Định lý giới hạn trung tâm cho các martingale

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO CÁC MARTINGALE

Chuyên ngành
Mã số
Học viên
Giảng viên hướng dẫn

:
:
:
:

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
60.46.01.06
Đào Thị Vân Anh
TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI - 2017


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các dạng hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến
ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan . . . . . . . . . .
1.4.1 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7
8
10
10
11
12

2 Định lý giới hạn trung tâm cho martingale
2.1 Martingale bình phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương
khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình
phương khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Định lý giới hạn trung tâm tổng quát . . . . . . . . . .
2.3 Một số mở rộng định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . .
2.3.1 Các kết quả dạng Raikov trong định lý giới hạn trung

tâm matingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Martingale nghịch và tổng đuôi của martingale . . . . .
2.4 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . .

14
14

Tài liệu tham khảo

60

16
16
29
33
33
40
44


MỤC LỤC

2

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán ứng dụng,
Khoa Toán-Tin đã giúp đỡ em trong quá trình học tập cũng như trong quá
trình hoàn thành khóa luận này.
Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn
Văn Hùng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình nghiên

cứu để khóa luận của em được hoàn thành đúng thời hạn. Mặc dù em đã có
nhiều cố gắng song do thời gian và trình độ còn nhiều hạn chế nên khóa luận
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em mong thầy cô và các bạn nhận xét
và đóng góp ý kiến để khóa luận này được phát triển và hoàn chỉnh hơn. Em
xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Đào Thị Vân Anh


MỤC LỤC

3

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi.
Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả
nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước
đó.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017.
Tác giả luận văn
Đào Thị Vân Anh


MỤC LỤC

4

LỜI NÓI ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có lẽ một trong những thành tựu to lớn nhất của xác suất hiện đại là lý
thuyết thống nhất về giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Thực tế
thống kê toán học thường được xem là bắt nguồn từ rất sớm với các luật giới
hạn của Bernoulli và Moivre. Lý thuyết toán về luật giới hạn trung tâm cho
martingale có thể được xem là sự mở rộng của lý thuyết độc lập và nó cũng
có nguồn gốc từ các kết quả giới hạn trong trường hợp độc lập.
Trong luận văn này, em đã chọn đề tài "Định lý giới hạn trung tâm
cho các martingale" để trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kết
quả quan trọng của định lý giới hạn trung tâm martingale như là một trường
hợp mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và làm sáng tỏ một số kết
quả trong chứng minh một số định lý giới hạn martingale.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Hệ thống lại các kết quả quan trọng của định lý giới hạn trung tâm và
nghiên cứu tốc độ hội tụ của định lý giới hạn trung tâm.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• Martingale, martingale ngược, martingale bình phương khả tích.
• Phương sai có điều kiện.
• Định lý giới hạn trung tâm cho các martingale, các kết quả dạng Raikov.
• Các tổng đuôi của martingale.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Đọc sách, các bài báo, luận văn liên quan đến đề tài, tìm tài liệu trên

Internet.
• Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết.
• Sử dụng phương pháp tổng hợp, tổng hợp lại các kiến thức, trình bày

vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi.

MỤC LỤC

5

V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và nội dung
chính của luận văn bao gồm hai chương:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương này là những kiến thức
chuẩn bị của luận văn, những khái niệm và kết quả cơ bản về martingale, các
dạng hội tụ, định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên độc lập và
một số định lý hội tụ quan trọng của martingale.
Chương II: Định lý giới hạn trung tâm cho martingale, chương này
trình bày định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả
tích. Phần 2.2.1 và 2.2.2 đã đưa ra những điều kiện đủ cho định lý giới hạn
trung tâm. Vấn đề hội tụ của moment được đề cập trong phần 2.3.1 và phần
2.3.2 là trình bày định lý giới hạn trung tâm cho martingle nghịch, những
tổng đuôi của martingle. Trong phần 2.4, luận văn nghiên cứu tốc độ hội tụ
trong định lý giới hạn trung tâm.


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các khái niệm cơ bản

Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Ký hiệu 2Ω là tập hợp gồm tất cả

các tập con của Ω.
Định nghĩa 1.1.1. (σ -đại số). Lớp A ⊂ Ω được gọi là một đại số nếu:
(i) Ω ∈ A;
(ii) Nếu A ∈ A, thì Ac = Ω \ A ∈ A;
(iii) Nếu A, B ∈ A thì A ∩ B ∈ A và A ∪ B ∈ A.
Nếu A là một đại số và thỏa mãn: với mọi dãy (An ) ⊂ A, ta có
∞

∞

An ∈ A,
n=1

An ∈ A,
n=1

thì A được gọi là một σ -đại số và (Ω, A) được gọi là một không gian đo.
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian xác suất) Bộ ba (Ω, F, P) được gọi là một
không gian xác suất nếu (Ω, F) là một không gian đo và ánh xạ P : F → [0, 1]
thỏa mãn: P(Ω) = 1, P(∅) = 0 và
∞

P(
n=1

∞

An ) =

P(An ),

n=1

với mọi dãy (An ) các phần tử giao nhau đôi một bằng rỗng của F.
Ánh xạ P được gọi là một độ đo xác suất trên không gian đo (Ω, F).
Định nghĩa 1.1.3. (Kỳ vọng).Giả sử ξ là một biến ngẫu nhiên. Nếu tích
phân |ξ(w)|P(dw) tồn tại và hữu hạn thì biến ngẫu nhiên ξ được gọi là khả
Ω

|ξ(w)|P(dw) là kỳ vọng của ξ .

tích và ký hiệu E(ξ) =
Ω


1.2 Các dạng hội tụ

7

Định nghĩa 1.1.4. (Tính độc lập). Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác
suất.
Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} các σ -đại số con của F được gọi là độc lập nếu
P(

Ai ) =
i∈I

P(Ai )
i∈I

đối với mọi dãy Ai ∈ Fi , i ∈ I .

