vận dụng các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên vào giải các bài toán chuyên ngành

TIỂU ĐỀ ÁN 2

Anh (chị) hãy vận dụng các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên và các quy luật
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên vào giải các bài toán chuyên ngành Kinh tế
tổng hợp, Tài chính doanh nghiệp, Ngân hàng, Kế toán, Quản trị văn phòng, Quản trị
dịch vụ du lịch và lữ hành, Chăn nuôi thú y, Công nghệ kỹ thuật điện – điện tử,
Công nghệ thông tin.

MỤC LỤC

1


PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

1. Sự cần thiết lập tiểu đề án
1.1. Sự cần thiết lập tiểu đề án
Đối với sinh viên: Báo cáo kết quả sau khi học xong bài “Biến ngẫu nhiên và
quy luật phân phối xác suất”;
Căn cứ: Đề cương bài giảng học phần tích hợp Toán kinh tế (phần Xác suất
thống kê);
- Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên;
- Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Ra đời vào đầu thế kỷ 17, Lý thuyết Xác suất nghiên cứu tìm ra quy luật chi
phối và đưa ra các phương pháp tính toán khả năng xuất hiện của các hiện tượng, biến
cố ngẫu nhiên. Ngày nay, Xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng cả về
phương diện lý thuyết và ứng dụng. Nó là công cụ không thể thiếu được mỗi khi ta nói
đến dự báo, bảo hiểm, mỗi khi cần đánh giá các cơ may, các nguy cơ rủi ro. Nhà Toán
học Pháp Laplace ở thế kỷ XIX đã tiên đoán rằng “Môn khoa học này hứa hẹn trờ
thành một trong những đối tượng quan trọng nhất của tri thức nhân loại, rất nhiều
những vấn đề quan trọng nhất của đời sống thực tế thuộc về những bài toán của Lý

thuyết Xác suất”.
Xác suất thống kê cho chúng ta thấy được quy luật của những cái ngẫu nhiên để
rồi lượng hóa chúng. Trong nghiên cứu khoa học, ta dùng xác suất thống kê để kiểm
định tính chính xác của mô hình, kiểm định độ tin cậy của thang đo. Trong kinh tế, xác
suất thống kê giúp ta lựa chọn phương án sao cho lợi nhuận nhiều nhất với độ rủi ro ít
nhất. Xác suất thống kê cũng có vai trò quan trọng trong việc lập mô hình phân tích và
dự báo trong quá trình ra quyết định kinh doanh và các quá trình khác. Trong quá trình
khai phá dữ liệu (data mining) xác suất thống kê đóng vai trò quan trọng khi kiểm định
kết quả của mô hình và đánh giá tri thức phát hiện được.
Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất là một nội dung quan trọng
trong việc học tập và vận dụng kiến thức xác suất thống kê trong kinh tế. Ngoài ra, đối
với ngành quản trị kinh doanh thì việc nghiên cứu, tìm hiểu kiến thức về biến ngẫu
nhiên và các quy luật phân phối xác suất có ý nghĩa quan trọng.
Vì vậy, sau khi kết thúc bài học, em lựa chọn tiểu đề án: “Anh (chị) hãy lập tiểu
đề án về vận dụng các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên và các quy luật phân phối
2


xác suất của biến ngẫu nhiên trong giải các bài toán thực tế lựa chọn phương án tối ưu
theo một trong các ngành Kinh tế tổng hợp, Tài chính doanh nghiệp, Kế toán, Quản trị
văn phòng, Quản trị dịch vụ du lịch và lữ hành, Chăn nuôi thú y, Công nghệ kỹ thuật
điện – điện tử, Công nghệ thông tin”.
1.2. Phạm vi đối tượng tiểu đề án
- Phạm vi của Đề án/ tiểu đề án: Là phạm vi của bài 3: Biến ngẫu nhiên và quy
luật phân phối xác suất, bài 4: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng trong
học phần xác suất thống kê.
- Đối tượng của Đề án/ tiểu đề án: Là nội dung của bài học và học phần có
liên quan.
1.3. Phương pháp thực hiện
- Phương pháp kế thừa: Kế thừa các kiến thức đã học và biết trước;

