ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN METRIC

Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Thùy Vân

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN NÓN METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Thùy Vân

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN NÓN METRIC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Footer Page 2 of 185.


Header Page 3 of 185.

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong bài luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến
Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán – Tin Trường Đại Học Sư Phạm
Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn và
cung cấp đầy đủ các tài liệu để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách tốt
nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy trong hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp
đã dành thời gian quý báu để đọc và cho lời nhận xét luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt
thời gian học tập.
Sau cùng tôi xin kính chúc Quý thầy, cô trong khoa Toán – Tin Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và tất cả các bạn dồi dào sức khỏe, luôn đạt
được nhiều thành công trong công việc cũng như trong cuộc sống. Tôi xin chân
thành cảm ơn.
Học viên thực hiện
Dương Thùy Vân

Footer Page 3 of 185.

Header Page 4 of 185.

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG
KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN .......................................................................3
1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón ...............................................................................3
1.2 Không gian nón định chuẩn...............................................................................4
1.3 Định lí Krasnoselskii .........................................................................................7
Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN
ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED ........................................................................ 10
2.1 Không gian lồi địa phương có thứ tự ............................................................. 10
2.2 Không gian nón định chuẩn phi Archimed .................................................... 13
2.3 Các định lí điểm bất động............................................................................... 14
2.4 Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers ........................................................... 18
2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm ................................................................... 20
Chương 3. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN ......... 24
3.1 E – không gian ............................................................................................... 24
3.2 Các định lý điểm bất động trong E-không gian ............................................. 26
3.3 Định lý Krasnoselskii trong E-không gian Banach ........................................ 28
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 33

Footer Page 4 of 185.


Header Page 5 of 185.

1

LỜI MỞ ĐẦU
Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng và
hữu hiệu nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng
xấp xỉ cho nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ Khoa học Tự
nhiên cũng như cho nhiều mô hình Kinh tế Xã hội. Lý thuyết điểm bất động hình
thành từ đầu thế kỷ 20, phát triển mạnh mẽ và được hoàn thiện cho đến ngày nay.
Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lý Schauder về điểm
bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là các
định lý quan trọng của lý thuyết điểm bất động. Năm 1955 Krasnoselskii đã kết hợp
hai định lý này trong định lí quan trọng về điểm bất động của ánh xạ là tổng của ánh
xạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục. Định lý này đã tìm được những ứng dụng sâu
sắc trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân,…Do sự quan trọng
của định lý Krasnoselskii mà nó được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở
rộng theo nhiều hướng. Hướng thứ nhất tìm cách giảm nhẹ điều kiện co và điều
kiện compact hoặc điều kiện bất biến của miền xác định. Hướng mở rộng thứ hai là
mở rộng về không gian như thay không gian định chuẩn bằng không gian lồi địa
phương hoặc không gian nón - định chuẩn
Không gian nón – mêtric và nón – định chuẩn được đưa vào nghiên cứu trong
những năm 1950 khi thay miền giá trị của mêtric và chuẩn thông thường là [0,∞)
bởi nón dương của một không gian có thứ tự. Các không gian này tìm được các ứng
dụng quan trọng trong Giải tích số, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điểm
bất động. Các kết quả về điểm bất động trong không gian nón – mêtric chủ yếu liên
quan đến ánh xạ dạng co. Việc tìm hiểu định lý Krasnoselskii cho không gian nón định chuẩn và ứng dụng của nó là đề tài có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống hướng nghiên cứu định
lý Krasnoselskii trong không gian nón - định chuẩn, không gian nón – định chuẩn
phi Archimed, và trong E – không gian; các ứng dụng của nó trong phương trình
tích phân, phương trình hàm.

Footer Page 5 of 185.


Header Page 6 of 185.

2

Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và toàn diện hơn các kiến
thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, thấy rõ hơn
mối liên hệ giữa chúng; biết vận dụng các kiến thức đã học để học tập các vấn đề
mới và làm quen với nghiên cứu khoa học. Luận văn có thể là tài liệu tham khảo “
Định lý Krasnoselskii trong không gian nón – định chuẩn” cho học viên Cao học
chuyên ngành Toán Giải Tích.
Luận văn có ba chương. Chương 1 trình bày định lý Krasnoselskii trong không
gian nón định chuẩn. Chương 2 trình bày định Krasnoselskii trong không gian nón
định chuẩn phi Archimed. Chương 3 trình bày định Krasnoselskii trong E - không
gian.

Footer Page 6 of 185.


Header Page 7 of 185.