Họ các biến ngẫu nhiên Xi , i ∈ I , được gọi là độc lập nếu họ các σ -đại số
sinh bởi chúng {σ(Xi ), i ∈ I} là độc lập.
Họ các biến cố Ai , i ∈ I , được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên
{IAi , i ∈ I} là độc lập.

1.2

Các dạng hội tụ

Với mỗi p>0 và biến ngẫu nhiên ξ , ký hiệu ξ p = (E[|ξ|p ])1/p . Nếu ξ p <
∞ thì ξ được gọi là khả tích bậc p và ký hiệu Lp là tập hợp tất cả các biến
ngẫu nhiên khả tích bậc p.
Giả sử (ξn ) là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
(Ω, F, P). Dãy (ξn ) được gọi là
• hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến biến ngẫu nhiên ξ nếu P[ lim ξn = ξ] = 1,
n→∞

h.c.c

ký hiệu là ξn −→ ξ
• hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên ξ nếu lim P[|ξn − ξ| > ] = 0 với
n→∞

p

mọi > 0, ký hiệu là ξn −→ ξ .
• hội tụ theo trung bình bậc p, p>0, đến biến ngẫu nhiên ξ nếu E|ξn |p < ∞
Lp

và lim E[|ξn − ξ|p = 0, ký hiệu là ξn −→ ξ . Khi p=1, ta nói ξn hội tụ theo

n→∞

trung bình đến ξ .
d

• hội tụ yếu hay hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên ξ , ký hiệu ξn −→
ξ , nếu với mọi hàm f : R → R liên tục và bị chặn, ta có lim E(f (ξn )) =
n→∞

E(f (ξ)).
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử (ξn ) và ξ là các biến ngẫu nhiên xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P).
h.c.c

Lp

p

(i) Nếu ξn −→ ξ hoặc ξn −→ ξ thì ξn −→ ξ .
h.c.c

(ii) ξn −→ ξ khi và chỉ khi với mọi > 0, ta có lim P[sup |ξk − ξ| > ] = 0.
n

k≥n


1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập

8

p

(iii) ξn −→ ξ khi và chỉ khi với mọi dãy con (nk ) của dãy các số tự nhiên, tồn
h.c.c
tại một dãy con (mk ) của dãy (nk ) sao cho ξmk −→ ξ .
Định nghĩa 1.2.1. (Khả tích đều). Giả sử H là một họ các biến ngẫu nhiên
khả tích trên không gian xác suất (Ω, F, P). Họ H được gọi là khả tích đều nếu
lim sup

λ→∞ ξ∈H
[|ξ|>λ]

|ξ|dP = 0

.
Định nghĩa 1.2.2. (Hàm đặc trưng). Giả sử ξ = (ξ1 , ....ξd ) là một vectơ ngẫu
nhiên. Hàm ϕξ : Rd → C xác định bởi
d

ϕξ (t) = E(exp(i

tj ξj )),

t = (t1 , ....td ) ∈ Rd ,

j=1

được gọi là hàm đặc trưng của ξ .
Hàm đặc trưng là công cụ quan trọng để nghiên cứu phân phối của vecto

ngẫu nhiên do các kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.2. .
(i) Giả sử ξ và η là hai vectơ ngẫu nhiên d-chiều. Khi đó ξ và η có cùng
phân phối khi và chỉ khi ϕξ (t) = ϕη (t) với mọi t ∈ Rd .
(ii) Giả sử ξn là dãy vectơ ngẫu nhiên d-chiều và ξ cũng là một vectơ ngẫu
nhiên d-chiều. Khi đó ξn hội tụ yếu đến ξ khi và chỉ khi lim ϕξn (t) = ϕξ (t)
n→∞

với mọi t ∈

1.3

Rd .

Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp
các biến ngẫu nhiên độc lập

Cho dãy tam giác (X1n , X2n , ...Xnn ), n = 1, 2, ... gồm các biến ngẫu nhiên
sao cho đối với mỗi n, các biến ngẫu nhiên X1n , X2n , ...Xnn độc lập
và

EXkn = 0, (k = 1, ..., n)
n



(1.1)

D(Xkn ) = 1.

k=1

Đặt

n

Sn =

Xkn ,
k=1

2
σkn
= D(Xkn ),

k ≤ n.


1.3 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập

9

Định lí 1.3.1. Giả sử {Xkn , k = 1, ..., n}, n=1,2,... là dãy các biến ngẫu nhiên
độc lập thỏa mãn điều kiện (1.1). Khi đó, nếu với s>2 nào đó,
n
(2)
Mn

Emin(|Xkn |2 , |Xkn |s ) → 0

=

(1.2)

k=1

thì

x

1
FSn (x) → Φ(x) = √
2π

t2

e− 2 dt

(1.3)

−∞

đều theo x ∈ R.
Định lí 1.3.2. (Định lý Lindeberg) Nếu dãy {Xkn , k = 1, ..., n} độc lập thỏa
mãn (1.1) và điều kiện Lindeberg
(2)

Ln ( ) → 0,

(∀ > 0)

thì FSn (x) → Φ(x) đều theo x.
• Áp dụng. Ta xét n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công

là p. Ký hiệu A là biến cố thành công. Đặt
Xk =

1

nếu A xuất hiện tại phép thử thứ k

0

nếu A không xuất hiện tại phép thử thứ k, k = 1, ..., n.