- Phương pháp thu thập số liệu: Thu thập, tổng hợp và thống kê các số liệu
có liên quan đến bài học và học phần trong lý luận và thực tiễn làm cơ sở phân
tích đánh giá;
- Phương pháp điều tra: Sử dụng phiếu điều tra nhằm thu thập các thông tin
(nếu cần thiết);
- Phương pháp thống kê: xử lý số liệu điều tra, phân tích kết quả điều tra thông
qua các chỉ tiêu thống kê;
- Phương pháp phân tích cơ hội và thách thức (SWOT);
- Phương pháp tổng hợp: Tổng hợp các thông tin, số liệu liên quan đến từng
mục tiêu của Đề án/ tiểu đề án và đưa ra các giải pháp phù hợp với thực tiễn.
1.4. Yêu cầu của Đề án/ tiểu đề án
- Xác định rõ các mục tiêu, nhiệm vụ và giải pháp chủ yếu cần tập trung chỉ
đạo, thực hiện để khắc phục những hạn chế, tồn tại...
- Có các cơ chế chính sách cụ thể, đảm bảo các nguồn lực cho thực hiện đề
án/tiểu đề án;
- Về thời gian: 1 tuần.
1.5. Sản phẩm của đề án/ tiểu đề án
- Báo cáo thu hoạch đề án/ tiểu đề án làm cơ sở để giảng viên thực hành hướng
dẫn (Giảng viên lý thuyết phối hợp) cho sinh viên thực tập và tạo ra sản phẩm bằng
hiện vật cuối cùng.
3


1.6. Quan điểm
- Xác định nhiệm vụ:
+ Phải nghiêm túc chấp hành;
+ Bám sát và cụ thể hóa bài học/ học phần.

4

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA TIỂU ĐỀ ÁN

2. Căn cứ xây dựng tiểu đề án
2.1. Căn cứ xây dựng đề án/ tiểu đề án
a. Căn cứ pháp ly
Căn cứ chương trình đào tạo và kế hoạch thực hiện của Nhà trường nhằm đào
tạo lý luận gắn liền với thực tiễn, phù hợp với nhu cầu xã hội ở trong nước và hội
nhập quốc tế.
b. Căn cứ yêu cầu thực tiễn
Xuất phát từ thực tiễn về năng lực giảng dạy và học tập tại Trường Đại học
Hải Dương.
2.2. Mục tiêu của Đề án/ tiểu đề án đến năm 2015
a. Mục tiêu chung
Đạt được chất lượng theo chuẩn đầu ra tại ngành/ chuyên ngành đào tạo.
b. Mục tiêu cụ thể
Đạt chất lượng theo bài/ học phần tiến tới đạt chuẩn đầu ra theo ngành/ chuyên
ngành đào tạo.
2.3. Nội dung của Đề án/ tiểu đề án
2.3.1 Bối cảnh xây dựng và triển khai thực hiện Đề án/ tiểu đề án
- Thuận lợi: Sử dụng kiến thức đã học về các phép tính xác suất.
- Khó khăn và thách thức: Quá trình học tập còn hạn chế.
2.3.2. Thực trạng
a) Các kết quả đạt được
- Hiểu được định nghĩa biến ngẫu nhiên và phân loại biến ngẫu nhiên;
- Hiểu và xây dựng được bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm
mật độ xác suất, biết thêm những kiến thức về các quy luật phân phối xác suất;
- Hiểu được các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên;
- Đã nhận dạng và áp dụng công thức tham số đặc trưng vào làm bài tập;
- Sinh viên đã biết cách thu thập và phân tích số liệu thông qua học phần

nguyên lý thống kê, mối quan hệ các biến kinh tế;
- Đối chiếu với nội dung của bài đã học.
b) Những tồn tại hạn chế
- Tồn tại, hạn chế trong các phép tính xác suất;
5


- Còn nhầm lẫn trong các phép tính.
3. Những nội dung chính của Đề án/ tiểu đề án
3.1. Biến ngẫu nhiên
3.1.1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà nó có thể nhận một trong các giá trị có thể có
các xác suất tương ứng của nó.
Kí hiệu: Biến ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ X, Y, Z,…
Các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên là x1, x2, x3,…, xn
3.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Tung một đồng xu 4 lần.
Gọi X là số lần xuất hiện mặt hình người.
Các giá trị có thể có của X là 0, 1, 2, 3 hoặc 4.
Ví dụ 2: Tung 2 lần một con xúc xắc đều đặn đồng chất.
Gọi Y là số lần mặt 3 điểm xuất hiện.
Các giá trị có thể có của Y là 0, 1, hoặc 2.
Ví dụ 3: Kiểm tra ngẫu nhiên 5 chiếc máy may.
Gọi Z là số chiếc máy may bị hỏng.
Các giá trị có thể có của Z là 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ví dụ 4: Gieo 10 hạt giống khoai tây.
Gọi G là số hạt giống khoai tây nảy mầm.
Các giá trị có thể nhận của G là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ví dụ 5: Một người chơi trò chơi ném vòng đến khi trúng thì dừng.
Gọi H là số chiếc vòng phải dùng.