3

Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG
KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN
1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón
1.1.1. Các định nghĩa
1) Tập K trong không gian Banach thực E = (E, . ) được gọi là nón nếu

i) K là tập đóng
ii) K + K ⊂ K , λK ⊂ K , ∀λ ≥ 0
iii) K ∩ (−K) = {∅}
Nếu K là nón thì thứ tự trong E sinh bởi K được định bởi
x ≤ y ⇔ y − x∈K

Khi đó, cặp (E, K) được gọi là không gian Banach có thứ tự
2) Nón chuẩn
Nón K được gọi là nón chuẩn nếu ∃N > 0 : θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y
3) Ánh xạ tăng
Ánh xạ A : M ⊂ E → E được gọi là dương nếu A(x) ≥ θ ∀x ∈ M, x ≥ θ
Ánh xạ A tăng nếu x, y ∈ M và x ≤ y thì A(x) ≤ A(y)
Ta dễ thấy nếu A : E → E là ánh xạ tuyến tính và dương thì A là ánh xạ tăng
4) Nón liên hợp
Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của K là
K *=

{f ∈E

*

: f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ K

}

1.1.2. Bổ đề
1) xo ∈ K ⇔ f ( xo ) ≥ 0, ∀f ∈ K *
2) Nếu x ∈ K {θ } thì tồn tại f ∈ K * sao cho f (x)>0
1.1.3. Bổ đề
Cho không gian Banach (E, . ) được sắp thứ tự bởi nón K và . * là phiếm hàm

Minkowskii của tập [ B(θ ,1) − K ] ∩ [ B(θ ,1) + K ] . Khi đó
1. . * là một chuẩn trong E thỏa u * ≤ u ∀u ∈ E và u * ≤ v * nếu θ ≤ u ≤ v

Footer Page 7 of 185.


Header Page 8 of 185.

4

2. u *  . nếu K là nón chuẩn
1.2. Khơng gian nón định chuẩn
1.2.1. Định nghĩa
Cho (E, K) là khơng gian Banach có thứ tự và X là khơng gian tuyến tính thực
Ánh xạ p : X → E được gọi là một chuẩn nón( hay K-chuẩn) nếu
i) p( x ) ≥ θ E

∀x ∈ X

p( x ) = θ E ⇔ x = θ X

( θ E , θ X lần lượt là phần tử không của E và X tương ứng)

ii) p=
(λ x ) λ p( x ) ∀λ ∈ , ∀x ∈ X
iii) p( x + y ) ≤ p( x ) + p( y )

∀x , y ∈ X

Nếu p là một chuẩn nón trên X thì cặp (X, p) được gọi là khơng gian nón định

chuẩn
( hay K – khơng gian định chuẩn)
Khơng gian nón định chuẩn (X, p) với tơpơ τ được kí hiệu là ( X , p,τ )
1.2.2 Định nghĩa
Cho (E, K) là khơng gian Banach có thứ tự; (X, p) là khơng gian nón định chuẩn. Ta
định nghĩa
1) lim x n= x ⇔ lim p(x n - x)=θ trong E
n→∞

2) A ⊂ X đóng nếu ∀ { xn } ⊂ A, lim x n= x thì x ∈ A
n→∞

Trong (X, p) ta sẽ xét hai tơpơ sau
τ=
1

{G ⊂ X X

}

G là tập đóng

{

τ 2 là tơpơ trên X được xác định bởi họ nửa chuẩn f  p : f ∈ K *

}

(X, τ 2 ) là khơng gian vectơ tơpơ lồi địa phương. Họ các tập

{x ∈ X : max f  p(x) < ε } , f ∈ K , n ∈ N , ε >0 là cơ sở lân cận của θ
1≤i ≤ n

i

i

*

*

0 ∀f ∈ K *
Lưới { xα } ⊂ X hội tụ về x trong τ 2 nếu lim f ( p( xα − x )) =

1.2.3. Định nghĩa
Cho (E, K) là khơng gian Banach có thứ tự; (X, p) là khơng gian nón định
chuẩn, τ là một tơpơ trên X. Ta nói

Footer Page 8 of 185.


Header Page 9 of 185.

5

1) ( X , p,τ ) là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mỗi dãy
∞

∑ p( x
n =1

n +1 − xn ) hội

{ xn } ⊂ X

mà

tụ trong E thì { xn } hội tụ trong ( X , p,τ )

2) ( X , p,τ ) là đầy đủ theo Kantorovich nếu với mỗi dãy

{ xn } thỏa

θ E thì { xn } hội tụ trong ( X , p,τ )
p( xk − xl ) ≤ an ∀k,l ≥ n, với {an } ⊂ K , lim an =
n→∞

1.2.4. Bổ đề
Cho không gian Banach (E, . ) được sắp thứ tự bởi nón chuẩn K với
N=1: θ ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ y và (X, p) là không gian nón định chuẩn. Khi đó ánh
xạ q : X → , q(x)= p( x ) là một chuẩn trên X có những tính chất sau:
1)Tôpô τ1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q)
2) Nếu ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass thì (X, q) đầy đủ
Chứng minh
1) Dễ thấy q là một chuẩn trên X và
lim xn = x trong ( X , p,τ 1 ) ⇔ lim xn =
x trong (X, q).
n→∞

n→∞

Do đó

A⊂ X

là tập đóng trong ( X , p,τ 1 ) ⇔ A đóng trong (X, q)

Vậy tôpô τ1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q)
2) Lấy dãy { xn } ⊂ X sao cho

∞

∑ q( x ) < ∞
n =1

n

∞

Chúng ta chứng minh sự hội tụ của chuỗi

∑x
n =1

n

Thật vậy, đặt sn = x1 + x2 + ... + xn , n ∈ N * , ta có
∞

∑

p(sn =
− sn−1 )

∞

∑ q( x ) < ∞

=
n 1=
n 1
∞

⇒

∑ p(s
n =1

Footer Page 9 of 185.

n

n

− sn−1 ) hôi tụ trong ( E , . )

trong (X, q)


Header Page 10 of 185.

