chuyên đề hàm số môn toán 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.62 KB, 22 trang )

CHUN ðỀ: HÀM SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN
Bài tốn đồng biến nghịch biến của hàm số
Lý Thuyềt

 ∆ y ' ≤ 0
Hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ñồng biến trên R y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
 a > 0

∆ y ' ≤ 0
Hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d nghịch biến trên R y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
a < 0
ax + b
Hàm số y =
ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc > 0
cx + d
ax + b
Hàm số y =
nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc < 0
cx + d
Hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ñồng biến trên D với D = (−∞; a ), (a; b), (a; +∞) thì ta dùng tam thức bật
hai ñể giải
Bổ trợ: Cho tam thức g ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b 2 − 4ac
∆ > 0

g ( x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 dương phân biệt ⇔  P > 0
S > 0


∆ > 0

g ( x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 âm phân biệt ⇔  P > 0

S < 0

−b

 S = x1 + x2 = a
ðịnh lý Viét: 
P = x x = c
1 2

a

∆ > 0

g ( x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa x1 < x2 ≤ α ⇔  a.g (α ) ≥ 0
S
 <α
2

∆ > 0

g ( x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa α ≤ x1 < x2 ⇔  a.g (α ) ≥ 0
S
 >α
2
g ( x) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt thỏa x1 ≤ α ≤ x2 ⇔ a.g (α ) ≤ 0

1

Các ví dụ

* Ví dụ 1: Hàm số y =

x3 x 2
3
− − 6x +
3 2
4

(A) ðồng biến trên (-2;3)
(C) Nghịch biến trên (- ∞ ;-2)

(B) Nghịch biến trên (-2;3)
(D) Nghịch biến trên (-2;+ ∞ )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 2: Hàm số y = 4 − x 2 có các khoảng ñồng biến – nghịch biến là:
(A) ðồng biến trên (-2;0) và nghịch biến trên (0;2)
(C) ðồng biến trên [-2;0) và nghịch biến trên (0;2]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(B) Nghịch biến trên (-2;0) và ñồng biến trên (0;2)
(D) Nghịch biến trên [-2;0) và ñồng biến trên (0;2]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

* Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x3 + (m + 1) x 2 + 4mx + m − 2 ñồng biến trên tập số thực
3
R?
(A) m = 1
(B) m ≤ 1
(C) −1 ≤ m ≤ 1
(D) m ≥ −1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 4: Cho hàm số y =

−1 3
x + (m − 1) x 2 + (m + 3) x . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
3

(A) m = −1

(B) 0 ≤ m ≤ 4

(C) −4 ≤ m ≤ 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) Khơng có giá trị

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

* Ví dụ 5: Cho hàm số y =
(A) m ≤ 3

mx + 7m − 8
. Tìm m để hàm số ñồng biến trên khoảng (3;+∞) .
x−m
(D) 1 < m ≤ 3
(B) −8 < m < 1
(C) −8 < m ≤ 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 6: Cho hàm số y =

1 3
x − 2 x 2 + mx − 2 . Hàm số ñồng biến trên (−∞;1) khi:
3

(A) m ≥ 3

(B) m > 3

(C) m ≤ 3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Ví dụ 7: Cho hàm số y =

(D) m < 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

−1 3
x + (m − 1) x 2 + (m + 3) x .Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (0;3)
3

ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài tập về nhà:

2x −1
. Phát biểu nào ñúng ?
x+2
(A) Hàm số ñồng biến trên (- ∞ ; -2) và (-2; + ∞ )
(C) Hàm số ñồng biến trên R

* Bài 1. Cho hàm số y =

(B) Hàm số nghịch biến trên (- ∞ ; -2) và (-2; + ∞ )
(D) Tất cả ñều sai.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