Các giá trị có thể nhận của H là 1, 2, 3,….n.
Ví dụ 6: Một xạ thủ bắn một viên đạn vào bia đỡ đạn.
Gọi K là khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia.
Các giá trị có thể nhận của K là một số thực không âm.
3.1.3. Phân loại biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu các giá trị có của nó
lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được.
Ví dụ
6


Lấy ngẫu nhiên 8 hộp sữa bột cho trẻ từ trong xưởng sản xuất ra để kiểm tra
Gọi D là số hộp sữa đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm.
Các giá trị có thể nhận của D là 0, 1, 2, 3,…, 8.
Ngoài ra, các biến ngẫu nhiên X, Y, Z, G ở các ví dụ trên cũng là biễn ngẫu
nhiên rời rạc.
b. Biến ngẫu nhiên liên tục
Biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị có thể có
của nó lấp đầy một hay một số khoảng của trục số, thậm trí lấp đầy cả toàn bộ trục số.
Ví dụ
Một sinh viên đứng chờ xe buýt, cách 15 phút lại có một chuyến xe mà sinh
viên đó cần đi.
Gọi T Là thời gian chờ xe buýt của sinh viên.
Các giá trị có thể nhận của T là một số thực nằm trong khoảng

[ 0;15]

Ngoài ra, các biến ngẫu nhiên H, K ở các ví dụ trên cũng là biến ngẫu nhiên
liên tục.

3.2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
3.2.1. Định nghĩa
Quy luật phân phối xác suất là một cách biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị
của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó.
Có 3 phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Đó là:
- Bảng phân phối xác suất;
- Hàm phân phối xác suất;
- Hàm mật độ xác suất.
3.2.2. Bảng phân phối xác suất
a. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị có thể có là x ,, x2, x3,…, xn với các xác
suất tương ứng là p1, p2, p3,…, pn.
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng như sau:

7


X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

b. Ví dụ
Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 7 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm
từ hộp để kiểm tra. Tìm quy luật phân phối xác suất của số phế phẩm lấy được.
Bài làm
Gọi X là số phế phẩm lấy được.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ta tìm các xác
suất tương ứng:

Bảng phân phối xác suất của X là:
X

0

1

2

P
c. Chú y
- Để tạo nên một bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X thì các xác
suất phải thỏa mãn 2 điều kiện:
- Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của
các biến ngẫu nhiên rời rạc.
3.2.3. Hàm phân phối xác suất
a. Định nghĩa
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ, x là một số thực tùy ý. Xác suất của
biến cố (X < x) được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Kí hiệu: F(x) = P(X < x)
Cụ thể:
8


- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là:
X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

Thì hàm phân phối xác suất của X là:

b. Tính chất
- Tính chất 1:
- Tính chất 2:
- Hệ quả: Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận giá trị trong đoạn [a; b] thì với , F(x)
=0 và với , F(x) = 1.
- Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm với mọi x
- Hệ quả 1:
- Hệ quả 2: Nếu biến ngẫu nhiên liên tục thì P(X = x) = 0
- Hệ quả 3: X là biến ngẫu nhiên liên tục thì
c. Ý nghĩa
- Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất ở về phía bên trái

một số thực x nào đó.
- Giá trị hàm phâm phối xác suất tại mỗi điểm x cho biết có bao nhiêu phần của
một đơn vị xác suất phân bổ trong khoảng .
d. Ví dụ
Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất như sau:

Tìm .
Bài làm
Ta có:
Vậy .
3.2.4. Hàm mật độ xác suất
9


a. Định nghĩa
Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất F(x). Khi
đó giá trị đạo hàm bậc nhất của F(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến
ngẫu nhiên X.
Kí hiệu: f(x) =
b. Tính chất
- Tính chất 1:
- Tính chất 2:
x

F ( x) =

∫ f (t )dt

−∞

- Tính chất 3:
+∞

∫ f ( x)dx = 1

- Tính chất 4:

−∞

c. Ví dụ
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:

a. Tìm hệ số a;
b. Tìm hàm mật độ xác suất;
c. Tính .
Bài làm
a. Áp dụng tính chất hàm mật độ xác suất, ta có:

10


+∞

∫ f ( x)dx = 1

−∞

0

2

+∞

−∞

0

2

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 1

⇔

2

2
⇔ ∫ a * xdx = 1
3
0
2
x2 2
⇔ a*
0 =1
3
2
2
22
2
02
⇔ ( a* ) −( a* ) =1

3
2
3
2
4
⇔ a −0 =1
3
4
⇔ a =1
3
3
⇔a= .
4

b. Hàm mật độ xác suất

c.
Vậy
3.3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
3.3.1. Kỳ vọng
a. Định nghĩa
- Kỳ vọng: Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có
của biến ngẫu nhiên.
- Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất.
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất tương ứng là:
X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn
n

E ( X ) = ∑ pi xi

thì kỳ vọng của X được ký hiệu và xác định như sau:
b. Ví dụ
Ví dụ 1:Tìm E(X)
X

P
Bài làm

5
0,2

3
0,1

9
0,4

i =1

11
0,3
11


E ( X ) = x1 * p1 + x2 * p2 + x3 * p3 + x4 * p4 = 5 * 0,2 + 3 * 0,1 + 9 * 0,4 + 11* 0,3 = 8,2

Ví dụ 2: Tung đồng xu 2 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt hình. Tính E(X).
Bài làm
Bảng phân phối xác suất:
X
P