6

Vì ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass nên { xn } hội tụ trong ( X , p,τ 1 ) và trong (X, q).
1.2.5. Bổ đề
Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự, (X,p) là không gian nón định
chuẩn , τ là tôpô trên X

( X , p,τ )

1) Nếu

là đầy đủ theo Kantorovich thì

( X , p,τ ) đầy

đủ theo

Weierstrass
2) Nếu K là nón chuẩn và ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass thì ( X , p,τ 1 ) là
đầy đủ theo Kantorovich
Chứng minh
1) Lấy dãy { xn } ⊂ X sao cho
Đặt s =

∞

∑ p( x
n =1

n +1 − xn ) hội

tụ trong E

∞

∑x
n =1

n

sn = x1 + x2 + ... + xn là tổng riêng thứ n của chuỗi

Cho l > k ≥ n , ta có

θ trong E
p( xl − xk ) ≤ sl −1 − sk −1 ≤ s − sn với lim (s − sn ) =
n→∞

Vì

( X , p,τ ) là

đầy đủ theo Kantorovich nên

{ xn } hội

tụ trong

( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass

2) Lấy dãy { xn } thỏa
p( xl − xk ) ≤ an ∀k , l ≥ n,

{an } ⊂ K ,

lim an =
θE
n→∞

Do K là nón chuẩn nên p( xl − xk ) ≤ N an
Do đó { xn } là dãy Cauchy trong (X, q) nên { xn } hội tụ trong (X, q)
Suy ra { xn } hội tụ trong ( X , p,τ 1 ) theo bổ đề 1.2.4
Vậy ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Kantorovich.

Footer Page 10 of 185.

( X , p,τ ) hay


Header Page 11 of 185.

7

1.3. nh lớ Krasnoselskii
Cho (E, K) l khụng gian Banach cú th t, (X, p)l khụng gian nún nh
chun v
= =
1

{G X X

G laứ taọp ủoựng

{

nh bi h na chun f p : f K *

} hoaởc = vi l tụ pụ trờn X c xỏc
2

2

}

Gi s C l tp li úng trong ( X , p, ) v S, T: CX l hai toỏn t tha
(i) T(x) + S(y) C x,y C
(ii) S liờn tc v S(C ) l compact i vi tụpụ
(iii) Tn ti mt toỏn t tuyn tớnh liờn tc dng Q: EE vi bỏn kớnh ph
r (Q)<1 sao cho:
p(T ( x ) T ( y )) Q p( x y )

x , y C

Khi ú T+S cú mt im bt ng trong hai trng hp sau:
(TH1) = 1 , K l nún chun,

( X , p,1 )

l y theo Weierstrass

(TH2) = 2 , (X , p, 2 ) l y theo Kantorovich
Chng minh
T T(x) + S(y) C x,y C v C l tp úng nờn
T ( x ) + y C x C, y S(C)

C nh y S(C) , ta nh ngha Ty : C C , Ty ( x ) =
T (x) + y
Ly xo C , ta xõy dng dóy xn = Ty ( xn1 ) , n *
u p( x1 x0 ) , ta cú
t=
p( xn+1 =
xn ) p ( T ( xn ) T ( xn1 ) ) Q p( xn xn1 ) ... Q n (u)


v

Q (u=)
n

( I Q)1 (u)

n=0

t sn = x1 + x2 + ... + xn l tng riờng th n ca chui
Cho l > k n ta cú

Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.

8

p( xl − xk ) ≤

l −1

l −1

∑ p( x

∑ Q (u) ≤ (I − Q)

i +1 − xi ) ≤
=i k =i k

i

−1

n→∞
(u) − sn 
→θ

Trường hợp 1: K là nón chuẩn, ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass
Khi đó theo bổ đề 1.2.5, ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Kantorovich.
Do đó tồn tại x* = lim xn
n→∞

Ta có:

p [Ty ( x* ) − x* ] ≤ p [Ty ( x* ) − Ty ( xn )] + p ( xn+1 − x* )

( (

f p Ty ( x* ) − x*

≤ Q  p( x* − xn ) + p ( xn+1 − x* )

)) ≤ f  Q  p( x

*

− xn ) + f  p( xn+1 − x* ) ∀f ∈ K *

(1)

(2)

Cho n → ∞ trong (1) ta có Ty ( x* ) = x*
Trường hợp 2: (X , p,τ 2 ) là đầy đủ theo Kantorovich
Với f ∈ K * ta có f  Q ∈ K * . Cho n → ∞ trong (2) ta có Ty ( x* ) = x*
Chứng minh điểm bất động của Ty là duy nhất
Giả sử có điểm a thỏa Ty (a) = a . Khi đó
p(a − x=
p[Ty (a) − Ty ( x* )] ≤ Q  p(a − x* )
*)

θE
Vì (I − Q)−1 là ánh xạ tuyến tính dương nên p(a − x* ) =

Vậy a = x*
Vì toán tử Ty=
( x ) T ( x ) + y có một điểm bất động duy nhất ∀y ∈ S(C )
Nên tồn tại toán tử (I − T )−1 : S(C ) → C
Ta chứng minh (I − T )−1 liên tục
Thật vậy, lấy lưới {yα } ⊂ S(C ) sao cho lim yα = y , y ∈ S(C ) trong tôpô τ
Đặt xα =
( I − T )−1 ( yα ), x =
( I − T )−1 ( y ) , ta có
p( xα − x ) ≤ p[T ( xα ) − T ( x )] + p( yα − y ) ≤ Q[p( xα − x )]+p( yα − y )

Suy ra p( xα − x ) ≤ (I − Q)−1 p[( yα − y )]

Footer Page 12 of 185.