* Bài 2. Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + mx + 1 ñồng biến trên (0; + ∞ ) khi giá trị của m là:
(B) m ≤ 0
(D) m ≥ 12
(A) m ≥ 0
(C) m ≤ 12
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Bài 3. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 + (m + 1) x + 4m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên (-1;1)
ðiền vào chổ trống
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Bài 4. Cho hàm số y =
(A) m ≤ 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x−m+2
nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh của nó khi
x +1
(B) m ≤ −3
(C) m < 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) m < −3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Bài 5. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 + mx + m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.
ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4

Bài toán cực trị của hàm số
Lý Thuyết
Hàm số bậc 3 y = ax3 + bx 2 + cx + d có cực đại – cực tiểu :
⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2

⇔ ∆y' > 0
Hàm số bậc 4 trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có cực đại cực tiểu:
⇔ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3

⇔ a.b < 0
 y '( x0 ) = 0
Hàm số ñạt cực ñại tại x0 ⇔ 
 y ''( x0 ) < 0
 y '( x0 ) = 0
Hàm số ñạt cực tiểu tại x0 ⇔ 
 y ''( x0 ) > 0

Các ví dụ:

1
* Ví dụ 1: Hồnh độ các điểm cực trị của hàm số f ( x) = x3 + 2 x 2 + 3 x − 1 là:

3

 x = −1
 x = −3

(A) 

x =1
 x = −3

 x = −1
x = 3

(B) 

(C) 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) Khơng có cực trị

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 2: Hàm số f ( x) = x ( x + 2) có bao nhiêu điểm cực trị?
(B) 1
(C) 2
(A) 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x 2 − mx + 5 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
(A) m = 2
(B) m = - 1
(C) m = -2
(D) m = 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5

* Ví dụ 4: Cho hàm số y = mx3 − 3 x 2 + (m 2 + 2) x + 3 . Tìm m để hàm số đạt cực ñại tại x = 1.
m = 1
 m = −1
(B) 
(A) 
(C) m = -4
(D) m = 1
 m = −4
m = 4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Ví dụ 5: Cho hàm số y =

(A) a = −1; b =

−3
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x4
+ ax 2 + b. Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng -2 tại x = 1.
2
−3
3
3
(B) a = 1; b =
(C) a = −1; b =
(D) a = 1; b =
2
2
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 3x + 1 . Tìm m để hàm số ln có Cð – CT.
ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 7: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 1 − m .Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
(A) m < 0
(B) m ≤ 0
(C) m ≥ 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) m > 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6

* Ví dụ 8: Cho hàm số y = 2 x 3 − mx 2 − 2(3m 2 − 1) x + 2 . Tìm m để hàm số có hai cực trị x1 và x2 sao cho
3

3

x1.x2 +2(x1 + x2) = 1.
ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 9: Cho hàm số y = − x 4 + 2m 2 x 2 + m − 2 . Tìm m để hàm số có một cực trị.
(A) m > 0
(B) m ≤ 0
(C) m ≥ 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) m = 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x 2 + mx + 1
ñạt cực ñại tại x = 2

x+m
(B) m ≤ - 3
(C) m = -3

* Ví dụ 10: Xác ñịnh m ñể hàm số y =
(A) m > -3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) m < - 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài tập về nhà:
x 2 − 3x + 6
là
x −1
(B) 2

* Bài 1. Số ñiểm cực trị của hàm số y =
(A) 0

(C) 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7

* Bài 2. Hàm số f ( x) có đạo hàm là f '( x) = x 2 ( x + 1)2 (2 x − 1) có hồnh độ các ñiểm cực trị là:


 x = −1

(A)  x = 0

1
x =
2



x =1

(B)  x = −3

1
x = −
2



x =1

(C)  x = 0


1
x =
2


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) Khơng có cực trị

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Bài 3. Hàm số y = x − sin 2 x + 3
−π
(A) Nhận ñiểm x =
làm ñiểm cực tiểu
6
−π
làm ñiểm cực ñại
(C) Nhận ñiểm x =
6

(B) Nhận ñiểm x =
(D) Nhận ñiểm x =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

