1
dt
dx = ∫ = ln t = ln 2.
Khi đó: I = ∫
1
x ( 1 + ln x )
t
1
1
Đặt t = 1 + ln x ⇒ dt =

0

Bài 6: ( 1 điểm) Tính I =

∫x

−1
0

Giải:

Ta có

2

(0,25 điểm)
(0,5 điểm)
(0,75 điểm)

1
dx
+ 2x + 4
0

1
1
dx
=
2
∫ x + 2 x + 4 −∫1

2
−1
( x + 1) +

( 3)

2

dx

 π π
2
Đặt x + 1 = 3 tan t với t ∈  − ; ÷. ⇒ dx = 3 1 + tan t dt
 2 2

(0,25 điểm)

x=-1⇒ t = 0; x = 0 ⇒ t =

(0,25 điểm)

(

Đổi cận:

0

π
6

π
6

1
3
dx
=
dt
x2 + 2x + 4
3 ∫0
−1

Khi đó: I =
∫

π
3
π 3
=
t 6=
3
18
0

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

)

(0,25 điểm)

(0,25 điểm)

Trang 20


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

BẢNG ĐIỂM
Lớp đối chứng (Lớp 12B3)
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

HỌ VÀ TÊN
Phạm Thị Ngọc Ánh
Nguyễn Hoàng Ân
Lê Văn Bảo
Nguyễn Thị Ngọc Bích
Nguyễn Thị Diệu Chỉ
Võ Thị Kim Cương
Lê Minh Cường
Trần Huy Cường
Huỳnh Công Danh
Đồng Văn Hảo
Lê Thị Cẩm Hằng
Nguyễn Thị Thuý Hoa

Nguyễn Thị Hiếu
Nguyễn Ngọc Hùng
Lê Tấn Lạc
Nguyễn Thị Linh
Nguyễn Thị Ngọc Linh
Lê Ngọc Luyến
Võ Nhật Minh
Nguyễn Thị Thu Nhân
Nguyễn Thị Huỳnh Như
Đặng Hoàng Phong
Phùng Thanh Quí
Nguyễn Thị Quyền
Phạm Ngọc Sơn
Trần Thị Diễm Sương
Lê Thị Thu Thảo
Trần Thị Thắm
Huỳnh Kim Thi
Trần Thị Thanh Thoản
Phan Thị Mộng Thu
Dương Văn Tính
Hồ Chí Toàn
Phan Văn Minh Tùng

Trường THPT Lộc Hưng

Điểm kiểm tra
trước tác động
4
8
7

5
7
6
7
1
9
8
6
9
7
6
6
6
1
8
8
3
5
7
5
4
9
4
5
6
7
7
9
5
6

8
Năm học 2013 – 2014

Điểm kiểm tra sau
tác động
4
7
7
6
7
6
7
3
8
8
7
8
7
7
7
6
2
8
8
4
6
7
5
5
8

5
6
6
8
7
9
6
7
8
Trang 21


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

35
36
37
38

Lê Minh Trí
Phan Đỗ Trọng
Nguyễn Thị Thu Vân
Nguyễn Thị Tường Vy
ĐIỂM TRUNG BÌNH

6
5
7
6
6.13158

7
5
7
7
6.47368

Độ lệch chuẩn sau
tác động

1.50201

Lớp thực nghiệm lớp (Lớp 12B2)

Trường THPT Lộc Hưng

Năm học 2013 – 2014

Trang 22


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

STT

Họ và tên

Trường THPT Lộc Hưng

Điểm kiểm tra

trước tác động

Năm học 2013 – 2014

Điểm kiểm tra
sau tác động

Trang 23


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37

Dương Quốc Bình
Huỳnh Văn Minh Châu
Nguyễn Thị Kim Chi
Nguyễn Văn Chinh
Nguyễn Hoàng Dương
Huỳnh Văn Đây
Lê Thị Thúy Hằng
Nguyễn Thị Kim Hằng
Lê Văn Hết
Huỳnh Minh Hoàng

Phạm Thị Thu Hồng
Huỳnh Thị Cẩm Hơn
Võ Thị Thúy Kiều
Võ Thị Lài
Trần Thị Mỹ Linh
Trần Thị Thu Nguyên
Nguyễn Thị Phương Nhị
Phu Thị Kiều Oanh
Thái Thị Kim Phụng
Trần Thị Minh Phương
Hồ Thị Hồng Quốc
Phạm Thị Thảo Sương
Nguyễn Trần Hữu Tài
Nguyễn Tuấn Tài
Nguyễn Thị Thanh Thảo
Huỳnh Kim Thoại
Dương Thị Hồng Thúy
Nguyễn Thị Thanh Thúy
Lâm Thanh Toàn
Phạm Minh Tới
Nguyễn Thảo Trang
Trần Ngọc Trâm
Phạm Thị Châu Trinh
Cao Thị Thu Vân
Trương Thúy Vi
Huỳnh Hòa Việt
Lê Thị Phi Hoàng Yến
ĐIỂM TRUNG BÌNH

Trường THPT Lộc Hưng

7
6
7
9
7
8
8
9
7
5
5
10
4
7
7
4
5
5
7
5
3
4
7
6
8
9
6
8
2

5
3
6
6
6
6
5
5
6.13514
Năm học 2013 – 2014

8
7
8
9
8
9
9
10
8
7
8
9
7
8
9
6
7
7
8

6
6
6
8
7
8
8
7
8
5
8
6
8
9
8
8
8
8
7.67568
Trang 24


Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Giá trị p trước tác
động

Giá trị p sau tác
động

0.99352

0.00017

Độ lệch chuẩn sau
tác động

1.08151

SMD

0.80025

P

PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHSPƯD CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

1. Tên đề tài: Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương
pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số
2. Những người tham gia thực hiện:
STT

Họ và tên

Trường THPT Lộc Hưng

Cơ quan công

Trình độ

Năm học 2013 – 2014

Môn

Nhiệm vụ trong
Trang 25