Ta thấy (Xk ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối chỉ nhận hai
giá trị 0, 1 sao cho
P(X1 = 1) = p,

P(X1 = 0) = q = 1 − p,

và
n(A) = X1 + X2 + .... + Xn

là số lần biến cố A xuất hiện trong n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất
thành công là p = P(A)
• Bất đẳng thức Berri-Essen cho ta
p2 + q 2
p2 + q 2
< √

sup |Fn (x) − Φ(x)| ≤ C. √
npq
npq
−∞
trong đó Fn là phân phối của
Sn∗ =

n(A) − np
√
npq


1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan

10

Định lí 1.3.3. (Định lý giới hạn trung tâm Moivre-Laplace) với > 0, ta có
P |

1.4
1.4.1

n(A)
− p| ≤
n

∼ Φ(

n/pq) − Φ(−

n/pq).

Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan
Martingale

Định nghĩa 1.4.1. (Kỳ vọng có điều kiện)
(i) Giả sử ξ là biến ngẫu nhiên không âm, khả tích xác định trên không gian
xác suất (Ω, F, P).Giả sử G là một σ -đại số con của F. Khi đó tồn tại
một biến ngẫu nhiên suy rộng, không âm, ký hiệu là E(ξ|G), thỏa mãn
(a) E(ξ|G) là G-đo được;
(b) Với mỗi A ∈ G,
E(ξ|G)dP.

ξdP =
A

A

Gọi E(ξ, G) là kỳ vọng điều kiện của ξ đối với σ -đại số G.
(ii) Kỳ vọng điều kiện E(ξ|G) của biến ngẫu nhiên ξ bất kỳ đối với σ -đại số
G là xác định nếu
min(E(ξ + |G), E(ξ − |G)) < ∞

h.c.c,

và được cho bởi công thức
E(ξ|G) = E(ξ + |G) − E(ξ − |G),
trong đó, trên tập có xác suất 0 mà E(ξ + |G) = E(ξ − |G) = ∞, ta có thể
gán cho hiệu E(ξ + |G)− E(ξ − |G) một giá trị bất kỳ, ví dụ bằng 0 chẳng hạn.

Chú ý: Khác với kỳ vọng thông thường là một số thực, kỳ vọng điều kiện của
biến ngẫu nhiên. Một cách trực quan, coi σ -đại số G là các thông tin có được,
tức là với mọi biến cố A ∈ G, ta có thể xác định A có xảy ra hay không. Khi
đó E(ξ|G) là "dự báo tốt nhất" về giá trị của X dựa trên các thông tin mà ta
có.
Định nghĩa 1.4.2. (Martingale) Giả sử (Ω, G, P) là một không gian xác suất
với lọc (Fn ). Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martingale nếu với mọi n ≥ 0, cả ba
điều kiện sau được thỏa mãn:


1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan

11

(i) Xn là Fn -đo được;
(ii) E|Xn | < ∞;
(iii) E(Xn+1 |Fn ) = Xn

h.c.c

Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martingale dưới nếu các điều kiện (i), (ii) được
thỏa mãn và
(iii’) E(Xn+1 |Fn ) ≥ Xn h.c.c với mọi n ≥ 0
Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martingale trên nếu các điều kiện (i), (ii) được
thỏa mãn và
(iii”) E(Xn+1 |Fn ) ≤ Xn h.c.c với mọi n ≥ 0
Nhận xét Dãy (Xn , Fn ) là martingale trên khi và chỉ khi dãy (−Xn , Fn ) là
martingale dưới. Dãy (Xn , Fn ) là martingale khi và chỉ khi nó vừa là martingale trên, vừa là martingale dưới.
Định nghĩa 1.4.3. (Martingale hiệu) Dãy tương thích {Xn , Fn , n ∈ N} được
gọi là martingale hiệu, nếu E|Xn | < ∞ đối với mọi n ∈ N và

E(Xn+1 |Fn ) = 0
Rõ ràng nếu S = {Sn , Fn , n ∈ N} là martingale thì {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale hiệu trong đó
X0 = S0 ,

Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1 ,

n = 1, 2, ...

Ngược lại, nếu {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale hiệu thì S = {Sn , Fn , n ∈ N} là
martingale trong đó
S 0 = X0 ,
1.4.2

Sn = X0 + ... + Xn

Các bất đẳng thức cơ bản

Định lí 1.4.1. Nếu {Xn , Fn , n = 0, ...., N } là martingale dưới, thì với mọi
λ ∈ R (λ > 0)
+
λP( max Xn > λ) ≤ E[XN I( max Xn > λ)] ≤ EXN
;
0≤n≤N

0≤n≤N

λP( min Xn ≤ −λ) ≤ −EX0 + E[XN I( min Xn > −λ)].
0≤n≤N

0≤n≤N

Bất đẳng thức Kolmogorov. Nếu {Xn , Fn , n = 0, ...., N } là martingale
với E|Xn |p < ∞, n = 0, ..., N, 1 ≤ p < ∞, thì với mọi λ > 0
λp P( max |Xn | > λ) ≤ E|XN |p
0≤n≤N


1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan

12

Bất đẳng thức Doob Nếu {Xn , Fn , n = 0, ...., N } là martingale dưới không
âm với E|Xn |p < ∞, n = 0, ..., N, 1 < p < ∞, thì
p≤

XN

max |Xn |

0≤n≤N

p≤

q

XN

p,

trong đó

X

p=

(E|X|p )1/p ,

1/p + 1/q = 1.