(3)


Header Page 13 of 185.

9

f  p ( xα − x ) ≤ f  ( I − Q)−1 p [( yα − y )]∀f ∈ K *

Từ (3) và K là nón chuẩn ta có lim xα = x trong τ 1
Từ (4) và f  (I − Q)−1 ∈ K * ta có lim xα = x trong τ 2
Toán tử (I − T )−1  S : C → C là liên tục
Vì (I − T )−1 là đẳng cấu nên (I − T )−1  S(C ) =
( I − T )−1 S (C )
Do đó, do tính liên tục của ánh xạ (I − T )−1 và giả thiết ii) ta suy ra

( I − T )−1  S (C ) là tập compact

Theo định lý Schauder-Tychonoff, tồn tại x ∈ C sao cho x= (I − T )−1  S( x )
Hay x = T(x)+ S(x).

Footer Page 13 of 185.

(4)


Header Page 14 of 185.

10

Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN
ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED
2.1. Không gian lồi địa phương có thứ tự
Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff thực mà tôpô của nó được
xác định bởi họ nửa chuẩn { pi }i∈I . Khi đó họ các tập có dạng như dưới đây là cơ sở
lân cận của θ
VJ ,ε





=
u ∈ E : max pi (u) < ε  , với ε > 0, J ⊂ I , J hữu hạn
i∈J




Lưới {uα } hội tụ về u ∈ E nếu { pi (uα − u)} hội tụ về 0 trong  ∀i ∈ I
Nếu K là nón thì thứ tự của E sinh bởi nón K được định nghĩa như sau
u ≤ v ⇔ v −u∈K

Ta gọi cặp (E,K) là không gian lồi địa phương có thứ tự
Nón K được gọi là nón minihedral nếu với mỗi cặp u, v ∈ E tồn tại cận trên
đúng sup{u,v}. Ta kí hiệu sup{u,v} là u ∨ v
Ta kí hiệu u+ thay cho sup {u,θ } , u- thay cho sup {−u,θ }
2.1.1. Định nghĩa
Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) có tính chất (E) nếu nón K là
nón minihedral và
(i) ∀i ∈ I , nửa chuẩn pi là bán đơn điệu , nghĩa là:
∃Ni > 0 : θ ≤ u ≤ v ⇒ pi (u) ≤ Ni . pi (v)

(ii) ∀i ∈ I ∃mi > 0 : pi (u + ) ≤ mi pi (u) ∀u ∈ E
Từ (i) ta có nếu un ≤ vn ≤ wn và lim un = u , lim wn = u thì lim vn = u
Thật vậy, ta có θ ≤ vn − un ≤ wn − un nên pi ( vn − un ) ≤ Ni pi ( wn − un ) → 0, ∀i ∈ I
Do đó vn − un → θ hay vn → u

Footer Page 14 of 185.


Header Page 15 of 185.

11

2.1.2. Bổ đề
Nếu không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) có tính chất (E) và lim un = u ,

lim vn = v thì lim un ∨ vn =u ∨ v

Chứng minh:
Nếu lim un = θ thì từ điều kiện (ii) của (E) ta có lim un + = θ
Giả sử lim un = u , ta chứng minh lim un + = u + . Thật vậy,

(

un + = ((un − u) + u)+ ≤ un + − u

)

+

+ u+

u + ≤ (u − un )+ + un +

Suy ra −(u − un )+ ≤ un + − u + ≤ (un − u)+
và do đó lim(un + − u + ) = θ . Cuối cùng, ta có
lim un ∨ ν n = lim (un −ν n ) ∨ θ + ν n  = (u −ν ) ∨ θ + ν = u ∨ ν .

2.1.3. Định nghĩa
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) và toán tử Q : K → K
1. Ta nói toán tử Q có tính chất (Q) nếu Q( θ ) = θ , Q liên tục tại θ và Q tăng

( u ≤ ν ⇒ Q(u) ≤ Q(ν )) .

{

}

2. Đặt Sn (u) = sup u, Q(u),..., Q n−1 (u) , S(u)= lim Sn (u)
n→∞

D = { u ∈ K: S( u ) xác định}
Do = { u ∈ K: lim Q n (u) = θ }
n→∞

Kí hiệu D1 là tập tất cả các phần tử u ∈ K sao cho
lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ *

(1)

n→∞





Vì họ các tập VJ ,ε =
u ∈ E : max pi (u) < ε  là cơ sở lân cận của θ nên


i∈J



(1) tương đương với điều kiện sau:
∀i ∈ I , ∀ε > 0, ∃no : ∀n ≥ no , ∀k ∈ * ⇒ pi (Sk (Q n (u))) < ε

Footer Page 15 of 185.

(2)


Header Page 16 of 185.