0

1

2

1
1
1
E ( X ) = 0 * + 1* + 2 * = 1
4
2
4

- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ
vọng của X được định nghĩa và ký hiệu như sau:
E( X ) =

+∞

∫ xf ( x)dx

−∞

Ví dụ: Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:
Tính E(X).
Bài làm
E( X ) =

+∞

∫ xf ( x)dx

−∞

=

0

2

+∞

−∞

0

2

∫ xf ( x)dx + ∫ xf ( x)dx +

∫ xf ( x)dx

2

= ∫ x * 2 * 3 x * ( x + 2) * dx
0

2

= ∫ 6 x 2 * ( x + 2) * dx
0

2

= 6 * ∫ ( x 3 + 2 x) * dx
0

x4
x2
+ 2 * ) 02
4
2
= 6 * (8 − 0)
= 6*8
= 24.
= 6*(

Vậy E(X)= 24
c. Tính chất và y nghĩa của kỳ vọng
- Tính chất 1:E(C) = C, C = const;
- Tính chất 2: E(CX) = CE(X), C = const;
- Tính chất 3: E(X + Y)=E(X) + E(Y);
- Tính chất 4: E(XY) = E(X)*E(Y) nếu X và Y độc lập.
12


Ý nghĩa: Đặc trưng cho giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát của
biến ngẫu nhiên đó.
Ví dụ: Cho 2 bảng phân phối xác suất của X và Y:
X
P

1
0,1

Y
P

5
0,7

2
0,2

3
0,3

4
0,4

6
0,3

Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2X+Y.
Bài làm
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2X là:
2X
P

2*1
0,1

2*2
0,2

2*3
0,3

2*4
0,4

2X
P

2
0,1

4
0,2

6
0,3

8
0,4

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2X+Y là:
2X+Y
P

2+5
2+6

4+5
4+6
6+5
6+6
8+5
8+6
0,1*0,7 0,1*0,3 0,2*0,7 0,2*0,3 0,3*0,7 0,3*0,3 0,4*0,7 0,4*0,3

2X+Y
P

7
0,07

8
0,03

9
0,14

10
0,06

11
0,21

12
0,09

13

0,28

14
0,12

d. Ứng dụng thực tế
Kỳ vọng được ứng dụng:
- Trong các trò may rủi để tính giá trị mà người chơi mong đợi sẽ nhận được;
- Trong các lĩnh vực kinh doanh và quản lý như một tiêu chuẩn để ra quyết
định trong tình huống cần lựa chọn giữa nhiều chiến lược khác nhau. Tiêu chuẩn
này được biểu diễn dưới dạng lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng để làm căn
cứ lựa chọn chiến lược kinh doanh.
3.3.2. Trung vị
- Là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Nói
cách khác đó là giá trị chia phân phối của biến ngẫu nhiên thành hai phần bằng
nhau. Kí hiệu: m d
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị X i sẽ là trung vị m d nếu thỏa
mãn điều kiện .

13


- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì giá trị X i sẽ là trung vị m d nếu thỏa
md

∫ f ( x)dx = 0,5

−∞

mãn điều kiện

.
3.3.3. Mốt
- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì mốt của X là giá trị của X mà tại đó
xác suất lớn nhất.
- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì mốt của X là giá trị của X mà tại đó
hàm độ mật độ xác suất đạt cực đại.
- Kí hiệu: m 0.
- Ví dụ: Trong bảng phân phối xác suất của X:
X
0
1
2
P
0,25
0,5
0,25
Thì mod X = 1
Vì P(X = 1) = 0,5
3.3.4. Phương sai
a. Định nghĩa
- Phương sai là kỳ vọng của bình phương các sai lệch giữa các giá trị của
biến ngẫu nhiên so với giá trị kỳ vọng của nó. Kí hiệu: V(X)
+)
+)
n

n

i =1

i =1

V ( X ) = ∑ xi2 pi − (∑ xi pi )2

- Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì:

V (X ) =

+∞

+∞

−∞

−∞

2
2
∫ x f ( x)dx − [ ∫ xf ( x)dx]

- Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì:
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Tung 1 đồng xu đồng chất 2 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt hình.
Tính V(X).
Bài làm
Bảng phân phối xác suất của X:
X
P
Ta có:

0
0,25

1
0,5

2
0,25

Vậy .
Ví dụ 2: Cho biết doanh số bán hàng (D) và chi phí mua nguyên liệu nấu
ăn (Q) ( đơn vị triệu đồng) của một nhà hàng Châu Âu được cho trong bảng phân
phối xác suất đồng thời sau:
14


Q
D
100
1
0,01
2
0,02
3
0,03
4
0,04
Tính phương sai của doanh số bán

500

1000
0,11
0,03
0,12
0,12
0,13
0,15
0,14
0,1
hàng và chi phí mua nguyên liệu nấu ăn

của nhà hàng đó.
Bài giải
Bảng phân phối xác suất của doanh số bán hàng (D) là:
D
P