Đối với p=1, thì
XN
1.4.3

1≤

max |Xn |

0≤n≤N

1≤

e
1+
e−1

XN ln+ XN

1

.

Các định lý hội tụ

Định lí 1.4.2. (Định lý Doob). Nếu {Xn , Fn , n ∈ N } là martingale dưới và
L1 -bị chặn, tức là
sup E|Xn | < ∞,
n

thì dãy (Xn ) hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X∞ nào đó với
E|X∞ | < ∞.
Hệ quả 1.4.1. Giả sử {Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và đặt Sn là
dãy các tổng riêng của nó, tức là
S0 = X0 ,

Sn = X0 + X1 + ... + Xn

Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(i) {Sn } hội tụ h.c.c
(ii) {Sn } hội tụ theo xác suất
(iii) {Sn } hội tụ theo phân phối
Định lí 1.4.3. (Định lý hội tụ trong Lp ). Giả sử 1 < p < ∞. Nếu {Xn , Fn , n ∈ N }
là martingale và Lp - bị chặn, tức là,
sup E|Xn |p < ∞,
n

thì dãy (Xn ) hội tụ trong Lp , đồng thời hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X∞
với E|X∞ |p < ∞.
Định lí 1.4.4. (Định lý hội tụ trong L1 ). Nếu {Xn , Fn , n ∈ N } là martingale
và dãy (Xn ) khả tích đều thì dãy (Xn ) hội tụ trong L1 , đồng thời hội tụ h.c.c
tới biến ngẫu nhiên X∞ với E|X∞ | < ∞.

1.4 Định nghĩa martingale, các kết luận liên quan

13

Định lí 1.4.5. (Định lý Levy). Giả sử X ∈ L1 và (Fn ) là dãy các σ -trường
con không giảm của A. Khi đó, hầu chắc chắn
lim E(X|Fn ) = E(X|F∞ ).

n→∞

trong đó F∞ là σ -trường bé nhất chứa tất cả các σ -trường Fn , tức là
F∞ = σ(

Fn ).
n

Giả sử X ∈ L1 và (Fn ) là dãy các σ -trường con không tăng của A. Khi đó,
hầu chắc chắn
lim E(X|Fn ) = E(X|
Fn ).
n→∞

n

Fn là σ -trường giao của tất cả các σ -trường Fn , tức là,

trong đó
n

Fn =
n

Fn .
n


Chương 2

Định lý giới hạn trung tâm cho
martingale
2.1

Martingale bình phương khả tích

Cho M = {Mn , Fn , n ∈ N} là martingale bình phương khả tích, tức là:
E|Mn |2 < ∞ với mọi n ∈ N. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
M0 = 0, vì nếu cần ta xét Mn −M0 thay cho Mn . Khi đó, M 2 = Mn2 , Fn , n ∈ N
là martingale dưới. Ta viết khai triển Doob của nó dưới dạng
Mn2 = mn + < M >n ,

trong đó, m = {mn , Fn , n ∈ N} là martingale, và < M >n =

n
k=1

E[∆Mk2 |Fk−1 ]

< M >= {< M >n , Fn−1 , n ∈ N}

là dãy tăng dự báo được. Ta gọi < M > là biến phân bình phương (hoặc đặc
trưng bình phương) dự báo được của M.
Ta có
< M >n+1 − < M >n = E[(∆Mn+1 )2 |Fn ],
và nếu M0 = 0 thì
EMn2 = E < M >n
Định lí 2.1.1. Giả sử M = {Mn , Fn , n ∈ N} là martingale bình phương khả
tích với M0 = 0. Khi đó,
(i) Nếu E < M >∞ < ∞, thì martingale M = {Mn , Fn , n ∈ N} hội tụ trong
L2 , và do đó là chính quy, hơn nữa ta có:
E(sup Mn2 ) ≤ 4E < M >∞
n


2.1 Martingale bình phương khả tích

15

√

(ii) Nếu E < M >∞ < ∞ , thì martingale M = {Mn , Fn , n ∈ N} là chính quy
và
E(sup |Mn |) ≤ 3E < M >∞
n

√

tổng quát hơn, nếu E < M >τ < ∞ , thì τ là thời điểm Markov chính
quy đối với {Mn , Fn , n ∈ N} (tức là {Mτ ∧n , Fn , n ∈ N} là martingale chính
quy), và ta có

E(sup |Mn |) ≤ 3E < M >τ
n≤τ

(iii) Trong mọi trường hợp ta có
{< M >∞ < ∞} ⊂ {Mn →} ,

tức là, martingale M = {Mn , Fn , n ∈ N} hội tụ hầu chắc chắn tới giới
hạn trên tập {< M >∞ < ∞}.
Chứng minh
(i) suy ra từ
sup EMn2 = E < M >∞
n

và bất đẳng thức Doob với p=2.
(iii) Đầu tiên chú ý rằng, với mọi thời điểm Markov τ ,
{< M >τ ∧n , Fn , n ∈ N}

là biến phân cấp hai của martingale {Mτ ∧n , Fn , n ∈ N}. Thật vậy, ra có
E[(Mτ ∧(n+1) − Mτ ∧n )2 |Fn ] = E[Iτ >n (Mn+1 − Mn )2 |Fn ]
= I{τ >n} (< M >n+1 − < M >n )
= <M>τ ∧(n+1) − < M >τ ∧n .
Ta áp dụng điều này cho thời điểm Markov
τa =

min n :< M >n+1 > a2
∞

nếu < M >∞ ≤ a2

Vì < M >τa ≤ a2 , nên theo (i)τa là thời điểm Markov chính quy đối với

Martingale {Mn , Fn , n ∈ N}, do đó lim Mn tồn tại và hữu hạn (hầu chắc
n→∞

chắn) trên tập
{τa = ∞} = < M >∞ ≤ a2

Khi cho a → ∞ trên tập các số nguyên, ta nhận được (iii).