12

2.1.4. Bổ đề
Giả sử không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ và có tính chất
(E), toán tử Q có tính chất (Q) và u ∈ D1 . Khi đó
1)Q m (u) ∈ D1 ∀m ∈ * và nếu θ ≤ v ≤ u thì v ∈ D1

2)Q n (u) ∈ D ∀n ∈  và lim S(Q n (u)) = θ
n→∞

Chứng minh:
1) Theo định nghĩa D1 , ta có Q m (u) ∈ D1
Q đơn điệu tăng (θ ≤ v ≤ u ⇒ Q(v) ≤ Q(u) ) nên

(

)

(

Sk Q n (v) ≤ Sk Q n (u)

)

∀k, n ∈ *

u ∈ D1 neân ∀i ∈ I,∀ε >0,∃n o : ∀n ≥ no , ∀k ∈ * ⇒ pi (Sk (Q n (u))) < ε

mà pi là bán đơn điệu nên ta có v ∈ D1
2) Trước tiên ta chứng minh u ∈ D
= A1 ∪ A2 , khi đó
Giả sử A ⊂ K là hữu hạn và A

=
sup A sup{sup A1 ,sup A2} ≤ sup A1 + sup A2

Từ đó ta có θ ≤ Sn+ k (u) − Sn (u) ≤ Sk (Q n (u)) ∀n, k ∈ *
Do u ∈ D1 nên lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ *
n→∞

Do đó {Sn (u)}n là dãy cauchy trong E nên {Sn (u)}n hội tụ hay u ∈ D
Do Q n (u) ∈ D1 nên Q n (u) ∈ D và do đó S(Q n (u)) xác định
Cho k → ∞ trong (2), ta có lim pi (S(Q n (u)))= 0 ∀i ∈ I
n→∞

Vậy lim S(Q n (u)) = θ .
n→∞

Nhận xét
1) Nếu lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * , và đối với u ∈ C ⊂ K
n→∞

thì lim S(Q n (u)) = θ đều đối với u ∈ C
n→∞

Footer Page 16 of 185.


Header Page 17 of 185.

13

2) Nếu (E, K) là không gian Banach có thứ tự với tính chất (E) và Q : E → E là
toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Q)<1 thì D1 = K và S(u) ≤ (I − Q)−1 (u)
Thật vậy, với ∀k , n ∈ N , ta có
θ ≤ Sk (Q n (u)) ≤

∞

∑ Q (u )
i

i=n

θ đều đối với k ∈ *
⇒ lim Sk (Q n (u)) =
n→∞

Cho n = 0 và k → ∞ , ta có S(u) ≤ (I − Q)−1 (u)
2.2. Không gian nón định chuẩn phi Archimed
2.2.1. Định nghĩa
Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự

1. Ta gọi p là nón_ metric trên tập X nếu ánh xạ p : X × X → K thỏa
(i) p( x , y ) = θ E ⇔ x = y
(ii) p( x=
, y ) p( y, x ) ∀x , y ∈ X
(iii) p( x , y ) ≤ p( x , z) + p(z, y ) ∀x , y, z ∈ X
Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón _ metric
Lưới { xα } hội tụ về x nếu lưới { p( xα , x )} hội tụ về θ trong E
Tập A ⊂ X gọi là tập đóng nếu { xα } ⊂ A, lim xα =
x thì x ∈ A
2. Không gian nón_metric (X, p) được gọi là đầy đủ theo Kantorovich nếu với
mỗi dãy { xn }n thỏa
an =
θ thì { xn } hội tụ
{ }n ⊂ K , nlim
n
→∞

p ( xk , xl ) ≤ an ∀k, l ≥ n với an

2.2.2 Định nghĩa
Nếu nón K là nón minihedral và p là nón _metric thỏa
p( x , y ) ≤ sup { p( x , z), p( z, y )} , ∀x,y,z ∈ X thì p được gọi là nón_metric phi Archimed

2.2.3 Định nghĩa
Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự với K là nón minihedral,
tôpô của E được xác định bởi họ nửa chuẩn { pi }i∈I . Giả sử X là không gian vectơ
thực và p : X → K là ánh xạ thỏa

Footer Page 17 of 185.

Header Page 18 of 185.

14

(i) p( x ) = θ E ⇔ x = θ X với θ E ,θ X lần lượt là phần tử không trong E và X
(ii) p=
(λ x ) λ p( x ) ∀λ ∈ ,∀x ∈ X
(iii) p( x + y ) ≤ sup { p( x ), p( y )} ∀x,y ∈ X
Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón định chuẩn phi Archimed với
tôpô được xác định bởi họ nửa chuẩn (pi  p)i∈I
2.3. Các định lí điểm bất động
2.3.1. Định lí
Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự, (E, K) đầy đủ, có tính chất
(E) và không gian nón_metric phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich. Cho
F : X → X là toán tử thỏa p( F ( x ), F ( y )) ≤ Q  p( x , y ) ∀x,y ∈ X

Trong đó Q : K → K có tính chất (Q) và tồn tại một phần tử xo ∈ X thỏa
(i) Q n  p ( xo , F ( xo ) )  ∈ D ∀n ∈ 

(

)

(ii) lim S Q n  p ( xo , F ( xo ) )  = θ
n→∞
Khi đó, dãy xn = F ( xn−1 ) là hội tụ và phần tử x* = lim xn là điểm bất động của
n→∞

F. Hơn nữa x* có những tính chất sau:

(

1) p( xn , x* ) ≤ S Q n  p ( xo , F ( xo ) ) 