100
0,1

500
0,5

1000
0,4

E ( D) = 100 * 0,1 + 500 * 0,5 + 1000 * 0,4 = 660
E ( D 2 ) = 1002 * 0,1 + 5002 * 0,5 + 10002 * 0,4 = 526000

Ta có:

Phương sai của doanh số bán hàng là:
V ( D) = E ( D 2 ) − [ E ( D)]2 = 526000 − 6602 = 90400

.
Bảng phân phối xác suất của chi phí mua nguyên liệu nấu ăn (Q) là:
Q
P

1
0,15

2
0,26

3
0,31

4
0,28

E (Q) = 1 * 0,15 + 2 * 0,26 + 3 * 0,31 + 4 * 0,28 = 2,72
E ( D 2 ) = 12 * 0,15 + 2 2 * 0,26 + 32 * 0,31 + 4 2 * 0,28 = 8,46

Ta có:
Phương sai của chi phí mua nguyên liệu nấu ăn là:
V ( D) = E (Q 2 ) − [ E (Q)]2 = 8,46 − 2,72 2 = 1,0616

.

c. Tính chất và hệ quả

+) Tính chất:
- Tính chất 1: V(C) = 0, C = const;
- Tính chất 2: V(CX) =C 2V(X), C = const;
- Tính chất 3: V(X Y) = V(X) +V(Y) , X, Y độc lập.
+) Hệ quả:
n

n

i =1

i =1

V (∑ X i ) = ∑V ( X i )

- Hệ quả 1:
, Xi , i= 1, 2, …, n độc lập;
- Hệ quả 2: V(C + X) = V(X), C = const;
- Hệ quả 3: V(X –Y) = V(X) + V(Y), X, Y độc lập.
d. Ý nghĩa, ứng dụng thực tế:
+) Ý nghĩa: Phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên
xung quanh giá trị trung bình của nó.
+) Ứng dụng thực tế: Được ứng dụng:
15


- Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của các chi tiết
gia công hay sai số của thiết bị;
- Trong quản lý và kinh doanh phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của
các quyết định.

3.3.5. Độ lệch chuẩn
a. Định nghĩa
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Công thức: .
Ý nghĩa: Đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị của nó.
b. Ví dụ
Ví dụ : Tung 1 đồng xu đồng chất 2 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt hình.
Tính .
Bài làm
Bảng phân phối xác suất của X:
X
P
Ta có:

0
0,25

1
0,5

2
0,25

Độ lệch chuẩn
Vậy độ lệch chuẩn .
3.3.6. Hệ số biến thiên
a. Định nghĩa
Hệ số biến thiên dùng để đo lường mức độ quan trọng tương đối của sự
phân tán của một phân phối.
Công thức:

b. Ý nghĩa
- Đo mức độ thuần nhất của một phân phối, giá trị của nó càng nhỏ thì mức
độ thuần nhất càng lớn;
- So sánh mức độ phân tán của hai phân phối mà kỳ vọng và độ lệch chuẩn
của chúng không nhất thiết phải như nhau.
3.3.7. Giá trị tới hạn
- Áp dụng với biến ngẫu nhiên liên tục X;
- Giá trị tới hạn mức a của biến ngẫu nhiên X thỏa mãn ;
- Ý nghĩa: Gía trị tới hạn mức x a là giá trị sao cho diện tích giới hạn bởi
trục hoành, đường cong hàm mật độ xác suất và đường thẳng x = x a bằng a.
Ghi chú:
- Các tham số đặc trưng cho xu hướng trung tâm của biến ngẫu nhiên là kỳ
vọng, trung vị, mốt;
16


- Các tham số đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên là phương sai,
độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên, giá trị tới hạn;
- Ngoài ra, còn có các tham số đặc trưng cho biến ngẫu nhiên trung tâm của
biến ngẫu nhiên là hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn.
3.4. Một số quy luật phân phối thông dụng
3.4.1. Quy luật không – một – A(p)
a. Định nghĩa
- Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị 0, 1 với các xác suất
tương ứng được tính theo công thức được gọi là tuân theo quy luật phân phối
không một với tham số p. Kí hiệu: A(p).
- Bảng phân phối xác suất của X là:
X
P

0
1-p

1
p

b. Các tham số đặc trưng
- Kỳ vọng: E(X) = p;
- Phương sai: V(X) = pq;
- Độ lệch chuẩn: .
3.4.2. Quy luật phân phối Nhị thức
a. Lược đồ Becnoulli
- Thực hiện n phép thử độc lập;
- Biến cố A có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong mỗi phép thử;
- P(A) = p;
- P( = 1 – p;
- Công thức Becnoulli: .
b. Định nghĩa
- Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có 0, 1, 2,…, n với
các xác suất tương ứng được tính theo công thức Becnoulli được gọi là tuân theo
quy luật phân phối Nhị thức với các tham số n và p.
- Kí hiệu là X B(.
- Bảng phân phối xác suất của X là:
X
P