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

16

(ii) Ta thấy
P sup |Mn | > a
n

≤ P {τa < ∞} + P τa = ∞, sup |Mn | > a
n

≤ P {τa < ∞} + P sup |Mτ ∧n | > a
n

và
≤ a−2 lim ↑ EMτ2a ∧n = a−2 E < m >τa

P sup |Mτ2a ∧n | > a2

n

n

Vì < M >τa bị chặn bởi < M >∞ và a2 , và do
{τa < ∞} = < M >∞ > a2

nên ta có
≤ P < M >∞ > a2 + a−2 E[min(< M >∞ , a2 )]

P sup |Mn | > a
n

Do đó
∞

E[sup |Mn |] =
n

P sup |Mn | > a da
n

0
∞

∞

P < M >∞ > a2 da +

≤
0

0

√

E[min(< M >∞ , a2 )] da
a2

= 3E < M >∞
Từ đó rút ra (ii).

2.2

Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình
phương khả tích

2.2.1

Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả
tích

Cho {Sn , Fn , n ≥ 1} là martingale có trung bình bằng không, bình phương
khả tích và cho Xn = Sn − Sn−1 , n ≥ 2, với X1 = S1 là những martingale hiệu.
Lévy đã đưa ra khái niệm phương sai có điều kiện cho các martingale.
n

Vn2

E(Xi2 |Fi−1 )

=

1

Phương sai có điều kiện đóng góp một vai trò trong lý thuyết giới hạn
Martingale hiện đại. Những kết quả ban đầu của Lévy đòi hỏi một giả thiết
mạnh đó là với mỗi n, Vn2 là hằng số hầu chắc chắn và những giả thiết này
cũng được đưa ra ngay cả trong cả lý thuyết hiện nay.


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

17

Doob đã đưa ra hàm đặc trưng để chứng minh các kết quả của Lévy.
Billingsley và Ibragimov một cách độc lập đã thiết lập định lý giới hạn trung
tâm cho những martingale với hiệu được giả thiết dừng và thỏa mãn giả thiết
ergodic. Các martingale như vậy có phương sai điều kiện tiệm cận hằng số
p

2
s−2
n Vn −→ 1

(2.1)

tại s2n = E(Vn2 ) = E(Sn2 )
Cho {Sni , Fni , 1 ≤ i ≤ kn } là một martingale có trung bình bằng không,
bình phương khả tích với mỗi n ≥ 1, và cho Xni = Sni − Sn,i−1 , 1 ≤ i ≤
kn (Sn0 = 0) là maringale hiệu. (Giả sử kn → ∞ khi n → ∞). Ta sẽ gọi dãy kép
2 =
{Sni , Fni , 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} là một mảng martingale. Cho Vni

2 =
là phương sai điều kiện của Sni và cho Uni

i
j=1

i
j=1

2 |F
E(Xnj
n,j−1 )

2 là biến phân bình phương.
Xnj

Những mảng martingale thường xuất phát từ những martingale thông
thường {Sn , Fn , 1 ≤ n < ∞} theo cách sau: cố định kn = n, Fni = Fi , và
Sni = s−1
n Si , 1 ≤ i ≤ n, với sn là độ lệch chuẩn của Sn . Trong trường hợp
2
E(Snkn ) = 1, việc tạo ra giả thiết này cho mảng martingel tùy ý là phổ biến.
(i) Giả thiết về tiệm cận có thể bỏ qua
Những giả thiết về tính có thể bỏ qua đã tạo ra martingale hiệu Xni trong
định lý giới hạn trung tâm của martingale. Điều kiện cổ điển của tính có thể
bỏ qua trong lý thuyết tổng của những biến ngẫu nhiên độc lập yêu cầu Xni
là những tiệm cận đều có thể bỏ qua:
max P(|Xni | > ε) → 0

Với mọi ε > 0,

i

khi

n→∞

(2.2)

Nhìn chung điều này sẽ yếu hơn điều kiện tổng,
P(|Xni | > ε) → 0

Với mọi ε > 0,

(2.3)

i

Mặc dù khi đó những tổng Snkn hội tụ theo phân phối, (2.2) và (2.3) thường
là tương đương với nhau. Khi những Xni độc lập thì (2.3) tương đương với:
p

max |Xni | −→ 0

(2.4)

i

Khi P(max |Xni | > ε) = P(
i

i

2 I(|X | > ε) > ε2 ), (2.4) sẽ tương đương với
Xni
ni

điều kiện Lindeberg yếu:
p

2
Xni
I(|Xni | > ε) −→ 0

Với mọi ε > 0,
i

(2.5)