)

2) x* là điểm bất động duy nhất của F trong tập { x ∈ X : p( x , xo ) ∈ Do }
Chứng minh
Đặt u = p( xo , F ( xo )) ta có
=
p( xn , xn+1 ) p( F ( xn−1 ), F ( xn )) ≤ Q  p( xn−1 , xn ) ≤ ... ≤ Q n (u)

vaø p( xn , xn+ k ) ≤ sup{p ( xn , xn+1 ) ,...,p ( xn+ k −1 , xn+ k )}
≤ sup{Q n (u),..., Q n+ k −1 (u)} =
Sk (Q n (u))
≤ S(Q n (u))

{

}

Bất đẳng thức cuối đúng vì dãy Sk (Q n (u)) là dãy tăng và hội tụ về S(Qn(u)).

Footer Page 18 of 185.

k


Header Page 19 of 185.

15

Do đó với k = n + q, l = n + r , ta có

{

}

p( xk , xl ) ≤ sup p( xn+ q , xn ), p( xn , xn+r ) ≤ S(Q n (u))

Do lim S(Q n (u)) = θ và (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich nên tồn tại x* = lim xn
n→∞

n→∞

cho k → ∞ trong p( xn , x* ) ≤ sup { p( xn , xn+ k ), p( xn+ k , x* )}

{

}

≤ sup S(Q n (u)), p( xn+ k , x* )

và áp dụng bổ đề 2.1.2, ta có p( xn , x* ) ≤ S(Q n (u))
Ta chứng minh x* là điểm bất động của F. Ta có
p( x* , F ( x* )) ≤ sup { p( x* , F ( xn )), p( F ( xn ), F ( x* ))}

{

}

≤ sup p( x* , xn+1 ), Q  p( xn , x* )

Cho n → ∞ , do Q liên tục và áp dụng bổ đề 2.1.2, ta có x* = F ( x* )
Chứng minh sự duy nhất: giả sử có x ' sao cho x ' = F ( x ') , p( x ', xo ) ∈ Do . Ta có
=
p( xn , x ') p( F ( xn−1 ), F ( x ')) ≤ Q[p( xn−1 , x ')] ≤ ... ≤ Q n ( p( xo , x '))

Do đó x ' = lim xn
n→∞

Vậy x ' = x*
2.3.2. Hệ quả
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ và có tính chất (E),
không gian metric_nón phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich. Giả sử
toán tử F : X → X thỏa
p( F ( x ), F ( y )) ≤ Q  p( x , y )

∀x,y ∈ X

Với toán tử Q:K → K có tính chất (Q) và tồn tại phần tử xo ∈ X sao cho
p(x o , F ( xo ) ∈ D1

Khi đó, dãy xn = F ( xn−1 ) là hội tụ và x* = lim xn là điểm bất động của F có
n→∞

những tính chất sau:
1) p( xn , x* ) ≤ S(Q n [p(xo ,F(xo ))])

Footer Page 19 of 185.


Header Page 20 of 185.

16

{

2) x* là điểm bất động duy nhất của F trong tập x ∈ X p( x , xo ) ∈ Do

}

Chứng minh
Do p ( xo , F ( xo ) ) ∈ D1 nên do bổ đề 2.1.4 các điều kiện i), ii) của định lí 2.3.1
được thỏa mãn.
2.3.3. Định lý điểm bất động Krasnoselskii trong không gian nón định
chuẩn phi Archimed
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, có tính chất (E),
(X,p) là không gian nón định chuẩn phi Archimed đầy đủ theo Kantorovich. Cho
C ⊂ X là tập lồi, đóng và hai toán tử F , G : C → X thỏa

(i) F (C ) + G(C ) ⊂ C
(ii) G liên tục và G(C ) là tập compact
(iii) p(F ( x ) − F ( y )) ≤ Q  p( x − y ) ∀x,y ∈ C
Trong đó toán tử Q:K → K có tính chất (Q) và thỏa một trong những giả thuyết sau:
a) Tồn tại một toán tử R:K → K mà R(θ ) = θ , R liên tục tại θ và nếu
u ≤ sup {v, Q(u)} thì u ≤ R(v)

b) lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * và đối với u nằm trong mỗi tập con

n→∞

compact của K
(iv) Tồn tại phần tử xo ∈ C sao cho p(C − xo ) ⊂ D1
Khi đó, F + G có điểm bất động trong C
Chứng minh
Từ F (C ) + G(C ) ⊂ C và C là tập đóng ta có F (C ) + G(C ) ⊂ C
Với mỗi y ∈ G(C ) ta xét ánh xạ Fy : C → C , Fy ( x ) =
F( x) + y
Vì p(Fy ( xo ) =
− xo ) p( F ( xo ) + y − xo ) ∈ p(C − xo ) ⊂ D1 nên áp dụng hệ quả 2.3.2,
ta có Fy có điểm bất động duy nhất trong tập { x ∈ C : p( x − xo ) ∈ Do } = C
Do đó, tồn tại toán tử (I − F )−1 : G(C ) → C
Ta chứng minh (I − F )−1 liên tục

Footer Page 20 of 185.


Header Page 21 of 185.