0

1

…
…

x

…
…

n

c. Các tham số đặc trưng
- Kỳ vọng: E(X) = np;
- Phương sai: V(X) = npq;
17


- Độ lệch chuẩn: ;
- Mốt: np –q m 0 np + p.
d. Ví dụ
Trong một công ty may, có 30% công nhân có trình độ trung học, còn lại
70% công nhân có trình độ sau trung học. Chọn ngẫu nhiên 3 công nhân. Gọi X là
số công nhân có trình độ trung học. X tuân theo quy luật phân phối nào?
Bài giải
Coi việc chọn mỗi công nhân là một phép thử. Ta có 3 phép thử độc lập.
Trong mỗi phép thử, có 2 khả năng xảy ra, hoặc công nhân có trình độ trung học
hoặc công nhân có trình độ sau trung học.
Xác suất để mỗi công nhân có trình độ trung học đều bằng nhau và bằng 0,3.
Xác suất để mỗi công nhân có trình độ sau trung học đều bằng nhau và bằng 0,4.
Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Becnoulli.
Gọi X làcông nhân có trình độ trung học. X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể

nhận các giá trị . X tuân theo quy luật phân phối Nhị thức với n = 3 và p = 0,3.
3.4.3. Quy luật phân phối xác suất tần suất
a. Định nghĩa
- Xét lược đồ Becnoulli;
- Ta quan tâm tâm đến tỉ lệ xuất hiện biến cố A hơn là bản thân số lần xuất
hiện biến cố đó;
- Khi đó đặt B(n, p).
b. Bảng phân phối xác suất tần suất:
f
p

…
…

…
…

c. Các tham số đặc trưng
- Kỳ vọng: E(f) = p;
- Phương sai: ;
- Độ lệch chuẩn: .
3.4.4. Quy luật phân phối Poisson
a. Định nghĩa
- Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có 0, 1, 2,…,
Px = e − λ

n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức
theo quy luật phân phối Poisson với tham số
- Kí hiệu là X .
- Bảng phân phối xác suất của X là:

λ

λx
x!

được gọi là tuân

.

18


X
P

0

1

e− λ

λ
0!
0

2

e−λ

λ
1!

1

e−λ

λ
2!

2

…
…

n
e−λ

λ
n!
n

…
…

b. Các tham số đặc trưng
- Kỳ vọng:

E( X ) = λ

;

V (X ) = λ

- Phương sai:
- Độ lệch chuẩn: ;

;

λ − 1 ≤ m0 ≤ λ

- Mốt:
.
c. Ứng dụng của định luật
- Kiểm tra chất lượng sản phẩm;
- Lý thuyết quản lý dự trữ;
- Lý thuyết phục vụ công cộng: Người ta đề cập tới các hệ thống phục vụ
dòng các yêu cầu đến như dòng người vào cửa hàng mậu dịch, dòng ô tô vào một
xưởng sửa chữa.
d. Ví dụ
Trong một đợt tiêm văcxin phòng bệnh viêm gan B cho 1000 trẻ em ở khu
vực phường Hải Tân. Biết xác suất 2 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001.
Tính xác suất trong 1000 trẻ có không quá 2 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.
Bài làm
Coi việc tiêm văcxin phòng bệnh viêm gan B cho 1000 trẻ em ở khu vực
phường Hải Tân là một phép thử. Ta có 1000 phép thử độc lập. Trong mỗi phép
thử có hai khả năng xảy ra, hoặc trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm, hoặc trẻ
không bị phản ứng với thuốc khi tiêm.
Xác suất để trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm đều bằng nhau và bằng 0,001.
Xác suất để trẻ không bị phản ứng với thuốc khi tiêm đều bằng nhau và

bằng 0,999.
Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Becnoulli.
Gọi X là số trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm. X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể
nhận các giá trị .
Vì np = 1000*0,001 =1
nqp = 1000*0,999*0,001 1
λ =1

với
.
Tìm xác suất để trong 1000 trẻ em không có quá 2 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc
là đi tìm xác suất sao cho X nhận các giá trị trong đoạn [0;2]. Ta có:

19


P (0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2

λ0 − λ 10 −1
* e = * e ≈ (2,71) −1
0!
0!
1
P1 = * P0 ≈ (2,71) −1
1!
1
1
P2 = * P1 ≈ * ( 2,71) −1
2!
2