π
2

π

2

làm ñiểm cực ñại
làm ñiểm cực tiểu

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1
* Bài 4. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + 3x − 5 . Tiếp tuyến tại ñiểm cực tiểu của hàm số:
3
(A) Song song với ñường thẳng x = 1
(B) Song song với trục hồnh
(C) Có hệ số góc dương
(D) Có hệ số góc bằng – 1.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Bài 5. Cho hàm số y = x 4 − (2m + 1) x 2 + m 2 . Tìm m để hàm có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
ðiền vào chổ trống
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8

* Bài 6. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3m3 . Tìm m để hàm có hai cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích
bằng 48.
ðiền vào chổ trống

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Bài 7. Cho hàm số y =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 3
x − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2 .Tìm m sao cho hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương.
3

ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Bài 8. ðồ thị hàm số y = x − 3 x + ax + b có điểm cực tiểu A(2; −2) . Tìm tổng a + b
ðiền vào chổ trống
3

2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài tốn tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f ( x) trên ñoạn [ a; b ]
Lý thuyết
Hàm số liên tục trên ñoạn [ a; b ]
Tính y ' = f '( x)

Cho y’ = 0 để tìm các nghiệm xi thuộc [ a; b ] .(nhớ loại các nghiệm không thuộc [ a; b ] )
Tính các giá trị f ( xi ), f (a ), f (b)

Kết luận GTLN – GTNN từ bước 4.
Các ví dụ
* Ví dụ 1. GTLN – GTNN của hàm số y = x3 − 8 x 2 + 16 x − 9 trên ñoạn [1;3] lần lượt là
13
13
13
13
(A) 6; −
(B)
(C) − ;6
(D)
;− 6
;6
27
27
27
27

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 2. GTLN – GTNN của hàm số f ( x) = sin 3 x − sin 2 x − 5sin x + 2 lần lượt là
(A) 5; −3
(B) 5;3

(C) −5;3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Ví dụ 3. Với giá trị nào của m thì phương trình
(A)

2 ≤m≤2

(B)

2
≤ m ≤1
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x − 2 + 4 − x = 2m có nghiệm
(C) − 2 ≤ m ≤ 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Ví dụ 4. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =

(D) −5; − 3

(D)

2
< m <1
2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x − m2 + m
trên ñoạn [0;1] bằng -2
x +1

ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 −π 2π 
* Ví dụ 5. Tìm m để phương trình cos 3 x + cos 2 x − 1 − m = 0 có nghiệm x ∈ 
; 
 3 3 
ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10

* Ví dụ 6. Tìm GTLN – GTNN của hàm số y =
ðiền vào chổ trống

Max y =
[ 2;5]

x2
− x − 6 x − x 2 trên [ 2;5]
6
min y =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[ 2;5]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Bài 2. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3 x + m ñạt giá tị lớn nhất bằng -1 trên ñoạn [0;1]
ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 π 5π 
* Bài 3. Tìm m để phương trình sin 3 x + cos 2 x + 1 − m = 0 có nghiệm x ∈  ; 
6 6 

ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11

ðường tiệm cận – Tâm ñối xứng của ñồ thị
Lý Thuyết
Hàm số y =

ax + b
cx + d
−d
c

-

Tiệm cận ñứng x =

-

Tiệm cận ngang y =

-

 −d a 
Nhận I 
;  là giao ñiểm hai tiệm cận làm tâm ñối xứng
 c c

Hàm số y =

a
c

ax 2 + bx + c
a'x +b'
−b '
a'

-

Tiệm cận ñứng x =

-

Tiệm cận xiên y = kx + m là tiệm cận xiên với k = lim

x →+∞

y
; m = lim ( y − kx ) ; hoặc lấy phần
x →+∞
x

nguyên trong phép chia ña thức ax 2 + bx + c cho a ' x + b '
-

Nhận I là giao ñiểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Cho hàm số y =