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

18

McLeish (1974) đã chứng minh định lý giới hạn trung tâm với điều kiện
bị chặn trong L2 và điều kiện (2.4). Nhìn chung điều kiện (2.5) yếu hơn điều
kiện Lindeberg:
2
E[Xni
I(|Xni | > ε)] → 0

Với mọi ε > 0,

(2.6)

i
2 ) = 1 và
Tuy nhiên, nếu E(Snk
n

p

i

2 −→ 1 hoặc một cách tổng quát hơn,
Xni

2
Unk
n

là khả tích đều thì (2.4) và (2.6) là tương đương. Để thấy được
nếu
điều này, chú ý rằng với mọi λ > 0 ,
2
2
2
> λ)] + λP(max |Xni | > ε)
I(Unk
E[Xni

I(|Xni | > ε)] ≤ E[Unk
n
n
i

i

Với mỗi δ > 0, chọn λ đủ lớn sao cho với mọi n, giới hạn đầu tiên của vế
phải sẽ bị chặn bởi δ/2. Tiếp đến, chọn N đủ lớn sao cho với mọi n ≥ N , thì
giới hạn thứ hai của vế phải cũng bị chặn bởi δ/2. Tiếp đó, với mọi n ≥ N ,
2
E[Xni
I(|Xni | > ε)] ≤ δ
i

(chứng minh (2.6))
Có thể sử dung điều kiện Lindeberg có điều kiện để thay thế cho (2.4) hoặc
(2.6):
p

2
E[Xni
I(|Xni | > ε)|Fn,i−1 ] −→ 0

Với mọi ε > 0,

(2.7)

i

Trong phần lớn các trường hợp thì (2.6) và (2.7) là tương đương.
(ii) Phương sai có điều kiện
Ở đây, ta sẽ loại bỏ mảng tam giác. Cho Sn = ni=1 Xi , Fn , n ≥ 1 là một
martingale có trung bình bằng không, bình phương khả tích và đặt Vn2 =
n

i=1

E(Xi2 |Fi−1 ). Phương sai có điều kiện Vn2 là một trong một vài ước lượng

của phương sai ESn2 . Trong một số trường hợp phương sai có điều kiện có
thể biểu thị một lượng thông tin bao gồm những gì đã xảy ra trong suốt quá
trình.
Một cách khác để giới thiệu về Vn2 là thông qua sự phân tích của Doob cho
martingale con Sn2 , Fn . Ta có thể viết
Sn2 = Mn + An


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

19

với {Mn , Fn } là một martingale và {An } là một dãy biến ngẫu nhiên tăng
không âm. Nếu ta quy ước An là Fn−1 -đo được thì sự phân tích này được xác
định duy nhất hầu chắc chắn bởi quan hệ
2
= E(S2n |Fn−1 ) − Sn−1
= E[(Sn − Sn−1 )2 |Fn−1 ]
= E(X2n |Fn−1 )

An − An−1

Do đó, An = Vn2 .
2
(iii) Quan hệ giữa Vni2 và Uni

Phương sai có điều kiện Vni2 có thể thường được xấp xỉ bởi tổng những bình
2 . Ví dụ, cho (2.7) và chuỗi V 2 , n ≥ 1 :
phương Uni
nkn
2
> λ) → 0
sup P(Vnk
n

khi λ → ∞.

(2.8)

n≥1

Ta có:
p

2
2
max |Uni
− Vni
| −→ 0,
i

(2.9)

2 ,n ≥ 1 ,
Và nếu (2.8) được làm mạnh thành khả tích đều cho Vnk
n
2
2
E|Ukn
− Vnk
|→0
n
n

Theo (2.9), điều kiện thông thường (2.1) có thể thường xuyên được thay
thế bởi
n
p

s−2
n

Xi2 −→ 1
1
n

Đôi khi, tổng những bình phương
1

Xi2 sẽ dễ xử lý hơn phương sai có điều

kiện.
Quan hệ (2.9) có tầm quan trọng đáng kể về mặt lý thuyết. Giả sử cho
thời gian là những biến ngẫu nhiên Xni độc lập và Fni là trường σ được sinh
bởi Sn1 , Sn2 , . . . , Sni . Thì những biến Vni2 là hằng số hầu chắc chắn, và nếu
2 ) = 1, thì V 2 = 1 hầu chắc chắn. Trong trường hợp này, (2.9) suy ra:
E(Snk
nkn
n
p

2
Xni
−→ 1.

(2.10)

i

Với những điều kiện không quá phức tạp, (2.10) là cần và đủ cho định lý
GHTT
d

Xni −→ N (0, 1).

Snkn =
i

(2.11)

2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

20

Với giả thiết điều kiện duy nhất về tính có thể bỏ qua (2.2) và Xni , 1 ≤ i ≤ kn
là độc lập với trung bình bằng không và những phương sai bằng 1, thì (2.10)
và (2.11) là tương đương [Raikov (1938); Gnedenko và Kolmogorov (1954),
Loève (1977)].
(iv) Tính ổn định, sự hội tụ yếu trong L1 và trộn
Nếu {Yn } là một dãy biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất (Ω, F, P)
hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên Y, thì ta nói sự hội tụ này là ổn
định nếu với mọi điểm liên tục y của Y và với mọi E ∈ F thì giới hạn
lim P({Yn ≤ y} ∩ E) = Qy (E)

n→∞

là tồn tại và nếu Qy (E) → P(E) khi y → ∞ (Qy tồn tại và là một độ đo xác
suất trên (Ω, F)). Ta ký hiệu:
d