17

Thật vậy, lấy lưới {yα } ⊂ G(C ) hội tụ về y ∈ G(C ) và đặt
xα =
( I − F ) ( yα ),
−1

x=
( I − F )−1 ( y )

F ( xα ) + yα ,
Khi đó xα =

x =+
F( x) y

Ta chứng minh { xα } → x
Xét trường hợp a). Ta có

{

}

p( xα − x ) ≤ sup p ( yα − y ) , p ( F ( xα ) − F ( x ) )

{

}

≤ sup p ( yα − y ) , Q  p( xα − x )

⇒ p( xα − x ) ≤ R  p ( yα − y ) 

Do đó { xα } → x
Xét trường hợp b)
n
Đặt xα n T=
Tyn ( xo ) , ta có
=
yα ( xo ), xn

p( xα − x ) ≤ p( xα − xα n ) + p( xα n − xn ) + p( xn − x )

(3)

Áp dụng định lý 2.3.1, ta có
θ ≤ p( xα − xα n ) ≤ S Q n ( p(F ( xo ) − xo + yα ) ) 




θ ≤ p( xn − x ) ≤ S Q n ( p(F ( xo ) − xo + y ) ) 




Vì {yα } ⊂ G(C ) và G(C ) là compact và giả thiết b) nên
lim S[Q n (p(F(xo )- xo +yα ))] = θ đều đối với α

n→∞

Cố định i ∈ I và ε > 0 , lấy no nguyên dương sao cho
pi  p( x − xn ) < ε , pi  p( xα − xα n ) < ε ∀α
o

(4)

o

Từ (iii) và Q liên tục ta có F liên tục

n

Bằng quy nạp, ta chứng minh được tính liên tục của toán tử y  Fy o ( xo )
Do đó, lưới xα n = Fyn ( xo ) hội tụ về xn = Fyn ( xo )
o

o

o

α

o

Kết hơp với (3) và (4) ta có thể chọn α o sao cho pi  p( xα − x ) < 3ε ∀α ≥ α o

Footer Page 21 of 185.


Header Page 22 of 185.

18

Do đó lim pi  p( xα − x ) = 0 ∀i ∈ I hay lim xα = x
Vì toán tử (I − F )−1 : G(C) → C là đẳng cấu nên (I − F )−1 ( G(C ) ) =
( I − F ) (G(C ))
−1

Vậy tập (I − F )−1  G(C ) là tập compact
Suy ra toán tử ( I − F )  G có điểm bất động trong C theo định lý Tychonoff

−1

Do đó, F + G có điểm bất động trong C.
Nhận xét: Nếu (E, K) là không gian Banach có thứ tự với tính chất (E) và
Q : E → E là toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Q)<1 thì cả hai giả thuyết

a) và b) của điều kiện iii) của định lý 2.3.3 được thỏa mãn
Thật vậy, vì u ≤ sup{v, Q(u)} , ta có u ≤ v + Q(u) , do đó u ≤ (I − Q)−1 (v)
Ngoài ra θ ≤ Sk (Q n (u)) ≤

∞

∑ Q (u) nên
i=n

i

lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * và u

n→∞

nằm trong tập con bị chặn.
2.4. Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers
2.4.1. Định nghĩa
Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự với int K ≠ ∅ , (X, p) là
không gian nón _metric; và các toán tử F , F1 : X → X .
Phương trình:
F1 ( x ) = F ( x )

(5)

được gọi là ổn định theo Ulam-Hyers nếu với mỗi ε ∈ int K , ∃δ ∈ K \ {θ } sao cho
nếu p ( F ( x '), F1 ( x ') ) ≤ δ thì tồn tại một nghiệm x* của (5) thỏa p( x* , x ') ≤ ε
2.4.2. Định lý
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, có tính chất (E),
int K ≠ ∅ và không gian nón metric phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo

Kantorovich. Giả sử toán tử F : X → X thỏa p(F ( x ), F ( y )) ≤ Q  p( x , y ) ∀x , y ∈ X , trong
đó Q : K → K có tính chất (Q), Q(K \ {θ }) ⊂ K \ {θ } và tồn tại xo ∈ X sao cho
p( xo , F ( xo )) ∈ D1

Footer Page 22 of 185.


Header Page 23 of 185.

19

Khi đó phương trình điểm bất động x = F(x) là ổn định theo Ulam-Hyers
Chứng minh
Đặt u = p( xo , F ( xo )) , ta có lim S(Q n (u)) = θ
n→∞

Do đó với ε ∈ int K , tồn tại số nguyên dương no sao cho S(Q n (u)) ≤ ε
o

Đặt δ = Q n (u) , áp dụng bổ đề 2.1.4, ta có δ ∈ D1 và nếu p( x ', F ( x ')) ≤ δ thì
o

p( x ', F ( x ')) ∈ D1

Áp dụng hệ quả 2.3.2, ta có điểm bất động của F sao cho
p( x* , x ') ≤ S ( p( x ', F ( x '))) ≤ S (δ ) ≤ ε .

Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một dạng khác về tính chất ổn định theo UlamHyers
2.4.3. Định nghĩa
Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự với int K ≠ ∅ , (X, p) là
không gian nón định chuẩn, C ⊂ X , toán tử F , F1 : C → X và một họ ζ những toán
tử từ C vào X. Ta nói phương trình: F1 ( x ) = F ( x ) là ổn định theo Ulam – Hyers đối
với những toán tử từ họ ζ nếu với mỗi ε ∈ int K , ∃δ ∈ K sao cho nếu G ∈ ζ và
p ( G( x ) ) ≤ δ

∀x ∈ C thì

( x ) F ( x ) + G( x ) có nghiệm
1) Phương trình F1=
( x ) F ( x ) + G( x ) tồn tại một
2) Với nghiệm x’ bất kỳ của phương trình F1=

nghiệm x* của phương trình F1 ( x ) = F ( x ) thỏa p( x* − x ') ≤ ε
2.4.4. Định lý
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, int K ≠ ∅ và không
gian nón định chuẩn phi Archimed (X, p), C ⊂ X là tập lồi đóng và các ánh xạ
F , G : C → X thỏa

(i) p(F ( x ) − F ( y )) ≤ Q  p( x − y ) ∀x , y ∈ C
trong đó toán tử Q : K → K có tính chất (Q) và thỏa một trong những giả thuyết
sau:

Footer Page 23 of 185.

Header Page 24 of 185.

20

a) Tồn tại R : K → K mà R(θ ) = θ , R liên tục tại θ và từ u ≤ sup {v, Q(u)} ta có
u ≤ R( v )

b) lim Sk (Q n (u)) = θ đều theo k ∈ * và u nằm trong mọi tập con compact của K
n→∞

(ii) Tồn tại phần tử xo ∈ C sao cho p(C − xo ) ⊂ D1
Khi đó phương trình điểm bất động x = F ( x ) là ổn định theo Ulam – Hyers đối
với họ toán tử G thỏa:
(a) F (C ) + G(C ) ⊂ C
(b) G liên tục và G(C ) là tập compact
Chứng minh
Cho ε ∈ int K , áp dụng định lý 2.4.2 chọn δ ∈ K ,sao cho nếu p( y − F ( y )) ≤ δ
thì tồn tại một điểm bất động x* của F thỏa p( x* − y ) ≤ ε
Nếu G thỏa (a) và (b), và p(G( x )) ≤ δ ∀x ∈ C thì phương trình=
x F ( x ) + G( x )
có nghiệm( theo định lý 2.3.3)
Với nghiệm x ' bất kỳ của phương trình này, ta có p( x '− F ( x ')) ≤ δ
Do đó theo định lý 2.4.2, tồn tại một điểm bất động x* của F thỏa
p( x* − x ') ≤ ε .

2.5. Ứng dụng cho phương trình hàm
Cho tập T ≠ ∅ . Kí hiệu E = T là không gian lồi địa phương của tất cả các
hàm u : T →  , tôpô của nó được xác định bởi họ nửa chuẩn =

pt (u) u(t ) , t ∈ T
(t ) u(t ) ∀t ∈ T và E là đầy đủ
Khi đó lưới {uα } ⊂ E hội tụ về u nếu lim uα =

Trong E ta xét nón K các hàm không âm. Nón K là nón minihedral, với
u, v ∈ E ,sup {u, v} là hàm sup {u(t ), v(t )}

Không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, có tính chất (E) và

{

}

int K =
u ∈ E : inf u(t ) > 0

Footer Page 24 of 185.

t∈T


Header Page 25 of 185.

21

2.5.1. Bổ đề
Cho Q : K → K là toán tử tăng và liên tục tại θ , Q(θ ) = θ . Giả sử rằng phần tử u
thỏa lim Q n (u)(t )= 0 ∀t ∈ T . Khi đó
n→∞

{

}

lim sup Q n (u),..., Q n+ k −1 (u) = θ trong E đều đối với k ∈ *

n→∞

Do đó Do = D1
Chứng minh
Đặt vn = Q n (u) , ta có
lim vn (t )= 0 ∀t ∈ T ,
max {vn (t ),..., vn+ k −1 (t )} ≤ sup {vm (t ) : m ≥ n} → 0 khi m → ∞

Mà tôpô của E được xác định bởi họ nửa chuẩn =
pt (u) u(t ) , t ∈ T nên

}

{

lim sup Q n (u),..., Q n+ k −1 (u) = θ trong E đều đối với k ∈ * .

n→∞

Cho (Y , . Y ) là không gian Banach phi Archimed và X = Y T là không gian
vectơ các hàm x : T → Y
Xét ánh xạ p : X → K , x  p( x )(t ) = x (t ) Y , ta có
p( x + y )(t ) = x (t ) + y(t )

Y

{

≤ max x (t )

Y

, y(t )

Y

}

= max { p( x )(t ), p( y )(t )} ∀t ∈ T

Hay p( x + y ) ≤ sup { p( x ), p( y )} trong E
Do đó p là nón định chuẩn phi Archimed trên X
Tôpô của (X, p) được xác định bởi họ nửa chuẩn ( pt  p )t∈T nên
lim xα = x ⇔ lim pt  p( xα − x ) = lim xα (t ) − x (t )

Y

= 0 ∀t ∈ T

Hay lim xα (t ) = x (t ) trong Y với ∀t ∈ T
Rõ ràng (X, p) là đầy đủ theo nghĩa thông thường, do đó, đầy đủ theo nghĩa
Kantorovich
Áp dụng hệ quả 2.3.2, ta có kết quả sau

Footer Page 25 of 185.