de kiem dinh HSG toan 8

ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 8
LỚP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI – HỌC KỲ I - NH : 2007 - 2008

Bài 1 : (8 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử : a1) A = x
2
– x – y
2
– y
a2) B = x
2
– 5x + 6
b) Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
c) Cho a =
{
ncs1
11...1
; b =
n 1cs0
100...05
−
14 2 43
.
Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chính phương.
Bài 2 : (8 điểm)
a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c (trong đó a, b, c khác 0)
Tính : D = x
2
+ y
2
+ z

2
b) Cho abc = 2.
Tính giá trị của biểu thức sau :
= + +
+ + + + + +
a b 2c
E
ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0.
Rút gọn biểu thức :
= + +
2 2 2
a b c
F
bc ca ab
Bài 3 : (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh : S
ABM
= S
ACM
.
b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H.
Chứng minh rằng :
+ + =
HA ' HB' HC'
1
AA ' BB' CC'
Hết
Họ và tên : …………………………………………………………………Lớp : ……………….
Ngày kiểm tra : ………………….

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN 8
LỚP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI – HỌC KỲ I - NH : 2007 – 2008
Bài 1 : (8 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử :
a1) A = (x
2
– y
2
) – (x + y) 0.50
= (x + y)(x – y) – (x + y) 0.75
= (x + y)(x – y – 1) 0.75
b) Cho abc = 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
= + +
+ + + + + +
a b 2c
E
ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
= + +
+ + + + + +
a ab 2c
ab a 2 abc ab a ac 2c abc
1.00
= + +
+ + + + + +
a ab 2c
ab a 2 2 ab a c(a 2 ab)
1.00
= + +
+ + + + + +

a ab 2
ab a 2 ab a 2 ab a 2
0.50
+ +
= =
+ +
ab a 2
1
ab a 2
0.50
b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’,
BB’, CC’ gặp nhau tại H.
Chứng minh rằng :
+ + =
HA ' HB' HC'
1
AA ' BB' CC'
Ta có :
S = S
ABC

=
1
BC.AA '
2
0.25
a2) B = x
2
– 2x – 3x + 6 0.50
= (x

2
– 2x) – (3x – 6) 0.50
= x(x – 2) – 3(x – 2) 0.50
= (x – 2)(x – 3) 0.50
b) Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết
được dưới dạng hiệu của hai số chính
phương.
Gọi số lẻ có dạng
2k + 1 (k ∈ N) 0.50
Ta có : 2k + 1
= k
2
+ 2k + 1 – k
2
1.00
= (k + 1)
2
– k
2
0.50
H
C'
B'
A'B C
A
c) Cho
{
ncs1
a 11...1=
;

n 1cs0
b 100...05
−
=
14 2 43
.
Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số
chính phương.
Ta có :
9a + 1 = 10
n
0.50
ncs0
b 100...00 5
= +
14 2 43
0.25
= 10
n
+ 5 = 9a + 6 0.25
C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1 0.25
C = 9a
2
+ 6a + 1 = (3a + 1)
2
0.50
C =
{
2
n 1cs3

33...34
−
0.25
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khác 0.
Rút gọn biểu thức :
= + +
2 2 2
a b c
F
bc ca ab
= + +
3 3 3
a b c
abc abc abc
0.75
+ +
=
3 3 3
a b c
abc
0.50
Mà : a + b + c = 0
Suy ra : a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc 1.00
+ +

= =
3 3 3
a b c 3abc
abc abc
0.50
=
3
0.25
Bài 2 : (8 điểm)
a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c
Tính : D = x
2
+ y
2
+ z
2
Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c
Suy ra : x
2
y
2
z
2
= abc
x
2
y
2
= a
2

0.25
y
2
z
2
= b
2
0.25
z
2
x
2
= c
2
0.25
Do đó : x
2
b
2
= abc 0.25
a
2
z
2
= abc 0.25
y
2
c
2
= abc 0.25

Hay :
2
ac
x
b
=
;
2
ab
y
c
=
;
2
bc
z
a
=
0.25
Vậy
2 2 2 2 2 2
2 2 2
ac ab bc a b b c c a
x y z
b c a abc
+ +
+ + = + + =
0.25
Bài 3 : (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM.

Chứng minh : S
ABM
= S
ACM
.
Kẻ AH ⊥ BC 0.25
Ta có :
=
ABM
1
S AH.BM
2
0.50
=
ACM
1
S AH.CM
2
0.50
Mà : BM = CM (AM là trung tuyến)
Vậy : S
ABM
= S
ACM
0.25
H M
B
C
A