Yn −→ Y

(ổn định)

Khái niệm về tính ổn định được đưa ra bởi Rényi (1963) và những định lý
giới hạn martingle là ổn định (Aldous và Eagleson, 1978). Lý thuyết về hội
tụ ổn định cung cấp một cách tiếp cận tới lý thuyết giới hạn trung tâm của
martingale.
Một dãy biến ngẫu nhiên khả tích {Zn } trên (Ω, F, P) được gọi là hội tụ

yếu trong L1 tới biến ngẫu nhiên khả tích Z trên (Ω, F, P) nếu với mọi E ∈ F,
E[Zn I(E)] → E[ZI(E)]
sự hội tụ này được ký hiệu:
Zn → Z (yếu trong L1 )

Nếu exp(itYn ) → exp(itY ) (hội tụ yếu trong L1 ) với mỗi thực t thì rõ ràng:
d
Yn −→ Y .
Điều kiện về hội tụ yếu trong L1 sẽ mạnh hơn khả tích đều nhưng yếu hơn
hội tụ trong L1 . Biến ngẫu nhiên Zn hội tụ tới biến ngẫu nhiên Z trong L1 nếu
và chỉ nếu E[Zn I(E)] → E[ZI(E)] là ánh xạ đều với E ∈ F. Và nếu Zn → Z
(hội tụ yếu trong L1 ) thì dãy {Zn } là khả tích đều.
Những kết quả tiếp theo của chúng tôi là sự kết hợp giữa hội tụ yếu trong
1
L với tính ổn đinh.
d

Định lí 2.2.1. Giả sử Yn −→ Y với mọi Yn xác định trên không gian (Ω, F, P).
Khi đó, Yn → Y (ổn định) nếu và chỉ nếu tồn tại một biến Y’ trên một không
gian mở rộng của (Ω, F, P) có cùng phân phối với Y. Như vậy với mọi số thực
t,


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

21

exp(itYn ) → Z(t) = exp(itY ) (yếu trong L1 ) khi n → ∞

và E[Z(t)I(E)] là hàm liên tục của t với mọi E ∈ F

Định lý 2.2.1 là một kết quả tầm thường của định lý hội tụ cho những hàm
đặc trưng. Nó cho phép ta xác định những dãy hội tụ ổn định của những hàm
đặc trưng, điều này đơn giản hơn nhiều so với việc nghiên cứu những hàm
phân phối.
Nếu b.n.n Y’ trong định lý 2.2.1 có thể độc lập với mỗi E ∈ F thì định lý
giới hạn có thể được phát biểu là trộn. Biến ngẫu nhiên Yn là độc lập trong
mỗi trường hợp của E. Điều kiện này có thể nói cách khác: với mọi E ∈ F và
mọi điểm liên tục y của Y,
P({Yn ≤ y} ∩ E) → P(Y ≤ y)P(E)
Ta viết
d

Yn −→ Y

(trộn)

Điều kiện trộn xuất hiện đóng vai trò là một tính chất của giới hạn theo
phân phối. Tuy nhiên thực chất nó suy ra những kết quả là những luật mạnh.
(v) Tính ổn định của những định lý giới hạn martingale
Cho {Xni , 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P) với số thực t, ta có:
kn

Tn (t) =

(1 + itXnj )
j=1

Bổ đề 2.2.1. Cho η 2 là một biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn và giả
sử

p

max |Xni | −→ 0

(2.12)

i

p

2
−→ η 2
Xni

(2.13)

i

với mọi số thực t,

Tn (t) → 1

(hội tụ yếu trong

L1 )

d

khi n → ∞ (2.14)

Khi đó, Snkn −→ Z (ổn định) với biến ngẫu nhiên Z có hàm đặc trưng
E exp(− 21 η 2 t2 ).
Chứng minh
Xác định r(x) bởi
1
eix = (1 + ix) exp − x2 + r (x)
2


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

22

Và chú ý rằng |r (x)| ≤ |x|3 với |x| ≤ 1 . Cho In = exp (itSnkn ) và
1
− t2
2

Wn = exp

2
Xni
+

r (tXni )

i

i

Khi đó
In = Tn exp −η 2 t2 /2 + Tn Wn − exp −η 2 t2 /2

Theo định lý 2.2.1, với mọi E ∈ F ta có thể chứng minh được
E (In I (E)) → E exp −η 2 t2 /2 I (E)

(2.15)

Do exp −η 2 t2 /2 I (E) bị chặn, (2.14) cho ta
E Tn exp −η 2 t2 /2 I (E) → E exp −η 2 t2 /2 I (E)

(2.16)

Hơn nữa, mọi dãy biến ngẫu nhiên hội tụ yếu trong L1 là khả tích đều. Vì
vậy, dãy
Tn Wn − exp −η 2 t2 /2

= In − Tn exp −η 2 t2 /2

là khả tích đều. (Tính khả tích đều của In bắt nguồn từ |In | = 1). Khi
max |Xni | ≤ 1 những điều kiện (2.12) và (2.13) cho ta:
i

r (Xni t)

≤

i

|Xni |3

|t|3
i

≤

|t|3 max |Xni |
i

2
Xni

i

p

−→ 0

khi n → ∞

p

Theo đó, ta có: Wn − exp −η 2 t2 /2 −→ 0, và theo tính khả tích đều, thì
E Tn Wn − exp −η 2 t2 /2

I (E) → 0

(2.17)

Điều kiện (2.16) và (2.17) đưa đến (2.15)