P0 =

⇒ P (0 ≤ X ≤ 2) ≈ (2,71) −1 + (2,71) −1 +

1
* ( 2,71) −1 ≈ 0,9225
2

3.4.5. Quy luật phân phối chuẩn
a. Định nghĩa 1
- Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng được gọi là tuân theo
quy luật phân phối chuẩn với các tham số và và ký hiệu là X N() nếu hàm mật độ X có
dạng:
.
Nhận xét
- Hàm số xác định trên bàn trục Ox;
- Với mọi x, hàm số luôn dương: Khi thì f(x) 0, tức là trục Ox là tiệm cận ngang;
- : Đồ thị đạt cực đại ;
- Hàm số đối xứng qua đường thẳng ;
- Đồ thị đạt điểm uốn tại: .
b. Các tham số đặc trưng
- Kỳ vọng: E(X) = ;
- Phương sai: V(X) = ;
- Độ lệch chuẩn: .
c. Định nghĩa 2
- Cho biến ngẫu nhiên X: Đặt , khi đó U N(0,1);
- Hàm mật độ xác suất của U có dạng: ;
- Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung;
- Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên U:
Φ (−u ) = −Φ (u )

Φ 0 (u ) ≈ Φ 0 (5) = 0,5

+)
; u thì
.
d. Định nghĩa 3
- Giá trị tới hạn chuẩn mức a là giá trị của biến ngẫu nhiên U có phân phối
chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện: ;
- Nếu cho a thì ta sẽ tìm được giá trị ;
- Giá trị có tính chất sau: ;
- Ví dụ: .
e. Công thức tính xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá
trị trong khoảng (a,b)
- Cho biến ngẫu nhiên X ;
- Đặt thì U ;
- Khi đó:
+;
20


+;
+.
Đặc biệt:
-:.
f. Phân phối xác suất của tổng biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo cùng một
quy luật
- Giả sử và ;
- Khi n > 30, nếu là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng tuân theo một quy
luật phân phối xác suất nào đó thì:

n

E( X ) = ∑ E( X i )
i =1
n

V ( X ) = ∑V ( X i )
i =1

g. Định ly địa phương Laplace và định ly tích phân Laplace
- Định lý địa phương Laplace: .
- Định lý tích phân Laplace:
.
h. Ứng dụng quy luật phân phối chuẩn
- Trong công nghiệp, ta xác định kích thước của các chi tiết do các nhà máy
sản xuất ra sẽ phân phối chuẩn nếu quá trình sản xuất diễn ra bình thường.
- Trong nông nghiệp, năng suất của cùng một loại cây trồng tại các thửa
ruộng khác nhau cũng tuân theo phân phối chuẩn.
- Nhu cầu về các loại hàng hóa khác nhau cũng tuân theo phân phối chuẩn.
- Năng suất lao động của mỗi công nhân có cùng tay nghề và cùng làm một
công việc như nhau cũng tuân theo phân phối chuẩn.
k. Ví dụ
Ví dụ 1: Thời gian để sản suất ra một gói mỳ tôm Hảo Hảo là một biến ngẫu
nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với và (đơn vị là phút). Tính xác suất
để một gói mỳ tôm Hảo Hảo được sản xuất trong khoảng thời gian 10 phút đến 14
phút.
Bài làm
Gọi X là thời gian để sản xuất ra một gói mỳ tôm Hảo Hảo.
Theo giả thiết, với ,
a. Áp dụng công thức:

Ta có:
14 − 12
10 − 12
= Φ0 (
) − Φ0 (
)
1
1
= Φ 0 (2) − Φ 0 ( −2)

= 2Φ 0 (2) = 2 * 0,4772 = 0,9544.

21


Ví dụ 2: Năng suất của giống lúa bắc thơm tại khu vực huyện Gia Lộc trong
năm vừa qua là 3 tạ/ sào. Biết năng suất tuân theo quy luật phân phối chuẩn với
độ lệch chuẩn tạ/ sào.
a. Tính xác suất để năng suất lúa nằm trong khoảng (2,55;3,45).
b. Tính xác suất để năng xuất lúa sản xuất ra lớn hơn 3,6 tạ/ sào.
Bài làm
Gọi X là năng suất giống lúa bắc thơm.
Theo giả thiết, với ,
a. Áp dụng công thức:
Tacó:
3,45 − 3
2,45 − 3
) − Φ0 (
)
0,3

0,3
= Φ 0 (1,5) − Φ 0 (−1,5) = 2Φ 0 (1,5)
= Φ0 (

= 2 * 0,4332 = 0,86642.
= 0,5 − Φ 0 (

3,6 − 3
) = 0,5 − Φ 0 (2) = 0,5 − 0,4772 = 0,0228.
0,3

b.
3.4.6. Quy luật phân phối Khi bình phương
a. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên liên tục

χ2

gọi là phân phối theo quy luật bình phương với

n bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó xác định bởi biểu thức:

∞

Γ( x) = ∫ t x −1e −t dt
0

Trong đó

là hàm Gamma. Ký hiệu:

χ 2 ( n)

.

b. Các tham số đặc trưng
- Kỳ vọng:

E[ χ 2 (n)] = n

- Phương sai:

;

V [ χ 2 (n)] = 2n.

c. Giá trị tới hạn
- Giá trị tới hạn mức a của phân phối Khi bình phương là giá trị của biến ngẫu
nhiên

χ2

thỏa mãn điều kiện:

22


χα2 (n)

- Kí hiệu:

3.4.7. Quy luật phân phối Student
a. Định nghĩa
- Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi là phân phối theo Student với n bậc tự do
nếu hàm mật độ xác suất của nó xác định bằng biểu thức:

f (t ) =

n
Γ( )
2

π (n − 1)Γ(

n −1
)
2

* [1 +

n

t2 2
]
n −1

Γ(x )

Trong đó
là hàm Gamma, kí hiệu: T n.
b. Các tham số đặc trưng

- Kỳ vọng: E(T) = 0.
- Phương sai: .
c. Giá trị tới hạn
- Giá trị tới hạn mức a của phân phối Student là giá trị của biến ngẫu nhiên
T với n bậc tự do thỏa mãn điều kiện: ;
- Kí hiệu:
- , T có phân phối Student với n bậc tự do.
3.4.8. Quy luật phân phối Fisher – Snedecor
a. Định nghĩa
- Biến ngẫu nhiên liên tục F gọi là phân phối theo quy luật Fisher –
Snedecor với n 1và n2 bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó được xác định
bằng biểu thức:
n

C=

Γ(

n

1
2
n1 + n2
) * n12 * n22
2
n
n
Γ( 1 ) * Γ( 2 )
2
2

- Kí hiệu: .
- Giả sử U và V là các biến ngẫu nhiên liên tục và độc lập với nhau, giả sử U
χ 2 ( n1 )

χ 2 (n2 )

,V
- Đặt

.

- Khi đó biến ngẫu nhiên F được gọi là tuân theo quy luật Fisher với
n2

n1

và

bậc tự do và ký hiệu
b. Các tham số đặc trưng
23


- Kỳ vọng: .
2n22 (n1 + n22 − 2)
V (F ) =
n1 (n2 − 2) 2 (n2 − 4)

- Phương sai:

.
c. Giá trị tới hạn
- Giá trị tới hạn mức a của phân phối Fisher – Snedecor là giá trị của biến
ngẫu nhiên F với n 1, n2 bậc tự do thỏa mãn điều kiện: .
- Kí hiệu:
- Tính chất: .
PHẦN III: BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Lấy ngẫu nhiên 2 hộp sữa bột cho trẻ trong 8 hộp từ quầy trưng bày ra
để kiểm tra. Biết rằng trong 8 hộp đó có 3 hộp không đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn
thực phẩm, 5 hộp còn lại đạt tiêu chuẩn. Tìm quy luật phân phối xác suất của số hộp
sữa đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm.
Bài làm
Gọi X là số hộp sữa đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ta tìm các xác
suất tương ứng:

Bảng phân phối xác suất của X là:
X

0

1

2

P

Bài 2: Người nông dân ủ 10 hạt giống dưa chuột để xem độ nảy mầm của
loại giống này có tốt không. Trong 10 hạt đó thì có 4 hạt dưa bị chẩm. Lấy ngẫu

nhiên 2 hạt dưa. Gọi X là số hạt dưa bị chẩm được lấy ra. Viết biểu thức hàm phân
phối xác suất của X.
Bài làm
Gọi X là số hạt dưa bị chẩm được lấy ra.
24


X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ta tìm các
xác suất tương ứng:

Bảng phân phối xác suất của X là:

X

0

1

2

P
Biểu thức hàm phân phối xác suất:

Bài 3: Trong một nông trại chăn nuôi, có 60% con vật đã được tiêm phòng
cúm gia cầm, còn lại 40% chưa được tiêm. Chọn ngẫu nhiên 10 con vật nuôi. Gọi
X là số con vật đã được tiêm phòng cúm gia cầm.
a. X tuân theo quy luật phân phối nào?
b. Tìm xác suất để có đúng 7 con đã được tiêm phòng cúm gia cầm.
c. Tìm xác suất để có ít nhất 1 con đã được tiêm phòng cúm gia cầm.
Bài giải

Coi việc chọn mỗi con vật nuôi là một phép thử. Ta có 10 phép thử độc lập.
Trong mỗi phép thử, có 2 khả năng xảy ra, hoặc con vật đã được tiêm phòng cúm
gia cầm, hoặc con vật chưa được tiêm phòng cúm gia cầm.
Xác suất để mỗi con vật được tiêm phòng đều bằng nhau và bằng 0,6.
Xác suất để mỗi con vật chưa được tiêm phòng đều bằng nhau và bằng 0,4.
Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Becnoulli.
Gọi X là số con vật đã được tiêm phòng cúm gia cầm. X là biến ngẫu nhiên
rời rạc có thể nhận các giá trị . X tuân theo quy luật phân phối Nhị thức với n =
10 và p = 0,6.
b. Áp dụng công thức Becnoulli, ta có:
.
c.
= 1 − [ P ( X = 0)]

= 1 − (C100 * 0,60 * 0,410 )
= 1 − (1 * 1 * 0,410 )
= 0,9998951424.
25