2− x
có các đường tiện cận ñứng và ngang lận lượt là:
x+3

(A) x = 2; y = 1

(B) x = −3; y = 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Ví dụ 2: ðồ thị hàm số y =

(C) x = −3; y = −1

(D) x = 2; y = −1

(A) ðường thẳng x = - 1 là tiệm cận ñứng

(B) ðường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên

(C) ðường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên

(D) ðường thẳng y = x – 2 là tiệm cận xiên

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 4: ðường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2 x + x 2 − 1 là:
ðiền vào chổ trống
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Ví dụ 5: ðồ thị hàm số y =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x2 − 2 x + 2
x −3

(A) Nhận ñiểm ( −3; 4 ) làm tâm ñối xứng

(B) Nhận điểm ( −4;3) làm tâm đối xứng

(C) Khơng có tâm ñối xứng

(D) Nhận ñiểm ( 3; 4 ) làm tâm ñối xứng

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sự tương giao của hai ñồ thi – Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị
Lý thuyết
Biện luận số nghiệm phương trình theo tham số m bằng đồ thị y = f ( x ) (C )
ðưa phương trình về dạng f ( x) = g (m)
 y = f ( x ) (C )
ðặt 
, ñường thẳng (d) có phương song song với trục Ox.
 y = g ( m) ( d )
Lập luận số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và (d)
Bài tốn tương giao của hai ñồ thị y = f ( x ) (C ) và y = g ( x ) = ax + b (∆)
Lập phương trình hồnh độ giao ñiểm: f ( x ) = g ( x) (1)
Lập luận: Số giao ñiểm của (C) và ( ∆ ) là số nghiệm của (1).
ðiều kiện tiếp xúc của hai ñường cong y = f ( x) (C1 ); y = g ( x )

Các ví dụ
* Ví dụ 1. Phương trình 4 x 3 − 6 x 2 − 3a = 0 có 3 nghiệm khi
−2
−2
(A) a <
(B)
≤a≤0
3
3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C)

−2
3

 f ( x) = g ( x)
(C2 ) là 
 f '( x) = g '( x)

(D) a > 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 2. Phương trình 4 x 3 − 6 x 2 − 3a = 0 có 1 nghiệm khi
−2

a<
−2
(A) 
(B)
≤a≤0
3


3
0
a
>

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

−2
3

(D) a > 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 3. Phương trình 4 x3 − 6 x 2 − 3a = 0 có 2 nghiệm khi
−3

a = 0
a<
(A) 
(B) 
2

 a = −2
a
>
0

3


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C)

−2
3

(D) a > 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 4. Phương trình x 4 − 4 x 2 + m = 0 có 2 nghiệm khi
m = 4
(B) 
(A) m = 4
m < 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C) m < 0

(D) 0 < m < 4

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 5. Phương trình x 4 − 4 x 2 + m = 0 có 4 nghiệm khi
m = 4
(B) 
(A) m = 4

m < 0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C)

(C) m < 0

(D) 0 < m < 4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 6. Phương trình x 4 − 4 x 2 + m = 0 vô nghiệm khi
m = 4
(B) 
(A) m > 4
m < 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C) m < 0

(D) 0 < m < 4

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x3 + 3x 2 + 3 x
3
và y = x + 2 là
2
2
(B) 1
(C) 2

* Ví dụ 7. Số giao ñiểm của hai ñồ thị y =
(A) 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 8. Với điều kiện nào của m thì hai đường thẳng y = − x + m cắt ñồ thị hàm số y =

x −3
tại hai ñiểm phân
2− x

biệt:
(A) −1 < m < 3

 m < −1
(C) 
m > 3

(B) −1 ≤ m ≤ 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 9. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( x − 3)( x 2 + x + 4) với trục hoành là:
(B) 1
(C) 2
(A) 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 m ≤ −1
(D) 
m ≥ 3