Từ giờ, ta đặc biệt hóa mảng sắp thứ tự {Xni } thành một mảng martingale
hiệu.
Định lí 2.2.2. Cho {Sni , Fni , 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} là một mảng martingale khả
tích bậc hai, có trung bình bằng không, với những hiệu Xni và cho η 2 là một
biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn. Giả sử:
p

max |Xni | −→ 0
i

p

2
Xni
−→ η 2
i
2
E(max Xni
)
i

bị chặn

(2.18)
(2.19)
(2.20)


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

23

và
trường σ − đại số lồng nhau Fn,i ⊆ Fn+1,i

với 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1 (2.21)

d

Xni −→ Z (ổn định), với b.n.n Z có hàm đặc trưng

Khi đó, Snkn =
i

E exp − 21 η 2 t2
Hệ quả 2.2.1. Nếu thay (2.18) và (2.20) bởi điều kiện Lindeberg có điều kiện
(2.7):
p
2
với mọi ε > 0,
E Xni
I (|Xni | > ε) |Fn,i−1 −→ 0
i

Nếu (2.19) được thay thế bởi một điều kiện tương tự trong phương sai có điều
kiện:
p
2
2
=

E Xni
|Fn,i−1 −→ η 2
Vnk
n
Và nếu giữ nguyên (2.21) thì kết luận của định lý 2.2.2 vẫn đúng
Chú ý : Có thể thay (2.21) bởi một điều kiện về tính đo được trong η 2 .
Nếu (2.18)-(2.20) (hoặc những điều kiện tương tự của hệ quả) giữ nguyên và
nếu η 2 là đo được trong tất cả trường Fni thì khi đó kết luận của định lý
2.2.2 vẫn đúng, và nó đã làm giảm tính ổn định. Ví dụ, nếu η 2 là hằng số thì
nó sẽ là đo được không đáng kể trong tất cả Fni . Tuy nhiên những điều kiện
d
từ 2.18 đến 2.19 chưa đủ để kết luận Snkn −→ Z . Điều kiện (2.21) thỏa mãn
hầu hết những ứng dụng. Ví dụ, nếu có mảng martingale từ một martingale
thông thường thì kn = n và Fni = Fi với mọi i ≤ n và mọi n và vì thế (2.21)
vẫn đúng.
Cho N là 1 biến độc lập chuẩn tắc của η . Khi đó, ηN có hàm đặc trưng
E exp − 12 η 2 t2 , và phân phối của ηN được gọi là hợp của những phân phối
chuẩn. Trong trường hợp đặc biệt η 2 = 1 hầu chắc chắn thì giới hạn của biến
Z có phân phối N(0,1).
Một ví dụ về martingale thỏa mãn những điều kiện trong định lý 2.2.2.
Tuy nhiên khi đó η 2 sẽ không là hằng số hầu chắc chắn. Cho {Yn , n ≥ 1} là
biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối đối xứng trên điểm ±1 . Cho X1 = Y1 ,
n−1

Xn = Yn

n≥2

Yi /i
i=1

và cho kn = n, Xni = n−1/2 Xi và Fni là một trường σ -đại số được sinh bởi
Y1 , Y2 , . . . .Yi . Khi đó, Sni , Fni } là một mảng martingale .Và do
∞

n
h.c.c

Yi /i −→ Y =
i=1

Yi /i
i=1


2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho dãy martingale bình phương khả tích

Ta có

2

i−1

n

n
2
Xni
= n−1

2
Unn
=

h.c.c

−→ Y 2

Yj /j
i=1

i=1

24

j=1

Và vì thế (2.19) vẫn đúng với η 2 = Y 2 . Hơn nữa
i−1
−1/2

max |Xni | = n
i

h.c.c

Yj /j −→ 0

max
i

j=1
h.c.c

2
2
−→ Y 2
max Xni
≤ Unn
i

2
và E Unn
= n−1

n

E
i=1

2

i−1

= n−1

Yj /j
j=1

n i−1

∞

j −2 →

i=1 j=1

j −2 = E Y 2

j=1

Định lý hội tụ làm trội từ (2.18) và (2.20), đưa đến
2
E max Xni
→0
i

n

Điều kiện (2.21) vẫn đúng và vì thế n−1/2

Xi

d

−→ Z (ổn định) với Z có

i=1

hàm đặc trưng

1
2

E exp(− Y 2 t2 )
Chứng minh định lý 2.2.2
Giả sử η bị chặn hầu chắn chắn, để với một vài C(>1),
P(η 2 < C) = 1
i−1

Cho Xni = Xni I
j=1

2 ≤ 2C
Xnj

(2.22)

i

và Sni =

X

nj

Khi đó, Sni , Fni là một

j=1

mảng martingale. Do

P(Xni = Xni

2
với một vài i ≤ kn ) ≤ P(Unk
> 2C) → 0
n

(2.23)

Ta có P (S nkn = Snkn ) → 0 và vì vậy
E exp itS nkn − exp (itSnkn ) → 0
d

d

Vì vậy Snkn −→ Z (ổn định) nếu và chỉ nếu Snkn −→ Z (ổn định). Theo (2.23)
hiệu martingle Xni thỏa mãn điều kiện (2.12) và (2.13) của Bổ đề 2.2.1, ta
phải kiểm tra (2.14)
Cho Tn = (1 + itX nj )
j

và
Jn =

2 > 2C
2
min i ≤ kn |Uni
nếu Unk
> 2C
n

kn trường hợp khác