(D) 3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16

* Ví dụ 10. ðồ thị hàm số y = 3 −
(A) x = −1

1
và y = 4 x 2 tiếp xúc nhau tại điểm M có hồnh độ là
x
(C) x = 2

(B) x = 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) x =

1
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài tập về nhà
1 4 1 2
x − x + m − 2 = 0 có đúng 3 nghiệm thực khi:
4
2
ðiền vào chổ trống

Bài 1. Phương trình

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài 2. ðồ thị hàm số y =
(A)

3

(

)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2x −1
cắt ñường thẳng d: y = x + m cắt ñồ thị hàm số tại hai ñiểm phân biệt khi:
x +1

3−2 < m< 3

(

3+2

)

m < 3 − 2 3
(B) 
 m > 3 + 2 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C) m = 3 − 2 3

(D) m = 3 + 2 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 3. ðồ thị hàm số y = x 4 − (3m + 4) x 2 + m 2 cắt trục hoành tại bốn ñiểm phân biệt khi


4
m > −

(A) 
5

 m ≠ 0


4
m > −
(B) 
5

m ≠ 0

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C) m =

−4
5

(D) m ≠ 0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17

Bài 4. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + (1 − m) x + m (1) . Tìm m để hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có
hồnh độ x1, x2, x3 sao cho x12 + x22 + x32 < 4

ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm ba yếu tố  y0
, thơng thường cho một yếu tố, tìm hai yếu tố cịn lại
 y '( x )
0

Viết phương trình tiếp tuyến.
 Chú ý:
Nếu tiếp tuyến song song với ñường thẳng ∆ : y = kx + m ⇒ y '( x0 ) = k
Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ∆ : y = kx + m ⇒ y '( x0 ) =

−1
k

Nếu tiếp tuyến hợp với trục Ox một góc α ⇒ y '( x0 ) = ± tan α

 Phương trình tiếp tuyến đi qua A( x A ; y A ) khơng thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) (C )
Gọi (T) là ñường thẳng ñi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc là k,
(T) có dạng: g ( x) = y = k ( x − xA ) + y A
 f ( x) = g ( x)
ðiều kiện tiếp xúc: 
giải hệ tìm k =……
 f '( x) = g '( x)

Các ví dụ:
3
* Ví dụ 1. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x − 2 x tại điểm có hồnh ñộ x = −1 là:
(A) y = x + 2
(B) y = x − 2
(C) y = − x + 2
(D) y = x − 2

1
(C) y = x − 1; y = − x +
4
4

1
1
x−
4
4
1
1
(D) y = x − 1; y = x −
4
4

(A) y = 0; y =

(B) y = 0; y =

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Ví dụ 4. Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y =
f "( x) = 0 là:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 4
3
x − 3 x 2 + tại điểm có hồnh độ là nghiệm của phương trình
2
2

ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 5. ðường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng

 m = −1
m = 1

(A) 

m = 4
m = 0

m = 2
 m = −2

(B) 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(C) 

(D) m = ±3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Ví dụ 6. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 8 x + m là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3

(A) m = 8
(B) m = −8
(C) m = 18
(D) m = −18
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20

* Ví dụ 7. Cho hàm số y =
một góc 450.

x +1
. Tìm tọa độ các điểm thuộc vào đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó tạo với trục Ox
x+2

ðiền vào chổ trống
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài tập về nhà
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) y =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3x + 1
, biết hồnh độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình
x −3

(7 x −11).y '( x ) = 10 .
ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(D) x = 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------21

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 4. Cho hàm số y = x 4 − (m + 1) x 2 + m . Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = 1 tạo với trục Ox
một góc 1350.
ðiền vào chổ trống
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x2 + x −1
. Xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm mà tiếp tuyến tại ñó song song với trục Ox.
x −1
ðiền vào chổ trống

Bài 5. Cho hàm số y =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4 x3 − 6 x 2 + 1 , biết tiếp tuyến ñi qua M( -1;-9)
ðiền vào chổ trống

chuyên đề hàm số môn toán 12

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về